2021届“江南十校”一模联考 理科数学试题 附答案
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题理 含答案
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e e x xx f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782-B ．9π784-C ．78π-D ．9π452-7．若6(1)2x x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ）A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件 B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件 C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。
2020-2021学年安徽省江南十校高三(上)第一次联考数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年安徽省江南十校高三（上）第一次联考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=，则|z|为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）将函数f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x的图象经过恰当平移后得到一个偶函数的图象，则这个平移可以是（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）已知直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，则+的最小值为（）A．3 B．+C．2+D．3+25．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．32π B．16π C．64π D．48π6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，=，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x值是407，y值是259，那么输出的x值是（）A．2849 B．37 C．74 D．778．（5分）已知实数x，y满足，则z=4x•（）y的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．29．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）已知α为第三象限角，tan2α=﹣，则sin α的值为（）A．±B．﹣C．D．﹣11．（5分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A．60 B．48 C．42 D．3612．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（3﹣，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（1﹣3x）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bsinA﹣acosB﹣2a=0，则∠B= ．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log10）的值为．16．（5分）一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=FD．（1）求证：CD⊥平面ACF；（2）若BE=2AB，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．19．（12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为，小弄水库需要泄洪的概率为，假设每座水库是否泄洪相互独立．（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，其中t是实数．设A，B为该函数图象上的两点，横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（1）若x2＜0，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，求x1﹣2x2的最大值；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，求实数t的取值范围．2020-2021学年安徽省江南十校高三（上）第一次联考数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：由z==，得|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出关于集合A、B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵A={x|log2（x﹣1）＜1}=（1，3），B={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），∴A⊊B，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3．（5分）将函数f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x的图象经过恰当平移后得到一个偶函数的图象，则这个平移可以是（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用降幂公式和辅助角公式化简，然后根据三角函数的图象平移得答案．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x=﹣1+=．当把该函数的图象右移个单位，得到函数g（x）==为偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，是基础题．4．（5分）已知直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，则+的最小值为（）A．3 B．+C．2+D．3+2【分析】先求出圆心和半径，由直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，可得直线ax﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=2，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心为（﹣1，1），半径为1，∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，∴直线ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣a﹣b+2=0，a+b=2，则+=（a+b）（+）=（3++）≥，当且仅当a=b时等号成立，故+的最小值为．故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．32π B．16π C．64π D．48π【分析】由题意，直观图为底面是直角三角形，高为4的直棱柱，底面直角三角形的斜边长为4，将直三棱柱扩充为长方体，底面对角线长为4，所以长方体的对角线长为=4，可得外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由题意，直观图为底面是直角三角形，高为4的直棱柱，底面直角三角形的斜边长为4，将直三棱柱扩充为长方体，底面对角线长为4，所以长方体的对角线长为=4，∴外接球的半径为2，∴外接球的表面积为=32π．故选：A．【点评】本题考查三视图，考查外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定外接球的半径是关键．6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，=，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【分析】用表示出，再代入平面向量的数量积计算公式计算．【解答】解：=4，=1，=2×1×cos60°=1．∵=，∴．∴=，=．∴=（）•（）=﹣++=﹣+1+=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x值是407，y值是259，那么输出的x值是（）A．2849 B．37 C．74 D．77【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=407，y=259第1次循环后，s=148，x=259，y=148；第2次循环后，s=111，x=148，y=111；第3次循环后，s=37，x=111，y=37；第4次循环后，s=74，x=74，y=37；第5次循环后，s=37，x=37，y=37，结束循环，故输出的x的值为37．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题．8．（5分）已知实数x，y满足，则z=4x•（）y的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．2【分析】z=4x•（）y=22x﹣y，设m=2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域求出m的最大值即可．【解答】解：由z=4x•（）y=22x﹣y，设m=2x﹣y，得y=2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣m，由平移可知当直线y=2x﹣m，经过点A时，直线y=2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即A（2，2）．代入m=2x﹣y，得m=4﹣2=2，即目标函数m=2x﹣y的最大值为2．则z的最大值为22=4，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及换元法，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，，解的b=2，a=2，∴双曲线的标准方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．10．（5分）已知α为第三象限角，tan2α=﹣，则sin α的值为（）A．±B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用二倍角的正切函数公式可求tanα=2，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin2α的值，结合角的范围，即可得解．【解答】解：∵tan2α==﹣，α为第三象限角，∴解得：tanα=2或﹣（负值舍去），∴sinα=2cosα，又∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，∵α为第三象限角，∴sinα=﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．（5分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A．60 B．48 C．42 D．36【分析】在前4次中，前两张牌都至少取得1次，在第5次恰好取出最后一种即第三张牌，可以先选出2张牌，在前4次中取到，再用排除法分析得到前4次取牌中，这两张牌，都至少取得1次的情况数目，而第5次恰好取出第第三张牌有1种情况，由分步计数原理可得恰好取5次牌时停止取牌的情况数目．【解答】解：若恰好取5次牌时停止取牌，则在前4次中，前两张牌都至少取得1次，在第5次恰好取出最后一种即第三张牌，在前4次中，只取2张牌，有C32=3种情况，且这张牌都至少取得1次，前4次取牌中，只取这2张牌有24种情况，其中同一张牌的有2种，则前4次取牌有3×（24﹣2）=42种情况，第5次恰好取出第三张牌有1种情况，故恰好取5次牌时停止取牌有42种情况，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，涉及排列、组合与分步计数原理的应用，注意本题是有放回抽取．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（3﹣，+∞）D．（3，+∞）【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）+f′（x）=a，求出函数的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=，代入f（x）+f′（x）=a，可得log2x+2+=a，设g（x）=log2x+2+，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数取得最小值2+，∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，∴a＞2+，故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（1﹣3x）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为﹣540x3．