教材回归(七) 线段与角的和差倍分及计算
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
2019人教版七年级数学上册复习课件：教材回归(七) 线段与角的和差倍分及计算
【思想方法】
(1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算；
(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论； (3)对于比较复杂的题目，可设某条线段为 x，再结合已知量找出等量关系， 列一元一次方程求解； (4)结论：已知线段 AB，点 C 是线段 AB 上任意一点，点 M，N 分别是线段 1 AC 与线段 BC 的中点，则 MN＝ AB. 2
如答图 4，∠MON＝(90° －α)－(90° －α－α)＝α. 故∠MON 的度数为 α 或 180° －α 或 180° －3α.
[2017· 长春一模]如图(1)，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC， ∠AOC＝30° ，将一直角三角板(∠M＝30° )的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射 线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． (1)将图(1)中的三角板绕点 O 以每秒 3° 的速度沿顺时针方向旋转一周．如图 (2)，经过 t 秒后，OM 恰好平分∠BOC. ①求 t 的值； ②此时 ON 是否平分∠AOC ？请说明理∠DON 的度数．
解：(1)∵∠BOC＝120° ， ∴∠AOC＝180° －120° ＝60° . ∵∠AON＝150° ，∴∠BON＝180° －150° ＝30° . ∵OB 平分∠MON，∴∠BOM＝∠BON＝30° ， ∴∠COM＝180° －∠AOC－∠BOM＝90° . (2)∵由(1)可知，∠AOC＝60° ，∠BON＝30° ， ∴∠AOD＝∠AOC＝60° ， ∴∠DON＝180° －∠AOD－∠BON＝90° .
解：(1)∵∠BOD＝90° ，∠AOD＝70° ， ∴∠AOB＝90° －70° ＝20° . ∵∠AOE＝70° ，∴∠EOB＝70° －20° ＝50° ，∠EOB 与∠AOB 的比值为 5∶ 2.
(人教版)最新七年级数学上册教材配套教学课件：4.2.4 线段的和、差、倍、分(二)
DB
3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点， 则线段 DC 的长为__1_5__c_m__.
A DB
C
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若 BC=5，则AC=___1_或__9___．
5. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm，则 AC = 4 cm.
AA CC BB
6. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是 ( C )
A. AC = CB C. AC + CB = AB
B. AB = 2 AC 1
D. CB = AB 2
A
C
B
7.如图，AB＝20cm，C为AB上的点，且AC＝4cm，D是AC的中点，E是
BC的中点，求线段DE的长.
线段 的和 差倍 分
基本事实 线段的和差
两点间的距离 中点
思想方法
方程思想 分类思想
【分析】分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之间上，故AC=ABBC=1cm；当点C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．
【点睛】无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：1.点 在某一线段上；2.点在该线段的延长线.
已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点M，N分别是线段
解：∵AB=20cm，AC=4cm，
∴CB=AB-AC=20-4=16cm，
又∵D是AC中点，E是BC中点，
∴DC=
12AC=
1 2
×4=2cm，CE=
1 2
CB=
1 2
×18=8cm，
∴DE=DC+CE=2+8=10cm．
线段的和差-七年级数学上册教学课件(浙教版)
【答案】 4 7.5
【分析】根据图形，M是AB的中点，N是BC的中点，得出BC,MB，根
据MC=MB+BC，即可求解．
【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的性质，数形结合是
解题的关键．
7．如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，
过点M，P有一条绕四周且路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪
(2)已知线段AB=8cm，点C在线段AB的延长线上，M、N分别是线段AC
与线段BC的中点，则线段MN的长为多少？
(3)已知线段AB=8cm，点C在线段AB的反向延长线上，M、N分别是线
段AC与线段BC的中点，则线段MN的长为多少？
【答案】(1)4cm
(2)4cm
(3)4cm
【分析】（1）点M是AC中点，则MC= ，点N是BC中点，则
浙教版七年级上册
第6章 图形的初步认识
6.4 线段的和差
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握线段中点和等分点的概念，学会计算线段中点和等分点
的线段长；
2、能运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度；
3、能根据题目的要求对线段的长度进行分类讨论；
知识点一 线段的和、差、倍、分
在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC
说明：在几何中我们
可以把
因为用“∵”表示；
所以用“∴”表示.
