【中考专题】反比例函数与几何图形综合题
中考反比例函数与几何综合
Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。
迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。
中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。
(江西人教)数学中考专题突破【专题4】反比例函数与几何图形综合题(20页)
本的途径，预计2015年仍会延续此命题方式．
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
考向互动探究
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？
2．∠BCO与∠BPD有怎样的数量关系？
3．tan∠BCO的值是多少？怎样求线段OC的长？
4．要求点D的坐标，需要求出哪两条线段的长？怎样求？
5．怎样确定反比例函数的解析式？
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
【解题思路】
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
例 1 [2014·南昌] 如图 T4－1，在平面直角坐标系中，Rt△ 1 PBD 的斜边 PB 落在 y 轴上，tan∠BPD＝ .延长 BD 交 x 轴于点 C， 2 过点 D 作 DA⊥x 轴，垂足为 A，OA＝4，OB＝3. (1)求点 C 的坐标； k (2)若点 D 在反比例函数 y＝ (k＞0)的图象上，求反比例函数 x 的解析式．考点探究专题四来自反比例函数与几何图形综合题
图T4－3
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
解：(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. ∵四边形 ABCD 是梯形，AD＝BC ∴DO＝CE， ∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2. ∵BO＝6，∴DC＝OE＝4， ∴C(4，3)． k 设反比例函数的解析式为 y＝ (k≠0)， x k 根据题意，得 3＝ ， 4
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？
2．B，C，D三点的坐标可以看作由点A(2，6)通过怎样的平
移得到？
3．在将矩形向下平移的过程中，哪两点能同时落在函数图 象上？ 4．将矩形向下平移 a个单位后点A，C对应的点A′，C′的 坐标怎样表示？
反比例函数与几何的综合应用及答案
专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程组,解方程组即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6x>0的图象交于Am,6,B3,n 两点． 1求一次函数的解析式；2根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； 3求△AOB 的面积．第1题2．如图,点A,B 分别在x 轴、y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,AO ＝CD ＝2,AB ＝DA＝,反比例函数y ＝x kk ＞0的图象过CD 的中点E.1求证：△AOB ≌△DCA ； 2求k 的值；3△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点F 在y 轴上,试判断点G 是否在反比例函数的图象上,并说明理由．第2题反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图,过反比例函数y ＝x 6x ＞0的图象上一点A 作x 轴的平行线,交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点B,过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点D,交x 轴于点C,连接AD 交y 轴于点E,若OC ＝3,求OE 的长．第3题反比例函数与矩形的综合4．如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别是4,0和0,2,反比例函数y ＝x kx>0的图象过对角线的交点P 并且与AB,第4题BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________．5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB. 1求证：四边形AEBD 是菱形；2如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．第5题反比例函数与菱形的综合6．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象第6题经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为A ．2B ．4C ．2D ．47．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上,点D 的坐标为4,3．1求k 的值；2若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上时,求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．第7题反比例函数与正方形的综合8．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,反比例函数y ＝x kx ＞0,k ≠0的图象经过线段BC 的中点D1求k 的值；2若点Px,y 在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q,记四边形CQPR 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．第8题反比例函数与圆的综合第9题9．如图,双曲线y ＝x kk>0与⊙O 在第一象限内交于P,Q 两点,分别过P,Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 的坐标为1,3,则图中阴影部分的面积为________．10．如图,反比例函数y ＝x kk ＜0的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验,求针头落在阴影区域内的概率．第10题专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点,既有与本学科知识的综合,也有与其他学科知识的综合,题型既有选择、填空,也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念,2个方法,2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝m －1x |m|－2是反比例函数,则m 的取值为A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为 5 km ,一同学骑车从学校到县城的平均速度v km /h 与所用时间t h 之间的函数解析式是A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2aa 为常数且a ≠0． 其中________是反比例函数．填序号 2个方法：画反比例函数图象的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表：1试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式； 2画出这个函数的图象． 