第十一章 秩亏自由网平差

本课程的任务为： 二、本课程的任务为：
求平差值； 求平差值； 精度评定（包括点位精度的各种表示方法）。 点位精度的各种表示方法 精度评定（包括点位精度的各种表示方法）。
三、五种平差方法的共性和特性。
第十二章 秩亏自由网平差
本节内容： 本节内容：
秩亏自由网平差的提出； 秩亏自由网平差原理； 秩亏自由网平差的基准条件。 。
1、经典自由网平差
例：
选定x3的高程为已知， 选定 的高程为已知，则可列出误差方程为： 的高程为已知
v1 1 0 l1 ˆ v = −1 1 x1 − l 2 x 2 ˆ2 l v3 0 −1 3
参数的协因数为
Qxx = (BT PB + SST )−1 BT PB(BT PB + SST )−1 ˆˆ ′ = QNbbQ′
参数平差值函数
ˆ ˆ ϕ = f (X)
三、S的具体形式 的具体形式
基准条件： 基准条件： 个参数之间存在的d个约束条件， U个参数之间存在的d个约束条件，是由基 准秩亏（d≠0）所致。 准秩亏（d≠0）所致。 经典自由网平差的基准
思考： 思考：
在没有起算数据的网中， 在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数 相等？ 相等？ 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网 GPS 的秩亏数各是多少？ 的秩亏数各是多少？
二、秩亏自由网平差原理
秩亏自由网平差的函数模型为
ˆ ˆ L = B X+d
也可先设定各点的高程为参数，但取x 也可先设定各点的高程为参数，但取x3的已知高程为 近似值，即 x3 = 0 。（即设一点的高程为已知）其函 近似值， 。（即设一点的高程为已知） ˆ 即设一点的高程为已知 数模型为： 数模型为：
ˆ v1 1 0 −1 x1 l1 v = −1 1 0 x − l ˆ 2 2 2 v3 0 −1 1 x3 l3 ˆ ˆ x3 = 0
如何合理解算这类平差问题， 如何合理解算这类平差问题，就是本节要讨论 的秩亏自由网平差问题。 的秩亏自由网平差问题。 秩亏自由网平差： 秩亏自由网平差： 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据， 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据， 而且又设所有网点坐标为参数， 而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问 题称为秩亏自由网平差 秩亏自由网平差。 题称为秩亏自由网平差。
2）为确定唯一解，在最小二乘原则下再附加另外的条件： ）为确定唯一解，在最小二乘原则下再附加另外的条件：
ˆ ˆ x x = min
T
（而这条件应保证所求的的平差值是最优 的，称为最小范数条件。）
求最小范数的法方程解
即求下列数学解： ˆ − BT PL = 0 NX
ˆ ˆ XT X = min
பைடு நூலகம்ˆ Φ= XT X − 2KT (NX − BT PL) = min
我们需要（ 掌握的程度： 一、我们需要（已）掌握的程度：
对于任一个平差问题，能够用所学过的四（ 对于任一个平差问题，能够用所学过的四（五）种平差方 法分别求解， 平差值以及精度评定。 以及精度评定 法分别求解，即：求平差值以及精度评定。 当然，实践中，具体该用哪种方法进行平差，完全取决于 当然，实践中，具体该用哪种方法进行平差， 具体的问题以及计算工具。（ 。（常用间接平差和附有限制条 具体的问题以及计算工具。（常用间接平差和附有限制条 件的间接平差。） 件的间接平差。）
经典平差法的条件： 经典平差法的条件： 是在控制网中必需设定（ 已有） 是在控制网中必需设定（或已有）足够的坐 设定 标起算数据； 标起算数据；
如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据， 如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据， 则称为经典自由网平差 经典自由网平差。 则称为经典自由网平差。
ˆ S x =0
T du u1
一、基础方程及其解 • 则函数模型是
ˆ V = Bx −l ˆ S x =0
T du u1
• 按附有限制条件的间接平差解算： 按附有限制条件的间接平差解算： 按最小二乘原则， 按最小二乘原则，作函数
ˆ Φ=VT PV + 2KT (ST x) = min
得法方程为
ˆ BT PBx + SK = BT Pl ˆ S x =0
• 可以验证：
AA A = A
−
值得说明的是： 值得说明的是： 1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的 广义逆（NN）-代入直接解公式后，求得的 X向量却是相同的，故X有唯一解！ 2）以上解法又称为“直接解法”。
二、广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆） 1、定义：满足下列四个条件，即
