高中数学第二课时排列课件新人教A版
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人教A版高中数学选修23 .1 排列课件
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
例4 解方程 A42x＋1＝140A3x.
解 根据题意，原方程等价于
2x ＋1≥4， x ≥3， x ∈N*， 2x ＋1·2x ·2x －12x －2＝140x x －1x －2，
A84 3 9A84
1 27
例3（1）Anm 17 16 15 5 4 ，则 m 14，
n 17 ．
(2) 用 排 列 数 表 示 (55 － n)(56 － n)…(69 － n)(n∈N* 且 n<55)；
解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
例1、下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）在1，2，2中，任选两个做除法 （6）20位同学互通一次电话
（7）20位同学互通一封信 （8）以圆上的10个点为端点作弦 （9）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个 点的射线
事不应共同用有的两方种N法原。理m解1 题m：2 （1）分m清n 要完成的事情是什么种
（2）是分类完成还是分步完成
探究新知
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
例4 解方程 A42x＋1＝140A3x.
解 根据题意，原方程等价于
2x ＋1≥4， x ≥3， x ∈N*， 2x ＋1·2x ·2x －12x －2＝140x x －1x －2，
A84 3 9A84
1 27
例3（1）Anm 17 16 15 5 4 ，则 m 14，
n 17 ．
(2) 用 排 列 数 表 示 (55 － n)(56 － n)…(69 － n)(n∈N* 且 n<55)；
解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
例1、下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）在1，2，2中，任选两个做除法 （6）20位同学互通一次电话
（7）20位同学互通一封信 （8）以圆上的10个点为端点作弦 （9）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个 点的射线
事不应共同用有的两方种N法原。理m解1 题m：2 （1）分m清n 要完成的事情是什么种
（2）是分类完成还是分步完成
探究新知
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
数学：1.2.1《排列》课件(4)(新人教A版选修2-3)
用排列数符号如何表示？ 用排列数符号如何表示？它与 A 么关系？ 么关系？ m+1
m n
An- 1 =
An
有什
An
= ( n - m )A
m n
思考3 ( 思考3：n
- 1)( n - 2) L ( n - m + 1)( n - m ) m 用排列数符号如何表示？ 用排列数符号如何表示？它与 A n 有什
思考3 思考3：将排列数公式变形为 n ( n - 1) L ( n - m + 1) ( n - m ) L 2 1 m An = (n - m ) L 2 1 m 进一步用阶乘如何表示 A n ？
A
m n
n! = (n - m ) !
m n
思考4 思考4：当m＝n时，公式 A 成立吗？对此怎样处理？ 成立吗？对此怎样处理？ 规定： ！＝1 规定：0！＝1
么关系？ 么关系？ A m = n - m A m n- 1 n n 思考4 思考4：考察恒等式 n(n－1)(n－2)…(n－ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) [(n－m)＋m](n－1)(n－2)…(n－ ＝[(n－m)＋m](n－1)(n－2)…(n－m＋1) (n－1)(n－2)…(n－ 1)(n－m)＋ ＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＋ m(n－1)(n－2)…(n－ 1)， m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，用排列数 表示可得什么结论？ 表示可得什么结论？ m = A m + m A m - 1 A
3.排列数公式源于分步乘法计数原理， 3.排列数公式源于分步乘法计数原理， 排列数公式源于分步乘法计数原理 对排列数公式作进一步的变形与拓展， 对排列数公式作进一步的变形与拓展， 可以得出排列数的一些基本性质. 可以得出排列数的一些基本性质.
m n
An- 1 =
An
有什
An
= ( n - m )A
m n
思考3 ( 思考3：n
- 1)( n - 2) L ( n - m + 1)( n - m ) m 用排列数符号如何表示？ 用排列数符号如何表示？它与 A n 有什
思考3 思考3：将排列数公式变形为 n ( n - 1) L ( n - m + 1) ( n - m ) L 2 1 m An = (n - m ) L 2 1 m 进一步用阶乘如何表示 A n ？
A
m n
n! = (n - m ) !
m n
思考4 思考4：当m＝n时，公式 A 成立吗？对此怎样处理？ 成立吗？对此怎样处理？ 规定： ！＝1 规定：0！＝1
么关系？ 么关系？ A m = n - m A m n- 1 n n 思考4 思考4：考察恒等式 n(n－1)(n－2)…(n－ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) [(n－m)＋m](n－1)(n－2)…(n－ ＝[(n－m)＋m](n－1)(n－2)…(n－m＋1) (n－1)(n－2)…(n－ 1)(n－m)＋ ＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＋ m(n－1)(n－2)…(n－ 1)， m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，用排列数 表示可得什么结论？ 表示可得什么结论？ m = A m + m A m - 1 A
3.排列数公式源于分步乘法计数原理， 3.排列数公式源于分步乘法计数原理， 排列数公式源于分步乘法计数原理 对排列数公式作进一步的变形与拓展， 对排列数公式作进一步的变形与拓展， 可以得出排列数的一些基本性质. 可以得出排列数的一些基本性质.