求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A1,－k ＋4．试确定这两个函数的解析式．6．如图,已知A －4,n,B2,－4是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：1反比例函数和一次函数的解析式；2直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； 3方程kx ＋b －x m＝0的解请直接写出答案；4不等式kx ＋b －x m <0的解集请直接写出答案．第6题2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象,并根据图象回答问题： 1根据图象指出当y ＝－2时x 的值；2根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； 3根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围． 反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时．由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x 单位：吨,库存的原料可使用的时间为y 单位：小时．1写出y 关于x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围．2若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x 应控制在什么范围内1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图,A,B 是双曲线y ＝x k k ≠0上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C.若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为A .34B .38C ．3D ．4第9题第10题10．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象,点P 是y ＝x 6的图象上一动点,PA ⊥x 轴于点A,交y ＝x 3的图象于点C,PB ⊥y 轴于点B,交y ＝x 3的图象于点D.1求证：D 是BP 的中点； 2求四边形ODPC 的面积．第11题答案1．解：1∵Am,6,B3,n 两点在反比例函数y ＝x 6x>0的图象上, ∴m ＝1,n ＝2,即 A1,6,B3,2．又∵A1,6,B3,2在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上,∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.第1题2根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.3如图,分别过点A,B 作AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E,C,设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0,得x ＝4,即D4,0．∵A1,6,B3,2,∴AE ＝6,BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．1证明：∵点A,B 分别在x 轴,y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中,∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. 2解：在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,DA ＝,∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3.∴D 点坐标为3,2．∵点E 为CD 的中点,∴点E 的坐标为3,1．∴k ＝3×1＝3.3解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1,BF ＝DC ＝2,∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1,∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为1,3．∵1×3＝3,∴点G1,3在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA,AB ∥x 轴,∴四边形ABCO 为平行四边形．∴AB ＝OC ＝3.设A a 6,则B a 6,∴a －3·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A2,3,B －1,3．∵OC ＝3,C 在x 轴负半轴上,∴C －3,0,设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b, 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29.解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n, 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C0,2,A4,0,由矩形的性质可得P2,1,把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2,所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D 点的横坐标为4,所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2,所以2＝CE 2,所以CE ＝1,则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．1证明：∵BE ∥AC,AE ∥OB, ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形,∴DA ＝21AC,DB ＝21OB,AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形．2解：如图,连接DE,交AB 于F,∵四边形AEBD 是菱形,∴DF ＝EF ＝21OA ＝23,AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k ,把点E ，19的坐标代入得1＝29,解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.第5题第7题6．D 7．解：1如图,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F.∵点D 的坐标为4,3,∴OF ＝4,DF ＝3.∴OD ＝5.∴AD ＝5.∴点A 的坐标为4,8．∴k ＝xy ＝4×8＝32.2将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数y ＝x 32x>0的图象上点D ′处,过点D ′作x 轴的垂线,垂足为F ′.∵DF ＝3,∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上,∴3＝x 32,解得x ＝332,即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：1∵正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,∴C0,2．∵D 是BC 的中点,∴D1,2．