上海市建平中学2021届高三下学期开学考试数学试题

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2022-2023学年上海市建平中学高三下学期3月月考数学试卷含详解

上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________.2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．4.已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．5.已知集合{}2{sin ,},20M y y x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm.7.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．10.已知F 是椭圆E ：22221x y ab +=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF=且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S 的最小值为______.12.对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,x yf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a c b c a b⋅⋅=，记(),mc bf m n mc na-=-（m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）A.αβ⊥，//l βB.αβ⊥，l β⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n⊥14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x 周12345治愈人数y （单位：十人）38101415由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A.1-B.0C.1D.215.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）（1）7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(7)f x +为奇函数（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1B.2C.3D.416.已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=-，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（）个．A.2B.kC.12k - D.(1)22k k -三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：()20P K k ≥0.0500.0100.0050.001k 3.841 6.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.（1）证明：//CF 平面SAB ；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆E 的方程．（2）若点(1,0)S ，点T 为椭圆E 上的任意一点，求||TS的最大值与最小值．（3）设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥；（3）当4πx >-时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________.【答案】4【分析】由题意可知，a b和的坐标，结合题中给的(2)a b a -⊥ ，可结合向量的坐标运算完成列式，计算λ.【详解】因为(1,2),(,3)a b λ== ，所以(2)a b λ-= （2-，1），而(2)a b a -⊥，所以(2)0a b a -= ，即12-20λ⨯+=（），解得4λ=.故答案为：4.2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．【答案】1【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解．【详解】复数()()()()1i 1i 11i a a a ++=-++，因为复数()()1i 1i a ++是纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，解得1a =．故答案为：1．3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．【答案】24【分析】利用二项展开式的通项公式求出x 的指数为2的项，即得到其系数可求.【详解】()412x -的展开式中含2x 的项为()2224C 224-=x x ，系数为24．故答案为：24.4.已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．【答案】()2214x y +-=【分析】把三个点代入圆的标准方程求解即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为()()222,0x a y b r r -+-=>，则有()())()()()2222222220003a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪⎪-+-=⎨⎪⎪-+-=⎪⎩，解得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为()2214x y +-=.故答案为：()2214x y +-=.5.已知集合{}2{sin ,},20M yy x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．【答案】{}|11x x -<≤【分析】利用正弦函数的值域与解二次不等式化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】由正弦函数值域可知{}|11M y y =-≤≤，由220x x --<解得12x -<<，则{}|12N x x =-<<，所以{}|11M N x x =-<≤ .故答案为：{}|11x x -<≤.6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm .【答案】300(4+【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.【详解】由题设，一个底面的面积为1161010sin 602S =⨯⨯⨯⨯︒=2cm ，一个侧面矩形面积为21020200S =⨯=2cm ，所以茶叶盒的表面积为1226300(4S S +=2cm .故答案为：300(47.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．【答案】12##0.5【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】已知扇形半径为4r =，圆心角为θ，∵扇形面积2211142π222θθ===⋅=S lr r ，∴π4θ=，∴()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--，解得：1tan 2ϕ=.故答案为：12.8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.【答案】92【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出a ，再套公式求出80%分位数.【详解】由频率分布直方图知0.0350.0200.0140.0040.0020.075++++=，由()100.0751a ⨯+=得：0.025a =.因为0.020.040.140.20.350.75++++=，所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[]90,100内，设其为x ，则由()900.0250.05x -⨯=，解得92x =.故答案为：92.9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．【答案】12##0.5【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.所求概率为2231353548C C C C 1C 2+==P .故答案为：12.10.已知F 是椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．【答案】216【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||5||PF QF =及椭圆的性质可得3a PF '=，53a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-= ，||5||PF QF =5||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以3a PF '=，所以53a PF =，在PFF ' 中，22222214||||1cos 2259953322a a c PF PF FF FPF a PF PF a '+-+-∠===⨯⨯'''，整理，得2221360a c -=，即22136e =，由01e <<解得216e =.故答案为：216.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S的最小值为______.【答案】22【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得sin()3sin cos B C A A +=，根据三角形性质有1cos 3A =，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值，注意取最小值的条件.