秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析
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6秩亏自由网平差S的求法与基准
（2）
X 3 X 30
ˆ 设 X 3 X 30 X 3
ˆ 0 X 3
称为基准条件方程
T 0 0 1 T ˆ ，G X GC C
13
ˆ X ˆ X ˆ ˆ 0 ， 其中 X X 1 2 3
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定 （已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为 固定值（已知）。 ——这些固定数据构成二维网的平差基准。
ˆ Q AT Pl X r 11
S T Q11 0
T T -1 T QX Q A PQ PAQ Q NQ Q Q S ( S S ) S Q11 ˆ X ˆ 11 ll 11 11 11 11 11 r r
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
d u
Q11 N N m
S
T
ˆ 0 X r
u1
ˆTX ˆ min X
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基 本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
0 ym 0 xm
0 1 0
0 zm
y10
0 zm
0
0 xm 0 ym
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
测绘数据处理自由网平差
(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/7/9
2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
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此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
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5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
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在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
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此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
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（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
6秩亏自由网平差S的求法与基准解析
a jh
(
y
0 h
y
0 j
)
(
s
0 jh
)
2
, b jh
(x
0 h
x
0 j
)
(s
0 jh
)
2
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之
差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故
系数阵中的每一行元素结构总是形如
(a jh a jk ) (bjh bjk ) a jh bjh a jk bjk
• 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225.
• /special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
1
0
1
0 1
0
m
m
m
GT
0
y10
1
0
m
x10
y
0 2
1 0
m
x
0 2
y
0 m
1
m xm0
H H
HH
H H
此时
1 0 0
G TG 0 1 0 I
0 0 1
➢ 由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。
秩亏自由网平差的解法
秩亏G-M模型：
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min
Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min
Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于
地铁隧道结构沉降监测数据处理与分析系统的设计与实现
沉 降监 测基 准 网 由水 准基 点 和工 作 基 点 构
成 。 由 于狭 长 的 地 铁 隧 道 使 得 监 测 基 准 网 的 网 形呈现较 长 的带 状 形式 ， 水 准基 点 远 离 隧道 ， 加 之隧道 内光 线 昏暗 ， 能见 度 低 ， 给 观 测 成 果 带 来
１ ２
选择 相应 的平差 方法 。
检验， 判 定 整 个 基 准 网 的稳 定 性 。若 不 显 著 ， 则 表 明基 准 网稳 定 。若 显 著 则 采 用 单 点 位 移 分 量 法 对 基 准 网的基 点进行 逐 个 检 验 ， 判 定 各 工 作基 点 的稳
定性 。
１ ． ２ ． ３ 单 点位移 分量 法
现
代
测
绘
第３ ６ 卷