∵反比例函数y ＝x k x ＞0,k ≠0的图象经过点D,∴k ＝2.2当P 在直线BC 的上方,即0＜x ＜1时,∵点Px,y 在该反比例函数的图象上运动,∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方,即x ＞1时,同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2,综上,S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O 面积的41,则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 3．①③④4．解：1反比例函数：y ＝－x 6.2如图所示．第4题 5．解：∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A1,－k ＋4,∴－k ＋4＝1k ,即－k ＋4＝k,∴k ＝2,∴A1,2．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A1,2,∴2＝1＋b,∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2,一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：1将B2,－4的坐标代入y ＝x m ,得－4＝2m ,解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A －4,n 在双曲线y ＝x －8上,∴n ＝2.∴A －4,2．把A －4,2,B2,－4的坐标分别代入y ＝kx ＋b,得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.2令y ＝0,则－x －2＝0,x ＝－2.∴C －2,0．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.3x 1＝－4,x 2＝2.4－4<x<0或x>2.7．解：如图,由观察可知：1当y ＝－2时,x ＝－3；2当－2<x<1且x ≠0时,y<－3或y>6；3当－3<y<2且y ≠0时,x<－2或x>3.第7题点拨：解决问题时,画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图．8．解：1库存原料为2×60＝120吨,根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.2根据题意,得y ≥24,所以x 120≥24.解不等式,得x ≤5,即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：1由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．2要使机器不停止运转,需y ≥24,解不等式即可．第9题9．B 点拨：如图,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,∵D 为OB 的中点,∴CD 是△OBE 的中位线,则CD ＝21BE.设A x k ,则B 2x k ,CD ＝4x k ,AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1,∴21AD ·OC ＝1,即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．1证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上,∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上,BP ∥x 轴,D 在BP 上,∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3,BP ＝m 6,故D 是BP 的中点．2解：由题意可知S △BOD ＝23,S △AOC ＝23,S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。
中考数学几何图形复习专题10 反比例函数的综合探究(数形结合)(学生版)
专题10 反比例函数的综合训练(数形结合)1．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0k y k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0k y k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．2．如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y x b =+的图象交于(1, )A m ，(2, )B n -两点，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，写出2kx b x>+时自变量x 的取值范围； （3）连接OA ，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P ，使得2OCP OCA S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x的图象交于A （a ，﹣2），B 两点．（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．4．如图，等腰Rt ABO 的直角顶点O 与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数()0m y x x=<的图象经过点A ，反比例函数()0n y x x =>的图象经过点B ．(1)试猜想m 与n 的数量关系，并说明理由；(2)若2n =，求当点B 的纵坐标分别为1和2时，等腰Rt ABO 的面积；(3)请直接写出当2n =时，等腰Rt ABO 的面积的最小值_________．5．如图，一次函数()=+0y mx n m ≠的图象与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于第二、四。
2023中考数学专项： 反比例函数与几何图形综合问题(重点突围)(学生版)
专题16反比例函数与几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一反比例函数中K值的几何意义】 (1)【考向二反比例函数与三角形的综合问题】 (4)【考向三反比例函数与矩形的综合问题】 (6)【考向四反比例函数与菱形的综合问题】 (9)【考向五反比例函数与正方形的综合问题】 (11)【考向六反比例函数与圆的综合问题】 (15)【直击中考】【考向一反比例函数中K值的几何意义】【变式训练】1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，若反比例函数______在反比例函数3．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，在过点A、C两点，点B在4．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）AC交y轴于点B，若点B是=【考向二反比例函数与三角形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点①求直线AC的解析式；②求点P的坐标．【变式训练】(1)求反比例函数的解析式；(2)坐标平面内有一点D，若以A(1)求反比例函数的表达式；(2)求等边△ACD的边长．【考向三反比例函数与矩形的综合问题】(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点值．