线段与角的和差倍分计算

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新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =．答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍．举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40．答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

第三讲--线段的和差倍分问题

如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。

线段与角的和差倍分计算

线段与角的和差倍分计算
在几何学中，我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。

这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。

本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。

一、线段的和、差计算
1.线段的和计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的和，即线段AB+BC。

计算方法是将线段AB和BC的长度相加，即AB+BC。

2.线段的差计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的差，即线段AB-BC。

计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度，
即AB-BC。

二、角的和、差计算
1.角的和计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的和，即
角α+角β。

计算方法是将两个角的度数相加，即α+β。

2.角的差计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的差，即
角α-角β。

计算方法是将角α的度数减去角β的度数，即α-β。

三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算：给定线段AB，我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。

计算方法是将线段AB的长度除以2或4，即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算：给定角α，我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。

计算方法是将角α的度数除以2或4，即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。

在实际应用中，我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算，例如角的补角、互补角和对应角等关系。

线段与角的和差倍分计算

线段与角的和差倍分计算一、线段的和差倍分计算已知线段AB＝a，延长BA至点C，使AC＝AB.D为线段BC的中点。

求CD的长度和a的值。

解析：根据线段的定理，AC=AB+BC，又因为BC=2CD，所以AC=AB+2CD。

又因为AC=2AB.D，所以AB+2CD=2AB.D，化简得CD=(2D-1/2)a，a=3AD。

在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求BC的长度。

解析：因为O是AC的中点，所以OC=OA，又因为OB=1.5 cm，所以BC=BO+OC=1.5+OA。

根据勾股定理，OA^2+AC^2=OC^2，代入已知条件，得到OA=√(25-3.75)=4.3301.所以BC=1.5+4.3301=5.8301，约等于6 cm。

某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，___。

现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在哪里？解析：根据三角形中位线定理，AC^2+BD^2=2AM^2+2MC^2.又因为AC=CD=DB，所以AM=MC=MD=MB=AC/2=CD/2=DB/2.所以AC^2+BD^2=4AM^2+4MC^2=8AM^2，所以AM^2=(AC^2+BD^2)/8.因为AC=CD=DB=AB/3，所以AB^2=3AC^2=3BD^2，代入上式得到AM^2=AB^2/12.所以M在AB的中点。

点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度。

解析：根据线段的定理，AC=AB/2=2cm，BD=AB/2=2cm，又因为CD=AC/2=1cm，所以CD的长度为1cm。

已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长。

解析：根据线段的定理，AC+CB=AB，所以AB=AC+CB=8+2EB=18.又因为D和E分别是AB和CB的中点，所以DE=AD-EB=AB/2-EB=9/2.线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长。

角的度量与计算

角的度量与计算角是几何学中常见的基本概念，用于描述两条线段之间的夹角或者两条射线之间的夹角。

想要精确地度量和计算角的大小，需要了解角的度量单位、角的类型以及角的计算公式等知识。

一、角的度量单位1. 弧度：弧度是用于度量角的标准单位，记作rad。

一个完整的圆周包含2π（约等于6.28）弧度，即360°等于2π弧度。

2. 度：度是另一种常见的角度量单位，记作°。

一个完整的圆周包含360度，即2π弧度等于360°。

二、角的类型1. 零角：零角是指两条相互重合的射线所形成的角，度数为0°，弧度数为0 rad。

2. 钝角：钝角是指大于90°但小于180°的角。

3. 直角：直角是指度数为90°，弧度数为π/2的角。

直角十分特殊，两条构成直角的射线互相垂直。

4. 锐角：锐角是指小于90°但大于0°的角。

5. 平角：平角是指度数为180°，弧度数为π的角。

平角表示两条射线平行。

三、角的计算公式1. 弧度与度的转换：弧度 = 度数× (π / 180)度数 = 弧度× (180 / π)2. 两个角的和/差：两个角的和等于它们的度数或弧度数之和，如 A + B。

两个角的差等于它们的度数或弧度数之差，如 A - B。

3. 角的倍数：一个角的 n 倍角等于它的度数或弧度数乘以 n，如 nA。

4. 角的补角/余角：一个角的补角是指与其相加等于 90°（或π/2弧度）的角，如 A 的补角为 90° - A。

一个角的余角是指与其相减等于 90°（或π/2弧度）的角，如 A 的余角为 A - 90°。

5. 角的相等/相似：两个角相等，意味着它们的度数或弧度数相等，如 A = B。

两个角相似，意味着它们的度数或弧度数成比例，如 A∽B。

四、角的计算实例1. 例题一：已知 A = 30°，求 A 的补角和余角。

三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)

四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。

(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。

(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。

后两种方法，就是通常所说的截长补短。

例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。

（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。

（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。

分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。

“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。

(完整版)线段和角知识点

线段、射线、直线线段射线直线端点个数两个一个没有延伸情况没有延伸向一个方向延伸向两个方向延伸长度有长度可以测量没有长度不能测量没有长度不能测量表示方法 ①用表示两个端点的大写字母（无序） ②用一个小写字母用两个大写字母，其中表示端点的字母写在前面（有序） ①用直线上表示任意两个点的大写字母（无序）②用一个小写字母表示1、线段的性质：两点之间，线段最短。

2、两点间的距离：连接两点之间的线段的长度。

三、直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。

四、线段的长短比较方法：度量法和叠合法五、画一条线段等于已知线段：1、画一条线段等于已知线段是用直尺和圆规的第一个基本作图，直尺的作用是画直线、射线或线段，圆规的作用是画弧、截取等长的线段。

2、常见的作图语言：①作射线××；②在射线××上截取××=××；③在线段××上截取××=××；则××就是所要求作的××。

说明：作图时用的直尺是没有刻度的，因此作图的痕迹要保留。

六、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

如图所示点C 是线段AB 的中点，则有①AB=2AC=2BC ，②AC=BC=21AB 。

七、线段的和、差、倍、分的计算：1、逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和差倍分展开。

若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解。

2、整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将所求的线段转化为两条线段的和或差，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段。

3、构造方程：利用各段线段的比值及中点关系建立起方程，求出未知数的值。

注意：有关线段长度的计算如果没有图形，题中又没有明确的点的位置，应该全面考虑，注意条件中的图形的多样性，防止漏解。

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专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62]
一线段的和差倍分计算
教材P153作业题第4题)
已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1
2AB.D为线段BC的中点．
(1)求CD的长；
(2)若AD＝3 cm，求a的值．
在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC
的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是()
A．6 cm B．8 cm
C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm
如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，
AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在()
A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，
求线段CD的长度．
如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB
的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．
如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN ＝2 cm ，求AB 的长．
如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝2 cm ，求AB 的长．
如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段
AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪b 2－4＝0.求线段MN 的长度．
二角的和差倍分计算
如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数．
已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小
30°，求∠α，∠β.
如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠COD 的度数．。

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