行分 析 ， 本文根据地铁沉 降变形实际 ， 主要 分 析 如
该法 是 在 平 均 间 隙法 对 基 准 网进 行 整 体 性 检
验显 著后 注
意 的是 ， 该 法 是 在 两 期 同精 度 观 测 的条 件 下 进 行 的， 因此 在进 行 该 项 检 验 前 ， 先 要 进 行 Ｆ 检 验 判 断 两期 观测 精度 是否 相 同 。
法， 对地铁结构沉 降监测数据 处理与分析 系统的设计 与 实现进 行 了深入研 究 ， 经某地铁监 测 实际应 用表 明该 系统 具有较好 的 实用性和较 高的可靠性 ， 为类似 系统提供 了借 鉴。
关键词 地铁 隧 道 结 构 沉 降监 测 数据 处理与分析 沉 降监 测 系统
中图分类 号 ： Ｔ Ｕ １ ９ ６
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ —４ ０ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ ５ —０ ０ １ １ —０ ３
秩亏自由网平差
ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若
rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1
自 由 网 平 差
自由网平差班级：测绘0911 学号：姓名：日期：一、实验分析（1）实验的目的1.熟悉广义逆的概念和计算当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。
（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）2.了解秩亏自由网平差的原理和方法秩亏自由网平差的原理:误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1平差原则：V T PV=min，X T X=min法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl,单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B))X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。
由误差方程式，顾及Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T秩亏自由网平差的方法:第一步：求得误差方程：V=BX-l第二步：组成法方程:NX=B T Pl第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-第四步：计算X=Nm-B T l第五步：平差结果的计算第六步：X的协因数计算Q XX=N+3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。
城市轨道交通工程精密导线网的稳定性分析方法与应用
级 是卫 星定 位控 制 网 ， 二 级 是精 密导 线 网 。精 密 导
最小 范数 条件 ：
殳 殳 ＝ｍ ｉ ｎ （ ４ ）
３ ． ３ 拟 稳基 准 与拟 稳平 差
控制 网 中 部 分 点 对 于 另 一 部 分 点 是 相 对 稳 定 的， 可采用 拟稳 平 差 。以拟 稳 基 准 为 平 差基 准 的秩 亏 自由网平差 称 为 拟 稳 平 差 。将 网 中 参数 分 两 类 ， 不稳 定 的点 Ｘ 和稳定 点 Ｘｚ 。
ＰＶ — ｍｉ ｎ （ １ ）
法， 主要用于控制 网整体位移显著性 检验 。采用 任 意两周期 （ 第 ， 两期） 的观测成果分别进行平差后
由平差 改正 数可 计算 单位 权方 差 的估值 ：
２ ． ２ 重 心基 准 与秩 亏 自由 网平 差及 最小 范数解 秩亏 自由网平 差 以 网 的重 心 为 基 准 ， 该 基 准 在 平 差前 后保 持 不 变 。当 控 制 网 的稳 定 情 况 不 明 时 ， 可采用 秩 亏 自由网平 差法 ， 其平 差模 型 为 ：
关键词
城市轨道 交通
精 密导 线控制 网 稳 定性 分析
文献标识码 ： Ａ
平均 间隙法 ； 分块 间隙法
单点位移分量 法
中图分类号 ： Ｐ ２ ２ １
文章编号 ： １ ６ ７ ２—４ ０ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２—０ ０ ０ ６ 一ｏ ４
Ｖ — Ｂ 一 ｚ
１ 引
定 期复测 并 就控制 网的稳定 性进 行分 析 。
Ｂ 殳 一 ｚ 一 （ Ｂ ｌ Ｂ ２ ） ｆ ＼ ｘ ｌ １ ／ 一 ｚ （ 式 中 ： 撕 ＋ 地 一 ， ＞
（ ５ ）
２ 平差基准的选择
最小 范数 条件 ：
殳 殳 ＝ｍ ｉ ｎ （ ４ ）
３ ． ３ 拟 稳基 准 与拟 稳平 差
控制 网 中 部 分 点 对 于 另 一 部 分 点 是 相 对 稳 定 的， 可采用 拟稳 平 差 。以拟 稳 基 准 为 平 差基 准 的秩 亏 自由网平差 称 为 拟 稳 平 差 。将 网 中 参数 分 两 类 ， 不稳 定 的点 Ｘ 和稳定 点 Ｘｚ 。
ＰＶ — ｍｉ ｎ （ １ ）
法， 主要用于控制 网整体位移显著性 检验 。采用 任 意两周期 （ 第 ， 两期） 的观测成果分别进行平差后
由平差 改正 数可 计算 单位 权方 差 的估值 ：
２ ． ２ 重 心基 准 与秩 亏 自由 网平 差及 最小 范数解 秩亏 自由网平 差 以 网 的重 心 为 基 准 ， 该 基 准 在 平 差前 后保 持 不 变 。当 控 制 网 的稳 定 情 况 不 明 时 ， 可采用 秩 亏 自由网平 差法 ， 其平 差模 型 为 ：
关键词
城市轨道 交通
精 密导 线控制 网 稳 定性 分析
文献标识码 ： Ａ
平均 间隙法 ； 分块 间隙法
单点位移分量 法