【分析】根据第3项和第5项的二项式系数相等，求得 n=6，再利用二项展开式的通项公式求得这个展开式的第4项．【解答】解：二项式（1﹣3x）n的展开式中，∵第3项和第5项的二项式系数相等，∴=，∴n=6，则这个展开式的第4项为•（﹣3x）3=﹣540x3，故答案为：﹣540x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bsinA﹣acosB﹣2a=0，则∠B= ．【分析】利用正弦定理把已知的等式化边为角，由两角和与差的正弦函数公式化简，结合特殊角的三角函数值即可求得B的值．【解答】解：△ABC中，bsinA﹣acosB﹣2a=0，由正弦定理得：sinBsinA﹣sinAcosB﹣2sinA=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=2，即sinB﹣cosB=1，∴sin（B﹣）=1；又0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=，∴B=．故答案为：．【点评】本题考查了解三角形，训练了正弦定理的应用，考查了三角函数的两角和与差的正弦函数公式，是基础题目．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log10）的值为．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数具有对称性函数，故可以利用这一性质将要求的函数值转化到区间[0，1）上求解．【解答】解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（﹣x），∴函数图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，log10=﹣log310∈（﹣3，﹣2）由此f（log10）=f（2﹣log310）=f（log3）=f（﹣log3）===．故答案为：【点评】本题考点抽象函数的应用，函数的值求法，利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．16．（5分）一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是．【分析】根据每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，即可得出结论．【解答】解：开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．1次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=，黄色区域的面积是+=12次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=2，黄色区域的面积是1+=3次改变后，这个图形中红色区域的面积是2+=，黄色区域的面积是+=4次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得，n∈N*，从而能证明数列{}为等差数列．（2）求出，从而b n===，由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*），∴，即，n∈N*，又=1，故数列{}为首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）解：（2）∵数列{}为首项为1，公差为1的等差数列，∴，∴，∴b n===，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1﹣）+（）+…+（]=1﹣=．…（12分）【点评】本题考查数列为等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=FD．（1）求证：CD⊥平面ACF；（2）若BE=2AB，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．【分析】（1）通过证明AF⊥CD，CD⊥FC．即可证明CD⊥平面ACF．（2）利用空间直角坐标系，通过求解平面的法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：∵AF⊥EF，平面ABEF⊥平面CEFD，平面ABEF∩平面CEFD=EF，∴AF⊥平面CEFD，从而AF⊥CD．设Q为DF的中点，连接CQ．∵四边形CEFD为直角梯形，EC=FD=FQ，EC=AB=EF，∴四边形CEFQ为正方形，△CQD为等腰直角三角形．∴∠FCD=90°，即CD⊥FC．又AF∩CF=F，∴CD⊥平面ACF…（6分）（2）解：以F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则BE=2，FD=2．∴F（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，2），D（0，2，0），A（0，0，2），P（0，1，1），故=（1，1，0），=（1，0，2），=（0，1，1），设平面SFC的一个法向量=（x1，y1，z1），则，∴，令z1=1，则=（﹣2，2，1）．同理可得，平面FCP的一个法向量=（1，﹣1，1）．∴cos==﹣，由图可知，二面角B﹣FC﹣P的余弦值为：…（12分）【点评】本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为，小弄水库需要泄洪的概率为，假设每座水库是否泄洪相互独立．（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）利用对立事件概率计算公式能求出至少有一座水库需要泄洪的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是1﹣（1﹣）×（1﹣）3=．…（3分）（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）3=，P（ξ=1）=（1﹣）×=，P（ξ=2）=×（1﹣）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 5P故Eξ=+5×=．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式的合理运用．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质可知：e==，a=c，b=c，将P（﹣c，），代入椭圆方程，即可求得c，求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．【解答】解：（1）由题可得，由椭圆的离心率公式可知：e==，即a=c，由椭圆的性质可知：b2=a2﹣c2=2c2，将P点坐标（﹣c，），代入椭圆方程：，解得：c=1，∴a=，b=．故椭圆的方程为…（4分）（2）设直线l的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=．∴由弦长公式可知丨AB丨=•=，…（8分）∵P（﹣1，）PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y﹣=k（x+1）．将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k2（k+）+3（k+）2﹣6=0，∵x P=﹣1，∴x Q=，∴丨PQ丨=•丨x P﹣x Q丨=•，若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨，∴4=丨4﹣4k丨，解得k=﹣．故符合条件的直线l的方程为y=﹣（x+1），即x+y+1=0…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及平行四边形性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=，其中t是实数．设A，B为该函数图象上的两点，横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（1）若x2＜0，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，求x1﹣2x2的最大值；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求t的取值范围．【分析】（1）由已知f′（x1）f′（x2）=﹣1，可得（2x1+4）（2x2+4）=﹣1，从而x1﹣2x2=﹣[+2（2+x2）]+2，即可得出x1﹣2x2的最大值；（2）根据函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，得出t=﹣1﹣ln（2x1+3），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出t的取值范围．【解答】解：（1）当x2＜0时，x1＜0．由已知f′（x1）f′（x2）=﹣1，∴（2x1+4）（2x2+4）=﹣1，故x1==2…（2分）∴x1﹣2x2=﹣[+2（2+x2）]+2，∵2x1+4＜2x2+4，∴2x1+4＜0＜2x2+4，∴x1﹣2x2≤2﹣，当且仅当x2=﹣2时，等号成立，故x1﹣2x2的最大值为2﹣…（5分）（2）由题意得，f′（x1）=f′（x2）=…（6分）∵x1＜x2，∴x1＜0，x2＞0．∴2x1+4=1+=，解得t=﹣1﹣ln（2x1+3），令g（x）=x2﹣1﹣ln（2x+3），﹣＜x＜0，则g′（x）=2x﹣…（8分）∵x＜0，2x+3＞0，∴g′（x）＜0，故g（x）在（﹣，0）内单调递减…（10分）∴当x∈（﹣，0）时，g（x）＞g（0）=﹣1﹣ln3，∴t＞﹣1﹣ln3，即t的取值范围为（﹣1﹣ln3，+∞）…（12分）【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…（5分）（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==，…（8分）当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得函数f（x）的最小值为，根据题意可得=log22＜log2成立，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，∵不等式f（x）＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x≤，解③求得＜x＜．综上可得，不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，由（1）知函数f（x）的最小值为f（）=，∴=log22＜log2成立，∴＞2，求得t2＞9，∴t＞3，或t＜﹣3．故实数t的取值范围为{t|t＞3，或t＜﹣3}．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，解绝对值不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2021届江南十校一模联考理科综合试卷及答案
姓名座位号.（在此卷上答题无效）绝密★启用前2021届“江南十校”一模联考理科综合注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.可能用到的相对原子质量：Li7O16P31S32C135.5K39一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.核酸和蛋白质在生物体的生命活动中承担着重要功能。
下列相关叙述正确的是A.真核细胞中DNA分布在细胞核中，RNA分布在细胞质中B.生物体内的核酸彻底水解后得到的产物共有6种小分子C.线粒体中的某些蛋白质是由线粒体DNA控制合成的D.细胞中核酸是遗传信息的携带者，蛋白质是生命活动的承担者2.神经干细胞具有分化为多种神经细胞的潜能。
神经组织损伤后，会释放多种趋化因子吸引神经干细胞聚集到损伤部位，使其分化为不同神经细胞，完成组织修复以恢复神经系统功能。
下列有关叙述错误的是A.实现神经组织修复的过程中细胞的遗传信息发生了改变B.神经干细胞在内环境中具有迁移能力C.细胞外液Na*浓度下降会导致神经细胞产生的动作电位峰值减小D.神经细胞中突触小泡释放神经递质的过程需要消耗能量3.下图为某21三体综合征患者的染色体组成，下列有关叙述正确的是A.调查该病的发病率应在患者家系中进行B.通过基因诊断可确定胎儿是否患有该病C.该病产生的原因是患者母亲减数分裂时21号染色体不能正常分离D.该个体的性腺中可能含有染色体数为46、47和48的细胞4.为促进木槿在我国园林绿化中的推广应用，筛选出木槿嫩枝扦插的最佳条件，某林业单位进行了不同浓度外源激素IBA(吲哚丁酸）对两个不同品种木槿的嫩枝扦插生根影响的预实验，结果如下图所示（CK是对照组）。
高三数学联考试题理试题_1
2021年“江南十校〞高三联考数学试卷〔理科〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部。
