分数指数幂的运算
分数指数幂运算
分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。
如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。
例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。
如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。
例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。
如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。
例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。
需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
6．已知0<x<1，x2－3x＋1＝0，则x －x 的值为()
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
答案：B
解析：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＋1＝3x，∵0<x<1，∴两边除以x，得x＋x－1＝3，∴(x －x )2＝x＋x－1－2＝3－2＝1.又0<x<1，∴x －x ＝ － ＝ <0，∴x －x ＝－1.故选B.
∵ ＝(x3＋y3) ≠(x＋y) ，∴C错；
∵ ＝ ＝3 ，∴D正确，故选D.
4．式子 (a>0)经过计算可得()
A．aB．－
C. D.
答案：D
解析：原式＝ ＝a ＝a ＝ .
5．设x，y，z∈R，xyz≠0，且4x＝6y＝144z，则()
A. ＝ ＋ B. ＝ ＋
C. ＝ ＋ D. ＝ ＋
答案：D
＝2－4× ＋10(2＋ )－10
＝21.
(3)(7＋4 ) －81 ＋32 －2× ＋ × －1
＝[(2＋ )2] －(34) ＋(25) －2×(2－3) ＋2 ×(22)
＝2＋ － ＋8－8＋2
＝4.
11．(13分)已知x ＋x ＝3，计算：
(1)x－x－1；
(2) .
解：(1)将x ＋x ＝3两边平方，得x＋x－1＋2＝32，即x＋x－1＝7，
解析：原式＝2 · · · ·…· ＝2 ·…· ＝2 ＝2－ .
13．(15分)设 的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋ xy＋ 的值．
解：因为 ＝ ＝ ＝2＋ ，
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
近似数的精确度 分数指数幂及运算
近似数的精确度分数指数幂及运算
在数学中，我们经常会遇到需要进行近似数的计算，这时候我们需要考虑到近似数的精确度。
近似数的精确度是指我们所得到的近似数与真实值之间的误差大小。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数的运算中，我们需要注意分母的大小，因为分母越大，分数的精确度就越高。
例如，1/2和1/1000相比，1/2的精确度要高得多。
在进行分数的加减乘除运算时，我们需要先将分数化为相同的分母，然后再进行运算。
这样可以避免分母不同导致的误差。
指数幂是数学中常见的运算方式，它可以用来表示一个数的幂次方。
例如，2的3次方等于8，即2³=8。
在进行指数幂的计算时，我们需要注意底数和指数的大小关系。
如果底数比较大，指数比较小，那么我们可以直接计算出结果。
但如果底数比较小，指数比较大，那么我们需要使用科学计数法来表示结果，以保证精确度。
在运算中，我们还需要注意数值的精确度。
例如，当我们进行小数的加减乘除运算时，我们需要注意小数点后的位数，以保证计算结果的精确度。
如果小数点后的位数太多，我们可以使用四舍五入的方法来保留合适的位数。
在数学中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数、指数幂和运算中，我们需要注意数值
的大小关系和精确度，以避免误差的产生。
分数指数幂运算学案
§指数与指数幂的运算（2）1.理解分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备：（预习教材P 50~P 53，找出疑惑之处） 复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的，其中1n >,n *∈N .简记为：.的式子就叫做，具有如下运算性质：n =；=. 复习2：整数指数幂的运算性质：（1）=⋅n m a a ；（2）()m n a = ；（3）()n ab =.二、新课导学 ※学习探究：引例：a >01025a a ===；23a =，= .新知：规定分数指数幂如下：*(0,,,1)m na a m n N n =>∈>；*1(0,,,1)mnm naa m n N n a-==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：=；=；=(0,)a m N *>∈.（2）将下列分数指数幂写成根式形式：322=；255=；436-=；32-a= )0(≠a .反思：①0的正分数指数幂为 ； 0的负分数指数幂 .②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）s r s r a a a +=；rs s r a a =)(；rr r b a ab =)(．※典型例题 例1求值：=328；=-2125；=-5)21(；=-43)8116(.例2用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >： （1）=•a a 3；（2）a 2•√a 23=；（3）=•3a a；例3计算（式中字母均正）：（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-（2）88341)(-nm例4计算：（1）4325)12525(÷- （2）)0(322>•a aa a小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）②无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？