最新-2021版高中数学人教A版浙江选修23课件：121 第2课时排列的综合应用 精品
解 (1)分三步： ①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法. 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个). (2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个 位数字有6种选法. 故所求三位数共有5×6×6＝180(个).
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女 生隔成的 5 个空中安排有 A35种排法， 故 N＝A44·A35＝1 440(种). (8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种). (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全 排，故 N＝(A25·A22)·A44＝960(种).
(2)间接法 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件 的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即 “间接法”.
2.用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中 奇数共有( )
A.30个 B.36个 C.40个
D.60个
解析 分2步完成：个位必为奇数，有 A13种选法；从余下的4个数
(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)； ②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝ 48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时， 共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个.故所求四位数 共120＋48＋6＋1＝175(个).
中任选2个排在三位数的百位、十位上，有 A24种选法.由分步乘法 计数原理，共有 A13× A24＝36(个)无重复数字的三位奇数.
答案 B
3.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为
高二数学新人教A版选修2-3《1.2排列》课件(共18张PPT)
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于 m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含
条件。
例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有 14个队参加，每队要与其余各队在主、客 场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解 任意两队间进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14个元素中任取 2个 元素的一个排列.因此,比赛的总场次是 A124 14 13 182.
的9个数字中任选2个,有A 92种选法 (图1.2 5).根据分步乘法原理 ,所
求的三位数有
A19
A
2 9
998
648(个).
解法2 如图1.2 6所示,符合条件
百位 十位 个位
A19个 A29个
图1.2 5
百位 十位 个位
的三位数可分成3类.每一位数字都 不是0的三位数有A 39个,个位数字是 0的三位数有A 92个,十位数字是0的 三位数有A 92个.根据分类加法计数 原理,符合条件的三位数有
积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ!表示，
所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成
Ann n！
另外，我们规定 0!＝1
排列数公式（2）：
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n n (n 1) (n m 1)(n m) 2 1 (n m) 2 1 n! (n m)!
1.2.1 排列（二）
河北师大实验中学 孙金娥
探究1：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加 下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于 m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含
条件。
例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有 14个队参加，每队要与其余各队在主、客 场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解 任意两队间进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14个元素中任取 2个 元素的一个排列.因此,比赛的总场次是 A124 14 13 182.
的9个数字中任选2个,有A 92种选法 (图1.2 5).根据分步乘法原理 ,所
求的三位数有
A19
A
2 9
998
648(个).
解法2 如图1.2 6所示,符合条件
百位 十位 个位
A19个 A29个
图1.2 5
百位 十位 个位
的三位数可分成3类.每一位数字都 不是0的三位数有A 39个,个位数字是 0的三位数有A 92个,十位数字是0的 三位数有A 92个.根据分类加法计数 原理,符合条件的三位数有
积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ!表示，
所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成
Ann n！
另外，我们规定 0!＝1
排列数公式（2）：
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n n (n 1) (n m 1)(n m) 2 1 (n m) 2 1 n! (n m)!
1.2.1 排列（二）
河北师大实验中学 孙金娥
探究1：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加 下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
高二数学选修二《排列》课件新课标.ppt
1 4 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 4 2 4 2 3
2 1 2 2 3 2 4 4 1 4 4 2 4 3
2 1 3 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 3 3 4 4 1 2 2 3 3 4 1 4 1 3 3 1 3 1 2
3 1 3 3 2
3 4
3 1 2 3 1 4 3 2 1 3 2 4 3 4 1 3 4 2
用符号 A
m n
表示.
【举例】
1.某班要在A、B、C、D四位候选人中,选举 两人分别担任正、副班长,共有多少种不同的 选法?写出所有可能的选举结果.
N 4 3 京、上海、广州三个民航站之间的直达 航线,需要准备多少种不同的飞机票？
N A 3 2 6
例1:北京、上海、广州三个民航站之间的 直达航线,需要准备多少种不同的飞机票？ 飞机票 起点站 终点站 北京 上海 上海 北京 广州 北京 广州 上海 北京 北京 上海 上海 广州 广州 广州 北京 北京 广州 上海 广州 上海
例2:由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
1 2 1 1 3
2.排列数的定义： 从n个不同元素中取出m( m≤n )个元 素的所有排列的个数叫做从n个元素中取 出m个元素的排列数.
