电磁感应现象中的几种常见图象

电磁感应现象中的几种常见图象江西省都昌县第一中学李一新高考《考试说明》中关于能力要求中，要考核的能力的第4点是“应用数学处理物理问题的能力”中，指出“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析。

”因此在每年高考中，关于图象的考查备受高考命题专家的青睐，而电磁感应现象的中图象更是高考的热点。

在电磁感应现象中，涉及磁感应强度B．磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图象，即B—t图象、Φ—t图象、E—t图象I—t图象。

对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还涉及感应电动势E和感应电流I随位移x变化的图象即E—x和I—x图象。

由于感应电流的产生，导体受到安培力作用，其运动情况又会发生动态变化，又有v—t、v—x和a—x等图象。

一、E—t图象例1（2007全国卷Ⅱ）如图1所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场、磁场方向均垂直于纸面。

一导线框abcdef位于纸面内，框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合，导线框与磁场区域的尺寸如图所示。

从t＝0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。

以a→b→c →d→e→f为线框中的电动势E的正方向，以下四个E－t关系示意图中正确的是（）解析：bc边进入PQ区域的磁场时，切割磁感线的导线有效长度为l，感应电动势方向为负；bc边进入QR区域的磁场时，de边同时也进入PQ区域磁场中，它们切割磁感线的导线产生的感应电动势大小相等、方向相反，总电动势为零；bc边离开磁场时，de边进入QR区域磁场中，af边同时也进入PQ区域磁场中，它们切割磁感线产生的感应电动势方向均为正，总感应电动势相加；以后便只有af边在QR区域切割磁感线，产生的感应电动势方向为负，故正确的选项为C。

二、i—t图象例2（2008年全国卷Ⅱ）如图2所示，一个边长为l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框。

在t＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。

以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。

下列表示i—t关系的图示中，可能正确的是（）解析：从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，感应电流也逐渐增大，如图2的初位置→图3的位置Ⅰ；从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界，切割磁感线的有效长度不变，感应电流不变，如图3的位置Ⅰ→Ⅱ；当正方形线框下边部分离开磁场，上边尚未进入磁场过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐减小，感应电流也逐渐减小，如图3的位置Ⅱ→Ⅲ；当正方形线框下边部分继续离开磁场，上边也进入磁场过程中，上下两边线框切割磁感线产生的感应电动势方向相反，感应电流减小得更快，当上下两边在磁场中长度相等，感应电动势为零，如图3的位置Ⅲ→Ⅳ；以后的过程与上述过程相反，故正确的选项为C。

三、E—x图象例3（2008年上海卷）如图4所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右做匀速直线运动，经过半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是（）解析：如图5所示，设导体棒运动到位置x处，由几何关系可得导体棒切割磁感线的有效长度为产生的感应电动势为整理后可得从方程可以看出，感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是一个椭圆，故正确的选项为A。

四、I—x图象例4（2005年上海卷）如图6所示，A是长直密绕通电螺线管，小线圈B与电流表连接，并沿A的轴线Ox从O点自左向右匀速穿过螺线管A。

能正确反映通过电流表中电流I随x变化规律的是（）解析：小线圈B从O点自左向右匀速穿过螺线管A的过程中，穿过小线圈的磁通量先是增加然后是不变最后是减小，且进入和穿出产生的感应电流方向相反，则正确反映通过电流表中电流I随x变化规律的是C图。

五、B—t图象例5两条彼此平行间距为l=0．5m的光滑金属导轨水平固定放置，导轨左端接阻值R=2Ω的电阻，右端接阻值R L=4Ω的小灯泡，如图7（a）所示。

在导轨的MNQP矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，MP的长d=2m，MNQP区域内磁场的磁感应强度B随时间t的关系如图7（b）所示。

垂直导轨跨接一金属杆，金属杆的电阻r=2Ω，两导轨电阻不计。

在t=0时刻，用水平恒力F拉金属杆，使金属杆由静止开始从GH 位置向右运动，在金属杆从GH位置运动到PQ位置的过程中，小灯泡的亮度一直没有变化。

求：（1）通过小灯泡的电流I L；（2）水平恒力F的大小；（3）金属杆的质量m。

解析：（1）在力F的作用下，棒未运动到磁场区域时，磁场变化导致电路中产生感应电动势，此时感应电动势为V电路结构为r与R并联，再与R L串联，总电阻R总=5Ω，则通过小灯泡的电流A ①（2）在力F的作用下，棒运动到磁场区域时，导体棒切割磁感线产生电动势，此时电路的结构是R 与R L并联为外阻，r为内阻，由于小灯泡中电流不变，则流过导体棒的电流为A ②导体棒所受的安培为N小灯泡中电流不变，可知导体棒必定做匀速运动，则F=F A=0．3N （3）导体棒切割磁感线产生的为③由①②③式得导体棒的进入磁场时的速度v=1m/s由动量定理有得金属杆的质量kg。

六、v—t图象例6如图8甲所示，空间存在B=0．5T、方向竖直向下的匀强磁场。

MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=0．2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0．1kg的导体棒。

