线段的和差倍分问题的证明2017
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。
$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。
有关线段和差倍分的证明及其和方法
有关线段的和差倍分的证明及其和方法
1、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，
F在AC上，BD=DF. 求证：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．
2、在平行四边形ABCD中，E在AD上，AE=CD,F是平行四边形外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB=∠C=60°，求证：EF=AF+BF
3、在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，D是AC上任一点，CE⊥BD交BD的延长线于E,①求∠AEB的度数，②求证：AE=BE-CE
4．在△ABC中，AB=AC，△A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
2
第22题图
（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2
BE AB +=；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN=FN
，求证：)BE CF BE CF +=-.
25题图2
25题图1。
线段和差倍分的证法
设 ＝ ， ＝ ） ， ，
Ｂ Ｄ ＝五
Ｄ Ｈ ＿ ／ ／
ｌ 、
Ｋ Ｂ ’ 。 即Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ
七、 借助辅助四法 例７ 如图， 在 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 对角线 Ａ Ｃ平 分 ／ ＿ Ｄ Ａ Ｂ， 若／ ＿Ｄ Ａ Ｂ １ ２ ０ 。 ， ＬＢ与 ＬＤ互补 ， 试证 明 Ａ 曰＋
。
点 曰作 Ｂ Ｅ－ Ｌ Ａ Ｄ交 Ａ Ｄ延长线 于 Ｅ 点 Ｄ为 Ａ Ｅ 中点．
’
．
ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ ＋Ｅ Ｇ＝２ Ａ Ｄ．
求证
Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ ．
注
因题设 中有 平行的条件 ， 可 考虑用此法证．
曰 ．
简证
延长 Ｂ Ｅ、 Ａ Ｃ交 于
Ａ
四、 代 数 法
例 ４ 如图， 已知 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ且 Ａ Ｄ＝
▲ Ａ 数学大｛ ｝ Ｉ 暴 ０ ． １ ▲ Ｉ ｖ； 。 ． 。 ＋ 。 ． 。 ． 。
则Ｄ Ｅ＝Ｃ Ｅ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｅ Ｄ， ＝ Ｂ Ｃ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｂ Ｆ，
．
。Ｌ Ｃ ＢＦ ＝ Ｃ ＤＥ． ． ‘ ． ＤＥ ＝Ｂ Ｆ ．
．
‘ ．
Ａ Ｂ＋ Ａ Ｄ：（ Ａ Ｆ＋ Ｆ） ＋（ Ａ Ｅ— Ｏ Ｅ）＝ Ａ Ｆ＋ Ａ Ｅ，
又 Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｆ ： Ａ Ｃ － ｃ ０ ｓ ６ ｏ 。 ＝ ÷ Ａ ｃ ， ． ． ． Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｃ ．
三、 比 例 法
、
（ ２ ） 设 Ｂ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ａ ， 则Ｐ Ｅ＝Ｐ Ｂ・ ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ，
ＰＦ：ＰＣ ・ｓ ｉ ｎ ａ．
‘
Ｄ
线段的和差倍分问题的证明2017
线段的和差倍分问题的证明一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.求证：DM = 21AB对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=．3、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 21=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．4、已知：如图所示，D 是ABC ∆的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：AC=2AE ．Q A DP C B E M ADB AB ED CA5、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
下面请看一个例子。
例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。
第三讲--线段的和差倍分问题
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。
线段的和、差、倍、分计算
线段的和、差、倍、分计算1.线段上有1个点。
如线段AB上有一点M和：AB= + 差：AM= — BM= —特别：当M是线段的中点时。
倍：AB= AM= BM 分：AM= AB BM= AB2.线段上有2个点。
如点M、N是线段AB上的两个点。
和：AB= + + ；AN= + ；MB= +差：AM=AB— ; AM=AN— ; MN=AB—— ; MN=AN—MN=MB— ; NB=AB— ; NB=MB—。
一、填空题1.如图，点M、N是线段AB上的两个点，则不同的线段有：。
2. 如图，点C把线段AB分成两条线段，分别是。
3.如图，M把线段AB分成两条线段，且线段AM=MB，则点M是线段AB的，AB= AM,BM= AB.4.如图，P为线段MN上一点，且线段MP=5cm,PN=3cm。
求线段MN的长。
解：因为MP=5,PN=3所以MN= += +=3..如图，P为线段MN的中点，且线段MN=10cm。
求线段NP的长。
解：因为P为线段MN的中点1所以NP=2= =4.如图，P是线段MN的中点，且线段MN=4cm，则线段MP=PN= cm。
5.如图，点C是线段AB上一点，线段AC=2cm，CB=3cm，则线段AB= cm。
6. 如图，已经线段MN=10cm，线段PN=3cm，则线段MP= 。
7.如图一，已知线段AB=8cm，点C在线段AB上，且线段BC=2cm，，则线段AC= ；如图二，点C在线段AB的延长线，且线段BC=2cm，则线段AC= cm。
(已知线段AB=8cm，点C在直线AB上则线段AC= ）8. 如图，在线段AB上有两点M、N，且线段AM=2cm，MN=4cm，NB=3cm，则线段AB= 。
9.如图，已经线段AB=12cm，AM=4cm，MN=2cm，则线段AB= cm。
10.如图，已经线段AB=12cm,AM=3cm，NB=5cm，则线段MN= 。
11.如图，已知线段AB=14cm ，点M 为中点，线段MN=3cm ，，则线段NB= 。
探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题,“截
探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题，“截长补短法”是解决这一类问题的常用方法，“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
例1.如图Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D.求证：AD+AB=BC.分析：要证明AD+AB=BC.根据BD是∠ABC的平分线，可借助角平分线的性质，在BC 上构造一条线段等于AB，另一条线段等于AD即可。
为此，可作DE⊥BC.证法1：DE⊥BC，垂足于E.∵DB是∠ABC的平分线，DA⊥AB，∴DA=DE，AB=EB，又∵AB=AC，∴∠C=45°，∴ED=CE，∴BC=BE+CE=AB+AD.补短法也可以证明。
证法2：如图2，延长BA到F，使AF=AD，连结DF.∵DA⊥AB，∴∠FAC=90°，∵AF=AD，∴∠F=45°，同理∠C=45°，∴∠F=∠C，∵∠FBD=∠CBD，BD=BD，∴△FBD≌△CBD，∴FB=BC，∵FB=BA+FA=BA+AD，∴AD+AB=BC评注：证明一条线段等于两条线段之和，一般有截长法或补短法两种变式1：△ABC中，∠A=108°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D.求证：BC=AB+CD变式2: △ABC中，∠A=100°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D.求证：BC=BD+AD(同学们仿照例题,中、课后思考完成)“一题多解”有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点．“一题多解”有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法。