满分是150分，考试用时120分钟。
考前须知：1．在答题之前，所有考生必须在试题卷、答题卷规定的地方填写上本人的姓名、座位号。
2．答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卷上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第二卷时，必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹明晰。
必须在题号所指示的答题区域答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
有关参考公式： 2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-121()3V S S h =⋅台第一卷〔选择题 满分是50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数2332iz i+=-+的虚部是〔 〕A ．0B ．1-C ．1D ．2 2．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，假设{}Q=0P，那么Q=P 〔 〕A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,23．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |1=，那么a 与b 夹角为〔 〕A ．3π B ．2πC ．23πD ．34π4．假设点P 〔1，1〕为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，那么弦MN 所在直线方程为〔 〕A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=5．函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，那么(1)f '=〔 〕A ．e -B ．1-C ．1D ．e6．函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，3a ＞0，那么135()()()f a f a f a ++的值 〔 〕A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负 7．一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-，那么数据122,2,x x ++ 342,2x x ++的平均数为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．6 8．函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，那么函数()sin cos g x a x x =+ 的初相是〔 〕 A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π9．一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是〔 〕 A ．8 B ．203 C ．173 D ．14310．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数一共有〔 〕 A ．576 B ．720 C ．864 D ．1152第二卷〔非选择题 满分是100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。
2021届“江南十校”一模联考理科综合试题附答案
2021届“江南十校"一模联考理科综合注意事项：I •答誉前，考生务必俗白己的姓名和座位号塡写在答逝卡上。
2•冋答绥样翹旳，选出毎小题答案后，用铅笔把答题卜上対应題日的答案际号涂黑。
如带 改动•用橡皮捺干净后・再选涂其它答糸杯号c 回答非选择題时•将答糸写在答題卡上，写在 本试卷上无效.3 •考试給束右•将本试卷和答題卡一畀交回c4•可能用到的相刈原于庾fib 1」7 016 P3I S32 CI 35.5 K 39一、选捧題：本題共13小題，每小題6分.共78分。
在弩小題给岀的四个选项中，只有一项 是符台战目要求的。
1 •核酸和蛋臼丿贞仕生协体的生命活动屮承担右•览要功能。
卜列相关叙述止堀旳足A. 亢核纽胞屮DNA 分布在细咆核屮，KNA 升布在细胞质中B. 生物体内的孩燧彻底水解后得到的产物共何0种小分fC. 线机体中的某些蛍白质足山线粒体DNA 径制合成时D 细胞申核酸是遒传信或的携带?萤白帧定生命活动的朋担打2•神经十细甩具有分比为多种神经纫施的潜能。
种经组织菽伤扳，会禅放多种苕化因子吸引神 经十细胞聚荣到顶伤部匝，枚其分化为不冋押经细胞，怎成组织修且以恢复冲经系统功呢。
卜 列有关寂述错误的是A. 实现神经组织储复的过程中细胞旳迫传信息发生了改变B. 神经干细咆在内环境中具有迁移能力C. 细胞外液NM 农度下降会导致神经细胞产生的动作电位绝值减小D. 神经细胞中窦触小泡释放神经递质的过程需要消耗能址3•下怪为茱21三体综合征患者的染色体组成.下列召关叙述正碓的是AJJjg 该病的发病率应左思者家系中ii 行B 通过基因诊断可确定旳儿足否老有该病C. 该病产生的原IN 足患若母亲减数分裂时21弓染色体不能正常分离D. 该个佈的性腺中对能介有染色体数为46、47和48的細腮4•为促进木楝在我国园林绿化中的推广应用，筛选出木搀嫩枝打题的最佳条件，果林业单位迥 彳j 了不冋浓咬外源滋索IBA （引喙J •酸〉对两个不冋&种木陛的嫩枝抒孙生根彫响的预实验， 结果H 下图所示（CK 足刘照组）。
安徽省江淮十校2021届高三上学期第一次联考试题 数学(理)Word版含答案
安徽省江淮十校2021届高三上学期第一次联考试题（8月）数学（理）1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠+==0,1|x x x y y A ，集合{}04|2≤-=x x B ,若P B A = 则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 2．复数z 满足2|43|=++i z ，则z z ⋅的最大值是( ) A ．7B ．49C ．9D ．813.设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量,a b 均为非零向量，()2,a b a a b -⊥=，则,a b 的夹角为（） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5.已知1331ln ,,log x y e z ππ-===,则( )A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为( ) A ．2π332(π3)--B ．32(π3)-CD7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变．小．8..某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在()s x s x +-,内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%9..将余弦函数的图像向右平移2π个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半,得到函数)(x f 的图像，下列关于)(x f 的叙述正确的是（ ）A.最大值为1，且关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43π对称； B.周期为π，关于直线2π=x 对称；C.在⎪⎭⎫ ⎝⎛-8,6ππ上单调递增，且为奇函数；D.在⎪⎭⎫⎝⎛40π，上单调递减，且为偶函数.10..对任意实数x ，恒有01≥--ax e x成立，关于x 的方程01ln )(=---x x a x 有两根为)(,2121x x x x <，则下列结论正确的为（ ）A ．221=+x xB ．121=⋅x xC ． 221=x x D ．12x e x =11.已知双曲线C:12222=-by a x 的两条渐近线分别为,21l l 与A 与B 为1l 上关于坐标原点对称的两点，M 为2l 上一点且e k k BM AM =⋅，则双曲线离心率e 的值为（ ） A. 5 B. 215+ C. 2 D. 212.在四面体ABCD 中，若AD DB AC CB 1====，则当四面体ABCD 体积的最大时其外接球表面积为（） A ．π35 B ．π34C ．πD ．π2 二．填空题(每题5分，共20分)13已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为________14．已 知 5(1)(2)x x a ++的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2, 则 其 展 开 式 中 含2x 项 的 系 数 是 _______15.关于x 的方程0cos 2sin =++a x x 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，内有解，则实数a 的取值范围是__________16. 已知抛物线C :y x 42=的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线与B A ,两点且2λ=()为非零常数λ，以A 为切点作抛物线C 的切线交直线：1-=y 与M 点，则MF 的长度为__（结果用含λ式子表示）17. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()1216++=n n n S n （1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：21<n T 18ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若C B A 222sin 3sin sin =-,322sin =A ，且0>⋅AC BA ， （1）求CBsin sin ； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积。
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷(理科)
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−5x−6>0}，集合B={x|4<x≤7}，则A∪B=()A. (6,7]B. (4,7]C. (−∞,−1)∪(4,+∞)D. (−∞,2)∪(3,+∞)2.已知复数z=1+i，z−是z的共轭复数，若z−⋅a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为()A. −2B. −1C. 1D. 23.已知sinα=35，α∈(π2,3π2)，则tan2α=()A. −247B. −2425C. 2425D. 2474.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A. 0°B. 1°C. 2°D. 3°5.函数f(x)=xcosx2|x|的图象大致为()A. B.C. D.6.已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为()A. √22B. √33C. √2−1D. √3−17.现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为()A. 120B. 150C. 240D. 3008.将数列{3n−1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的第10项为()A. 210−1B. 210+1C. 220−1D. 220+19. 已知函数f(x)=e |lnx|，a =f(1)，b =f(log 2√3)，c =f(21.2)，则( )A. b >c >aB. c >b >aC. c >a >bD. b >a >c10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =csinB ，则tan A 的最大值为( )A. 1B. 54C. 43D. 3211. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P ，M ，N 分别为DD 1，AB ，BC 的中点，则四面体OPMN 的体积为( )A. 512B. 56C. 5√212D. 5√2612. 已知函数f(x)=elog a x −a xe (a >1)没有零点，则实数a 的取值范围为( )A. (e,+∞)B. ( √e ，+∞)C. (1,+∞)D. ( e 1e ，+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设f(x)是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(−1,1]时，f(x)={x 2+2x +m,−1<x <0√x,0≤x ≤1，其中m ∈R.