T
法方程写成： 法方程写成：
ˆ BT PB S x BT Pl T = S O K O
可解出参数改正数。 可解出参数改正数。 或者： 或者：
ˆ x = (B PB + SS ) B Pl
T T
T −1
二）精度评定
单位权方差估值
VT PV VT PV ˆ σ0 = = n −t n −(u − d)
法方程：
ˆ 2 −1 x1 l1 −l2 −1 2 x − l −l = 0 ˆ2 2 3
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解：
ˆ x1 2 −1 l1 −l2 x = −1 2 l −l 2 3 ˆ2
单位权方差估值仍为：
VT PV VT PV ˆ2 σ0 = = n − R(A) n − r
广义逆矩阵的概念
一、广义逆A1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列 矩阵方程的A-定义为A的广义逆
nm mn nm
AA A = A
nm
−
2、广义逆A-的计算 A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。 − AL1 = ( AT A)−1 AT A是列满秩时 − A是行满秩时 AR1 = AT ( AT A)−1 A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
降阶法求广义逆： • 在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某 一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇 异方阵的广义逆A-。 • 可见A-不唯一。 −1 1 0 • 例如：
−1 1 ，（ ） 2 d = 3− 2 =1 RA= ， 0 −1 −1 1 −1 −1 −1 A = ,A = 1 1 0 −1 0 −1 −1 −1 0 A− = 0 −1 0 0 0 0 A= 0 1
n1 nu u1
n1
相应的误差方程为
ˆ V = Bx −l
随机模型为
D = σ QLL = σ P
2 0 2 0
−1
方法之一：直接解法
1）按最小二乘原则组法方程： ）按最小二乘原则组法方程：
ˆ V = Bx −l V PV = min
T
（N的行列式等于零，法方程 有无穷多组解。）
ˆ Nx − BT Pl = 0
组法方程： 组法方程：
ˆ − BT Pl = 0 B PBx
T
2 −1 −1 法方程系数阵： 法方程系数阵： BT PB = −1 2 −1 −1 −1 2
可见，系数阵是一个奇异阵，方程有无穷多组解。 可见，系数阵是一个奇异阵，方程有无穷多组解。 原因是B不为列满秩阵， 秩亏。） （原因是B不为列满秩阵，称B秩亏。） 产生秩亏的原因： 产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起算 数据个数。 数据个数。 秩亏数d 就是秩亏自由网中的基准亏损数， 秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R‘（ d=R （B）-R（B）=必要起算数据 （ R‘（B）是B的列满秩数，R（B）是实际秩数。） （ 的列满秩数， 是实际秩数。）
AA+ A = A A+ AA+ = A (AA+ )T = AA+ (A+ A)T = A+ A
2、 A+的计算 当A为对称方阵时：
A = A(AA) A(AA) A
+
−
−
秩亏自由网平差解法二： 秩亏自由网平差解法二：附加条件法 由于网中没有起算数据，平差中多选了d 由于网中没有起算数据，平差中多选了d 个参数，因此，若在U个参数之间适当给定d 个参数，因此，若在U个参数之间适当给定d个附 加约束条件（基准条件）， ），即在原平差函树模型 加约束条件（基准条件），即在原平差函树模型 中附加入d个参数间的限制条件方程， 中附加入d个参数间的限制条件方程，从而可使秩 亏平差问题化为附有限制条件的间接平差问题。 亏平差问题化为附有限制条件的间接平差问题。 • 网的基准： 网的基准： 必要的起算数据称之为网的基准。 必要的起算数据称之为网的基准。 • d个基准条件形式为 ：
上节内容<误差椭圆> 上节内容<误差椭圆>
1)点位误差计算方法； 1)点位误差计算方法； 点位误差计算方法 任意方向（ 位差的计算方法； 2）任意方向（φ、ψ）位差的计算方法； 误差曲线、误差椭圆的概念，椭圆参数的计算； 3）误差曲线、误差椭圆的概念，椭圆参数的计算； 误差曲线与误差椭圆间的关系，误差椭圆的应用 曲线与误差椭圆间的关系 的应用； 4）误差曲线与误差椭圆间的关系，误差椭圆的应用； 相对误差椭圆的概念 参数的计算。 误差椭圆的概念、 4）相对误差椭圆的概念、参数的计算。
高程网中取平差后一点高程改正数为零、 高程网中取平差后一点高程改正数为零、 平面网中取两点的坐标改正数为零。 平面网中取两点的坐标改正数为零。
秩亏自由网平差的基准
• 附加的基准条件式应与法方程式线性无关：