幂级数运算
幂级数的运算
Calculus Ⅱ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数的运算
一 四则运算
设幂级数 an xn , bn xn 收敛半径分别为 R1, R2
n0 n!
例
求幂级数 ( n 1 ) x n 的和函数。
n1
解:
设 s(x) (n 1)xn , | x | 1
n1
两边积分得
x
s(x)dx
x
(n 1)xndx
xn1
x2
0
n1 0
n1
1 x
两边求导得
s(x)
x2
1 x
n1 (n 1)! n0 n!
即
s(x) s(x), s(x) 1
s(x)
积分得
x s(x) dx
x
dx
0 s(x)
0
ln s(x) ln s(0) x
因为
s(0) 1,
所以 因此得
s(x) ex
x n e x , x ( , )
n0
n0
记 r min{R1, R2 }, 则当 x (r, r )时，有
1) an xn bn xn (an bn )xn
n0
n0
n0
2) an xn bn xn cn xn
n0
n0
n0
幂级数运算
幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。
我们需要了解什么是幂级数。
幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。
幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。
当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
接下来，我们来看看幂级数的加法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。
接下来，我们来看看幂级数的减法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。
接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。
幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。
我们来看看幂级数的除法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。
需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
幂级数的运算
即 s( x ) s(0) = ln(1 + x ) ∴ s( x ) = ln(1 + x ),
∞ 1 xn n 1 收敛 . ∴ ∑ ( 1) n1 又 x = 1时, ∑ ( 1) 时 = ln(1 + x ). n n n =1 n =1
( 1 < x ≤ 1)
1 n 1 的收敛域， 例3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n a n→ ∞ 1 n n n n2 ∞ ( 1)n1 ∞ 1 x = 2, ∑ 收敛， 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 2n 2n 1 1 2n
∞
2 收敛域 [ 2，)
1 n 1 1 ∞ 1 n 设s( x ) = ∑ n x = ∑ nx , 1 n2 x 1 n2
∞
x≠0
1 n 则xs( x ) = ∑ n x 1 n2
∞
1 n 1 1 ∞ 1 n 1 1 1 1 ∴ [ xs( x )]′ = ∑ n x = ∑ x = = n1 1 2 212 21 x 2 x 2 x x 1 dx ∫0 [ xs( x )]′dx = ∫0 2 x
n= 0
∞
两级数的收敛区间小得多) 两级数的收敛区间小得多
2.和函数的分析运算性质: 2.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质
(1) 幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( R, R ) 内连续 连续.
(2) 幂级数
∑a
n= 0
∞
n
x 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ xn xn = x 2 ( ∑ )′′ + x ∑ = x 2 (e x 1)′′ + xe x n=1 n! n= 0 n! ∞
幂级数的加减乘除运算
幂级数的加减乘除运算幂级数是数学中研究的一类级数，它具有重要的数学性质和广泛的应用价值。
幂级数的加减乘除运算是研究幂级数的重要内容，通过对幂级数进行加减乘除的运算，可以得到新的幂级数，进一步拓展了数学的应用领域。
首先，我们来看幂级数的加法运算。
幂级数的加法运算就是将两个幂级数进行相加。
具体操作是将两个幂级数的相同次数的幂次项进行相加，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的和为幂级数C=a0+b0+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+(a3+b3)x^3+…。
通过幂级数的加法运算，我们可以将多个幂级数进行相加得到新的幂级数，进一步拓展了数学的应用领域。
其次，我们来看幂级数的减法运算。
幂级数的减法运算就是将两个幂级数进行相减。
具体操作是将两个幂级数的相同次数的幂次项进行相减，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的差为幂级数C=a0-b0+(a1-b1)x+(a2-b2)x^2+(a3-b3)x^3+…。
通过幂级数的减法运算，我们可以利用幂级数的性质来求解一些特殊的函数问题，提高问题的求解效率。
接下来，我们来看幂级数的乘法运算。
幂级数的乘法运算就是将两个幂级数进行相乘。
具体操作是将两个幂级数的每一个幂次项进行相乘，然后将结果按幂次递增次序相加，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的乘积为幂级数C=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x^2+(a0b3+a1b2+a2b1+a3b0)x^3+…。
通过幂级数的乘法运算，我们可以通过幂级数展开来计算一些复杂函数的数值近似值，提高数学计算的准确性和稳定性。
第十四章 幂级数
∞
∞
（14.2）
∫
x
0
f (t )dt = ∫
x ∞
0
∑ ant n dt = ∑
n =0
an n +1 x 。 n=0 n + 1
∞
（14.3）
证明： ∀x ∈ (− R, R ) ，取实数 r ，使 x < r < R ，由于式（14.1） ， （14.2） ， （14.3）右 边的幂级数都以 ( − R, R ) 为收敛区间，故都在 [ − r , r ] 一致收敛，据函数级数逐项求导和逐项 积分定理立证式（14.2） ， （14.3）成立。 推论 设幂级数
∑ax
1
收敛， 当 ρ x > 1 时，
∑ax
n
n
发散，
∑ax
n
n
的收敛半径是
ρ
，从而幂级数
∑a x
n
n
的收敛半径是
1
ρ
。
注 3.若幂级数的奇项或偶项系数全为 0，即形如
∑ a2 n x 2 n ，或 ∑ a2n−1 x 2 n−1 ，