若f(116)=f(32)，则m 的值是______ ． 14. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，且|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ 和a ⃗ +b ⃗ 的夹角为______ ．15. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA =PB =√22AB ，若△PBC 和△PCD 的面积分别为1和√3，则四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为______ ． 16. 已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则△AF 1F 2的内切圆半径r 1与△BF 1F 2的内切圆半径r 2之比r 1r 2为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =a n+1−1．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足2b n+1+S n+1=2b n +2a n ，证明数列{a n +b n }为等差数列，并求其公差．18. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =CD =√2，且BC ⊥CD.以BD为折痕把△ABD 和△CBD 向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置(E,F 不重合)． (1)求证：EF ⊥BD ；(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，点E 在平面ABCD 内的正投影G 为△ABD 的重心，且直线EF 与平面FBD 所成角为60°，求二面角A −BE −D 的余弦值．19. 为了调查某地区全体高中生的身高信息(单位：cm)，从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人.调查得到样本数据x i (i =1,2，…，60)和y j (j =1,2，…，40)，x i 和y j 分别表示第i 个男生和第j 个女生的身高.经计算得∑x i 60i=1=10500，∑x i 260i=1=1838400，∑y j 40j=1=66000，∑y j 240j=1=1090200．(1)请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数z −和方差s 2；(2)根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X 服从正态分布N(μ,σ2)，用z −作为μ的估计值，用s 2作为σ2的估计值.若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在(171,184.4)的人数，求ξ的数学期望．附：(1)数据t 1，t 2，…，t n 的方差s 2=1n ∑(n i=1t i −t −)2=1n (∑t i 2n i=1−nt −2).(2)若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6827；P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9545；P(μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9973；√45≈6.7．20. 已知动圆P 与x 轴相切且与圆x 2+(y −2)2=4相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)已知E(4,2)，过点(0,4)作直线交曲线C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作曲线C 的切线相交于D ，当△ABE的面积S 1与△ABD 的面积S 2之比S 1S 2取最大值时，求直线AB 的方程．21. 已知函数f(x)=2e x +aln(x +1)−2．(1)当a =−2时，讨论f(x)的单调性；(2)当x ∈[0,π]时，f(x)≥sinx 恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =1+√32t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为[k −1+3sin k (kπ4+θ)]ρk =4． (1)当k =1时，求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)当k =2时，C 1与C 2交于A ，B 两点，设P 的直角坐标为(0,1)，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|+|x+1|．(1)解不等式f(x)>x+2；(2)记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，证明：√a3+b3+c33≥a2+b2+c23．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|x <−1或x >6}，B ={x|4<x ≤7}， ∴A ∪B =(−∞,−1)∪(4,+∞)． 故选：C ．可求出集合A ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵复数z =1+i ，z −是z 的共轭复数， ∴z −=1−i ， ∵z −⋅a =2+bi ，其中a ，b 均为实数， ∴(1−i)a =2+bi ，∴a −ai =2+bi ， ∴{a =2−a =b，解得a =2，b =−2．∴b 的值为−2． 故选：A ．求出z −=1−i ，从而a −ai =2+bi ，由此能求出b 的值．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵sinα=35，α∈(π2,3π2)，∴cosα=−45，则tanα=35−45=−34，则tan2α=2 tanα1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−321−916=−2416−9=−247，故选：A ．利用同角关系求出cosα，和tanα，然后利用正切的倍角公式进行计算即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用同角关系式结合二倍角公式进行计算是解决本题的关键，是基础题． 4.【答案】C【解析】解：因为五角星的每个角都是36°，由O 1，O 3都为五角星中心点可知，O 1O 3平分∠BAO 3， 所以∠BAO 3=18°，又∠α=16°，所以边AB 的倾斜角为18°−16°=2°． 故选：C ．利用五角星的内角以及几何性质可知，∠BAO 3=18°，从而求解得到答案．本题考查了直线倾斜角的求解，同时考查了五角星几何性质的理解和应用，解题的关键是掌握倾斜角的定义，属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：f(−x)=−xcos(−x)2|−x|=−xcosx 2|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， 由f(x)=0得x =0或cosx =0，即右侧第一个零点为x =π2时，当0<x <π2，f(x)>0，排除B ，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x<π2，f(x)>0，利用排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：设椭圆的左焦点为M，则M(−c,0)，所以|OM|=c，又|OP|=|OF|=c，且∠POF=120°，所以|OP|=|OM|=c，∠POM=60°，所以三角形POM为边长为c的等边三角形，则点P的坐标为(−c2,√3c2)，则由椭圆的定义可得|PM|+|PF|=2a，即c+c2(√3c2)=c+√3c=2a，所以c a=√3+1=√3−1，所以椭圆的离心率为√3−1，故选：D．设出椭圆的左焦点M，根据已知得出三角形POM为等边三角形，由此求出点P的坐标，再利用椭圆的定义可得|PM|+ |PF|=2a，化简即可求解．本题考查了椭圆的性质与定义，涉及到等边三角形的性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，包括两种情况，一是按照2，2，1分配，有12⋅C52⋅C32⋅A33=90种结果，二是按照3，1，1分配，有12⋅C51⋅C41⋅A33=60种结果，根据分类加法得到共有90+60=150，故选：B．一是按照2，2，1分配，二是按照3，1，1分配，根据分类计数原理得到结果．本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列．8.【答案】B【解析】解：设b n=3n−1，c n=2n+1，令b m=c n，m，n∈N∗，则3m−1=2n+1，解得m=2n+23，又因为m，n∈N∗，所以n=2，4，6，···，即a1=c2，a2=c4，a3=c6，···，所以a10=c20=210+1．故选：B．首先设b n=3n−1，c n=2n+1，然后令b m=c n，结合m，n∈N∗，得到n可能取值，找到a n与c n的规律，即可得到答案．本题考查了归纳推理的应用，解题的关键是通过推理找到规律性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=e|lnx|={x,x≥11x,0<x<1，a=f(1)=1，b=f(log2√3)=1log√3=log√32∈(1,2)，c=f(21.2)=21.2>2，则c>b>a．故选：B．先对已知函数化简，代入后确定a，b，c的范围，即可比较大小．本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的性质，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，a=csinB，所以sinA=sinCsinB，整理得：sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，故两边都除以sin B sin C，得到1tanC +1tanB=1，故1≥2√1tanBtanC，整理得tanBtanC≥4，当且仅当tanB=tanC=2时，等号成立，所以tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC=−tanB⋅tanC1−tanBtanC=11−1tanB⋅tanC，当tan B tan C取最小值时，1tanBtanC 取最大值，1−1tanBtanC取最小值，故11−1tanB⋅tanC的最大值为43，即当tanBtanC=4时，tan A的最大值为43．故选：C．直接利用三角函数关系式的变换，正弦定理和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，求得PM=PN=√12+22+12=√6，OM=ON=√12+22=√5，OP=√12+(√2)2=√3，MN=√2，取MN的中点Q，连接PQ，OQ，可得PQ⊥MN，OQ⊥MN，PQ=√PN2−NQ2=√6−12=√222，OQ=√ON2−NQ2=√5−12=3√22，在△OQP 中，由余弦定理可得，cos∠OQP =112+92−32×3√22×√222=3√11，∴sin∠OQP =√1−cos 2∠OQP =√23√11， 则O 到平面PMN 的距离ℎ=OQ ⋅sin∠OQP =3√22√23√11=√11．∴V O−PMN =13×12×√2×√222×√11=56．故选：B ．由题意画出图形，分别求出PM 、PN 、MN 、OP 、OM 、ON 的长度，再求出O 到平面PMN 的距离，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】A【解析】解：由函数f(x)=elog a x −a xe (a >1)没有零点， 根据指数与对数的性质，等价于a xe >elog a x ， 即xlog a x <xe⋅a x e，∴a log a x ⋅log a x <xe ⋅a xe ……①； 构造函数g(x)=x ⋅a x ， 则g′(x)=a x +a x lna >0， ∴g(x)在R 单调递增， 可得①式等价于log a x <xe ，当y =log a x 与y =xe 相切时，设切点为(x 0,y 0) 则{y 0=log a x 0y 0=x 0e1xlna=1e ，解得a =e ， ∴要使log a x <xe 成立，则a >e ∴实数a 的取值范围是(e,+∞)． 故选：A ．由函数f(x)=elog a x −a xe (a >1)没有零点，根据指数函数的图象和对称函数的图象则有a xe >elog a x ，等价于xlog a x <xe ⋅a x e，构造函数g(x)=x ⋅a x ，利用单调性即可求解实数a 的取值范围．考查函数图象与零点关系的理解，构造函数，转化思想的综合应用，属于难题题． 13.