【变式训练】上两点，的顶点【考向四反比例函数与菱形的综合问题】（1）求k的值及AB所在直线的函数表达式；（2）将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点【变式训练】是菱形，点(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)设点P是直线AB上一动点，且ABCD(1)求双曲线y2的函数关系式及(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；(3)若BA的延长线与双曲线【考向五反比例函数与正方形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．【变式训练】在平面直角坐标系中，点(1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形OAFM 的面积．2．（2022·山东济南·校考一模）如图，四边形35AE OE =．中点，以备用图4．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，已知点()6,0A -、()7,3D -，点B 、C 在第二象限内．(1)点B 的坐标_________；(2)将正方形ABCD 以每秒2个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒，若存在某一时刻t ，使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B '、D ¢正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在y 轴上的点P 和反比例函数图像上的点Q ，使得以P 、Q 、B '、D ¢四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考向六反比例函数与圆的综合问题】【变式训练】在反比例函数。
反比例函数的图象与性质综合问题(真题6道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题12反比例函数的图象与性质综合问题（北京真题6道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率反比例函数（大题）2011.2012.2014.2017.2018 12年5考1.反比例函数的图象及性质（1）双曲线kyx=与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（2）对称性图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上．（3）k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线kyx=上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12|k|）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．图1 图22.反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（4）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分(x>0)的图象与直线y=x−2【例1】（2017·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，(x>0)的图象于点N.交函数y=kx①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【例2】（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k（x>0）的图象G经过点A（4，1），xx+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．直线l∶y=14（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；①若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2011·北京·中考真题）如图，已知反比例函数y1=k1x（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1(k2≠0)相交于A、B两点，AC①x轴于点C. 若①OAC的面积为1，且tan①AOC＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值.2．（2012·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=4x(x>0)的图象与一次函数y=kx－k 的图象的交点为A（m，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足①PAB的面积是4，直接写出点P的坐标．3．（2011·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=k的解析式；x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．4．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1范围时，满足34【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的图象与反比(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．例函数y=mx(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x<−4时，对于x的每一个值，反比例函数y=m的值大于一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的值，直接x写出k的取值范围．2．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=m的图象在第四象限的交点为(n,−1)．x(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．(k≠0)与一次函数y2=ax+4(a≠0) 3．（2022·北京·二模）图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=kx的图像只有一个公共点A（2，2），直线y3=mx(m≠0)也过点A．(1)求k、a及m的值；(2)结合图像，写出y1>y2>y3时x的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：4．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．(x>0)的图象交5．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−k+4与函数y=mx于点A(1,4)．(1)求m的值；(x>0)的图象所围成的区域（不含边界）为W．点(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l与函数y=mxB(n,1)（n≥4，n为整数）在直线l上．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；①当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值．6．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+b与双曲线G：y=−12的x一个交点为A(−3,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx(k≠0)与双曲线G：y=−12有两个公共点，它们的横坐标分别为x1,x2(x1<x2)．直线xl1与直线l2的交点横坐标记为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．