椭圆中的最值问题的求法
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆的几种最值问题
椭圆中的几种最值问题一：求离心率的最值问题1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
二：求点点（点线）的最值问题3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦 点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
4：定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的 长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 上的动点，使∠F PF 最大的点 P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。
四：求面积的最值问题例6：（05年全国II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （ ）A．(3± B．(3C ．3(1,)2± D ．3(1,)28：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点，M求|MA|+|MF|的最小值。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
椭圆中面积的最值问题
椭圆中面积的最值问题
椭圆是一种广泛存在于自然界的平面图形，它不仅仅是一个平面图形，而且它具有极大的实用价值。
椭圆是多种物理科学，化学，天文，生物等领域中常见的图形。
椭圆的面积有很多变化，这些变化会产生最大值和最小值，椭圆的最大和最小面积的求解称为椭圆中面积的最值问题。
椭圆的面积可以通过下面的公式来计算：A = πab, 其中a 和b分别是椭圆的两个半轴长。
通过研究发现，椭圆的最大面积是在两个半轴长相等的情况下，即a=b时实现的，最大面积可以表示为：A_max = πa^2 同样，当两个半轴长不等时，椭圆的最小面积是在a和b的乘积最小的情况下实现的，最小面积可以表示为：A_min = πab 因此，当椭圆的两个半轴长a和b不等时，最大面积A_max 就会大于最小面积A_min，而当两个半轴长a和b相等时，最大面积A_max就等于最小面积A_min。
椭圆中面积的最值问题是一个经典的数学问题，是对几何学中椭圆的有关知识的深入研究。
椭圆最大最小面积的求解，不仅仅可以帮助我们理解椭圆的特性，而且还有助于更好地应用椭圆。
椭圆中面积的最值问题，是一个有趣而又有实际意义的数学研究课题，由于椭圆的特性，可以将其应用于多种领域，因
此，对椭圆中面积的最值问题的研究，也有助于更好地应用椭圆。
椭圆最大值与最小值公式
椭圆最大值与最小值公式说到最大值和最小值，嘿，你有没有想过，生活中也是有高有低的？就像一个人在比赛中追求最佳成绩一样，椭圆也在追求它的极限。
想象一下，最大值就像你人生中的巅峰时刻，可能是升职加薪，或者是人生大事；而最小值呢，可能就是你那一段小小的低谷，没关系，这都是生活的一部分。
我们可以从椭圆中学到一个道理，不管怎样，起起伏伏才是人生的常态。
再说说椭圆的公式，听上去很复杂，但其实就像我们的日常生活一样，越简单越好。
椭圆的标准方程就是 ( frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1 )，这其中的 ( a ) 和 ( b ) 就像是你生活中的目标。
把 ( a ) 想象成你的梦想，越大就越能包容更多的可能性；而 ( b ) 就像是你身边的支持者，给你鼓励，帮你实现梦想。
这两个值的搭配，决定了你在这个椭圆上最亮眼的位置，也就是你的最大值和最小值。
哎呀，听起来是不是有点儿抽象？没关系，咱们换个角度来看。
就拿生活中的某个选择来说。
比如，你在决定吃什么的时候，有时候你想吃个大汉堡，那是你的最大值；有时候你又想来点清淡，那就是最小值。
椭圆就像这个选择的过程，左右摇摆，追求平衡。
最大值和最小值就像人生中的选择，难免会有犹豫和挣扎，但最终总会找到适合自己的那条路。
椭圆的最大值和最小值不仅仅在数学上重要，在现实生活中也经常能见到。
比如，你在锻炼的时候，想要达到最佳效果，你需要找到自己的极限。
这种极限就好比是椭圆的最大值，努力去追求，而过程中也会有疲惫的时刻，那就是最小值。
我们都知道，运动员在比赛中，往往会经历各种考验，但每一次的挑战，都是他们突破自我的机会。
就像椭圆的每个点，都是不断追求完美的过程。
说到这里，可能有人会觉得，哦，这数学真的好无聊。
可是呢，当你了解它背后的意义，发现它和生活的关系后，便会觉得这不是在说数学，而是在说人生的智慧。
我们的人生就像那条椭圆，虽然外形优雅，但每一个环节都需要我们用心去探索。
解答椭圆中最值问题策略(最新整理)
解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1 设P(x ，y)是椭圆＋＝1上的一点，F 1为椭圆的左焦点，求|PF 1|的最大值和x264y228最小值.分析：由于点F 的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P 的坐标(x ，y)，结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数，再结合函数的即可求解.解：椭圆的左焦点F 1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得|PF 1|＝＝＝＝|x ＋|，(x ＋6)2＋y234323由已知，得x ∈[－8，8]，函数|x ＋|在[－8，8]上为增函数，34323故|PF 1|max ＝|8＋|＝14，|PF 1|min ＝|－8＋|＝2.3432334323点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何性质例2 已知A (4，0)、B (2，2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求|MA |＋|MB |的最大与最小值.分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA |＋|MB |转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析：如图所示，由题意，知点A (4，0)恰为椭圆右焦点，则A 关于O 的对称点A 1(－4，0)(左焦点)，由椭圆的第一定义，得|MA |＋|MA 1|＝2a ，|MA |＝2a －|MA 1|，∴|MA |＋|MB |＝(2a －|MA 1|)＋|MB |=2a ＋(|MB －|MA 1|)，在△A 1BM 中，||MB |－|MA 1||≤|A 1B |＝2，－2≤|MB |－|MA 1|≤2，101010又2a ＝10.故|MA |＋|MB |的最大值是10＋2，最小值为10－2.1010点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.三、巧妙设角，利用三角函数有界性例3 已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，如果曲线C 上存在一点x2a2y2b2Q ，使F 1Q ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。