【答案】1【解析】解：∵f(x)是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(−1,1]时，f(x)={x 2+2x +m,−1<x <0√x,0≤x ≤1，∴f(32)=f(−12)=(−12)2+2×(−12)+m =−34+m ，f(116)=√116=14， ∴14=−34+m ⇒m =1，故答案为：1．根据已知中函数的周期性以及函数的解析式，结合已知的等式，可得结论． 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，属于基础题． 14.【答案】45°【解析】解：根据题意，设a ⃗ 和a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ，|a ⃗ |=|b⃗ |=t ， 若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0， 则|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2t 2，则|a ⃗ +b ⃗ |=√2t ， a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =t 2，则有cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ +b⃗ |=t 2t×√2t=√22， 又由0°≤θ≤180°，则θ=45°， 故答案为：45°．根据题意，设a ⃗ 和a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ，|a ⃗ |=|b ⃗ |=t ，将|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，由此求出|a ⃗ +b ⃗ |、a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题． 15.【答案】6π【解析】解：如图，在四棱锥P −ABCD 中，∵PA =PB =√22AB ，∴PA 2+PB 2=AB 2，即PA ⊥PB ，则△PAB 为等腰直角三角形， ∵ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD =AB ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥PAB ，则PB ⊥BC ，设PA =PB =a ，BC =b ， 则AB =CD =√2a ，PC =PD =√a 2+b 2，可得等腰三角形PCD 底边CD 上的高为√a 2+b 2−a 22=√a 22+b 2，∵△PBC 和△PCD 的面积分别为1和√3，∴{12ab =112⋅√2a ⋅√a 22+b 2=√3，解得a =b =√2，则AB =√2a =2，BC =√2，设AC ∩BD =O ，则O 为三棱锥P −ABCD 外接球的球心， ∴R =12√AC =12√4+2=√62， 则四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=4π×64=6π．故答案为：6π．由已知画出图形，可知三角形PAB 为等腰直角三角形，再由已知三角形面积求出底面矩形的长与宽，求出矩形对角线长，得到四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 16.【答案】3【解析】解：记△AF 1F 2的内切圆圆心为C ， 边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 则|AM|=|AN|，|F 1M|=|F 1E|，|F 2N|=|F 2E|， 由|AF 1|−|AF 2|=2a ，即|AM|+|MF 1|−(|AN|+|NF 2|)=2a ，得|MF 1|−|NF 2|=2a ， 即|F 1E|−|F 2E|=2a ，记C 的横坐标为x 0，则E(x 0,0)， 于是x 0+c −(c −x 0)=2a ，得x 0=a ，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，直线l 的倾斜角为60°，则∠OF 2D =30°，∠CF 2O =60°，在△CEF 2中，tan∠CF 2O =tan60°=r1|EF|， 在△DEF 2中，tan∠DF 2O =tan30°=r2|EF|， 可得r 1r 2=tan60°tan30∘=3，故答案为：3．由已知可得两三角形内心的横坐标a ，即有CD ⊥x 轴，在△CEF 2，△DEF 2中，运用解直角三角形知识，运用正切函数的定义即可求得r 1r 2．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=a 2−1，所以a 2=2， 则a 2=2a 1，因为S n =a n+1−1.....①所以当n ≥2时，S n−1=a n −1......②①−②可得：a n =a n+1−a n ，即a n+1=2a n (n ≥2)， 显然当n =1时也成立，所以数列{a n }是以首项为1，公比为2的等比数列， 则通项公式为a n =2n−1；(2)证明：由(1)可得a n+1=2n ，则S n =2n −1，所以S n+1=2n+1−1，所以2b n+1+2n+1−1=2b n +2a n ，所以2b n+1+2a n+1−1=2(b n +a n )，即2(b n+1+a n+1)−2(b n +a n )=1−2(b n +a n )=1=1， 所以(b n+1+a n+1)−(b n +a n )=12，所以数列{a n +b n }是以a 1+b 1为首项，以12为公差的等差数列， 且公差为12．【解析】(1)令n 换为n −1，两式作差即可求解；(2)根据(1)求出S n+1，然后代入关系式化简，根据等差数列的定义即可证明． 本题考查了根据前n 项和求解数列的通项公式的应用，考查了等差数列的定义以及学生的运算推理能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取BD 的中点O ，连结FO 和EO ，如图所示， 由题意可知，△FBD 和△BED 均为等腰三角形，且BF =DF ，BE =ED ， 故F O ⊥BD ，EO ⊥BD ，又因为FO ∩EO =O ，所以BD ⊥平面EFO ， 又因为EF ⊂平面EFO ，所以EF ⊥BD ；(2)解：由(1)可知，EO ⊥BD ，又因为平面EBD ⊥平面FBD ，平面EBD ∩平面FBD =BD ，EO ⊂平面EBD ，所以EO ⊥平面FBD ，直线EF 与平面FBD 所成的角为∠EFO ，可得∠EFO =60°， 因为FB =FD =√2，FB ⊥FD ，O 为BD 的中点，所以FO =12BD =1，所以EO =√3， 所以BE =ED =BD =2，即△EBD 为等比三角形，G 为等边△ABD 的中心， 建立如图所示的空间直角坐标系如图所示， 则A(0,√3,0),B(−1,0,0),D(1,0,0),E(0,√33,2√63)， 则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√33,2√63)，设n ⃗ =(x,y,z)为平面ABE 的法向量，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −√3y =0x +√33y +2√63z =0， 令z =1，可得x =−√6,y =√2，则n ⃗ =(−√6,√2,1)，设平面BED 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =0x +√33y +2√63z =0， 令z =−1，可得x =0，y =2√2，故m ⃗⃗⃗ =(0,2√2,−1)， 故|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=33×3=13， 所以二面角A −BE −D 的余弦值为13．【解析】(1)取BD 的中点O ，连结FO 和EO ，利用线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面EFO ，由线面垂直的性质定理即可证明EF ⊥BD ；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面ABE 与平面BDE 的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可．本题考查了翻折问题，要弄清翻折前后不变的量，对于空间角问题，一般会建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：（1）z −=∑x i 60i=1+∑y j 40j=160+40=10500+6600100=171，s 2=1100[（x 1-z −）²+（x 2-z −）²+…+（x 60-z −）²+（y 1-z −）²+…+（y 40-z −）²] =1100（x 12-2x 1z −+z −²+…+x 60²-2x 60z −+z −²+y 1²-2y 1z −+z −²+…+y 40²-2y 40z −+z −²） =1100×[∑x i 260i=1+∑x i 260i=1-2(∑x i 60i=1+∑y j 40j=1）z −+100z −²] =1100×（∑x i 260i=1+∑x i 260i=1-100z −²） =1100×（1838400+1090200-100×171×171） =45．（2）X ~N （171，45）， σ2=45，σ=√45≈6.7，所以P （171≤X ≤184.4）=P （μ＜X ＜μ+2σ）=P(μ−2σ＜X ＜μ+2σ)2=0.95452=0.4772，ξ的可能取值为0，1，2，3，4， P （ξ=0）=（1-0.4472）4=0.0747，P （ξ=1）=C 41（1-0.4472）³×0.4472=0.2728 P （ξ=2）=C 42（1-0.4472）²×0.4472²=0.3734，P （ξ=3）=C 43（1-0.4472）×0.4472³=0.2272， P （ξ=4）=0.44724=0.0519， E （ξ）=0×0.0747+1×0.2728+2×0.3734+3×0.2272+4×0.0519=1.9088．【解析】（1）利用已知数据及平均数公式和方差公式计算即可得解；（2）根据正态分布的概率计算身高在（171，184.4）的概率，由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可求得数学期望．本题主要考查正态分布，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题． 20.【答案】解：(1)由题意知，P 到点(0,2)的距离等于它到直线y =−2的距离，由抛物线的定义知，圆心P 的轨迹是以(0,2)为焦点，以y =−2为准线的抛物线(除去坐标原点)， 则C 的方程为：x 2=8y(x ≠0)．(2)由题意知，E(4,2)在曲线C 上，直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y =kx +4， ∵直线AB 不经过E 点，知k ≠−12．联立曲线方程有{y =kx +4x 2=8y ，得x 2−8kx −32=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−32， 以A 为切点的切线方程为y −y 1=x 14(x −x 1)，即y =x 14x −x 128，同理以B 为切点的切线为y =x 24x −x 228，∴由{y =x14x −x 128y =x 24x −x 228，得D(4k,−4)， 设E 到AB 的距离为d 1，D 到AB 的距离为d 2，则S 1S 2=d 1d 2=|4k−2+4|k 2+1|4k 2+4+4|√2=|2k+1||2k 2+4|，设2k +1=t(t ≠0)，则S 1S 2=2|t+9t−2|，∴当t =3，即k =1时，S 1S 2取最大值，此时直线AB 的方程为x −y +4=0．【解析】(1)由题设，结合抛物线的定义知：圆心P 的轨迹是以(0,2)为焦点，以y =−2为准线的抛物线(除去坐标原点)，写出曲线方程即可．(2)由题意设AB 方程为y =kx +4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)并联立曲线C ，根据韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，进而求切线交点D 的坐标，若E 到AB 的距离为d 1，D 到AB 的距离为d 2，即有S 1S 2=d 1d 2，可得S1S 2关于k 的函数，根据最值求k 的值并写出AB 的方程．本题考查利用抛物线定义求轨迹方程，考查设而不求法在解析几何中的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =−2时，f(x)=2e x −2ln(x +1)−2， 所以f′(x)=2e x −2x+1=2(e x −1x+1)，令f′(x)=0，得x =0，所以当x ∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的单调递减区间为(−1,0)，单调递增区间为(0,+∞)．