线与角的相关计算与证明(讲义及答案)

线与角的相关计算与证明（讲义）
➢课前预习
1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．
2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是
____________________________________________________
___________________________________________________．
A
C
B
3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做
这个角的平分线．
4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是
___________________________________________________
__________________________________________________．
A
C
B
➢知识点睛
几何题的处理思路：
①读题标注；
②走通思路；
③条理表达．
当角平分线出现时，为了计算方便，通常采用________的方式表达．
➢精讲精练
1.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中
点，AD=10 cm，设点B的运动时间为t秒．
（1）当t=2时：
①AB=__________cm；
②求线段CD的长度．
（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．
A C
B D
2.已知线段AB=m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P，Q分别在线段
BC，AC上，且满足CQ=2AQ，CP=2BP．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ=_____（用含m的代数式表示）．
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由．
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ-2PQ与1的大小关系，并说明理由．
Q
3.如图，OC是∠AOB内一条射线，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB=80°时，∠DOE的度数为________°．
（2）如图2，当射线OC 在∠AOB 内绕点O 旋转时，∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）当射线OC 在∠AOB 外如图3所示位置时，（2）中三个角：∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由． （4）当射线OC 在∠AOB 外如图4所示位置时，∠BOE ， ∠EOD ，∠DOA 之间的数量关系是__________________．
E
A
B
D
O
图1
C
E A
B
D O
图2C
E
A
B
D
O
图3
C
E
A B
D O
图4
C
4. 已知：O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分
∠BOC ．
（1）如图1，若∠AOC =30°，求∠DOE 的度数；
（2）在图1中，若∠AOC =α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表
示）；
（3）将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
E
图1
D
C B
O A
E 图2
A
O
B
C
D
5. 一副三角板ABC ，DEF ，如图1放置，其中∠D =30°，
∠BAC =45°．
（1）求∠DBA 的度数；
（2）若三角板BDE 绕点B 逆时针旋转，如图2，在旋转过程中BM ，BN 分别平分∠DBA ，∠EBC ，则∠MBN 如何变化？
（3）若三角板BDE 绕点B 逆时针旋转到如图3时，其他条件不变，则（2）中的结论是否变化？
图1
(F )
(E )
D
C B A
图2
M
N
(F )
E
D
C
B A
E
图3
M N
(F )
D
C
B A
6. 如图1，O 是直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC =30°，将一直角三角板
（∠M =30°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t 秒后，OM 恰好平分∠BOC ． ①求t 的值；
②此时ON 是否平分∠AOC ？请说明理由．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕点O 以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分∠MON ？请说明理由．
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画图并说明理由．
图1
O N
M
C B
A
图2
O N M
C B
A
A
B
C
M
N O 图3
7. 如图1，射线OC 在∠AOB 的内部，在∠AOB ，∠AOC 和
∠BOC 中，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是∠AOB 的“巧分线”．
（1）一个角的平分线_______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠AOB =α，且射线OC 是∠AOB 的“巧分线”，则∠AOC =______________；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
备用图
（3）如图3，若∠AOB =60°，且射线OC 绕点O 从OB 位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当OC 与OB 成180°时停止旋转，设旋转的时间为t 秒，则当t 为何值时，射线OA 是∠BOC 的“巧分线”？
图1
O
C
B
A
图2αO
B
A
图3
60°O
B
A
➢ 课前预习
1. 中点
2. AC =BC ，BC =AC
12AC AB =，12BC AB = AB =2AC ，AB =2BC 3. 射线，射线
4. ∠AOC =∠BOC ，∠BOC =∠AOC ，
∠AOC =12∠AOB ，∠BOC =1
2
∠AOB
∠AOB =2∠AOC ，∠AOB =2∠BOC
➢ 知识点睛
1. 设元
➢ 精讲精练
1. （1）①4；
②CD 的长度为3 cm ；
（2）EC 的长度不变，为5 cm ，理由略．
2. （1）2
3
m ；
（2）PQ 的长度是常数，这个常数是2
3
m ；
（3）2AP +CQ -2PQ ＜1． 3. （1）40°；
（2）∠EOD =∠BOE +∠DOA ；
（3）（2）中的结论不成立，∠EOD =∠DOA -∠BOE ； （4）∠EOD =∠BOE +∠DOA ． 4. （1）∠DOE =15°；
（2）∠DOE =2α
； （3）1
2
DOE AOC ∠=∠．
5. （1）∠DBA =15°；
（2）∠MBN 的度数不变，始终为52.5°； （3）（2）中的结论不变． 6. （1）①t 的值为5，
②ON 平分∠AOC ； （2）经过5s ，OC 平分∠MON ；
（3）经过
70
3
s ，OC 平分∠MOB ． 7. （1）是；
（2）3α，2
α
，23α；
（3）当t 为9或12或18时，射线OA 是∠BOC 的巧分线．。