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
A
M
N
B
1
3
3 MN = ___NB)
3
AM = MN = NB = ___
= ___
2015浙教版七年级数学上册6.7角的和差课件(共18张PPT)
3、根据图形填空 ∠BOC = ∠AOD （1）∠AOC=∠AOB -____ ____ -∠COD
B
D C O A
(2)若∠AOC=30°，∠BOC=80°，射线OC平分∠AOD， 30° 50° 则∠COD=______,∠BOD=______,并说明理由．
利用一副三角板，你能画出哪些度数的角？
．
2、如图，点O在直线AC上，∠AOB＝55°.用量角器作出 ∠BOC的角平分线OD，并计算∠AOD的度数.
3、如图，Ｅ 是直线 ＡＣ 上一点，ＥＦ，ＥＧ 分别是∠ＡＥＢ，∠ＢＥＣ 的平分线.求∠ＧＥＦ的度数．
喜于收获
本节课学会了： 1、两角的和与差仍是一个角，并会用 量角器画两个角的和与差；
Zx.xk
2、角平分线的定义及会作角的平分线 3、会进行有关角的简单的推理说明
课堂检测
1、如图，OC平分∠AOB，下列说法错误的是( D ) A.∠1=∠2 B. ∠AOB=2∠1 C.∠1+∠2=∠AOB D. ∠1=∠AOB
A
C
1
O
2
B
2、下列说法中正确的是( B ) A 两个角的和为180°，那么这两个角都是直角 B 一个钝角一定大于一个锐角 C 大于90°的角叫做钝角 D 钝角与锐角的差为90°
A
B
A
乐于合作
1、把一张半透明的纸上画一个角，折叠使得角的两边 重合，然后展开铺平，并请画出折痕，你发现了什么？ 2、角的平分线定义： 3、根据书本P161图6-39完成下列填空：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB
1 ∵∠AOC=∠BOC= ∠AOB 2
∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ∴ OC是______的平分线
线段和角的和差倍教案
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校教师: 课题 学情分析 教学目标与 考点分析 教学重点 难点 教学方法学生:龙文教育个性化辅导授课案 ggggggggggggangganggang 纲 日期: 星期: 时段: 校区：线段、角度的和差倍这部分的内容主要为后面的平面几何打基础1. 直线、射线、线段的概念，交点、中点的定义。
2. 直线和线段的性质。
3 直线、射线、线段的相同点和不同点。
4.角的比较与运算 重点：线段、 射线、直线有平行、垂直等概念的理解及运用， 线段长短及角大小的比较。
难点：角的单位换算，准确理解线段、直线、射线及平行、垂直等概念，进行简单的图 案设计，这些都是本章的难点。
讲授法教学过程一、 直线、射线、线段的区别 图形名称 直线 射线 线段 特征 向两端无限延伸 只向一方无限延伸 有实际长度，可延长 端点 无 1个 2个 表示方法 用两个大写字母或 一个小写字母表示 用两个大写字母或 一个小写字母表示 用两个大写字母或 一个小写字母表示1.直线、射线、线段的区别与联系：从图形上看，直线、射线可以看做是线段向两边或一边无限延伸得 到的，或者也可以看做射线、线段是直线的一部分；线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点； 线段可以度量，直线、射线不能度量。
2.直线、线段性质： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线；或者说两点确定一条直线； 两点的所有连线中，线段最短；简单说：两点之间，线段最短。
3.线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点，如图：1 若点 C 是线段 AB 的中点，则有（1）AC=BC= 2 AB 或（2）AB=2AC=2BC，反之，若有（1）式或（2）式成立，亦能说明点 C 是线段 AB 的中点。
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校 4.关于线段的计算：两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作 AB=CD，平面几何中线段的计 算结果仍为一条线段。
七年级数学上册 第四章 基本平面图形 2 比较线段的长短 怎样画线段的和,差？怎样进行线段和、差、倍
怎样画线段的和，差？怎样进行线段和、差、倍、分的计算？
难易度：★★★★
关键词：线段
答案：
画线段的和时，先画线段a，然后在a的延长线上截取b，所得的线段就是a+b.画线段的差时，在较长线段的内部，以其中一个端点为端点截取较短的线段，剩下的那条线段就是两者的差。
【举一反三】
典例：如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m，CD=n，则AB=（）。
思路导引：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
标准答案：由题意得，EC+FD=m-n
∵E是AC的中点，F是BD的中点，
∴AE+FB=EC+FD
∴AE+FB=m-n
又∵AB=AE+FB+CD
∴AB=m-n+m=2m-n。
新版沪教版六年级数学下册第七章线段与角教案及习题(2020新教材)
第七章线段与角知识归纳一、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。