(2)令ℎ(x)=f(x)−sinx =2e x +aln(x +1)−2−sinx 且有ℎ(0)=0，所以ℎ′(x)=2e x +ax+1−cosx ，①当a ≥0时，2e x −cosx ≥0，ax+1≥0， 所以ℎ′(x)≥0，所以ℎ(x)在(0,π)上单调递增，即ℎ(x)≥ℎ(0)=0， ②当a <0时，ℎ′(x)=2e x +ax+1−cosx ， ℎ″(x)=2e x −a(x+1)2+sinx ≥0恒成立，所以ℎ′(x)在(0,π)上为增函数，即ℎ′(x)≥ℎ′(0)=a +1，当−1≤a ≤0时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(0,π)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0， 当a <−1时，存在x 0∈(0,π)使得ℎ′(x 0)=2ex 0+ax0+1−cosx 0=0，当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0， x ∈(x 0,π)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)min =ℎ(x 0)=2e x 0−2ln(x 0+1)−2−sinx 0，所以ℎ′(x 0)=2e x0+ax 0+1−cosx 0=0，因为ax 0+1<0，−2ln(x 0+1)<0，cosx 0−sinx 0−2<0， 所以ℎ(x 0)<0，不成立，综上，a 的取值范围为[−1,+∞)．【解析】(1)当a =−2时，f(x)=2e x −2ln(x +1)−2，求导得f′(x)=2(e x −1x+1)，令f′(x)>0，f′(x)<0，即可得单调区间．(2)令ℎ(x)=f(x)−sinx =2e x +aln(x +1)−2−sinx 且有ℎ(0)=0，求导得ℎ′(x)=2e x +ax+1−cosx ，分两种情况①当a ≥0时，②当a <0时，求得a 的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =1+√32t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x +y −1=0， 当k =1时，曲线C 2的极坐标方程为[k −1+3sin k (kπ4+θ)]ρk =4，转换为3ρsin(π4+θ)=4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为3x +3y −4√2=0． (2)当k =2时，[k −1+3sin k (kπ4+θ)]ρk =4，转换为[2−1+3sin 2(kπ4+θ)]ρ2=4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为4x 2+y 2=4．把曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =1+√32t (t 为参数)，代入4x 2+y 2=4， 得到7t 2+4√3t −12=0， 所以t 1+t 2=−4√37，t 1t 2=−127，所以1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√63．【解析】(1)直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)f(x)>x +2即为|x −2|+|x +1|>x +2等价为{x ≤−12−x −x −1>x +2或{−1<x <22−x +x +1>x +2或{x ≥2x −2+x +1>x +2，解得x ≤−1或−1<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)；(2)证明：f(x)=|x −2|+|x +1|≥|x −2−x −1|=3，当且仅当−1≤x ≤2时取得等号， 则f(x)的最小值为3，a +b +c =3，a 3+b 3+c 3=(a 3+b 3+c 3)(a +b +c)3=13[(a 32)2+(b 32)2+(c 32)2][(a 12)2+(b 12)2+(c 12)2] ≥13(a 32⋅a 12+b 32⋅b 12+c 32⋅c 12)2=13(a 2+b 2+c 2)2，当且仅当a =b =c 时取得等号， 所以√a3+b 3+c 33≥a 2+b 2+c 23．【解析】(1)由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； (2)由绝对值的性质求得m =3，再由柯西不等式和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2021届江淮十校高三联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前2021届江淮十校高三联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}2log 2B y y x ==+，全集U =R ，则下列结论正确的是（） A ．A B A =B ．A B B ⋃=C ．UA BD ．UB A ⊆答案：D【分析】先求出集合A 和集合B ，再依次判断选项的正误. 解：由2230x x -++≥解得312x -≤≤，故312A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭， 2log 22y x =+≥，故{}2B y y =≥，A B ∴⋂=∅，故A 错误；312A B x x ⎧⋃=-≤≤⎨⎩或}2x ≥，故B 错误；{1UA x x =<-或32x ⎫>⎬⎭，则(){}2U A B x x ⋂=≥，故C 错误； 可得UB A ⊆，故D 正确.故选：D ．2．已知函数()f x 及其导函数()'f x ，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（） A ．2()2f x x =+ B ．()ln f x x = C ．()x f x e -= D ．()tan f x x =答案：B【分析】求出函数的导数，解方程()()00f x f x '=即可得解. 解：若0x 是方程()()f x f x '=的解，则0x 是“巧值点”， 选项A ，()2f x x '=，令222+=x x ，得2220x x +=-无解．选项B ，1()f x x '=，令1ln x x=，由图象知有一个根 选项C ，()xf x e -'=-，令x x e e --=-，即0x e -=无解 选项D ，21()cos f x x'=，令21tan cos x x =，即sin 22x =无解，故选：B3．已知3a =，4b =，()()23261b a b a -⋅+=，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 答案：D【分析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，由平面向量数量积的运算性质可求得a b ⋅的值，可计算出cos θ，结合0θπ≤≤可求得θ的值. 解：设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()2223244337461b a b a ba b a a b -⋅+=-⋅-=-⋅=，可得6a b ⋅=-，所以，61cos 342a b a bθ⋅-===-⨯⋅， 0θπ≤≤，因此，23πθ=. 故选：D.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2 B ．43C ．4D ．4-答案：C【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 解：解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．5．函数2cos ()sin x x f x x x+=+在[],ππ-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A【分析】先判断出函数()f x 的奇偶性，然后根据()1f 的取值范围判断出()f x 的大致图象. 解：()()f x f x =-，()f x ∴为奇函数，又()cos111sin11f +=+，0cos1sin1<<，0(1)1f ∴<<，故选：A ．点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c B b A a B +=-，则∠B=（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 答案：D【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得. 解：由正弦定理可得：2sinCcosB sinBcosA sinAcosB+=-()2sin sinCcosB A B sinC =-+=-，1223cosB B π=-=. 故选：D点评：此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.7．函数()f x ，()g x 满足：对任意x ∈R ，都有()224()f x x g x -+=，若关于x 的方程()cos 0g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为（） A ．5 B ．6C ．8D ．9答案：A【分析】根据题意得出()cos g x x π=-只有五个根，根据数形结合可以直接求解 解：224y x x =-+关于直线1x =对称．()y g x ∴=的图象也关于直线1x =对称，又方程()cos 0g x x π+=只有5个根，得()cos g x x π=-只有五个根，则其中一个根为1x =,另外四个根两两关于1x =对称，设关于对称的根分别为1x 和2x ，3x 和4x ，则1212x x +=和3412x x +=，∴5个根之和为1225+⨯= 故选：A点评：关键点睛：解题的关键在于利用()cos g x x π=-只有五个根，得到其中一个根为1x =,另外四个根两两关于1x =对称，设关于对称的根分别为1x 和2x ，3x 和4x ，则1212x x +=和3412x x +=，进而求解，难度属于基础题 8．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且恒有[]()ln 1f f x x -=，则“1a >”是“()1f x ax ≤-恒成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】令()ln t f x x =-，由题可求得1t =，得出()ln 1f x x =+，因为()1f x ax ≤-恒成立等价于ln 2x a x+≥对0x ∀>恒成立，利用导数求出ln 2()x x x ϕ+=的最大值即可判断.解：令()ln t f x x =-，则()ln f x x t =+．()ln 1f t t t ∴=+=()ln 1g t t t =+-是增函数且(1)0g =，1t ∴=()ln 1f x x ∴=+，ln 2()1ln 11x f x ax x ax a x+∴≤-⇔+≤-⇔≥对0x ∀>恒成立． 令ln 2()x x x ϕ+=，2ln 1()x x x ϕ--'=， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；max 1()e x e ϕϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，a e ∴≥．1a >是a e ≥的必要不充分条件．故选：B ．点评：关键点睛：本题考查必要不充分条件的判断，解题的关键是求出()ln 1f x x =+，将()1f x ax ≤-恒成立等价于ln 2x a x+≥对0x ∀>恒成立，利用导数求最值. 9．已知OAB ，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足12OE ED =，则EO EA ⋅的值为（） A ．328- B ．121-C ．29-D ．221-答案：D【分析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得OD =，再由平面向量数量积的运算律即可得解. 解：由题意，作出图形，如图，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-12cos 2cos 1OA OB AOB AOB ∴⋅=⨯∠=∠=-，1cos 2AOB ∴∠=-， 由()0,AOB π∠∈可得23AOB π∠=， 222cos 7AB OA OB OA OB AOB ∴=+-⋅⋅⋅∠=又113sin 222AOB S OA OB AOB OD AB =⋅⋅⋅∠=⋅⋅=△，则37OD =， ()222232299721EO EA OE ED DA OE OD ∴⋅=-⋅+=-=-⋅=-⨯=-.故选：D ．10．函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（） A ．[,2]ππB ．9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D【分析】设4t x πω=+，因为[]0,2x ∈，所以,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，即函数2sin y t =的图象在,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，结合正弦函数的图象可得答案.