中图分类号 ： Ｐ ２ ２ １
文章编号 ： １ ６ ７ ２—４ ０ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２—０ ０ ０ ６ 一ｏ ４
Ｖ — Ｂ 一 ｚ
１ 引
定 期复测 并 就控制 网的稳定 性进 行分 析 。
Ｂ 殳 一 ｚ 一 （ Ｂ ｌ Ｂ ２ ） ｆ ＼ ｘ ｌ １ ／ 一 ｚ （ 式 中 ： 撕 ＋ 地 一 ， ＞
（ ５ ）
２ 平差基准的选择
3第二章 秩亏自由网平差原理综述
ˆ Qˆ 普通秩亏网平差： X r 、 Xr ˆ 、Q ˆ 普通拟稳平差： X XS S ˆ 、Q ˆ 经典自由网平差： X C XC
ˆ L 0 1 X V1 1 1 1 V 1 1 X ˆ L 0 2 2 2 ˆ L V3 0 1 1 X 3 3 1 0 1 1 0 A 1 1 0 =0 1 1 0 1 1
第一专题： 秩亏自由网平差
长安大学地测学院 赵超英 zhaochaoying@
主要内容
问题的引入 秩亏自由网平差的原理 广义逆的补充知识 秩亏自由网平差的解法 秩亏自由网平差解的性质
一、问题的引入
1、四个例子、两个概念
例1： 设有水准网，如图所示，假设 x3 为已知高程，
1、秩亏网最小二乘解： i）假定某些差数固定——设定基准
V AX L R ( A) t 0 , d 0 V T PV m in 得：
NX AT PL R( A) t 0 ˆ N 1 AT PL X
1
N
——正则逆（凯莱逆）
ii)不设基准 R( A) t 0 t , d d 0
三种自由网平差间的关系
加权包含了普通与拟稳秩亏网平差是一种普通形式。
当 Px I 时 ˆTP X ˆ X ˆ T X min X x
PX 2 当 Px
0 0 时，则 = PX I 0 I
T 0 0 X T T I X X T X min 0 I X
R( N ) t 0 t 秩亏 凯莱逆不存在： NN NN 广义逆 N 不唯一， X N AT PL ( I N N )M ，其中M是任意向量，解不 唯一。 注意： N N I
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m T
图 1 水准网
( 6) 解 : 取各点近似高程为 H 1 = 0, H 2 = 12. 345m, H 3 = 15. 823m 误差方程为 v1 v2 = v3 法方程为 - 1 0 1 1 - 1 0 0 1 - 1 x1 x2 = x3 x1 x2 x3 6 0 - 6 0 0 6
0 0 0
2
秩亏自由网的直接解法
根据广义逆理论 , N^ x - W = 0 虽然有无穷多组
解, 但它有唯一的最小范数解 , 即: xr = N m W ^ 式中 N
- 1 m -1
( 5)
= N ( NN )
T
T
-
为矩阵 N 的最 小范数逆。
T T -
代入 ( 5) 式得 : x r = N ( NN ) W ^ 公式 ( 5) , 其最小范数解却是唯一的。 下面对最小范数解的唯一性给出了证明: 设有 两个最小范数逆 N m 1 和 N m2 , 相应的最小范数解为 X1 = N m1 A Pl ,
m
1
6 - 3 - 3 - 3 6 - 3 - 3 - 3 6
为验证不同最小范数逆得出相同的最小范数解, 用 两种方法计算( NN ) 从而得出两个不同的 N m 。 1) 因 R ( N ) = 2, R ( NN ) = 2, 在 NN 中取左上 角二阶行列式不为零的子阵并求逆得 - 3 , - 3 6 6
T
6 - 3 - 3 6 - 3 - 3 1 0 - 1
则
0 1 - 1 使 R ( B ) = R ( C ) = R ( NN ) = 2。 B
-1 L
C=
= ( B B)
T
-1
1 9 0 - 9 B = 81 0 9 - 9
T -1
C R = C ( CC ) 于是 ( NN ) = C B
-1 R - 1 L
自由 网平差的直接解法 , 然后提出了最小范数逆不唯一而 最小范数解唯一的特性 , 并对该唯一 性进行了 证明 , 最 后 通过对水准网进行解算 , 验证了该唯一性的正确 性。 关键词 秩亏自由网平差 最小范数解 唯一性
Analysis of Uniqueness of Minimum Norm Solution in Rank Deficient Free Network Adjustment
-1
T
T
- 1 1 = - 1 2 3 - 1 - 1
2
2 - 1 - 1 1 = - 1 2 - 1 27 - 1 - 1 2
N
m
2
2 - 1 - 1 1 = N ( NN ) = - 1 2 - 1 9 - 1 - 1 2
-
( 上接第 21 页 ) 参考文献
1 彭伟 , 吴剑锋 , 吴 吉春 . NPGA - GW 在地 下水系 统多 目标 优化管理中 的应用 . 高校地质学报 , 2008, 14( 4) : 631~ 636 2 Tan C C, Tung C P, Chen C H. An integrated optimization al gorithm for parameter structure identification in groundwater modeling. Advances in Water Resources, 2008, 31( 3) : 545~ 560 3 McKinney D C, L in M D. Genetic algorithm solution of ground water management problems. Water Resources Research, 1994, 30( 6) : 1897~ 1906 4 Zheng C, Wang P P. A field demonstration of the simulation optimization approach for remediation system design. Ground Water, 2002, 40 ( 3) : 258~ 265 5 邵 景力 , 魏加 华 , 崔亚 莉 , 等 . 用 遗传 算法 求解 地下 水资 源管理 模 型 . 地 球 科 学 中 国 地 质 大 学 学 报 , 1998, 23 ( 5) : 532~ 536 6 吴剑锋 , 朱学愚 , 刘建立 . 基于 遗传算法 的模拟退火 罚函 数方法 求解地下水 管理模型 . 中国 科学 ( E 辑 ) , 1999, 29 ( 5) : 474~ 480