1、线段的表示：可以用表示短点的两个字母A、B表示，记作线段AB或可以用一个小写的英文字母，如a，表示，记作线段a2、线段的特点：1）有线长度，可以测量2）有两个端点3、线段的性质：1) 两点之间线段最短。
2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离,可以记作d 。
3）★直线没有距离。
射线也没有距离。
因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。
而线段不可以延长。
4、线段大小的比较：1）度量法2）叠合法3）观察法★“两点之间线段最短”5、画线段的和、差、倍将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点线段中点的表示：1）观察法2）折叠法3）度量法线段的中点是一个重要的概念，要使学生会用语言描述并掌握以下两点：(1)如图1∵C为AB中点(2)如图1∴C为AB中点．二、角：角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边或可以这样说：角是有一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
角的始边转动到角的终边所经过的平面部分叫做角的内部，简称角内部OBADC OBA1、 角的表示：1）角一般用三个大写英文字母表示，如下图记作∠AOB ，也可以记作∠O如果以点O 为顶点的角有多个，那么其中任何一个角必须用三个大写英文字母表示，而不能简单记作∠O2）也可以在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α（读alpha ）、β（读beta ）、γ（读gamma ）……，或者标上一个数字，如1、2、3……2、角的大小的比较 1）度量法 2）叠合法3、余角、补角（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3） 补角、余角的性质★ 同角或等角的补角相等’;同角或等角的余角相等. 4、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向. 方位角α的取值范围为0900≤≤α 即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”,★ “北偏东45度”为东北方向、“北偏西045度”西北方向、“南偏东045度”为东南方向、“南偏西045度”为西南方向. 5.画角的和、差、倍讲角平分线时既要会用文字表述又要掌握以下两点： (1)如图2∵ OC 平分∠AOB ．(2)如图2∴OC 平分∠AOB典型例题【例1】 如右图所示，是线段的中点，则，．【例2】 如图，已知是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，求线段的长. .【例3】 如图，已知线段AB 上依次有三个点把线段AB 分成2:3:4:5四个部分，，求BD 的长度.【例4】 线段上有两点、，，，，求的长．M A B 1______2A M =2_____2_____A B ==,B C A D M A B NC D ,M N a B C b==A D M D,,C D E 56AB =A B P Q 26A B =14AP =11PQ =B Q【例5】 已知：A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD长.【例6】 如图所示，90AOB COD ∠=∠=︒，160AOD ∠=︒，求BOC ∠度数．【例7】 BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．()190AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数； ()2AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；()390AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．()4从前三问的结果你发现了什么规律？（5）若BOC ∠为AOC ∠内的一个锐角呢？【例8】 如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒， 求AOD ∠的小．C【例9】 如图10，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，求BOD ∠的度数．课堂练习1 1、如图，,,点B 、O 、D 在同一直线上，则的度数为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2、如图，已知AOB 是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，OF ⊥AB ．则（1）∠AOC 的补角是 ； （2） 是∠AOC 的余角； （3）∠DOC 的余角是 ； （4）∠COF 的补角是 ．ND OABC D 图图13、如图，点A 、O、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD 平分∠COE ，求∠COB 的度数4、如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，求BOD ∠ 的度数．5、如图8，将长方形纸片沿ＡＣ对折，使点Ｂ落在Ｂ′，ＣＦ平分∠Ｂ′ＣＥ，求∠ＡＣＦ的度数．7、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB /＝700，则∠B /OG ＝______．