“一题多解”有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。
三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。
（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线段的和差倍分问题的证明一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.求证：DM = 21AB对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=．3、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 21=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．4、已知：如图所示，D 是ABC ∆的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：AC=2AE ．Q A DP C B E MADBC AB ED A5、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
下面请看一个例子。
例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。
对应练习1、如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．ADE BCA OEBCD2、如图所示，已知ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：BC=AC+AD ．3、如图所示，若E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 为DAE ∠的平分线，AF 与CD 相交于F 点．求证：AE=BE+DF ．4、如图所示，等边ABC ∆和等边BDE ∆，点A 在DE 的延长线上，求证：BD+DC=AD ．三、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例5 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
AD B A B C D EFAE BD C证明线段的和差倍分问题作业1、如图所示，在等腰三角形ABC 中，P 是底边BC 上的任意一点．（1）求证：P 点到两腰的距离之和等于腰上的高．（2）若P 点在BC 的延长线上，那么点P 到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系？2、如图所示，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，︒=∠108A ，BD 平分ABC ∠．求证：BC=AB+DC ．3、如图所示，已知ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，︒=∠45BAC ，AD 和CE 是高，它们相交于H ，求证：AH=2BD ．M P B CF DAE A B DC A E HB D C线段的和差倍分问题的证明一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.求证：DM = 21AB分析：如图，因为21AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。
∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。
说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。
“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。
1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ．能力挑战1、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 21=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ．【经典练习】1、如图所示，已知ABC ∆中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 21=．Q A DP C B E MADBCAEG B DH FAC 1 22、已知：如图所示，D 是ABC ∆的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：AC=2AE ．3、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120BAC ，D 是BC 的中点，AB DE ⊥于E ．求证：EB=3EA ．4、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120BAC ，P 是BC 上一点，且︒=∠90BAP ．求证：PB=2PC ．5、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．6、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=．A B E D EC E AD E BC AB ED CAD E B A B C二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE分析：本题的关键在于构造一条线段， 使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线 段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。
例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90°∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。
因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。
因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。
从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
下面请看一个例子。
例4 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：DB =DE +CE 。
分析：通过分析题目的已知条件可知： △ABD ≌△CAE ,从而得AD =CE ，则DE +CE =AE ， 而BD =AE ，原命题得证。
常规题型1、如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．能力挑战1、如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90BAC ，AD=AE ，BE AF ⊥交BC 于F ，过点F 作CD FG ⊥于M ，交BE 延长线于点G ，求证：BG=AF+FG ．A OEB CDADE MG能力挑战2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠100A ，BE 平分ABC ∠，求证：AE+BE=BC ．【练习】1、如图所示，已知ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：BC=AC+AD ．2、如图所示，若E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 为DAE ∠的平分线，AF 与CD 相交于F 点．求证：AE=BE+DF ．3、如图所示，已知ABC ∆和ADE ∆均为等边三角形，B 、C 、D 在一直线上，求证：CE=AC+CD ．4、如图所示，已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 是BAC ∠的平分线，求证：AB=AC+CD ．5、如图所示，等边ABC ∆和等边BDE ∆，点A 在DE 的延长线上，求证：BD+DC=AD ．A B C D EAD B A B C D EFA DB CCAE B11三、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。