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勘
察
科
学
技
术
2011 年第 1 期
秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析
王 帅
1, 2
高井祥
1
( 1. 中国矿业大学 江苏省资源环境信息工程重点实验室 2. 中国矿业大学国土环 境与灾害监测国家测绘局重点实验室
江苏 徐州 江苏 徐州
221116 221116)
提 要
为分 析秩亏自由网平差最小范数解的唯一性 , 该文 首先介 绍了秩亏 自由网 平差方 法的原 理 , 给 出了秩 亏
-
-
T
- N 2 ) A Pl = O
T
m
T
M=
N m1 A Pl - N m2 A Pl = O
T
24 M
-1
勘 1 6 3 1 2 = = 27 3 6 9 1
-
察
科
学 故
技
术 X = N m1 A l = X = N m2 A l =
T T
2011 年第 1 期 2 0 - 2 2 0 - 2
Wang Shuai Gao Jingxiang ( 1. Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, China University of Mining and Technology 2. Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM, China University of Mining and Technology) Abstract To analyze the uniqueness of minimum norm solut ion in rank deficient free network adjustment, this article first introduces the principle of rank deficient free network adjustment, a direct method of rank defect free net adjustment is given, then proposes the characterist ics of minimum norm inverse is not unique, but mini mum norm solution unique, and the uniqueness is proved. Finally, through the solution of leveling network, the correctness of uniqueness is verified. Keywords rank deficient free network adjustment; minimum norm solution; uniqueness 误差方程 , 此时的坐标参数个数比间接平差相应参 数多了 d 个, d 就是间接平差中必要起始数据的个 数。在这种情况下 , 误差方程为 ,
1 陶本藻 . 自由网平差 与变形 分析 . 武汉 : 武 汉测绘 科技 大 学出版社 , 2001 2 崔希璋 , 於宗俦 , 陶本藻 , 等 . 广义测量平 差 . 武 汉 : 武汉 大 学出版社 , 2009 3 武汉大学测绘学 院测量 平差学 科组 . 误差 理论与 测量 平 差基础 . 武汉 : 武汉大学出版社 , 2003 4 黄维彬 . 近代 平 差理 论及 其 应用 . 北 京 : 解 放军 出 版社 , 1992 5 香铁定 , 周世 健 , 官 云兰 , 等 . 秩亏 自由 网 的一 种直 接 解 法 . 矿山测量 , 2001, ( 2) : 41~ 43 6 张书毕 , 单世坤 , 王坚 . 秩亏自由网逐次平差及 其应用 . 测 绘通报 , 2001, ( 8) : 26~ 28
最小范数逆并不唯一, 但不论哪个最小范数逆代入
X 2 = N m 2 A Pl
-
T
因为最小范数逆满足下列两个方程 : NN N = N ( N N) 所以 N = ( NN N ) = ( N N ) N = N NN N 即
m
1
m
T
= N N
m T T m T T
m
T
m
T
NN = N ,
-
T
T
N
m
V = nBu u^ x 1 - n l1
( 4)
式中 u 为网中全部点坐标参数的个数, 系数阵的秩 R ( B ) = t < u , 秩亏数 d = u - t , 按最小二乘原理, V PV= min, P 为非奇异 , 所得法方程为 N^ x= W W= B PB, R ( N ) = t < u , N 奇异 , 法方程具有无
T T
2011 年第 1 期 穷多组解。
勘 察
科
学
技
术 N m 1 A Pl = N m2 A Pl
T T
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所以 数解唯一。