8、如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD ．EA O图 8A CBEFB '9、如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． （1）若∠DOB 与∠DOA 的比是2∶11，求∠BOC 的度数．（2）若叠合所成的∠BOC =n°(0<n<90)，则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少？★10 .角的个数的数法按逆时针、按顺时针一点引出n 条射线共形成)1(21-n n 个角. 如图，在图(a)，在角内引一条射线时，图中共有（1+2）个角； 在图(b)中，在角内引两条射线时，图中共有（1+2+3）个角；在图(c)中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引n 条射线（n 为自然数）时，则共有几个角？(a) (b) (c)★11. 钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为003012360=，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为06530=（1）10：00时，时钟的时针与分针所成的角度是_____.（2）时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为______，由2点到7点半，时针转过的角度为______.（3）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？（4）分针和秒针每隔多长时间重合一次？课堂练习21、如图，点C 在线段AB 上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点。
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一 线段的和差倍分及计算
(教材P128练习第3题)
如图1，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．
图1
【思想方法】 (1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算；
(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论；
(3)对于比较复杂的题目，可设某条线段为x ，再结合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解；
(4)结论：已知线段AB ，点C 是线段AB 上任意一点，点M ，N 分别是线段AC 与线段BC 的中点，则MN ＝1
2
AB .
P 为线段AB 上一点，且AP ＝2
5
AB ，M 是AB 的中点，若PM ＝2 cm ，则AB 的
长为( )
A ．10 cm
B ．16 cm
C ．20 cm
D ．3 cm
如图2，在一条笔直公路的AB 段有四个车站依次是A ，C ，D ，B ，AC ＝CD ＝
DB .现想在AB 段建一个加油站M ，要求使A ，C ，D ，B 站的各一辆汽车到加油站M 所行的总路程最少，则M 的位置( )
图2
A ．在A
B 之间任一点 B ．在CD 之间任一点
C ．在AC 之间任一点
D ．在DB 之间任一点
如图3，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN
＝2 cm ，求AB 的长．
图3
已知线段AB 的长为4，在线段AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝5
3
BC ，在线段
AB 的反向延长线上取一点D ，使BD ＝4
7
DC ，若E 为DC 的中点，求BE 的长．
二 角的和差倍分及计算
教材P140习题4.3第9题)
如图4，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线． (1)如果∠AOB ＝40°，∠DOE ＝30°，那么∠BOD 是多少度？ (2)如果∠AOE ＝140°，∠COD ＝30°，那么∠AOB 是多少度？
图4
【思想方法】 解这种题的方法主要是寻找出要求的角与相关的角之间的和差倍分关系，通过求出相关的角，从而求出要求的角．
如图5，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE ＝90°，∠COF ＝90°.
图5
(1)图中∠AOF的余角是____(把符合条件的角都填出来)；
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出两对：____；
(3)如果∠AOD＝140°，那么根据____，可得∠BOC＝____，如果∠AOF＝70°，可得∠DOB ＝____．
已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.
[2016春·威海期中]如图6，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知∠AOC≠90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE.
(1)当0°＜∠AOC＜90°时，求∠FOB＋∠DOC的度数；
(2)若∠DOC＝3∠COF，求∠AOC的度数．
图6。