6秩亏自由网平差S的求法与基准
自由网平差
求导
ˆ T P 2 K T N 0 得到 K N 1P X ˆ 2X 1 X1 11 11 X 1 1 ˆ1 x
ˆ T P 2K T N 0 得到 X ˆ Q N K 2X 2 X2 12 2 X 2 21 X 2
于是
1 ˆ ˆ X 2 QX 2 N 21 N11 PX1 X 1
V BT ( BBT ) 1W
BR BT ( BBT ) 1
右逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 2、广义逆（generalized Inverse)
设A是m×n矩阵，秩R（A）＝r<=min(m,n), 如果G满足如下方程，
AGA A
定义为A的广义逆，G为n×m矩阵，并记为 A 一般不唯一。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
4、秩亏网平差方法分类（根据约束条件）
加权最小二乘最小范数解
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
最小二乘最小范数解
逆稳平差
V T PV min ˆTX ˆ min X
ˆ X ˆ 1 X ˆ X 2 V T PV min ˆ TX ˆ min X 2 2
关于向量范数（Norm of Vector) ——范数是比长度更广泛的概念
设
X ( x1, x2 xn )
1-范数
X xi
i 1
n
X
p
( xi )1/ p
i 1
n
p
p-范数
X
( x x x )
2 1 2 2
秩亏网平差
h2
C
原因：网中没有已知高 程点。
秩亏网平差的概念
2、平差基准
测量控制网以点的坐标（及高程）为未知参数进行参数平 差时，网中必须具有必要的起算数据。例如，水平控制网必须 有一个已知点的坐标，一条已知边长和一个已知方位角；水准 网必须有一个已知点的高程。有时，网中还会有多余的起算数 据。测量平差中，将仅含必要起算数据的控制网称为 经典自由 网，将含有多余起算数据的控制网称为附合网。当控制网中存 在必要起算数据或多余起算数据时，观测方程的系数矩阵才可 能列满秩，起算数据不足时，就产生数亏。
B BT ( BBT )1
当 C 为满秩方阵时，
(GA) GA
T
C C C 1
对于参数平差模型（等精度） ：
( AG)T AG
G 称为 A 的广义逆。
可以只满足一个或几个方程，共有 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 种不同的广 义逆。
ˆ L V AX ˆ ( AT A)1 AT L A L X
B
h1
A
h3
h2
C
ˆ 1 l1 v1 1 1 0 x v 1 0 1 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3 0 l1 1 1 0 x1 h1 l 1 0 1 x 0 h 2 2 2 0 l 0 1 1 x 3 3 h3
（D-4）
R( A) u n ， s n u
相容方程组的通解：
是满足（A-1）和（A-3）的最小范 Am
X X Gα
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
测绘数据处理自由网平差
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/7/9
2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/7/9 11
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
2020/7/9
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
6秩亏自由网平差S的求法与基准解析
a jh
(
y
0 h
y
0 j
)
(
s
0 jh
)
2
, b jh
(x
0 h
x
0 j
)
(s
0 jh
)
2
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之
差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故
系数阵中的每一行元素结构总是形如
(a jh a jk ) (bjh bjk ) a jh bjh a jk bjk
• 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225.
• /special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
1
0
1
0 1
0
m
m
m
GT
0
y10
1
0
m
x10
y
0 2
1 0
m
x
0 2
y
0 m
1
m xm0
H H
HH
H H
此时
1 0 0
G TG 0 1 0 I
0 0 1
➢ 由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。
秩亏自由网平差及其通解
秩亏自由网平差及其通解赵超英;黄观文【摘要】通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质.结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键.以西安地区GPS沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义.【期刊名称】《地球科学与环境学报》【年(卷),期】2010(032)002【总页数】3页(P215-217)【关键词】秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解【作者】赵超英;黄观文【作者单位】长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054;长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054【正文语种】中文【中图分类】P228.4自Messl提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2-3]。
后来Xu相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应用[4-6],推出不同坐标系以及不同基准下的通解。
笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上,分析了如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基准下的通解。