【概念复习】
3.排列数公式
A n (n 1) (n 2)(n m 1)
m n
n! A (n m)!
m n
规定0!=1
A
n
n ( n 1) ( n 2) • ···•3 •2 n! n •1
A A A A
3 4
【作业】
四名男生和三名女生站成一排
(1)一共有多少种站法？ (2)甲站在正中间的不同排法有多少种？ (3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？ (4)甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种? (5)甲不站排头,也不站排尾,有多少种排法? (6)甲只能站排头或排尾,有多少种站法?
2 1 2 2 3 2 4 4 1 4 4 2 4 3
2 1 3 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 3 3 4 4 1 2 2 3 3 4 1 4 1 3 3 1 3 1 2
3 1 3 3 2
3 4
3 1 2 3 1 4 3 2 1 3 2 4 3 4 1 3 4 2
用符号 A
m n
表示.
【举例】
1.某班要在A、B、C、D四位候选人中,选举 两人分别担任正、副班长,共有多少种不同的 选法?写出所有可能的选举结果.
N 4 3 京、上海、广州三个民航站之间的直达 航线,需要准备多少种不同的飞机票？
N A 3 2 6
例1:北京、上海、广州三个民航站之间的 直达航线,需要准备多少种不同的飞机票？ 飞机票 起点站 终点站 北京 上海 上海 北京 广州 北京 广州 上海 北京 北京 上海 上海 广州 广州 广州 北京 北京 广州 上海 广州 上海
例2:由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
1 2 1 1 3
2.排列数的定义： 从n个不同元素中取出m( m≤n )个元 素的所有排列的个数叫做从n个元素中取 出m个元素的排列数.
【概念复习】
3.排列数公式
A n (n 1) (n 2)(n m 1)
m n
n! A (n m)!
m n
规定0!=1
A
n
n ( n 1) ( n 2) • ···•3 •2 n! n •1
A A A A
3 4
【作业】
四名男生和三名女生站成一排
(1)一共有多少种站法？ (2)甲站在正中间的不同排法有多少种？ (3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？ (4)甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种? (5)甲不站排头,也不站排尾,有多少种排法? (6)甲只能站排头或排尾,有多少种站法?
高中数学新课标人教A版选修2-3 排列 1.2.2 排列的应用 课件
第三页，编辑于星期一：点 二十二分。
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”
是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照一．定．
的．顺．序．排成一列，不是数；“排列数”是指从 n 个 不同元素中，任取 m（ m n ）个元素的所有排列的 个数，是一个数所以符号 Anm 只表示排列数，而不表 示具体的排列 3．排列数公式及其推导： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) （ m, n N, m n ）
甲在两端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情
况的排列数即得所求的站法数，共有
A
6 6
－
2A
பைடு நூலகம்
5 5
＝
480(种)站法．
(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个
人，有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种 站法，根据分步乘法计数原理，共有 A55·A22＝240(种)
站法．
(3) 因 为 甲 、 乙 不 相 邻 ， 所 以 可 用 “ 插 空
课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念， 排列数公式的推导
第十二页，编辑于星期一：点 二十二分。
课堂练习： 1、六人按下列要求站一排，分别有多少种不
同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站
故共有 A24·A33·A22＝144(种)站法． (5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种站法，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22·A44＝ 48(种)站法． (6)甲在左端的站法有 A55种站法，乙在右端的站法
第十六页，编辑于星期一：点 二十二分。
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”
是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照一．定．
的．顺．序．排成一列，不是数；“排列数”是指从 n 个 不同元素中，任取 m（ m n ）个元素的所有排列的 个数，是一个数所以符号 Anm 只表示排列数，而不表 示具体的排列 3．排列数公式及其推导： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) （ m, n N, m n ）
甲在两端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情
况的排列数即得所求的站法数，共有
A
6 6
－
2A
பைடு நூலகம்
5 5
＝
480(种)站法．
(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个
人，有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种 站法，根据分步乘法计数原理，共有 A55·A22＝240(种)
站法．
(3) 因 为 甲 、 乙 不 相 邻 ， 所 以 可 用 “ 插 空
课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念， 排列数公式的推导
第十二页，编辑于星期一：点 二十二分。
课堂练习： 1、六人按下列要求站一排，分别有多少种不
同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站
故共有 A24·A33·A22＝144(种)站法． (5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种站法，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22·A44＝ 48(种)站法． (6)甲在左端的站法有 A55种站法，乙在右端的站法
第十六页，编辑于星期一：点 二十二分。
6.2.2 排列数(课件)高二数学(新教材人教A版选择性必修第三册)
十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．
高中数学教材全解课件 新课标 人教版 必修2(A)
3.分散难点
立体几何教学的两个主要任务： 培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系， 逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起， 特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判 定定理”的证明要培养空间观念（合情推理），再推进到 逻辑推理能力的培养，适当分散难点。
证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想， 重心是逻辑推理能力。
依据“标准”的要求，实验教
材对这个定理不进行演绎证明， 而让学生通过一个探究实验发现 结论，进行合情推理。
上述过程经历的步骤：
具体 观 实 发现 提 出 问题 察 验 规律 猜想
把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单 纯强调几何的逻辑推理转变为合 情推理与逻辑推理并重。