不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要 的起算数据的个数。即有 : d = 1, 水准网 3, 测边网, 边角网, 导线网 4, 测角网 在控制网秩亏的情况下, 法方程有解但不唯一。 也就是说仅满足最小二乘准则 , 仍无法求得 ^ x 的唯 一解, 这就是秩亏 网平差与经典平 差的根本区别。 为求得唯一解, 还必须增加新的约束条件, 来达到求 唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二 乘 V PV= min 和最小范数 ^ x^ x = min 的条件下 , 求 参数一组最佳估值的平差方法。
图 1 水准网
( 6) 解 : 取各点近似高程为 H 1 = 0, H 2 = 12. 345m, H 3 = 15. 823m 误差方程为 v1 v2 = v3 法方程为 - 1 0 1 1 - 1 0 0 1 - 1 x1 x2 = x3 x1 x2 x3 6 0 - 6 0 0 6
0 0 0
2
秩亏自由网的直接解法
根据广义逆理论 , N^ x - W = 0 虽然有无穷多组
解, 但它有唯一的最小范数解 , 即: xr = N m W ^ 式中 N
- 1 m -1
( 5)
= N ( NN )
T
T
-
为矩阵 N 的最 小范数逆。
T T -
代入 ( 5) 式得 : x r = N ( NN ) W ^ 公式 ( 5) , 其最小范数解却是唯一的。 下面对最小范数解的唯一性给出了证明: 设有 两个最小范数逆 N m 1 和 N m2 , 相应的最小范数解为 X1 = N m1 A Pl ,
m
1
6 - 3 - 3 - 3 6 - 3 - 3 - 3 6
为验证不同最小范数逆得出相同的最小范数解, 用 两种方法计算( NN ) 从而得出两个不同的 N m 。 1) 因 R ( N ) = 2, R ( NN ) = 2, 在 NN 中取左上 角二阶行列式不为零的子阵并求逆得 - 3 , - 3 6 6
T
6 - 3 - 3 6 - 3 - 3 1 0 - 1
则
0 1 - 1 使 R ( B ) = R ( C ) = R ( NN ) = 2。 B
-1 L
C=
= ( B B)
T
-1
1 9 0 - 9 B = 81 0 9 - 9
T -1
C R = C ( CC ) 于是 ( NN ) = C B
-1 R - 1 L
自由 网平差的直接解法 , 然后提出了最小范数逆不唯一而 最小范数解唯一的特性 , 并对该唯一 性进行了 证明 , 最 后 通过对水准网进行解算 , 验证了该唯一性的正确 性。 关键词 秩亏自由网平差 最小范数解 唯一性
Analysis of Uniqueness of Minimum Norm Solution in Rank Deficient Free Network Adjustment
-1
T
T
- 1 1 = - 1 2 3 - 1 - 1
2
2 - 1 - 1 1 = - 1 2 - 1 27 - 1 - 1 2
N
m
2
2 - 1 - 1 1 = N ( NN ) = - 1 2 - 1 9 - 1 - 1 2
-
( 上接第 21 页 ) 参考文献
1 彭伟 , 吴剑锋 , 吴 吉春 . NPGA - GW 在地 下水系 统多 目标 优化管理中 的应用 . 高校地质学报 , 2008, 14( 4) : 631~ 636 2 Tan C C, Tung C P, Chen C H. An integrated optimization al gorithm for parameter structure identification in groundwater modeling. Advances in Water Resources, 2008, 31( 3) : 545~ 560 3 McKinney D C, L in M D. Genetic algorithm solution of ground water management problems. Water Resources Research, 1994, 30( 6) : 1897~ 1906 4 Zheng C, Wang P P. A field demonstration of the simulation optimization approach for remediation system design. Ground Water, 2002, 40 ( 3) : 258~ 265 5 邵 景力 , 魏加 华 , 崔亚 莉 , 等 . 用 遗传 算法 求解 地下 水资 源管理 模 型 . 地 球 科 学 中 国 地 质 大 学 学 报 , 1998, 23 ( 5) : 532~ 536 6 吴剑锋 , 朱学愚 , 刘建立 . 基于 遗传算法 的模拟退火 罚函 数方法 求解地下水 管理模型 . 中国 科学 ( E 辑 ) , 1999, 29 ( 5) : 474~ 480
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2011 年第 1 期
秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析
王 帅
1, 2
高井祥
1
( 1. 中国矿业大学 江苏省资源环境信息工程重点实验室 2. 中国矿业大学国土环 境与灾害监测国家测绘局重点实验室
江苏 徐州 江苏 徐州
221116 221116)
提 要
为分 析秩亏自由网平差最小范数解的唯一性 , 该文 首先介 绍了秩亏 自由网 平差方 法的原 理 , 给 出了秩 亏
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- N 2 ) A Pl = O
T
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N m1 A Pl - N m2 A Pl = O