【详解】由题设及正弦定理边角关系，sin cos sin cos 3sin cosBC C B A A +=，即sin()3sin cos B C A A +=，而A B C π++=，故sin 3sin cos A A A =，又sin 0A ≠，则1cos 3A =，故22sin 3A =，而2222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，12sin 23bcS bc A ==，所以2223()262222a S bc bc =≥=，当且仅当b c =时等号成立，故2a S的最小值为22.故答案为：2212.对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,xyf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a c b c a b ⋅⋅=，记(),mc b f m n mc na -=- （m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.【答案】2【分析】记a OA = ，b OB = ，c OC =，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断OC 所在直线的斜率，设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫⎪⎝⎭，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值.【详解】记a OA = ，b OB = ，c OC = ，则2a c b c a b⋅⋅= 表示OC 在OA 上的投影恰为OC 在OB上的投影的两倍，即射线OC 的斜率为12.设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫⎪⎝⎭，记mc OD = ，na OE =，则mc b BD -= ，mc na ED -= ，所以(),mc b BDf m n mc na ED-==- .先让m 不变，n 变化，即点D 固定，点E 变化，那么()0,mc b BD BDf m n mc na ED E D -==≤-，其中0E D OA ⊥，接着再让m 变化，即点D 变化，求0BDE D的最小值.因为02BD E D=，当且仅当4c b =时取得等号.综上，(){}{}min max ,2mnf m n =.故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用向量几何意义，构建直角坐标系并设A 、B 、C 的坐标，根据函数新定义、数形结合思想将问题转化为两向量模长的比值，讨论动点位置变化对向量模长的影响确定目标式的值.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）A.αβ⊥，//l βB.αβ⊥，l β⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n⊥【答案】C【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l ⊂α、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误.故选：C .14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x 周12345治愈人数y （单位：十人）38101415由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A .1- B.0C.1 D.2【答案】A【分析】将样本中心点(),x y 的坐标代入回归直线方程，求出b的值，可得出回归直线方程，再将5x =代入回归直线方程，用15减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得1234535x ++++==，38101415105y ++++==，由于回归直线过样本的中心点，则3110b += ，解得3b = ，回归直线方程为 31y x =+，将5x =代入回归直线方程可得 35116y =⨯+=，因此，第5周的残差为15161-=-.故选：A.15.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）（1）7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(7)f x +为奇函数（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1 B.2C.3D.4【答案】A【分析】由()()11f x f x --=--、()()11f x f x -+=+可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案．【详解】由题设，()()11f x f x --=--，则()f x 关于()1,0-对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤---=---⎣⎦，即()()2f x f x -=--，则()()222f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，即()()24f x f x -=--，由()()11f x f x -+=+，则()f x 关于1x =对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，即()()2=f x f x -，综上，()()4f x f x =--，则()()()4448f x f x f x -=---=--，故()()8f x f x =-，即()()8f x f x =+易知()f x 的周期为8，所以(4)正确；77311132112222224f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(1)正确；由()()17f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，所以(2)正确；由()1,0x ∈-时，()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时，()f x 递增，所以(3)错误．故选：A ．16.已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=- ，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（）个．A.2 B.kC.12k - D.(1)22k k -【答案】C【分析】通过向量的模相等，推出n a 与1n a +的关系，通过递推关系式，推出222211n a a n =-+，n 为奇数，222222n a a n =-+，n 为偶数，然后判断满足条件的数列{}n a 的个数．【详解】解：由||||n n c d = ，可知，22221(1)n n a a n n ++=++，即()22221(1)n n a a n n+-+=--，则222211(1)(1)n n a n a n +--+=--，推得222211,n a a n n =-+为奇数222222,n a a n n =-+为偶数另外由11c d =可以得出21a =或1-由上可看出，2n a 有唯一解，所以n a 有互为相反数的两解（除了已知的1a ）故n a 个数为12k -．故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）124433n n n +++-.【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得24nn c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .【小问1详解】由题设953S S =，则19159()5()322a a a a ++=⨯，即533530a a ==，所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =，故1(1)2n a a n d n =+-=.【小问2详解】由（1）知：224nn n b ==，则24n n c n =+，所以1122(1)4(14)442(12...)(44...4)221433n n nn n n T n n n ++-=+++++++=⨯+=++--.18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：()20P K k ≥0.0500.0100.0050.0010k 3.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）分布列见解析，35；（2）表格见解析，不能.【分析】（1）由题得样本中“00后”员工8人有出游意愿，2人无出游意愿，再写出X 的所有可能取值和对应的概率，即得X 的分布列和数学期望；（2）结合已知完成22⨯列联表，再利用独立性检验求解.【详解】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数110010%10n =⨯=人，.由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X 的所有可能取值为0，1，2，.()383107015C P X C ===，()21823107115C C P X C ===，()12823101215C C P X C ===，随机变量X 的分布列为X 012P715715115.随机变量X 的期望()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=.（2）由题知，样本中中年员工占比为110%30%60%--=，人数210060%60n =⨯=人，青年员工人数310040%40n =⨯=人，.