1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、 锥、台、球体的几何特征并结合它们的展 开图，推导出它们的表面积的计算公式， 并通过对各种几何体体积计算公式之间联 系的分析，帮助学生从计算的角度去认识 空间几何体，更加准确地把握空间几何体 的结构特征。
在立体几何学习中，经历合情推理——演绎 推理过程。通过对事物、模型、图片等的操 作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的 结构特征，认识空间点、线、面的位置关系， 用数学语言表达平行、垂直的性质与判定， 并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理 能力。
直线与平面垂直的判定定理
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
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[例 2] 3 名男生、4 名女生，按照不同的要求站成一排，求 不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端； (2)甲、乙两人必须站两端． [解] (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的 6 人中选 3 人排列，有 A36种站法，然后再排其他位置，有 A44种站法， 所以共有 A36·A44＝2 880 种不同站法． (2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A22种站法， 其余 5 人全排列，有 A55种站法．故共有 A22·A55＝240 种不同站法．
1.探究数字排列问题
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重从 附加限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有： (1)首位不能为 0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍 数；(5)大于(或小于)某数．
[典例] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字的整数，求
[活学活用] 7 人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余 5 人全排列，共有 A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有 A22种 排法．故共有 A66·A22＝1 440 种排法．
[类题通法] 没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的 位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和 位置即可．
[活学活用]
某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示
信号，每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示
不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
解析：第 1 类，挂 1 面旗表示信号，有 A13种不同方法；
第 2 类，挂 2 面旗表示信号，有 A23种不同方法；
第 3 类，挂 3 面旗表示信号，有 A33种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有
A
1 3
＋
A
2 3
＋Aຫໍສະໝຸດ 3 3＝3
＋
3×2
＋
3×2×1＝15 种可以表示的信号．
答案：15
元素的“在”与“不在”问题
(2)法一(间接法)：7 人任意排列，有 A77种排法．甲、乙两人相 邻有 A22·A66种排法，故共有 A77－A22·A66＝3 600 种甲、乙不相邻 的排法． 法二(插空法)：将其余 5 人排列，有 A55种排法.5 人之间及两端 共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A62种排法．故共有 A55·A26＝3 600 种排法． (3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列， 有 A55种排法，甲、乙、丙三人有 A33种排法，共有 A55·A33＝720 种排法． (4)(插空法)将其余 4 人排好，有 A44种排法．将甲、乙、丙插入 5 个空中，有 A53种排法．故共有 A44·A35＝1 440 种排法．
满足下列条件的数各有多少个．
(1)六位数；
(2)六位奇数．
[解] (1)(间接法)：0,1,2,3,4,5 六个数字共能形成 A66种不同
的排法，当 0 在首位时不满足题意，故可以组成 A66－A55＝600 个
没有重复数字的六位数．
(2)法一(位置分析法)：①从个位入手：个位数排奇数，即从
[类题通法] 1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既 可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊” 谁优先． 2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其 他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位 置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置 考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
(2)3 名男生全排列有 A33种方法，把所有男生视为一个元 素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，有 A55种排法．故有 A33·A55＝720 种排队方法．
(3)排好男生后让女生插空，共有 A33·A44＝144 种排法．
[类题通法] 1．元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元素看做一 个整体，视为一个元素，参与其他元素的排列．同时，应注意捆 绑元素的内部排列． 2．元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑不受限制 的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 3．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题，应遵 循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般用“捆绑法”， 元素不相邻问题一般用“插空法”．
元素的“相邻”或“不相邻”问题
[例 3] 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同 的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男、女各不相邻． [解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有 A33种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有 A44种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A33·A44·A22＝288 种排队方法．
第二课时 排列(习题课)
1．两个计数原理有何区别？ 略 2．排列与排列数有何不同？ 略
无限制条件的排列问题 [例 1] 有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(4) 班的 3 个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？ [解] 从 5 个不同的课题中选 3 个，由 3 个学习兴趣小组 进行研究，每种选法对应于从 5 个不同元素中选出 3 个元素的 一个排列． 因此有 A35＝5×4×3＝60 种不同的安排方法．