7．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．8．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x−2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx (k≠0)的图象交于点B(3,m)，点P为反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点．(1)求m，k的值；(2)连接OP，AP．当S△OAP=2时，求点P的坐标．9．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．10．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第二象限交于点M，①OBM的面积是1．(1)求反比例函数的解析式；(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．11．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为12．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.13．（2022·北京市第一六一中学分校一模）如图，在平面直角坐标系中，A(a,2)是直线l：y=x−1与函数(x>0)的图像G的交点．y=kx(1)①求a的值；(x>0)的解析式．①求函数y=kx(2)过点P(n,0)（n>0）且垂直于x轴的直线与直线l和图像G的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 14．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值15．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．16．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝k（xx＞0）的图象交于点A（3，m）．(1)求m、k的值；(2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝k（x＞0）的x（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝kxMN围成的区域（不含边界）为W．①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_____；①若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围．−3的图象与性质．小17．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）有这样一个问题：探究函数y=2x−1−3的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完亮根据学习函数的经验，对函数y=2x−1整：(1)函数y=2x−1−3中自变量x的取值范围是；(2)表格是y与x的几组对应值．x…−3−2−1012322345…y…−72−113−4−5−7m−1−2−73−52…直接写出m的值；(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．①请再写出此函数的一条性质：．(5)已知不等式kx+b<2x−1−3的解集为1<x<2或x>4，则k+b的值为．18．（2020·北京·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，4)，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是边OC上一点，当△FBC~△DEB时，求直线FB的解析式．19．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+b与双曲线G：y=2x的一个交点为A(2,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx（k≠0）与双曲线G：y=2x有两个公共点，它们的横坐标分别为x1，x2（x1<x2），直线l1与直线l2的交点横坐标为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．20．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝−2k（k≠0）．x(1)当k＝1时，①求出两个函数图象的交点坐标；①根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；(2)请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；(3)若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5√2，求k值．21．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中已知双曲线y=k过点A（1，1），与直线yx＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．(1)求k的值；(2)求点B，C的坐标；(3)若直线x＝t与双曲线y=k，交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2）．当y1<y2时，直接写出tx的取值范围．22．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=m的图象于A(2,−4)，xB(a,−1)两点.(1)求反比例函数与一次函数解析式.(2)连接OA,OB，求ΔOAB的面积.(3)根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？23．（2022·北京·二模）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=m的图象相交于A(2，3)，B(6，n)x两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQ的值MN24．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(0，－1)和点B(3，2)．（1）求直线y=kx+b(k≠0)的表达式；(m≠0)．（2）已知双曲线y=mx(m≠0)经过点B时，求m的值；①当双曲线y=mx①若当x>3时，总有kx+b>m直接写出m的取值范围．x(x>0)的图象上．25．（2021·北京·二模）如图，A、B两点在函数y=mx（1）求m的值及直线AB的解析式；(x>0)的图象（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数y=mx与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．26．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y=k(k<4)的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．x（1）当k=−4时，求线段AC，BD的长；（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．27．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=m与一次函数y=kx+b相交于A（3，x2）、B（－2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；交于点C，与一次函数y=kx+b交于（2）过P（p，0）（P≠0）作垂直于x轴的直线，与反比例函数y=mx点D，若SΔCOP=3SΔDOP，直接写出p的值．