结合图3得到如下22⨯列联表，有出游意愿无出游意愿合计青年301040中年402060合计7030100.假设“有出游意愿与年龄段无关”，则()210030204010500.794 3.8417030406063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，.∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.（1）证明：//CF 平面SAB ；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SAB 的法向量，再利用0CF n ⋅=即可求解；（2）根据（1）的结论，求出平面SAD 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解；【小问1详解】过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.如图所示因为120SDC ∠=︒，所以30SDE ∠=︒,又2SD =，所以点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有()()()()()130,0,0,,0,0,2,2,0,0,2,0,1,,,022D S A C B F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()()532,0,1,2,,,0,22AB AS CF ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面SAB 的法向量为(),,n x y z =，则n AB n AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即2020x z x z -⎧=-+-=⎪⎨⎪⎩，令x =5,y z ==，所以n =，所以550022CF n ⎛⎫⋅=-+⨯ ⎪⎝⎭，即CF n ⊥ ，又CF ⊄平面SAB ，所以//CF 平面SAB .【小问2详解】由（1）知，平面SAB的法向量为n =，()()0,0,0,,D S -()0,0,2,A 所以()()0,0,2,1,2,AD AS =-=--设平面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即11112020z x z -=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩，令1x =111,0y z ==，所以)m =，设平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则10cos cos,5m nm nm nθ⋅=<>==.所以平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为105.20.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点12⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆E的方程．（2）若点(1,0)S，点T为椭圆E上的任意一点，求||TS的最大值与最小值．（3）设椭圆E的下顶点为点A，若不过点A且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点．若M ，N的横坐标之积是2，证明：直线l过定点．【答案】（1）2214x y+=（2）最小值是63，最大值是3（3）证明见解析【分析】（1）根据给定的条件，列出关于a b，的方程，求出a b，即可得到椭圆方程；（2）设()00,T x y，由()1,0S得：()001,TS x y=--，再根据两点间的距离公式及点()00,T x y在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可；（3）设直线l的方程为()0,1y kx m k m=+≠≠-，()()1122,,,P x y Q x y，求出M，N两点的横坐标，再联立l与E 的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出m的值，从而可得直线的定点坐标．【小问1详解】依题意，2ab=，故椭圆E方程为：222214x yb b+=，又椭圆E过12⎛⎫⎪⎝⎭，于是有2213414b b+=，解得221,4b a==，所以椭圆E的方程为2214x y+=；【小问2详解】设()00,T x y，由()1,0S得：()001,TS x y=--，因为点()00,T xy在椭圆上，所以2214x y+=，所以TS====因为022x-≤≤，所以，当43x=时，TS有最小值为63，当02x =-时，TS有最大值为3；【小问3详解】由（1）知()0,1A -，依题意，设直线l 的方程为()0,1y kx m k m =+≠≠-，()()1122,,,P x y Q x y ，直线AP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标为111M x x y =+，同理得点N 的横坐标为221N x x y =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得，()222418440k x kmx m +++-=，()()222264441440k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，因此，()()()()121212121111M N x x x x x x y y kx m kx m ==++++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++()()222222244412448114141m k m km k k m m k k -+==--⎛⎫⋅++++ ⎪++⎝⎭，即()4121m m -=+，解得3m =，直线l 的方程为3y kx =+，l 过定点()0,3，所以直线l 过定点()0,3．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥；（3）当4πx >-时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．【答案】（1）1y x =+（2）证明见解析（3）答案见解析【分析】（1）先求出()y g x =的导数，将点(0,1)横坐标代入导数求出切线的斜率，再写出切线的方程；（2）可设函数()()()x f x g x ϕ=-，借助导数，将区间分为π04x -＜＜和0x ≥分别研究函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明；（3）构造函数()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，利用()00G =得到()00G '=，从而求得参数的值，然后验证当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点即可.【小问1详解】已知()sin cos g x x x =+，则()cos sin '=-g x x x ，切线的斜率(0)1k g '==，所以函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程为1y x =+.【小问2详解】由已知，()e xf x =，()sin cosg x x x =+，令()()e π(4))xf xg x x x ϕ-+==，所以()πe )4x x x ϕ'=-+，()00ϕ=①当π04x -＜＜时，ππ44x +0＜＜，所以π)4x +，而e 1x ＜，则()πe )04xx x ϕ'=+＜，所以，函数()x ϕ在)π(,04-上单调递减，故()()00x ϕϕ=＞；②当0x ≥时，构造函数()sin m x x x =-，()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在区间[)0,∞+上单调递增，()()00m x m ≥=，即sin x x ≥.由（1）e 1x x ≥+，所以当0x ≥时，()e sin cos e 10ϕ=--≥--≥xxx x x x ，当且仅当0x =时等号成立，综上所述，对任意4πx >-时，()()f x g x ≥.【小问3详解】当4πx >-时，不等式sin cos e 20x x x ax ++--≥（a ∈R ），不妨设()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，即()0G x ≥，因为()0G x ≥且()00G =，所以当0x =时，()G x 取得最小值.由于函数()G x 为可导函数，()πe 4xG x a x '=+-，则0x =为函数()G x 的极小值点，故()π01204G a a '=+-=-=，解得2a =，下面证明当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点，由（2）问可知，当4πx >-时，()e cos sin 2xx G x x '=+--，令()e cos sin 2xh x x x =+--，所以()()e sin co 0s xh x x x x ϕ'=--≥=，故函数()G x '在π,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()00G '=，所以当π04x -＜＜时，()()00G x G ''=＜，当0x ≥时，()()00G x G ''=＞，所以函数()G x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在)(0,∞+上单调递增，所以0x =为函数()G x 的极小值点，满足题意.综上所述，2a =.【点睛】含有指数或对数函数的不等式恒成立问题方法点睛：在证明不等式恒成立的题目中，可借助“e 1xx ≥+”或“ln 1≤-x x ”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.。

