高考数学一轮总复习 第1节 坐标系课件(选修4-4)

即变换后的直线方程为 x－y＋1＝0. [答案] x－y＋1＝0
2．(2015·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的 圆心的极坐标是________．
[解析] 该圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，即 x2＋(y＋ 1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为1，－π2.
拓 展 提 高 平 面 上 的 曲 线 y ＝ f(x) 在 变 换 φ ：
x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0
的作用下的变换方程的求法是将
x＝x′λ ， y＝y′μ
代入 y＝f(x)，得y′μ ＝fx′λ ，整理之后得到 y′＝
h(x′)，即为所求变换之后的方程．
活学活用 1 若函数 y ＝f(x)的图像在伸缩变换 φ：
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极 点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐 标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由此得 ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．
x′＝2x， y′＝3y
的作用下得到曲线的方程为 y′＝3sinx′＋π6，求
函数 y＝f(x)的最小正周期． [解] 由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sinx′＋π6得 3y＝3sin2x＋π6，整理得 y＝sin2x＋π6，故 f(x)＝sin2x＋π6.
所以 y＝f(x)的最小正周期为22π＝π.
④在极坐标系中，方程ρcos θ＝1表示圆． 其中正确命题的序号是________．( 写出将所有正确命题 的序号 ) [解析] ①正确．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换为 φ：
x′＝13x， y′＝12y，
则点(3,2)经过变换 φ 后的点的坐标为(1,1)．
②正确．将函数 y＝sin 2x 的图像的横坐标伸长到原来的 2
θ＝α(ρ∈R) 或 θ＝π＋α(ρ∈R) ρcos θ＝a
ρsin θ＝a
[基础自测]
1．直线 3x－2y＋1＝0 经过xy′ ′＝ ＝32xy 变换后的直线方程为
________． [解析]
由变换yx′ ′＝ ＝23yx，
得xy＝ ＝xy′ ′ 23 ， ，
代入直线方程，
得 3×x′ 3 －2×y′ 2 ＋1＝0，得 x′－y′＋1＝0，
x′＝λxλ＞0， [解] 设伸缩变换为y′＝μyμ＞0， 由题知λ29x2＋μ24y2＝1，即3λ2x2＋μ22y2＝1. 与 x2＋y2＝1 比较系数，
得3μ2λ22＝＝11，，
λ＝3， 故μ＝2，
x′＝3x， 所以伸缩变换为y′＝2y， 即先使圆 x2＋y2＝1 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横 坐标伸长到原来的 3 倍，得到椭圆x92＋y2＝1，再将该椭圆的点 的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x92＋y42＝1.
倍，得到函数 y＝sin 212x＝sin x 的图像．
③正确．极坐标系中，点2，π3与2，π3＋2kπk∈Z为同一 点．
④错误．极坐标系中，方程 ρcos θ＝1 表示垂直于极轴的直 线．
[答案] ①②③
【考向互动探究】
考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换 例 1 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得 圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x92＋y42＝1. 思路点拨 设出伸缩变换，然后求出圆变换后的曲线方程， 利用对应系数相等列出方程，求出变换．
3．常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径为
r 的圆
圆心为(r,0)，半径为 r
的圆
圆心为(r，π2)，半径为 r 的圆
极坐标方程 ρ＝r
ρ＝2rcos θ ρ＝2rsin θ (0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为 α 的直线
过点(a,0)，与极轴垂 直的直线
过点a，π2，与极轴平 行的直线
公式得 d＝| 31－2＋3－×1＋322|＝1.
[答案] 1
4．(2014·广东高考)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极 点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面 直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________.
[答案] 1，－π2
3 ． (2014·陕 西 高 考 ) 在 极 坐 标 系 中 ， 点 2，π6 到 直 线
ρsinθ－π6＝1 的距离是________.
[解析] 点2，π6化为直角坐标为( 3，1)，直线方程可化
为
3 2 ρsin
θ－12ρcos
θ＝1，即
x－
3y＋2＝0，由点到直线的距离
考向二 极坐标与直角坐标的互化 例 2 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1(0≤θ ＜2π)，M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程． 思路点拨 根据极坐标与直角坐标的互化公式，将曲线方 程化为直角坐标方程后求解．
[解析] C1 的方程可化为 ρ2sin2θ＝ρcos θ，即 y2＝x，C2 的
方程可化为 y＝1，
由yy2＝＝1x，， 得yx＝＝11，， 所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为
(1,1)． [答案] (1,1)
5．给出下列命题： ①点(3,2)经过伸缩变换 φ：32xy′ ′＝ ＝xy， 后的所得点的坐标 为(1,1)． ②将函数 y＝sin 2x 的图像的横坐标伸长到原来的 2 倍，得 到函数 y＝sin x 的图像． ③在极坐标系中，点2，π3与2，－53π为同一点．
选修4-4 坐标系与参数方程
第1节 坐标系
1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换 作用下平面图形的变化情况．
2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻 画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·xλ＞0， y′＝μ·yμ＞0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，
称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系 (1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的_极__径__，记为ρ.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫 做点M的_极__角__，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记 作M(ρ，θ)．