解：设4t x πω=+，因为[]0,2x ∈，所以,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点 即函数2sin y t =的图象在,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，如图则59 2,422πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，917,88πωπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选：D．点评：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最值的个数求参数的范围，解答本题的关键是利用换元的思想，设4t xπω=+，将问题转化为函数2siny t=的图象在,244tππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，属于中档题.11．函数222,3()11,316x ax a xf xax x⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a满足()na f n=，*n∈N，且为递增数列．则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：B【分析】根据分段函数的特征，以及数列在*n N∈是单调递增数列，列式求解. 解：{}n a是单调递增数列，所以0a>，数列{}na是单调递增数列2233321142222316aaa a a⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩.故选：B．点评：易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是1n=和2n=时，数列的单调性，容易和函数222,3y x ax a x=-+<时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点.12．已知函数2()(2)x x f x e a e x =+--有两个零点，则实数a 取值范围是（） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(),1-∞ D ．(,1)-∞-答案：C【分析】函数2()(2)xx f x ea e x =+--有两个零点,即2x x a e xe -=-++，令()2x x g x e xe -=-++，求出导数，得到()g x 的单调性，从而得到答案.解：令2(2)02xx x x ea e x a e xe -+--=⇒=-++．即2x x a e xe -=-++有两个实数根，设()2xxg x e xe -=-++，即()2xxg x e xe-=-++的图象与y a =有两个交点.则21()(1)x xxxx e g x e x e e---'=-+-= 令2()1xh x x e=--单调递减.又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，则()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，则()0g x '<，()g x 单调递减.max ()(0)1g x g ∴==．又当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞1a ∴<，故选：C ．点评：关键点睛：本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，解得本题的关键是将问题转化为2x x a e xe -=-++有两个实数根，即()2xxg x e xe -=-++的图象与y a =有两个交点,利用导数研究出()g x 的单调性，属于中档题. 二、填空题13．函数()sin 22f x x x =-的图象向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象．命题1p ：()y g x =的图象关于直线2x π=对称；命题2p ：,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()y g x =的一个对称中心．则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()12p p ∧⌝，3q ：()()12p p ⌝∧⌝，4q ：()12p p ⌝∨中，是真命题的为________．答案：1q ，4q【分析】首先利用辅助角公式将函数化为()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由复合命题的真假性判断即可得到答案.解：由()sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭， 则()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 由()2232x k k Z πππ-=+∈，解得()7212k x k Z ππ=+∈，显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题. 由()223x k k Z ππ-=∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，显然,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 对称中心，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()212:q p p ∧⌝为假命题；()()312:q p p ⌝∧⌝为假命题；()412:q p p ⌝∨为真命题；故答案为：1q ，4q点评：关键点睛：本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假，解题的关键是熟记三角函数的性质以及复合命题真假判断，属于基础题. 14．已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________．答案：12-【分析】由题可判断角α的终边落在第三象限，求出4sin 5α=-，4tan 3α=即可得出.解：点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<． ∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α=115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-. 故答案为：12-.15．已知数列{}n a 满足()2*21232n n n a a aa n +=∈N ，数列{}n b 满足cos 2n n n b a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1232020b b b b ++++=________．答案：2022245-【分析】由题设可知当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=，两式作比，可求出数列{}n a 的通项公式为，进而求得2cos 2nn n b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由余弦函数的特点可知当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2n n b =，再利用等比数列求和公式即得结果. 解：由题设22122n nn a aa +=，当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=． 2(2)n n a n ∴=≥，又12a =满足，2nn a ∴=，*n ∈N ．2cos 2n n n b π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2nn b =24682020123202022222b b b b ∴++++=-+-+++()2101010112022221(4)44245512⎡⎤----+-⎣⎦===--．故答案为：2022245-点评：易错点睛：本题考查数列求通项与等比数列求和，求数列通项公式常用的方法： （1）由n a 与前n 项和n S 的关系求通项公式，利用1(2)n n n a S S n -=-≥； （2）由n a 与前n 项积n T 的关系求通项公式，利用1(2)nn n a n T T -≥=；用这个方法一定要检验1n =时是否符合，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.16．已知函数111,22()1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数是________． 答案：7【分析】化简得出函数()f x 的表达式，函数()()1g x xf x =-的实数根的个数;即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1yx =的图象，结合函数图象可得出答案.解：当2x ≤时，()31212111122xx f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩函数()()1g x xf x =-的实数根的个数;即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象， 由()()()11112424f f f ===，，，如图，函数()y f x =的图象与1y x =的图象有7个交点.所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7 故答案为：7点评：关键点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x=的图象的交点个数，数形结合可解，属于中档题.三、解答题17．已知函数()2()log 41()xf x kx k =++∈R 为偶函数． （1）求k 的值； （2）已知函数()()22f x xx g x m +=+⋅，[0,1]x ∈，若()g x 的最小值为1，求实数m 的值．答案：（1）1k =-；（2）1m =-．【分析】（1）由函数是偶函数根据()()f x f x -=即可求出；（2）令2x t =，则函数化为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈，根据二次函数的性质讨论对称轴范围即可求解.解：解析：（1）显然()f x 定义域为R ，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，对x ∀<R恒成立， 即()()22og 41lo l g 41xx kx kx -+-=++对任意x ∈R 恒成立，()()2222412log 41log 41log log 4241x xxx x kx x ---+∴=+-+===-+，1k ∴=-．（2）由（1）知()421xxg x m =+⋅+，[]0,1x ∈，令2x t =，则[]1,2t ∈，原函数变为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈．①当12m-<，即2m >-时，min ()(1)21h t g m ==+=，1m ∴=-符合题意； ②当122m ≤-≤，即42m -≤≤-时，222min ()1112424m m mm h t g ⎛⎫=-=-+=-= ⎪⎝⎭， 0m ∴=（舍去）； ③22m->，即4m <-时，min ()(2)521h t g m ==+=，2m ∴=-（舍去）． 综上：1m =-．点评：关键点睛：本题考查已知函数最值求参数，解题的关键是将函数转化为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈，根据二次函数的性质求解.18．在ABC 中，ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ABC 为锐角三角形，且满足条件cos sin 3a B A c +=． （1）求A ∠的大小；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围． 答案：（1）3A π=；（2）(2,6⎤+⎦．【分析】（1）利用正弦定理和正弦函数的两角和公式进行求解即可； （2）利用正弦定理，作边化角，则可整理得，周长4sin 26B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求解 解：解：（1）sin sin a bA B=，且sin sin a B b A =， cos sin a B A c ∴+=，即cos sin a B B c=，即sin cos sin sin A B A B C =． 即sin cos sin sin()sin cos cos sin 3A B A B A B A B A B +=+=+． 