专题7.6---数学归纳法--学生版

专题7.6数学归纳法练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时，从n k =到1n k =+等式左边需增添的项是（）A ．22k +B ．[]2(1)1k ++C ．[(22)(23)]k k +++D ．[][](1)12(1)1k k ++++2．（2020·全国高三专题练习）已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1-111234+-+…+1-1n =2111 (24)2n n n ⎛⎫+++⎪++⎝⎭时，若已假设n=k (k ≥2，k 为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A ．n=k+1时等式成立B ．n=k+2时等式成立C ．n=2k+2时等式成立D ．n=2(k+2)时等式成立3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（）A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋14．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式()*1114,21225n N n n n n ∈+++≤≥++ 时，可将其转化为证明（）A ．()*11141,2122521n n n n n n N +++≤+∈≥+++ B ．()*14,2122521111n n n n n n N +++≤∈-≥+++ C ．()*114,21225211N n n n n n n +++≤∈+≥++ D ．()*11141,212252N n n n n n n+++≤∈-≥++ 5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-”的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，左边应增加的项数是（）A．kB．1k +C．2kD．21k +6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈ 能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列中，1=1,r1=1+∈∗用数学归纳法证明：<r1∈∗.9.（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．练提升1．（2021·全国）已知数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断一定正确的是（）A ．1n a n <+B ．211n n n n a a a a +++-<-C ．n a n≥D ．1n a n ≥+2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列{}n a ，满足()101a a a =<<，()()()*11ln 1n n n a a a n N ++=+∈，则（）A ．110nn a a n+<<<B ．110n n a a n+<<<C ．110n n a a n+<<<D ．110x n a a n+<<<3．（2020·浙江省桐庐中学）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的个数（）①10n n a a +<<；②22221231n a a a a a ++++< ；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>---- 成立；④11n a n <+.A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈，则下列选项错误的是（）.A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列B ．1ln 3n n a a ++≤C ．2020670S <D ．212n na a -≤5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________.6．（2021·浙江高三期末）已知数列{}n a 满足0n a >，前n 项和为n S ，若33a =，且对任意的*k N ∈，均有211222k a k a -+=，21222log 1k k a a +=+，则1a =_______；20S =______.7．（2020·江苏南通·高三其他）数列{}n a 的前n 项和为n R ，记11nn i S i==∑，数列{}n b 满足11b a =，()12n n n n R b S a n n-=+≥，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）请写出n R ，n S ，n T 满足的关系式，并加以证明；（2）若数列{}n a 通项公式为112n n a -=，证明：22ln n T n <+．8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,n n n n b c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且542a S =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn na b S =，*n N ∈，证明：()12314421n n b b b +++≤-- ，*n N ∈．10.已知点(,)满足r1=.r1，r1=1−42(∈∗)，且点1的坐标为(−1,1).（1）求过点1,2的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于∈∗，点都在（1）中的直线上.练真题1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．2.（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．3．(湖北省高考真题)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1()nn n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e xf x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明：e n n T S <．4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．5.(江苏省高考真题)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（Ⅰ）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线():10C xy x =>与直线:l y x =相交于1A ，作11A B l ⊥交x 轴于1B ，作12B A //l 交曲线C 于2A ，……，以此类推.（1）写出点123,,A A A 和123,,B B B 的坐标；（2）猜想()n A n N*∈的坐标，并用数学归纳法加以证明.。

2021届上海市建平中学第一周高三数学检测卷【原卷版】

0 x4
，当药剂
x4
在水中释放的浓度不低于 4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 4
（毫克/升）且不高于10 （毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为 m = 4 ，请问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为 m ，为了在 7 天之内（从投放药剂之日算起）使得自来水始终达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的值．
2．
lim
n→+
n2 + n − 2
(n +1)2
的值为_____________．
3．已知
an
是等比数列，则行列式 a2 a3
a4 的值为_____________． a5
4．已知 x, y R+ ，且 x + 9 y = 1，则 xy 的最大值为_____________．
5．已知 cos2 = sin ，则 cos 2 的值为_____________．
11．已知 A, B,C 是单位圆上三个互不相同的点，若 AB = AC ，则 AB AC 的最小值为
_____________．
12．设 f ( x) 是定义在 (0,1) 上的函数，且满足：①对任意 x (0,1) ， f ( x) 0 恒成立；②
对任意 x1, x2 (0,1) ，
f f
14．在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同, 则积不容异”．其意思是：用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体 A, B 的体积不相等”
是“ A, B 在等高处的截面面积不恒相等”的（）

上海市浦东新区建平中学2021届高三10月月考数学试题

【详解】
解：∵点在第三象限，
∴ ，∴ 在第四象限.
故选：D.
16．D
【分析】
①举例若或判断；②不妨设函数的周期为判断；③利用函数定义判断；④根据函数具有反函数的条件判断.
【详解】
若或，都满足对任意，都有，故①错误；
不妨设函数的周期为，则，故在上不是单调函数，故②错误；
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ；故③正确；
∵若在上是单调函数，则函数存在反函数；
∴若函数不存在反函数，则在上不是单调函数，故④正确.
故选：D.
17．（1）；（2） .
【分析】
（1），结合角的范围解方程即可
（2）利用二倍角公式进行化简，利用弦化切，将（1）的值代入进行求解
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，解得，或，
∵ ，可得，
【详解】
因为函数在上单调递减,
所以 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了根据二次函数的单调性求参数,根据二次函数的对称轴与区间的端点值的关系列式是解题关键,属于基础题.
6．
【分析】
函数有且仅有两个零点，等价转化为函数与的图形有2个交点，画出图象，利用数形结合得到答案.
【详解】
解：仅有两个不同零点，等价转化为函数与的图形有2个交点，画出函数和水平直线的图象如图,
【详解】
（1）由题意可得，∴椭圆方程为
（2）由题意得，此时直线方程为，将其代入椭圆方程整理可得
，其中
设，则
∴ ，由椭圆具有对称性，
∴不妨取，则，∴
（3）将直线方程代入椭圆方程整理可得，其中
，设，
则，

