北师大版数学八上探索勾股定理3篇

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北师大版-数学-八年级上册-《勾股定理》教学分析与建议

北师大版八年级数学（上）第一章勾股定理教学分析与建议一、主要内容勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。

它是几何学中的重要的定理之一。

教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探索勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。

当然限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复杂计算。

二、评价建议1，关注对探索勾股定理等活动的评价。

一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，是否能够进行积极的思考，在活动中学生所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。

2，关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。

注意评价时，不应以复杂运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确使用。

三、教学目标l．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。

四、教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。

勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

2024年北师大版八年级上册第一章勾股定理第一章勾股定理

一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“勾股定理”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理.通过信息技术的演示或者代数推理,让学生掌握勾股定理并会验证勾股定理,进而应用勾股定理解决生活中的数学问题.探索勾股定理及其逆定理,并能运用他们解决一些简单的实际问题是课标对勾股定理的直接要求.在前面学生已经掌握了三角形的基本性质,研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识,还研究了当三角形一个角是90°,即直角三角形的相关性质.对于直角三角形三边之间的关系将在本章研究.本章主要内容是勾股定理及其逆定理,勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系,是直角三角形非常重要的性质,它可以用来解决许多直角三角形的计算问题,是解直角三角形的重要工具之一,是搭建代数与几何的重要桥梁.同时本章对于渗透数学文化有着很好的载体,相关素材对于培养学生的民族自豪感,开展学科德育教育有积极的意义和作用.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第一章“勾股定理”,本章包括三个小节:1.1探索勾股定理;1.2一定是直角三角形吗;1.3勾股定理的应用.本章内容主要研究勾股定理及其逆定理,包括发现、证明、应用三个环节.首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理.然后运用勾股定理解决问题,在此基础上引入勾股定理的逆定理.在勾股定理和其逆定理的探索过程中,要引导学生观察、归纳和总结,并将结论运用到问题解决中,注意体会数形结合、转化等数学思想.在实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,是数形结合的典范,是直角三角形特有的性质,可以解决许多直角三角形中的计算问题.本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用.本章主要有如下特点:1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理,是通过问题引出的.2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来.3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重.本章节勾股定理的背景资料非常丰富,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理丰富的文化内涵,激发学生的学习兴趣.通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情,培养学生的民族自豪感.三、单元学情分析本单元内容是北师大版数学八年级上册第一章勾股定理,学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助,但本章内容思维量大,对思维的严谨、归纳推理能力要求较高,学生学起来有一点的难度.八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力.他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法(包括割补、拼接),但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够.另外,学生普遍学习积极性较高,课堂活动参与较主动,但合作交流的能力还有待加强.四、单元学习目标1.在研究图形性质和运动等过程中,进一步发展空间观念,培养学生几何直观和抽象能力的核心素养.2.在多种形式的数学活动中,发展合情推理能力,培养学生推理能力、运算能力.3.经历从不同角度分析问题和解决问题,体验解决问题方法的多样性,发展学生创新意识.4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》要求设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理勾股定理

1.1探索勾股定理第2课时验证和应用勾股定理学习目标1.学会用几种方法验证勾股定理．2.能够运用勾股定理解决简单问题．学习过程预习：一、勾股定理的验证活动：1、请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．2、大正方形的面积可以表示为也可以表示为3、结论习得：思想：方法：二、勾股定理的简单应用例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?变式：1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（)A.50米B.120米C.100米D.130米（例1图）（变式1图）例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．变式：2.如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?（例2图）（变式2图）习得：1、勾股定理的使用前提：2、求线段长的方法之一：三、小结互助分享1、组内分享你学到了哪些重要的解题思想、解题方法以及注意事项？2、你还需要解决的疑惑找组内成员解决.3、总结本小组在课堂中的表现.四、限时训练：1.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC=______．（1题图）（2题图）（3题图）2.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来的高度为3．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，⊥B=⊥ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.五、作业布置：A层：小青P3—4（11题不做）B层：小青P3—4：1—12题（11题不做）。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

cbaD CAB第一章勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：；（给出证明） ⑷三边之间的关系：。

知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：例2。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：知识点四：勾股定理简单应用在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形．利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为（）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是（）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。

北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】

第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m的半圆形，一个长、宽、高分别是 m、1 m、 m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.【综合Ⅱ】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程＋等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）.（A ）6 （B ）（C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 的面积.、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。