[活学活用] 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员安排在第一、三、五位置上，其余 7 名队员中选 2 名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种． 解析：分两步完成：第 1 步，安排 3 名主力队员有 A33种排法； 第 2 步，安排另 2 名队员有 A72种排法，所以共有 A33·A72＝252 种不同的出场安排． 答案：252
(1)甲不站中间，也不站两端； (2)甲、乙两人必须站两端． [解] (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的 6 人中选 3 人排列，有 A36种站法，然后再排其他位置，有 A44种站法， 所以共有 A36·A44＝2 880 种不同站法． (2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A22种站法， 其余 5 人全排列，有 A55种站法．故共有 A22·A55＝240 种不同站法．
1.探究数字排列问题
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重从 附加限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有： (1)首位不能为 0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍 数；(5)大于(或小于)某数．
[典例] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字的整数，求
[活学活用] 7 人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余 5 人全排列，共有 A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有 A22种 排法．故共有 A66·A22＝1 440 种排法．
[类题通法] 没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的 位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和 位置即可．
[活学活用]
某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示
信号，每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示
不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
解析：第 1 类，挂 1 面旗表示信号，有 A13种不同方法；
第 2 类，挂 2 面旗表示信号，有 A23种不同方法；
第 3 类，挂 3 面旗表示信号，有 A33种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有
A
1 3
＋
A
2 3
＋Aຫໍສະໝຸດ 3 3＝3
＋
3×2
＋
3×2×1＝15 种可以表示的信号．
答案：15
元素的“在”与“不在”问题
(2)法一(间接法)：7 人任意排列，有 A77种排法．甲、乙两人相 邻有 A22·A66种排法，故共有 A77－A22·A66＝3 600 种甲、乙不相邻 的排法． 法二(插空法)：将其余 5 人排列，有 A55种排法.5 人之间及两端 共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A62种排法．故共有 A55·A26＝3 600 种排法． (3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列， 有 A55种排法，甲、乙、丙三人有 A33种排法，共有 A55·A33＝720 种排法． (4)(插空法)将其余 4 人排好，有 A44种排法．将甲、乙、丙插入 5 个空中，有 A53种排法．故共有 A44·A35＝1 440 种排法．
满足下列条件的数各有多少个．
(1)六位数；
(2)六位奇数．
[解] (1)(间接法)：0,1,2,3,4,5 六个数字共能形成 A66种不同
的排法，当 0 在首位时不满足题意，故可以组成 A66－A55＝600 个
没有重复数字的六位数．
(2)法一(位置分析法)：①从个位入手：个位数排奇数，即从
[类题通法] 1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既 可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊” 谁优先． 2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其 他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位 置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置 考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
(2)3 名男生全排列有 A33种方法，把所有男生视为一个元 素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，有 A55种排法．故有 A33·A55＝720 种排队方法．
(3)排好男生后让女生插空，共有 A33·A44＝144 种排法．
[类题通法] 1．元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元素看做一 个整体，视为一个元素，参与其他元素的排列．同时，应注意捆 绑元素的内部排列． 2．元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑不受限制 的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 3．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题，应遵 循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般用“捆绑法”， 元素不相邻问题一般用“插空法”．
元素的“相邻”或“不相邻”问题
[例 3] 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同 的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男、女各不相邻． [解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有 A33种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有 A44种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A33·A44·A22＝288 种排队方法．
第二课时 排列(习题课)
1．两个计数原理有何区别？ 略 2．排列与排列数有何不同？ 略
无限制条件的排列问题 [例 1] 有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(4) 班的 3 个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？ [解] 从 5 个不同的课题中选 3 个，由 3 个学习兴趣小组 进行研究，每种选法对应于从 5 个不同元素中选出 3 个元素的 一个排列． 因此有 A35＝5×4×3＝60 种不同的安排方法．
[活学活用] 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员安排在第一、三、五位置上，其余 7 名队员中选 2 名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种． 解析：分两步完成：第 1 步，安排 3 名主力队员有 A33种排法； 第 2 步，安排另 2 名队员有 A72种排法，所以共有 A33·A72＝252 种不同的出场安排． 答案：252