2018-2019学年建平中学高三开学考数学试卷含答案

建平中学高三数学开学考2018.09.06一. 填空题1. 若复数(1i)(i)a 是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为2. 已知集合2{|(1)()0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为3. 已知()f x 函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，32()f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为4. 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是(2,1)A -、(3,2)B 、(3,1)C --，BC 边上的高为AD ，则D 的坐标是5. 集合2541{|()1}2xx A x -+=≥，2{|2(2)0}B x x a x a =--+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为6. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为7. 已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=的整数k 的个数为8. 已知整数以按如下规律排成一列：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，⋅⋅⋅，则第60个数对是9. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>），若函数()f x 图像上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 10. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当p q ⨯（p q ≤且 *,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q =，如3(12)4f =，关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =；④9(144)16f =，其中正确的序号为11. 已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，若对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设函数11()()21x f x x x =++，O 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标为n （*n ∈N ）的点，向量n OA 与向量(1,0)i =的夹角为n θ，则满足 125tan tan tan 3n θθθ++⋅⋅⋅+<的最大整数n 的值为二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则()0ab a b -<成立的一个充分不必要条件是（） A. 110a b << B. 110b a << C. 11a b < D. 11b a< 14. 若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件15.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为 11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（）A. B. 11[,)52 C. 1(5 D. 16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是（） A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M B. 若{}n a M ，则22{}n a M C. 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}n a M ，则{21}21n a M ++三. 解答题17. 设有两个命题：①“关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集是R ”；②“函数22()(21)f x a a =++是R 上的减函数”，若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.（1）若关于x 的不等式()1f x ≥在区间(,)a +∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，AB BC ==，1AD =，3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.20. 如图，直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线10:3l x = 分别交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度的最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.21. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.（1）用列举法表示集合C ；（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .参考答案一. 填空题1. 12. 1{0}(,)4+∞3. 32()f x x x =--(0)x >4. (1,1)5. 32(1,]7 6. (5,7) 7. 2 8. (5,7) 9. 3210. ①③ 11. (0,1) 12. 3 12. 11tan ()2(1)n n n n θ=++，分组求和，1152()213n n S n =--<+，解得3n ≤.二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17. 若①为真，则1a <-或13a >，若②为真，则102a -<<，综上，11(,1)(,0)(,)23a ∈-∞--+∞. 18.（1）62(,][,)a ；（2）2min 22,0()32,0a a f x aa . 19.（1）BD =PB =BC =，PC =222PB BC PC +=，得证；（2）等体积法，26APBC P ABC A PBC V V h ，∴sin A PBC h AP θ-==. 20.（1）22141x y +=；（2）83；（3）即点T 到直线SB 2个. 21.（1）{1,1,2,2,4,0}C；（2）5(112240)2128；（3）666643322702.。

建平中学数学高三期中试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) = \log_2(x - 1)$D. $f(x) = x^2$2. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$a > 0$，$b = 0$，$f(1) = 2$，$f(2) = 4$，则$f(x)$的对称轴为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 0$D. $x$不存在3. 下列各式中，正确的是：A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$C. $\lim_{x \to 0} (3x + 5) = 5$D. $\lim_{x \to 0} (x^2 - 1) = 0$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1 + a_5 = 18$，则$a_3$的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的值为：A. 2B. 1C. 0D. 36. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = a - bi$，则$z$的实部为：A. $a$B. $-a$C. $b$D. $-b$7. 若$0 < a < 1$，则下列不等式中正确的是：A. $a^2 < a$B. $a^2 > a$C. $a^3 < a$D. $a^3 > a$8. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (4, 6)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为：A. 12B. 18C. 24D. 309. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =\frac{3}{5}$，$\cos B = \frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为：A. $\frac{7}{25}$B. $\frac{24}{25}$C. $\frac{3}{5}$D. $\frac{4}{5}$10. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f(x)$的最小值为：A. 2B. $e$C. $e^2$D. $e^{-2}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3 = 5$，公差$d = 2$，则$a_1 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 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上海市浦东新区建平中学2024届高三下学期2月考试数学试卷含答案解析