三、总结提升 ※学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.1. 用分数指数幂表示下列各式：=32x)0(>x ；=+44)(b a；=-32)(n m)(n m >；=-4)(n m)(n m >.=56q p)0(>p ；=mm 3.2.计算下列各式=23)4936(；=-814121aa a ；=⨯⨯63125.132；=---)221(2323131x x x课后作业1.化简下列各式：=623b a a b；=a aa2121；=•••415643)(mm m m m2.计算下列各式（式中字母均正）：=1274331aa a ；=÷654332a a a；=-124331)(yx；(16s 2t −625r 4)−32= ； =-÷---)32(431313132a a ba；=----)4)(3)(2(324132213141y x y xyx；=-+--)32)(32(41214121yx y x；=-÷----)6()3(43221314141yxy x x；。
分数指数幂定义
分数指数幂定义
分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。
负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点。
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，
即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方
重点:
1、分数指数幂的含义的理解。
2、根式与分数指数幂的互化。
3、有理指数幂的运算性质。
难点:
1、分数指数幂概念的理解。
2、有理指数幂的运算和化简。
分数指数幂及运算
指数幂运算性质：
(1).aras ars (a 0.r.s Q)
(2). ar s ars (a 0.r.s Q)
(3).abr arbr (a.b 0.r Q)
例和练:
2
例2.求值：8 3
,25
1 2
， 1
5， 16
பைடு நூலகம்
3 4
2 81
分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m.n N , n 1)
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m.n N , n 1)
0的正分数指数幂等于0。0的负分数指数幂没有意 义。
思考：为什么规定a>0?
在把根式化成分数指数幂的时候，一定 要保证底数要化成大于零，负数开奇次方是 有意义的，但先把负号拿到最外边，在把根 式化成分数指数幂。
1.整数指数幂的意义是什么？运算性质是什么？
2.观察下列式子，并总结规律：（a>0）
10
8
1).5 a10 5 a2 5 a2 a 5 .2). a8 a4 2 a4 a 2 .
12
10
3).4 a12 4 a3 4 a3 a 4 .4). a10 a5 2 a5 a 2 .
a2 (4).
a 3 a2
拓展提升：
1.计算：
1
3
（1）.0.0273 ( 17)2 2564 31 ( 2 1)0;
(2).已知5x 4,5y 2.则52xy _______.
1
1
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问题:设a>0 ，5 a10 ，4 a12 分别等于什么？
5 a10
4 a12
你能把下列根式化成分数指数幂的形式吗？
3 a2
b
4 c5
1.我们规定正分数指数幂的意义：
m
a n n am
a 0, m, n N *,且n 1
新课教学
2.我们规定负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
2
2 1
1 1
1 5
2a 3b2 6a 2b3 3a 6b6
3
1 3 8 m4n 8
例题讲解
例4：已知 x x1 3 ，求下列各式的值
(1) x2 x2
1
1
(2) x2 x 2
(3) x x1
3
3
(4) x 2 x 2
三、无理指数幂
•
• • • ·•··• • •
2.1.1分数指数幂的运算复习回顾：定义：如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根. （n>1,且n∈N*）
n是奇数时 xn a
x n a aR
n是偶数时 xn a
xn a a0
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0
2、根式性质
n
(1)( a)n a
a, n为奇数
n
(2)
an
| a |,n为偶数
（2） (ar )s ars , (a 0, r, s R)
（3）(ab)r arbr , (a 0,b 0, r R)
(1) 8 3
例题讲解
1
(2) 25 2
(3) 1 5 2
(4)
16
3 4
81
例题讲解 例2、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0)
(1) a3 a (2) a2 3 a (3) a 3 a
a2 (4)
a 3 a2
例题讲解 例3、化简下列式子（式子中的字母是正数）
(1) ( 3 25 125) 4 25
(a 0, m, n N ,且n 1)
当a=0时，又如何？ ０的正分数指数幂等于０， ０的负分数指数幂没有意义．
新课教学
3.分数指数幂的运算性质：
(1)ar as ars (2)(ar )s ars (3)(ab)r arbr
(a 0,b 0, r, s Q)
例1、求值: 2
•
51.4
5 5 5 5 1.41 1.414 1.4142
1.4143 1.415
5 5 2
51.42
51.5
结论: 一般地,无理指数幂a a 0,是无理数
是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同 样适用于无理数指数幂.
实数指数幂的运算性质：
（1） ar as ars , (a 0, r, s R)