从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。

图8乙所示的是棒的v—t图象，其中OA是直线，AC是曲线，DE是曲线图的渐进线。

小型电动机在12s末达到额定功率，P额=4．5W，此后功率保持不变，除R以外其余部分电阻不计，g=10m/s2。

（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小；（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的阻值；（3）若t=17s时，导体棒ab达到的最大速度，0～17s内共发生位移100m，试求12～17s内，R上产生的热量是多少？解析：（1）由图8乙可知12s末的速度为v1=12m/s，故导体棒在0～12s内的加速度大小为m/s2（2）设导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，在A点时有，，由牛顿第二定律有而导体棒在C点达到速度最大，有m/s，，由牛顿第二定律有而联立以上各式代入数据得μ=0．2，R=0．4Ω（3）在0～12s内通过的位移为m，AC段过程发生的位移为x2=100m－x1=46m，由以能量守恒定律有，代入数据可得Q R=12．35J。

七、v—x图象例7如图9甲所示，在质量为M=1kg的小车上，竖直固定着一个质量为m=0．2㎏、宽L=0．05m、总电阻R=100Ω，n=100匝的矩形线圈。

线圈和小车一起静止在光滑水平面上，现有一子弹以v0=110m/s 的水平速度射入小车中，并立即与小车（包括线圈）一起运动，速度为v1=10m/s，随后穿过与线圈平面垂直、磁感应强度B=1．0T的水平有界匀强磁场、方向垂直纸面向里。

已知子弹射入小车后，小车运动的速度随车的位移变化的图象，如图9乙所示，求：（1）子弹的质量m0；（2）小车的位移x=10cm时线圈中的电流大小I；（3）在线圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电荷量q；（4）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q。

解析：（1）子弹射入小车的过程中，由动量守恒定律有解得子弹的质量kg。

（2）当x=10 cm时，由图9乙可知线圈右边切割磁感线的速度v2=8m/s，由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流为，代入数据可得I=0．4A。

（3）由图9乙可知，从x=5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度v随位移x减小，当x=15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动，因此线圈的长为Δx=10cm，在此过程中通过线圈某一截面的电荷量为，代入数据可得C。

（4）由图9乙可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度v3=2m/s，线圈进入和离开磁场时，克服安培力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热，有，代入数据可得线圈电阻发热量Q=63．36J。

八、a—x图象例8如图10所示，abcd为一边长为l、质量为m的刚性导线框，位于水平面内，bc边中串接有电阻为R，导线的电阻不计。

虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线框的ab边平行，磁场区域的宽度为2l，磁感应强度为B，方向竖直向下，线框在一垂直于ab边的水平恒定拉力F作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。

已知ab边刚进入磁场时，线框变为匀速运动。

从导线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程中，导线框的加速度a随ab边的位置坐标x变化的图象可能是（）解析：x在0～l距离内，线框以某速度v0作匀速运动，加速度为0；x在l～2l距离内，线框中无感应电流，不受安培力，作匀加速运动，加速度为，在x=2l处的速度v1＞v0；x在2l～3l距离内，线框产生的感应电流比进入时大，所受的安培力大于拉力F，作变减速运动，加速度方向与x轴方向相反，有两种可能情形：一种情形是，在到达x=3l之前速度减到v0然后作匀速运动，另一种情形是，一直减速，速度始终未减小到v0，故正确的选项为AD。

九、B—t与i—t图象组合例9（2008全国卷Ⅰ）矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直。

规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图11所示。

若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是（）解析：在0～1秒内，垂直纸面向里的磁场均匀增强，磁通量均匀增加，感应电流为逆时针方向，大小不变；在1～3秒内，垂直纸面向里的磁场均匀减小（或垂直纸面向外的磁场增强），感应电流为顺时针方向，大小不变；在3～4秒内，垂直纸面向外的磁场均匀减弱，磁通量均匀减小，感应电流为顺时针方向，大小不变。

因此正确的选项为D。

十、B—t与f—t图象组合例10在水平面桌上，一个面积为S的圆形金属框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，磁感应强度B1随时间的变化关系如图12所示，0～1s内磁场方向垂直平面向里，圆形金属框与一个平行金属导轨相连接，导轨上放置一根导体棒，导体棒的长为l，电阻为R且与导轨接触良好，其余各处电阻不计，导体棒处于另一匀强磁场中，其磁感应强度恒定为B2，方向垂直导轨平面向里，如图13所示，若导体棒始终保持静止，则其所受的静摩擦力f随时间变化的图象是下图的哪个？（设向右的方向为正方向）解析：在0～1秒内，穿过圆形金属框中的磁场均匀增强，磁通量均匀增加，感应电流为逆时针方向，大小不变，安培力大小不变方向向左，静摩擦力f大小不变方向向右，为正值；在1～2秒内，穿过圆形金属框中的磁通量不变，无感应电流，无安培力，无静摩擦力；在2～3秒内，穿过圆形金属框中的磁场均匀减弱，磁通量均匀减少，感应电流为顺时针方向，大小不变，安培力大小不变方向向右，静摩擦力f大小不变方向向左，为负值，因此正确的选项为A。