28．（2021·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P(2 , 2 )．x（1）求k的值；（x ＞ 0）的图象交于点N，过点M作x轴（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S△MNQ≤2时，通过画图，直接写出a的取的平行线，过点N作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当12值范围．(m≠0)的29．（2021·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx图象交于点A(−1,n)，B(2,−1)两点．（1）求m,n的值；(m≠0)（2）已知点P(a,0)(a>0)，过点P作x轴的垂线，分别交直线y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=mx的图象于点M,N，若线段MN的长随a的增大而增大，直接写出a的取值范围．(x>0)的30．（2021·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx−k+2(k>0)，函数y=2kx图象为F．(x>0)的图象F上，求直线l对应的函数解析式：（1）若A(2,1)在函数y=2kx（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l:y=kx−k+2(k>0)，图象F和直线y=1围成的区域2（不含边界）为图形G．①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；①若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．。
反比例函数与几何图形的综合
反比例函数与几何图形的小综合题型一反比例函数与三角形结合1．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，一次函数y＝x+32分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P为反比例函数y=kx（k≠0，x＜0）图象上一点，过点P作y轴的垂线交直线AB交于C，作PD⊥PC交直线AB于D，若AC•BD＝7，则k的值为（）A．﹣2B．﹣3C．−72D．−92【点睛】设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，构建方程求出mn的值即可．【解析】解：设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，∵AC•BD＝7，∴﹣2mn＝7，∴mn=−72，∴k=−72．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为12．【解析】解：∵OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，∴点C的坐标为（6，2），∴2=k6，解得，k＝12，3．（2020•薛城区期中）在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C ′的坐标为 （52，0） ．【解析】解：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵∠ACO +∠BCD ＝90°，∠OAC +∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCD ，在△ACO 与△BCD 中，{∠OAC =∠BCD∠AOC =∠BDC AC =BC ，∴△ACO ≌△BCD （AAS ）∴OC ＝BD ，OA ＝CD ，∵A （0，2），C （1，0）∴OD ＝3，BD ＝1，∴B （3，1），∴设反比例函数的解析式为y =kx，将B （3，1）代入y =k x，∴k ＝3，∴y =3x，∴把y ＝2代入y =3x ，∴x =32，当顶点A 恰好落在该双曲线上时，此时点A 移动了32个单位长度，∴C 也移动了32个单位长度，此时点C 的对应点C ′的坐标为（ 52，0）故答案为（52，0）．4．（2020•盐湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB 的OA 边在x 轴的正半轴上，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过AB 边的中点C ，且与OB 边交于点D ，则点D 的坐标为 （√3，3） ．【解析】解：∵△AOB 是等边三角形，边长为4，∴B （2，2√3），∵BC ＝CA ，∴C （3，√3），把点C 坐标代入y =k x上，得到k ＝3√3，∵直线OB 的解析式为y =√3x ， 由{y =√3xy =3√3x，解得{x =√3y =3或{x =−√3y =−3（舍弃）∴D （√3，3），故答案为（√3，3）． 题型二 反比例函数与四边形结合5．（2020•北海期末）如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y =12x ﹣1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y =kx经过点D ，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：根据矩形的性质知点C 的纵坐标是y ＝1，∵直线y =12x ﹣1经过点C ，∴1=12x ﹣1， 解得，x ＝4，即点C 的坐标是（4，1）．∵矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，∴D （1，1），∵双曲线y =kx 经过点D ，∴k ＝xy ＝1×1＝1，即k 的值为1．故选：A ．6．（2020•秀洲区二模）平面直角坐标系中，菱形AOBC 的位置如图所示，点A 在x 轴负半轴上，B （1，√3），反比例函数y =kx 在第二象限的图象经过点C ，则k ＝ −√3 ．【点睛】根据菱形的性质可以求得点C 的坐标，再根据点C 在反比例函数图象上，从而可以求得k 的值．【解析】解：∵点A在x轴负半轴上，B（1，√3），∴OB＝2，点C的纵坐标是√3，∴OA＝2，∵四边形AOBC是菱形，点A在x轴的负半轴，∴点C的坐标为（﹣1，√3），∵反比例函数y=kx在第二象限的图象经过点C，∴√3=k−1，得k=−√3，故答案为：−√3．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，BE∥AC，AE∥OB，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，若点A、C的坐标分别为（3，0），（0，2），则k的值为92．【解析】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，C的坐标为（0，2），∴DA=12AC，DB=12OB，AC＝OB，AB＝OC＝2，∴DA＝DB，∴四边形AEBD是菱形；连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA＝3，OC＝2，∴EF＝DF=12OA=32，AF=12AB＝1，3+32=92，∴点E坐标为：（92，1）．∵函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k=92×1=92，故答案为：92．8．（2020•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是2√26．【解析】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M （6，k 6），N （k6，6），∴BN ＝6−k 6，BM ＝6−k 6，∵△OMN 的面积为10，∴6×6−12×6×k 6−12×6×k 6−12×（6−k6）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′=√BM′2+BN 2=√102+22=2√26，故答案为2√26．