2023-2024学年上海市建平中学高三年级下学期数学试卷12024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，则A B = __________．2.已知33sin ,π,π52x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则tan x =__________．3.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．4.不等式2log 3x <的解集是_____.5.已知向量a ，b 的夹角为2π3，1a = ，2b = ，则23a b +=r r __________．6.设关于x 的实系数方程230x mx -+=的两个虚根为α、β，则αβ+=______．7.甲、乙、丙、丁四个人随机站成一排拍照，则甲与乙、丙均相邻的概率为______．8.一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335依据()2 3.8410.05P χ≥≈，该__________实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持），参考公式：22()=,()()()()n ad bc n a b c da cb d a bcd χ-=+++++++9.已知()7280128(1)x a x a a x a x a x +-=++++ ，且113a=，则=a__________.10.设函数()()3e 5,Rx f x x tx t t =--+∈，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()0i f x >，则实数t 的取值范围为_________．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l，则双曲线的离心率为______.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（）①A ：“所取3件中至多2件次品”，B ：“所取3件中至少2件为次品”；②A ：“所取3件中有一件为次品”，B ：“所取3件中有二件为次品”；③A ：“所取3件中全是正品”，B ：“所取3件中至少有一件为次品”；④A ：“所取3件中至多有2件次品”，B ：“所取3件中至少有一件是正品”；A.①③B.②③C.②④D.③④14.已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是（）A.若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥B .若m n ∥，m αβ= ，则n α∥，n βC.若m n ∥，m α⊥，则n α⊥D.若m α⊥，m β⊥，则αβ∥15.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A .67B.66C.65D.6416.已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②④C.①③④D.①②④三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()2sincos 1222x x f x x =-+.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足221cos 2a b ac B -=-，求()f B 的取值范围.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H ．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成角；（2）求点H 到平面1A BC 的距离．19.第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成n 组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[)65,75，第四组[75,85)，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1）（2）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率；（3）已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？20.已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的,A B 两点.（1）若直线l 的方程为1y x =-，求线段AB 的长；（2）若直线l 经过点()1,0P -，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：,,A F B '三点共线；（3）若直线l 经过点()8,4M -，抛物线上是否存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.21.已知()ln 1f x x a x =+-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（2）设()()1g x f x x=+，函数()y g x =在0x x =时取到最小值()0g x ，求a 关于0x 的表达式，并求()0g x 的最大值；（3）当1a =-时，设()()T x f x x =+，数列{}(),1n a n n ∈≥N 满足()10,1a ∈，且()1n n a T a +=，证明：()1322,1n n n a a a n n ++++>∈≥N .2023-2024学年上海市建平中学高三年级下学期数学试卷12024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，则A B = __________．【答案】{|12}x x -≤≤【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，所以{|12}A B x x =-≤≤ .故答案为：{|12}x x -≤≤2.已知33sin ,π,π52x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则tan x =__________．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解.【详解】由题知，4cos 5x ==±，又3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5x =-，所以sin 3tan cos 4x x x ==.故答案为：343.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．【答案】7.5##152【解析】【分析】由百分位数的定义即可得解.【详解】由题意60%106⨯=，所以这组数据的第60百分位数为787.52+=.故答案为：7.5.4.不等式2log 3x <的解集是_____.【答案】()0,8【解析】【分析】由对数函数的单调性可出原不等式的解集.【详解】因为函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，由22log 3log 8x <=可得08x <<.因此，不等式2log 3x <的解集为()0,8.故答案为：()0,8.5.已知向量a ，b的夹角为2π3，1a = ，2b = ，则23a b +=r r __________．【答案】【解析】【分析】根据向量a ，b的模和夹角即可得出23a b + 的值.【详解】由题意，向量a ，b的夹角为2π3，1a = ，2b = ，23a b +====，故答案为：.6.设关于x 的实系数方程230x mx -+=的两个虚根为α、β，则αβ+=______．【答案】【解析】【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.【详解】由题可知，3αβ=，设i i a b a b αβ=+=-，，a ，b ∈R ，则3αβ=223a b ⇒+=，则αβ+==．故答案为：7.甲、乙、丙、丁四个人随机站成一排拍照，则甲与乙、丙均相邻的概率为______．【答案】16【解析】【分析】分别求解所有的基本事件和符合要求的基本事件，利用古典概率可得答案.【详解】四个人随机站成一排有：甲乙丙丁，甲乙丁丙，……，丁丙乙甲，共24种站位方式，甲与乙、丙均相邻的站位方式有：乙甲丙丁、丙甲乙丁、丁乙甲丙、丁丙甲乙，共4种，故甲与乙、丙均相邻的概率为41246=．故答案为：168.一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335依据()23.8410.05Pχ≥≈，该__________实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持），参考公式：22()=,()()()()n ad bc n a b c d a c b d a b c d χ-=+++++++【答案】支持【解析】【分析】根据卡方公式计算即可做出判断.【详解】由表中数据：2274(145231)0.538 3.841(2933)(75)(297)(335)χ-=≈<++++，所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.故答案为：支持9.已知()7280128(1)x a x a a x a x a x +-=++++ ，且113a =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含x 项的构成，求出a .【详解】由题意，1a 为()7280128(1)x a x a a x a x a x +-=++++ 中x 的系数.因为()71x -的二项展开式的通项公式为()717C 1,07rr rr T x r -+=-≤≤，所以()()71x a x +-的展开式中含x 项的系数为：()()767677C 1C 11713a a -+-=-+=，解得：2a =.故答案为：210.设函数()()3e 5,R xf x x tx t t =--+∈，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()0i f x >，则实数t 的取值范围为_________．【答案】e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】设()()3e xg x x =-，()()5h x t x =-，利用导数求出()g x 的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()()i i g x h x >，即可得到()()110g h ->且()()000g h -≤，从而求出参数的取值范围.【详解】设()()3e x g x x =-，()()5h x t x =-，则()()e 2xg x x '=-，(),2x ∴∈-∞，()0g x '>，()g x 在(),2-∞上单调递增，()2,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 在()2,+∞上单调递减，2x ∴=时函数()g x 取极大值即最大值()()2max 2e g x g ==，又()03g =，()12e g =，()03g =，直线()()5h x t x =-恒过定点()5,0且斜率为t ，要使有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()0i f x >，即有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()()i i g x h x >，()()()112e 150g h t ∴-=-->且()()()003050g h t -=--≤，解得e 325t -<≤-，即e 3,25t ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故答案为：e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l ，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22BF AF =，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴==，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：2.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.【答案】5π6【解析】【分析】根据整体法可得零点满足()16π,Z 6k x k ω+=∈，即可利用0n =时，[][]21,211,1n n -+=-，求解符合条件的,ω结合周期性验证所求,ω满足其他区间即可.【详解】令πππ,Z 32x k k ω+=+∈,则ππ,Z 6x k k ω=+∈，函数的零点()16π,Z6k x k ω+=∈0ω>，当0n =时，[][]21,211,1n n -+=-，此时符合条件的两个零点为故5ππ,66x x ωω=-=，故5π16ω-≥-，解得5π6ω≤，当5π6ω=时，5ππcos 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的零点为()16,Z 5k x k +=∈，因此零点为11171319,,1,,,,,5,55555-- ，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间[][][]1,1,1,3,3,5,- 上恰好有两个零点。