八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理数学家故事毕达哥拉斯素材北师大版

数学家故事·毕达哥拉斯无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。

以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。

后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。

毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。

例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。

他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。

当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。

“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。

但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线()却不能用整数之比来表达。

这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在 (即无理数)的秘密。

天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。

但很快就引起了数学思想的大革命。

科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。

北师大版数学八年级上册课件第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)

北师大版八年级数学上册第一章第一节
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希腊著名的数学家、哲学家.
发现了直角三角形三边的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请你在小组内交流.
知识：勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业

北师大版数学八年级上册认识勾股定理

C A
正方形的面积为单位 1). B
C A
B
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 4
9
右图 16
9
？怎样计算正方？形 C 的面积呢？
方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.
方法二：补
方法三：拼
补成大正方形，将几个小块拼成若干
用大正方形的面个小正方形，图中两
积减去四个直角块红色（或绿色）可
练一练
求下列直角三角形中未知边的长：
8
17
x 解：由勾股定理可得
82 + x2 = 172，
x = 15.
12 5
x
解：由勾股定理可得 52 + 122 = x2，
x = 13.
知识链接
穿越毕达哥拉斯做客现场我们一起穿越到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯
再去他那位老朋友家做客，
看到他朋友家用砖铺成的地
三角形的面积. 拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？ A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
做一做分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝
9 2
.
方法总结
求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．

北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件

“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
在中国古代，
斜边称为弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角形尝试证明一下吧？
语言表述：几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？

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文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 1.1探索勾股定理（一）教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。难点：勾股定理的发现教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。三、议一议文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 1、图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c

那么222cba 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立）四、想一想这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢五、巩固练习 1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边解：由于三角形的两边为3、4

所以它的第三边的c应满足22243c=25 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据

（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足222cba，题目中并为交待C 是斜边综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、练习P6 §1.1 1 六、作业 1.1探索勾股定理（二）教学目标：文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理和他的简单应用重点难点：重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理教学过程七、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有这几种可能：（1）)(22ba （2）2421cab ）在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。 22ba=2421cab

请同学们对上面的式子进行化简，得到：即 22ba=2c 这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理八、讲例 1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的4000,90ACc米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道

飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得千米）(94522222ACABBC 即BC=3千米文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 4文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：答：飞机每个小时飞行540千米。九、议一议展示投影2（书中的图1—9）

观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足222cba 同学在议论交流形成共识之后，老师总结勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。十、作业 1、 1、课文 P9§1.2 1§1. 1 、2 2、选用作业。第一章勾股定理

1.1探索勾股定理教材义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值教学目标 1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。 3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。教学重点、难点重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 教学方法选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。教具准备多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。教学过程一、创设情境，引入新课（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。）二、师生互动，探究新知活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？你是怎样得出上面结果的呢？（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多媒体演示）（过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于下面图2中的正方形C， “数方格子”的方法还行得通吗？下面我们一起来研究。活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？你是怎样得出结果的呢？（师）我们用数方格子的方法能算出正方形C的面积吗？参考弦图，你想到什么好方法了吗？（引出“割”法）大家想一想还有没有其它方法呢？受“割”法的启示，我们能通过“补”的方法得出结论吗？（生）独立思考，在预先准备的方格纸上将图形剪一剪、拼一拼，用分割成四个全等直角三角形的方法或将正方形C补成边长为整数的大正方形的方法求出斜边上的正方形C文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 6文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 的面积。接着将成果与同伴交流，学生代表发言。活动3：分工1：（如图3）请每个小组两名组员试着将手中的已剪好的四个全等的四边形拼成正方形B。分工2：（如图4）另两名组员再将同样的四个四边形和正方形A一起拼成一个大正方形C。

图3 图4

思考： 1、等腰直角三角形（师）观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和已计算的正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系？结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 2、直角边长为整数的一般直角三角形（师）观察图6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 3、任意直角三角形（师）那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗？（出示图7）生合作：试着将已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如图7所示的图形。

图7 图8

三角形的形状

正方形A 面积正方形 B 面积正方形

C 面积一般直角三角形

三角形的形状正方形A 面积正方形 B 面积正方形C 面积

等腰直角三角形

A B C

② ① ③ ④

① ②

③ ④ A

② ① ③ ④ A