巩固练习1．（2020•铜山区二模）如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D （a ，b ）在反比例函数y =kx的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE ＝4，则k 的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．﹣4D ．﹣2【解析】解：D （a ，b ），则CO ＝﹣a ，CD ＝AB ＝b ，∵矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝ab ，∵△BCE 的面积是4，∴12×BC ×OE ＝4，即BC ×OE ＝8，∵AB ∥OE ，∴BC OC=AB EO，即BC •EO ＝AB •CO ，∴8＝b ×（﹣a ），即ab ＝﹣8，∴k ＝﹣8故选：B ．2．（2020•九龙坡区校级期末）如图，已知反比例函数y =ax和一次函数y ＝kx +b 的图象相交于点A （﹣1，y 1）、B （4，y 2）两点，则不等式ax ≤kx +b 的解集为（ ）A ．x ≤﹣1或x ≥4B ．﹣1≤x ≤4C ．x ≤4D ．x ≤﹣1或.0＜x ≤4【解析】解：不等式a x≤kx +b 的解集就是反比例函数值小于或等于一次函数值的自变量的取值范围，观察图象可得：第二象限x ≤﹣1，第四象限0＜x ≤4，故选：D ．3．（2020•深圳模拟）如图，点A 是双曲线y =3x上的动点，连结AO 并延长交双曲线于点B ，将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，点C 在双曲线y =kx上的运动，则k ＝ ﹣9 ．【解析】解：∵双曲线y =3x 关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接OC ，AC ，如图所示．∵将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，∴△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°，∴tan ∠OAC =OCOA =√3，∴OC =√3OA ．过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°﹣∠FOC ＝∠OCF ，∴△AEO ∽△OFC ．∴AE OF=EO FC=AO OC．∵OC =√3OA ，∴OF =√3AE ，FC =√3EO ．设点A 坐标为（a ，b ），∵点A 在第一象限，∴AE ＝a ，OE ＝b ．∴OF =√3AE =√3a ，FC =√3EO =√3b ．∵点A 在双曲线y =3x上，∴ab ＝3．∴FC •OF =√3b •√3a ＝3ab ＝9，设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝﹣y ．∴FC •OF ＝x •（﹣y ）＝﹣xy ＝9．∴xy ＝﹣9．∵点C 在双曲线y =kx 上，∴k ＝xy ＝﹣9．故答案为：﹣9．4．（2020•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标是（2，2）．将△ABC 沿x 轴向左平移得到△A 1B 1C 1，点B 1落在函数y =−6x 的图象上．如果此时四边形AA 1C 1C 的面积等于552，那么点C 1的坐标是 （﹣5，112） ．【解析】解：如图，∵点B 的坐标是（2，2），BB 1∥AA 1，∴点B 1的纵坐标为2， 又∵点B 1落在函数y =−6x 的图象上，∴当y ＝2时，x ＝﹣3，∴BB 1＝AA 1＝5＝CC 1，又∵四边形AA 1C 1C 的面积等于552，∴AA 1×OC =552，∴OC =112，∴点C 1的坐标是（﹣5，112）．故答案为：（﹣5，112）．5．（2020•九龙坡区校级期末）如图，菱形OABC 在直角坐标系中，点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ．则k 的值为 3 ．【解析】解：∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ，设点C 的坐标为（a ，b ），∵点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，∴点B 的坐标为（a +52，b ），OC =52，∴{a 2+b 2=(52)2(a +52)2+b 2=(2√5)2，解得a =32，b ＝2，∴ab =32×2=3，∵反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ，点C 的坐标为（a ，b ），∴b =ka ，∴k ＝ab ＝3． 故答案为：3．6．以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE ⊥AC ，垂足为E ．若双曲线y =32x（x ＞0）经过点D ，则OB •BE 的值为 3 ．【解析】解：如图，∵双曲线y =32x （x ＞0）经过点D ，∴S △ODF =12k =34， 则S △AOB ＝2S △ODF =32，即12OA •BE =32，∴OA •BE ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴OB •BE ＝3，故答案为：3．7．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是 5√2 ．【解析】解：如图设点M （a ，b ），N （c ，d ），∴ab ＝k ，cd ＝k ，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），∴S△OMN=12k+12（b+d）（a﹣c）−12k＝3.5，∴bc﹣ad＝7，∴kca−kac=7，∴ac=k(c2−a2)7，同理：bd=k(b2−d2)7，∴ac﹣bc=k(c2−a2)7−k(b2−d2)7=k7[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，∴MN'＝5√2，故答案为：5√2。
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中点，∴EM＝ 1 BD＝1，即点E的纵坐标为1，又∵点E在反比例
函数y＝
3
4
图象上，∴y＝1时，x＝
x
3 ，∴E(
3 ，1)，∴OE＝
( 3)2 12 ＝2，∴CD＝2OE＝4，∴CD＝BD，又∵四边形ABCD
是菱形，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，且边长为4，
∴∠BAD＝60°,∴∠FAG＝ 1 ∠BAD＝30°,∵DF⊥AB，
2
∴AF＝BF＝ 1 AB＝2，∴AG＝ AF = 2 = 4 3 .
【思维教练】要求AG长，可抓住反比倒函数y＝ 3 的图象经 x
过线段DC的中点E和BD＝4的条件，利用三角形中位线的性质 确定点E的坐标，从而根据直角三角形斜边上的中线的性质得 出CD长，根据菱形的性质和等边三角形的性质可知菱形ABCD 的内角，再结合锐角三角函数知识可求AG长．
【解析】如解图，过点E作EM⊥x轴于点M，连接OE，∵E是CD
题型四 反比例函数综合 题
类型二 与几何图形结合
典例精讲
例 2 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角
线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函
数y＝ 3 (x＞0)的图象经过线段DC的中点E，若BD＝4，
x
则AG的长为( )
A. 4 3 3
C. 2 3 ＋1
B. 3 ＋2
D. 3 3 ＋1 2