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24 M
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勘 1 6 3 1 2 = = 27 3 6 9 1
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科
学 故
技
术 X = N m1 A l = X = N m2 A l =
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Wang Shuai Gao Jingxiang ( 1. Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, China University of Mining and Technology 2. Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM, China University of Mining and Technology) Abstract To analyze the uniqueness of minimum norm solut ion in rank deficient free network adjustment, this article first introduces the principle of rank deficient free network adjustment, a direct method of rank defect free net adjustment is given, then proposes the characterist ics of minimum norm inverse is not unique, but mini mum norm solution unique, and the uniqueness is proved. Finally, through the solution of leveling network, the correctness of uniqueness is verified. Keywords rank deficient free network adjustment; minimum norm solution; uniqueness 误差方程 , 此时的坐标参数个数比间接平差相应参 数多了 d 个, d 就是间接平差中必要起始数据的个 数。在这种情况下 , 误差方程为 ,
1 陶本藻 . 自由网平差 与变形 分析 . 武汉 : 武 汉测绘 科技 大 学出版社 , 2001 2 崔希璋 , 於宗俦 , 陶本藻 , 等 . 广义测量平 差 . 武 汉 : 武汉 大 学出版社 , 2009 3 武汉大学测绘学 院测量 平差学 科组 . 误差 理论与 测量 平 差基础 . 武汉 : 武汉大学出版社 , 2003 4 黄维彬 . 近代 平 差理 论及 其 应用 . 北 京 : 解 放军 出 版社 , 1992 5 香铁定 , 周世 健 , 官 云兰 , 等 . 秩亏 自由 网 的一 种直 接 解 法 . 矿山测量 , 2001, ( 2) : 41~ 43 6 张书毕 , 单世坤 , 王坚 . 秩亏自由网逐次平差及 其应用 . 测 绘通报 , 2001, ( 8) : 26~ 28
最小范数逆并不唯一, 但不论哪个最小范数逆代入
X 2 = N m 2 A Pl
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因为最小范数逆满足下列两个方程 : NN N = N ( N N) 所以 N = ( NN N ) = ( N N ) N = N NN N 即
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= N N
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NN = N ,
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V = nBu u^ x 1 - n l1
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式中 u 为网中全部点坐标参数的个数, 系数阵的秩 R ( B ) = t < u , 秩亏数 d = u - t , 按最小二乘原理, V PV= min, P 为非奇异 , 所得法方程为 N^ x= W W= B PB, R ( N ) = t < u , N 奇异 , 法方程具有无
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2011 年第 1 期 穷多组解。
勘 察
科
学
技
术 N m 1 A Pl = N m2 A Pl
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所以 数解唯一。
不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要 的起算数据的个数。即有 : d = 1, 水准网 3, 测边网, 边角网, 导线网 4, 测角网 在控制网秩亏的情况下, 法方程有解但不唯一。 也就是说仅满足最小二乘准则 , 仍无法求得 ^ x 的唯 一解, 这就是秩亏 网平差与经典平 差的根本区别。 为求得唯一解, 还必须增加新的约束条件, 来达到求 唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二 乘 V PV= min 和最小范数 ^ x^ x = min 的条件下 , 求 参数一组最佳估值的平差方法。