这有助于理解秩亏自由网平差的实质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取具有物理意义的解。
_对于非线性大地控制网,观测方程满足式中:E(·)为数学期望;D(·)为方差;σ0为单位权中误差;F(·)、f(·)为非线性函数;X为初始(任意)坐标系t维待定坐标向量;L为n维观测值向量;Δ为观测值所含的偶然误差;P为观测值的权。
通常,选定初始坐标系S0下的一组初始坐标X0,对观测方程进行线性化得式中:A为n×t维设计矩阵,其秩R(A)=r<t,r为自由度,d=t-r为秩亏数;l为常数项;ΔX为初始坐标系S0下的坐标改正数。
观测值改正数V的误差方程为采用最小二乘准则可得基于初始坐标系S0下参数的通解式中:N为ATPA;M为任意非零向量;I为单位阵; N-为N的广义逆。
秩亏自由网平差的解法
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min
Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于
秩亏网平差若干计算方法
秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程有唯一解。
这是经典平差的范畴。
自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。
此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。
一般设网中全部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为，所以法方程有无穷组解。
这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以就是网中必要的起算数据个数。
对于水准网，必要起算数据是一个点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。
2.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误差方程为：（1）式中，，，，随机模型是：（2）根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：（3）若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：（a）容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。
为了得到的唯一解，增加个坐标基准约束条件，即：(4)在限制条件下，得到法方程如下：（5）由此可以根据下面的方程组解得的唯一解：（b）由上述方程组（b），可以得到：（）(7)（）（）3.矩阵分解应用于秩亏网平差3.1 奇异值分解用于秩亏网平差可以看出，上面提到的这种计算秩亏网平差的方式很复杂，现在我们不妨把秩亏自由网平差看成在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求的唯一解：(c)这是个复杂的方程组，如果按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。
秩亏自由网平差
秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bbN B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。
关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。
4第四讲 用附有限制条件的参数平差法求解秩亏自由网
（15） ）
前三个条件同测边网，现分析第四个条件式： 前三个条件同测边网，现分析第四个条件式： 网中重心点至任一点的距离的平差值为
ˆ ˆ ˆ ） Si2 = ( X i0 + δ X i − X 0 ) 2 + (Yi 0 + δ Yi − Y 项得： 展开上式并取至一次项得：
ＱXˆ = ( N + Gm G ) N ( N + Gm G )
T −1 m T −1 m
（5） ）
三、各种网形的 Gm 阵及秩亏自由网平差基准的意义 1.水准网 1.水准网
T Gm = (1 1 L 1)
（6） ） （7） ）
t
故由 知
t i =1
1×t
T ˆ ˆ Gm δ X = ∑ δ X i = 0 i =1 t
m
设网中的重心坐标为 又设
1 m 0 1 m 0 X 0 = ∑ X i , Y 0 = ∑ Yi m i =1 m i =1
（12） ） （13） ）
ˆ (Yi 0 + δ Yi ) − Y 0 −1 ˆ = tg −1 α i = tg 0 ˆ )− X0 (X + δ X
i i
ˆ Yi − Y 0 ˆ − X0 Xi
因此，在测角秩亏自由网平差中， 因此，在测角秩亏自由网平差中，和经典平差一 一个点的重心坐标， 样，也有自己的起始数据——一个点的重心坐标，一个 也有自己的起始数据 一个点的重心坐标 重心点至所有点的向径方位角的加权平均数和一个重心 点至所有点的向径长度的加权平均数。 点至所有点的向径长度的加权平均数。
作业： 作业： （1）用附有限制条件的参数平差法求解上次作业的水 ） 准网。 准网。
0 改为15.817m求解该网。 求解该网。 （2）将 X 3 改为 ） 求解该网
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0 ( y 0 y h j) 0 2 jh
(s )
, b jh
0 ( x 0 x h j) 2 (s 0 ) jh
(a
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之 差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故 系数阵中的每一行元素结构总是形如
jh
a jk ) (b jh b jk ) a jh b jh a jk
b jk
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有四 个，除与水平网相同的三个特征向量外，还有一个尺度基准 对应的特征向量：
x
0 1
y
0 1
xm
1 0 0 y2
0 x2
0
ym
0 y2 0 x2
0 1 m 0 x2 H 0 y2 H
1 m 0
0 ym 0 xm
H
H
H
H
0 1 m 0 xm H 0 ym H
4、GPS网（1）
GPS网的观测量为基线，隐含旋转参数和尺度参数，GPS自由 网的秩亏数为３，必要起始数据是网中一点的三维坐标。 GPS网可以简单看成是三维方向的水准网，某基线向量的观 测方程为：
1 A n t 1
2 1 N 1 0 0 1 1 2 0
1
1 1 1 1 1
0 0 1 2