即sin sin cos sin 3A B AB =，即tan A = 因为()0,A π∈，3A π∴=．（2）sin sin sin ab cA B C ===，sin 3b B ∴=，c C =， ∴周长2sin 2(sin sin )2sin sin 233333B C B C B B π⎡⎤⎛⎫=++=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，131sin cos sin 2sin cos 24sin cos 232232222B B B B B B B ⎫⎫⎛⎫=+++=++=⋅+⋅+⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4sin 26B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．又ABC 为锐角三角形，,62B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴周长的范围为(2,6⎤⎦．点评：关键点睛：解题关键在于利用正弦定理作边化角，再利用正弦的两角和与差的公式进行化简求解，主要考查学生的运算能力，难度属于中档题19．已知2()3f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]4,6x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）24n a n =-；（2）1,108． 【分析】（1）本题首先可根据题意得出23n S n n =-，然后通过1n n n a S S -=-即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）本题首先可根据24n a n =-得出223n nn b -=⨯，然后根据1160b =-<、20b =以及当3n ≥时0n b >得出n T 的最小值为16-，再然后将()n T mf x >转化为[]min 1()6mf x ->，最后分为0m ≥、0m <两种情况进行讨论，即可得出结果. 解：（1）因为2()3f x x x =-，()n S f n =，所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，当3n ≥时，0n b >， 故12T T =，为n T 的最小值，n T 的最小值为16-，因为对于任意*n ∈N ，总存在[]4,6x ∈，使得()n T mf x >成立，所以[]min 1()6mf x ->， 因为[]4,6x ∈，2239()324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以[]()4,18f x ∈， 当0m ≥时，显然[]min 1()6mf x ->不成立； 当0m <时，[]min 1()6mf x ->，即1186m ->，解得1108m <-，故实数m 的取值范围为1,108. 点评：本题考查数列通项公式的求法以及数列前n 项和的最值的求法，可根据n a 与n S 之间的关系求通项公式，在计算时要注意1n =时是否满足求出的通项公式，考查区间内函数值域的求法，考查计算能力，是难题.20．一根长为L 的铁棒AB 欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁，如图），该走廊由宽度为1m 的平行部分和一个半径为2m 的四分之一圆弧转角部分（弧CD 段，圆心为O ）组成．（1）设TOS θ∠=，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义． 答案：（1）3(sin cos )20,sin cos 2θθπθθθ+-⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ；（2）624；意义是能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为()624m ．【分析】（1）如图，过T 作TM OC ⊥于M ，过B 作BG TM ⊥于G ，利用三角函数，求解即可；（2）设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则有21sin cos 2x θθ-=，可得函数(()223264()211x x L x x x x --==∈--，进而利用导数求出最值解：解析：（1）如图，过T 作TM OC ⊥于M ，过B 作BG TM ⊥于G ，2cos OM θ=，32cos BG θ=-，32cos sin BT θθ-=.同理32sin AN θ=-，32sin cos AT θθ-=．32cos 32sin 3(sin cos )20,sin cos sin cos 2L AT BT θθθθπθθθθθ--+-⎛⎫⎛⎫∴=+=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(2x ⎤∴∈⎦．21sin cos 2x θθ-=，(()223264()211x x L x x x x --∴==∈-- ()()222686()01x x L x x--+'=<-，()L x ∴在(2上单调递减min ()(2)624L x L ∴==．则L 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过()624m ，否则铁棒无法通过，也就说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为()624m ．点评：关键点睛：（1）解题的关键在于作出直角，利用三角函数进行求解（2）解题关键在于，设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得函数(()223264()211x x L x x x x --==∈--，进而利用导数求出最值； 本题难度属于基础题 21．函数21()ln ()2f x x x ax a =++∈R ，23()2x g x e x =+ （1）讨论()f x 在区间(0,2)上极值点个数；（2）若对于0x ∀>，总有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围． 答案：（1）答案见解析；（2）1a e ≤+．【分析】（1）求()f x 的导数()f x '，讨论a 的值得出()f x '的正负情况，判断()f x 的单调性和极值点问题；（2）()()f x g x ≤等价于2ln x e x x ax -+≥，由0x >，利用分离常数法求出a 的表达式，再构造函数求最值即可求出结果.解：解析：（1）由题意得211()x ax f x x a x x++'=++=．设()21x x ax ϕ=++，其24a ∆=-，对称轴方程为2ax =-，()0=1ϕ 若()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)恒成立，即1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭当(0,2)x ∈时，12x x+≥（当且仅当1x =时取等号）， 即2a ≥-时，()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)恒成立，所以此时()0f x '≥恒成立，此时()f x 在(0,2)单调递增，无极值点，当2a <-时，02ax =->，由()010ϕ=> 若()2520a ϕ=+<，即52a <-，所以方程210x ax ++=在(0,2)上有唯一实根0x此时可得()f x 在()00,x 单调递增，()02x ,单调递减，函数()f x 有一个极值点． 当52a =-时，方程2251102x ax x x ++=-+=在(0,2)上有唯一实数根12x = 此时可得()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，函数()f x 有一个极值点． 若022a<-<，()2520a ϕ=+>且240a ∆=->，即522a -<<-时方程210x ax ++=在(0,2)有两个相异的根1x ，()212x x x <，此时()f x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,2x 单调递增，有两个极值点． 综上：当2a ≥-时，无极值点． 当52a ≤-时，1个极值点． 当522a -<<-时，2个极值点．（2）()()f x g x ≤即2ln xe x x ax -+≥，0x，即2ln (0)x e x xa x x+-≤>恒成立令2ln ()(0)x e x xx x x ϕ+-=>，2(1)ln (1)(1)()x e x x x x x xϕ-+++-'=． 0x，(0,1)x ∴∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴单调递增．min ()(1)1x e ϕϕ∴==+，1a e ∴≤+．点评：关键点睛：本题考查含参数的极值的讨论和根据恒成立求参数范围，解答本题的关键是讨论()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)上零点的个数，从而得出函数的单调性，()()f x g x ≤恒成立，即转化为2ln (0)x e x xa x x +-≤>恒成立，进一步转化为求2ln ()(0)x e x xx x xϕ+-=>的最小值，属于中档题.22．若不等式(1)ln 1k x x x -≥+对于[1,)x ∀∈+∞恒成立； （1）求实数k 的取值范围； （2）已知ln ()xf x x=，若()f x m =有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <．求证：123x x e m+>-（其中e 为自然对数的底数） 答案：（1）k 2≤；（2）证明见解析.【分析】（1）令1()ln 1x h x x k x -=-+，求导222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x --+'=-=++，然后令2()2(1)1x x k x ϕ=--+，利用二次函数的性质进行求解即可 （2）根据题意，把问题转化，令ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，然后，得出()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且当x →+∞时，()0f x →，1(1,)x e ∴∈，2(,)x e ∈+∞，进而得出222(3)0mx me x e +-+>①，和211(3)0mx me x e +-+<②，进而利用①-②，可求解解：解析：（1）令1()ln 1x h x x kx -=-+，(1)0h =，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x --+'=-=++ 令2()2(1)1x x k x ϕ=--+，当k 2≤时，(1)420k ϕ=-≥，且对称轴11x k =-≤，所以当1≥x 时，'()0h x ≥，()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)h x h ≥，所以(1)ln 1k x x x -≥+ 当2k >时，(1)420k ϕ=-<，则必存在0x 使得()h x 在()01,x 上单调递减，又(1)0h =，所以不符合题意， 综上：k 2≤（2）()f x m =有两个不同的零点，即1212ln ln x x m x x ==，11ln x mx ∴=，22ln x mx =． 又ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=， ()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且当x →+∞时，()0f x →， 1(1,)x e ∴∈，2(,)x e ∈+∞．由（1）知，当1≥x 时，2(1)ln 1x x x -≥+， 2x e >，21x e ∴>，22221ln 1x x e x e e⎛⎫- ⎪⎝⎭∴>+，即()2222ln 1x e x x e -->+，又22ln x mx =．()()()22212mx x e x e ∴-+>-，222(3)0mx me x e ∴+-+>① 同理：11121ln 1x e e x e x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，即()11121ln e x x e x -->+，()()()11112mx e x e x -+>-，211(3)0mx me x e ∴+-+<②①-②得()()222121(3)0m x x me x x -+-->，即()()2112(3)0x x m x x me -++->⎡⎤⎣⎦210x x ->，()123m x x me ∴+>-，123x x e m∴+>-，得证． 点评：关键点睛：（1）解题的关键在于令1()ln 1x h x x kx -=-+后，通过导数进行判断()h x 的单调性，进而求解；（2）解题的关键在于利用()f x m =有两个不同的零点，即1212ln ln x x m x x ==，得到11ln x mx =，22ln x mx =，进而设出ln ()x f x x=，进而可求解；本题的难度属于困难。