2021年高三下学期期初开学联考数学试卷含答案

绝密★启用前2021年高三下学期期初开学联考数学试卷含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．已知集合，则 ▲ ． 2．已知，那么复数 ▲ .3．从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为▲ ．4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲ ． 5．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6.如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7.已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量（第5题）结束开始 P ← 0 n ← 1 P ←P ＋1n (n ＋1)n ← n ＋1 输出n YN （第6题）P ＜0.70CPDEFa ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ．8.如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P – DEF 的体积是 ▲ ． 9.在中，，点是内心，且，则 ▲ ．10.已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B )＝2tan A ，则tan B 的最大值是 ▲ ．11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 ▲ .12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 ▲ .13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 ▲ ．14.设实数a ，x ，y ，满足⎩⎨⎧x ＋y ＝2a －1，x 2＋y 2＝a 2＋2a －3，则xy 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知C ＝π3，a cos A =b cos B ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．（第15题）ABDCMNPαC 11C第11题图16.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．17.（本小题满分14分）如图，xx年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为3 2．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19. (本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.20．已知数列{a n}的首项a1＝a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S2n＝3n2a n＋S2n－1，a n≠0，n≥2，n∈N*．(1)若数列{a n}是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．高三数学参考答案一、填空题1．2．3．4．5．40 6．4 7．2 3π8．9．10．2411. 12．13．（21,24）14．[114－322，114＋322]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由a cos A＝b cos B及正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝π2．………………… 2分又因为C＝π3，得A＋B＝2π3，与A＋B＝π2矛盾，所以A＝B，60°αPNMC DBA（第15题）因此A＝π3．…………………4分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin (α＋π3)，α∈(0，2π3).……………… 6分所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋π3)＝3sinα＋3cosα＝23sin(α＋π6).……………… 10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM＋PN取得最大值23．…………… 14分16．（1）证明：连接，交于点, 连接. ∵、分别是、的中点，∴∥．………3分∵平面，平面，∴∥平面．………6分（2）为的中点．………7分证明如下：∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．∵为的中点，是的中点，∴，………9分∴，．又∵，，∴．………11分∵是正三角形，是的中点，∴．∵平面平面, 平面平面，平面，C11C∴平面． ∵平面，∴． ………13分 ∵， ∴平面． ∵平面，∴． ………14分18.（本小题满分16分）解（1）由题设可知a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，故b ＝1．因此，a ＝2，b ＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得54x 2－2mx ＋m 2－1＝0．解之得x 1＝2(2m －1－m 2)5， x 2＝2(2m ＋1－m 2)5，从而有，x 1＋x 2＝8m5， x 1· x 2＝4(m 2－1)5，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，因此，∣AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2＝452·5－m 2，点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S 2△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1．………………… 6分又－2≤m ≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m ＝±102时，S △OAB 取得最大值1．………………… 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k (x －m ).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2．………………… 10分所以，PA 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. …………………14分因为PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关，所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12．所以，k 的值为±12. …………………16分19.解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f / (1) = 0, 解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数， ∴f / (x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f / (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立, 即b ≥-2x 2 -2x = 恒成立,由此得b ≥;若f / (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2 +2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立. 综上所述，实数b 的取值范围是.（3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3 = x 2 – ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - ，∴当时，h /(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2 – ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当时,有f(x) ＜x 3.. ∵取则有 ∴,故结论成立。