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
解法一：最小二乘最小范数解法
ˆ A Pl 0 NX
T
T ˆ X r N m A Pl
ˆ X ˆ min X
T
ˆ N AT Pl X r
l Aˆ O ST X r
解法三：伪观测法
因此，参照水准网情况，可写出GPS网的S矩阵形式如下：
33 m
S
T
33 m
S
T
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
其对应的Ｇ矩阵形式如下：
33 m
G
T
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 m 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 T 1 T ˆ X N C Q C ( N SS ) A Pl
解法四：附加条件法
n1
ˆ l V AX r
nu u1
n1
d u
S
T
ˆ 0 X r
u1
NQ11 I S( S S ) S
T
1
T
T ˆ X r Q11 A Pl
证明三种解法的等价性（一）
ˆ Q AT Pl X r 11
S T Q11 0
T T -1 T QX Q A PQ PAQ Q NQ Q Q S ( S S ) S Q11 ˆ X ˆ 11 ll 11 11 11 11 11 r r
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
d u
1 m 0
0 ym
H
H
0 1 m 0 xm H
此时
1 0 0 T G G 0 1 0 I 0 0 1
由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。 • 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225. • /special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
5、GPS网（2）
当尺度基准和方位基准不依靠GPS网本身提供时，GPS自 由网的秩亏数为7，必要起始数据是网中三个位置基准， 三个方位基准，一个尺度基准，因此，可写出GPS网的Ｓ 矩阵形式如下：
1 0 0 ST 0 73 m z10 0 y1 x0 1 0 1 0 z10 0 x10 y10 0 0 1 x10 0 z10 1 0 0 0
其他应用如何找到基准
1、InSAR小基线解算
2、摄影照片拼接
中国石油大学（华东）杰出校友榜
中国石油大学外景
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
〇、引言
1、自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网
对于任一自由网，依据最小二乘原理进行平差后，就 可以达到合理消除网中各种几何条件不符值的目的，此 时自由网可以得到唯一的闭合网形，即可确定网的最佳 相对形状 若此时网中拥有必要的起算数据，则可由此起算数据 推求其它的未知数据 对于秩亏自由网，由于网中无外部固定数据，因此网 形的外部绝对位置就无法确定，因而网形浮动 若要唯一确定网形，必须给定基准
Ai aik bik aik bik
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有三个， 分别是：
1
0
0 1 0
1 0 1
x
0 1
T
T
0 T m
y
0 1
y
0 m
x
满足AS=0，由上述特征向量可得S为：Fra bibliotek32m
S
T
1 0 y0 1
（2）
X 3 X 30
ˆ 设 X 3 X 30 X 3
ˆ 0 X 3
称为基准条件方程
T 0 0 1 T ˆ ，G X GC C
13
ˆ X ˆ X ˆ ˆ 0 ， 其中 X X 1 2 3
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定 （已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为 固定值（已知）。 ——这些固定数据构成二维网的平差基准。
0 T
1 0 T S 42 m y10 0 x 1
0 1 x10 y10
0 1 0 x2
1
0 0 ym
0 xm
0 y2
0 1 0 xm 0 ym
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
1 m 0 T G y10 H x10 H 0 1 m x10 H y10 H 1 m 0
3、测角网
对于自由测角网，其系数阵A的秩亏数为４，即缺少两个 位置基准（X，Y）、一个方位基准和一个尺度基准。测角网 的误差方程式为
vi ( a jh a jk )ˆ x j ( b jh b jk )ˆ y j a jh ˆ xh b jh ˆ yh a j k ˆ xk b jk ˆ y k li
0 1 0 0 0 0 0 1 0 A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 33 m 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
强基准：平差前后基准形式固定不变（值不变） 弱基准：平差后基准数据会得到修正
根据平差中参数必须满足的附加条件：
经典自由网平差基准 秩亏自由网平差基准 固定基准 重心基准 ？ 强基准 弱基准
参数加权平差基准
一、 经典自由网平差基准
1.一维水准网：
V1 1 1 0 ˆ V 0 1 X 1 0 2 X ˆ 2 6 V 1 0 3
设
T ˆ GC X 0
为基准方程
①当1、2两点已知（固定）坐标，则：
ˆ 0 X ˆ1 Y1 0 ˆ X 2 0 Y ˆ 2 0
1 0 T GC 0 42 t 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ... ... ... ...
Q11 N N m
S
T
ˆ 0 X r
u1
ˆTX ˆ min X
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基 本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
ˆi bik y ˆ i aik x ˆ k bik y ˆ k lik vik aik x
自由测边网中没有固定点，因此每条边的两端点坐标未知数 必同时出现在误差方程中，故系数阵中的每一行元素结构总 是形如
0 0 xi0 xk yi0 y k aik , bik 0 0 sik sik
0 1 0 x1
1 0 0 y2
0 1 0 x2
1
0 0 ym
0 1 0 xm
将S标准化，可得G矩阵形式如下：