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建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合{}1,3,5A =，()2,B =+∞，则A B =__________.2. 复数11iz i-=+的实部为___________. 3. 已知球的半径为3，则它的体积为__________. 4. 已知1cos 23πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则()cos 2θ=__________.5. 若直线1l ：210mx y ++=与2l ：43y x =+互相垂直，则实数m =__________.6. 已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________.7. 若多项式827801278(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x +=+++++++++，则17a a +的值为_________.8. 若抛物线24y x =的准线与曲线221(0)4x y y a +=≥只有一个交点，则实数a 的取值范围是__________. 9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为_____________.（结果用数字表示） 10. 已知ABC △中，23A π∠=，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =，AD =，则AC 的长为___________.11. 有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________.12. 已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-.当0x >时，()211()10,4x f x x Q ααα-⎛⎫=-->∈ ⎪⎝⎭，当函数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值范围是__________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.选对得5分，否则一律得零分.13. 已知实数A ，B ，C 满足0ABC ≠，则“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 当1m ≠±时，方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况为（）A. 仅有唯一解B. 有唯一解或无穷多解C. 无解或无穷多解D. 有唯一解或无解15. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（）A. 2B.3C.13D.4316. 已知ABC △的外接圆圆心为O ，6A π∠=，若(),AO xAB yAC x y R =+∈，则x y +的最大值为（）A. 4+B. 4-C.2D.4三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC △是边长为4的正三角形，侧棱PB 与底面所成角为3π.（1）求三棱锥P ABC -的体积V ；（2）若D 为PB 中点，求异面直线PA 与CD 所成角的大小.18. 已知函数2()cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()2f A =，1b =，ABC △的面积为a 的值. 19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：()60,02070,20120140x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时. （1）若车流速度v 不小于50千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭.A为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20OB OC +=，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212026(1)1n n n a a n a +++=≥+.（1）已知52a =，61013a =，求a 和b 的值；（2）若1a =，求证211202621n n n ba ab +---≤+；（3）求a b +的取值范围.建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. {}3,52. 03. 36π4.79 5. 12 6. ⎫⎪⎪⎣⎭7. 16 8. ()[),01,-∞+∞ 9. 1680 10. 3 11. 1010 12.{}111,0,144⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13-16：DACB三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.【答案】（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PBA ∠为侧棱PB 与底面所成的角，即3PBA π∠=，∴PA =又144sin 23S π=⨯⨯⨯=111633V Sh ==⨯=，即三棱锥P ABC -的体积为16；（2）取AB 中点E ，连结DE ，CE ，则//DE PA ，∴CDE ∠就是异面直线PA 与CD 所成的角（或其补角），CE =12DE PA ==PA ⊥底面ABC ，∴DE ⊥底面ABC . 在直角三角形CDE 中，tan 1CE CDE DE ∠==，所以4CDE π∠=，所以异面直线PA 与CD 所成角的大小为4π.18.【答案】（1）2()cos 226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为π，单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）因为()f A =，所以2262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 216A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故6A π=，11sin 1sin 226ABC S bc A c π==⨯⨯⨯=△c =，2222cos 7a b c bc A =+-=，所以a = 19.【答案】（1）由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入70140kv x=--，得070140120k =--，解得1400k =，所以60,020140070,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当020x <≤时，6050v =≥，符合题意；当20120x <≤时，令14007050140x-≥-，解得70x ≤，所以2070x <≤.综上，070x <≤.答：若车流速度v 不小于50千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,70.（2）由题意得60,020140070,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当020x <≤时，60y x =为增函数，所以1200y ≤，等号当且仅当20x =成立；当20120x <≤时，14002020(140)2800707070140140140x x x y x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=-=-=+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦28002800702070160(140)140140x x x x ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=+-=--+⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎩⎭7016070(1603792⎡≤-=-≈⎢⎣.即3792y ≤，等号当且仅当2800140140x x-=-，即()21402800x -=，即140x -=±(]1408720,120x =-≈∈成立.综上，y 的最大值约为3792，此时x 约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.20.【答案】（1）由题意得24a =，解得2a =.把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程22221x y a b +=，得221914a b +=.由于2a =，解得b =22143x y +=. （2）因为20OB OC +=，则得10,2OC OB ⎛=-= ⎝⎭，即C ⎛⎝⎭，又因为()2,0A -，所以直线AP的方程为)2y x =+. 由222)143y x x y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得65P ⎛⎝⎭，所以AP ==，即线段AP的长为5. （3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线PB：y kx =令0y =，得D k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由22143ykx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22340k x +-=，解得0x =（舍去）或234x k =+. 所以P⎝⎭.于是直线AP 的方程为2)y x=+.令0x =得，即C ⎛⎫⎝.所以四边形ABDC的面积等于12212C k AD B ⎛⎫⎛=+=⨯⨯⎝⎭ 即四边形ABDC 的面积为定值 21.【答案】（1）2a =，1013b =；（2）由题意可得：2122026n n n n a a a a ++++=+，则212323120262026n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减可得()()31221n n n n n a a a a a ++++-+=-，即23121n nn n n a a a a a ++++--=+，因为{}n a 是正整数数列，所以212n a ++≥，于是2113111122n n n n n a a a a a a ++---≤-≤≤-1112026120262121n n a b a b b --+-=-=++. （3）由（2）知()()31221n n n n n a a a a a ++++-+=-，①若20n n a a +-=，即{}n a 是周期为2的周期数列，则有120261n n n a a a ++=+，即12026n na a +=.由{}n a 是正整数数列，所以11,2,1013,2026n a +=，经验证，12026a b =⎧⎨=⎩，20261a b =⎧⎨=⎩，21013a b =⎧⎨=⎩，10132a b =⎧⎨=⎩均符合题意. ②若20n n a a +-≠，当1n =时，有()()423311a a a a a -+=-，当2n =时，有()()534421a a a a a -+=-，两式相除可得()()33534111a a a a a -+=-+（*），因为{}n a 是正整数数列.所以（*）不可能成立.理由如下：若531a a -≥，则()()333534111a a a a a a -<<+-+；若530a a -<，则()()335341011a a a a a -≤<+-+.综上，必有{}n a 是周期为2的周期数列，且有12026a b =⎧⎨=⎩，20261a b =⎧⎨=⎩，21013a b =⎧⎨=⎩，10132a b =⎧⎨=⎩，因为{}1015,2027a b +∈.。