n=0 n =1
∞
∞
那么收敛半径 R 的确定，应该象定理 14.2 那样用正项级数的根式判别法和比式判别法来判 定；也可用下面的方法求 ρ ：
评注：由于和函数在收敛域连续.故 S ( ±1) 的值可利用 lim S ( x ) 求出。
x →±1
补例 2（P24 题 5（1） ）求乘积级数
(∑ nx n −1 )[∑ ( −1) n −1 ⋅ nx n −1 ] 。
n =1 n =1
∞
∞
解：
∑ nx n−1 = (∑ ∫ nt n−1dt ) '
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
根据幂级数的运算知识点总结
根据幂级数的运算知识点总结
幂级数是数学中一类重要的级数，它常用于数值计算、函数逼
近和方程求解等领域。
以下是幂级数运算的一些核心知识点总结：
1. 幂级数的定义：
幂级数是形如∑(aₙxⁿ)的级数，其中aₙ是常数系数，x是变量，ⁿ表示指数。
2. 幂级数的收敛性：
(1) 当级数的通项aₙxⁿ的绝对值在某一范围内都趋于0时，该
幂级数收敛。
(2) 幂级数的收敛半径R能够通过求取lim|(aₙ)/(aₙ₊₁)|来计算。
3. 幂级数的运算法则：
(1) 幂级数的加法：将相同次数的各项系数相加即可。
(2) 幂级数的乘法：将幂级数展开后，相同次数的各项系数相
乘再相加。
4. 幂级数的展开：
(1) 幂级数的展开可以利用函数的泰勒级数来进行，泰勒级数
是一种特殊的幂级数表示。
(2) 对于某些特殊函数，如指数函数、三角函数等，可以利用
已知的展开式来得到幂级数的展开形式。
5. 幂级数的收敛域：
幂级数的收敛域是指使得幂级数收敛的变量取值范围。
一般来说，幂级数在其收敛半径范围内收敛，而在其边界上需要额外判断。
以上是根据幂级数的运算知识点的总结，希望对您有帮助！。
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§11-3 幂 级 数一、函数项级数的概念1.定义 设函数列 I x x u i ∈,)( 表达式： )1()()()()(321+++++x u x u x u x u v 称为定义在I 上的(函数项)(无穷)级数如: +++++=-∞=-∑12111n n n x x x x+++++=+∑∞=nx a x a x a a nx a a n n n cos 2cos cos cos 21012. 收敛性I x ∈∀0，(1)成为)2()(10∑∞=n n x u 常数项级数可能收敛可能发散．若∑∞=10)(n n x u 收敛，称0x 是 (1)的收敛点；若∑∞=10)(n n x u 发散，称点0x 是 (1)的发散点.收敛域：收敛点的全体；发散域：发散点的全体.3.和函数123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++，∈∀x 收敛域()n s x ：函数项级数(1)的前n 项和，则在收敛域上有lim ()().n n s x s x →∞=()()()n n r x s x s x =-：函数项级数的余项(只有x 在收敛域上)(x r n 才有意义)，有.0)(lim =∞→x r n n2101n n n x x x x ∞-==+++++∑ ()1,1x ∈- 和函数 ()11s x x=- 二、幂级数及其收敛性1．定义 )3(2210 +++++n n x a x a x a a 其中常数i a ：幂级数的系数．例如∑∞=0n n x ，∑∞=0!1n nx n 等等。
2010200()()()nn a a x x a x x a x x +-+-++-+取 00n n n x x t a t ∞=-=⇒∑2．收敛性定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数∑∞=0n n n x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞=0n n n x a 当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x ，使这幂级数发散．分析：(1)设级数∑∞=00n n n x a 收敛,由级数收敛的必要条件有0lim 0=∞→nn n x a ,于是M ∃，使得 .),2,1,0(0=≤n M x a nn这样级数(3)的一般项的绝对值.00000nnnn n nn n n n x xMx x x a x x x a x a ≤⋅=⋅=由等比级数的敛散性知0x x <时,∑∞=0n nn x a 收敛，即∑∞=0n n n x a 绝对收敛．(2)反证法．注1 由TH1知，若幂级数在0x x =处收敛，则),(00x x x -∈∀，都收敛；若在0x x =处发散，则对于[]00,x x - 外的任何x ，都发散．几何说明：推论 如果幂级数∑∞=0n n n x a 不是仅在0=x 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R 存在，使得当R x <时，幂级数绝对收敛； 当R x >时，幂级数发散；当R x -=与R x =时，幂级数可能收敛也可能发散． 3．收敛半径和收敛区间R ：幂级数(3)的收敛半径．幵区间(),R R -叫做幂级数(3)的收敛区间。
由Rx ±=处的收敛性可决定它的收敛域是(][R R R R R R ,,),,),(---或[]R R ,-之一.特殊情形：0=R ，+∞=R （这时收敛区间是),(+∞-∞）。
定理2 如果 ,lim1ρ=+∞→nn n a a 其中1,+n n a a 是∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数．则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1ρρρρR例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间(1)13nn n nx ∞=∑解 11131lim ||lim 33n n n n n n a n a n ++→∞→∞+==, 故收敛半径为3R =.因为当1x =时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的; 当1x =-时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n ,也是发散的, 所以收敛域为(-3, 3).(2) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n +∞=R 收敛区间是.),(+∞-∞ ()10:n n ex nx ∞-=∑ 0R ρ=+∞=(3)()2112nn nn nx -∞=-∑缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用，比值审敛法求R211lim2n n n u x u ρ+←∞==211,2x x <<当时即级数绝对收敛,21.1,2x x 当时即级数发散;()n=11n x ∞=∑n －, ()-1n=11n x ∞=∑n －收敛区间是( (4)()11(1)1n n n x n ∞-=--∑ 令1-=x t ，上述级数变为()111n n n tn ∞-=-∑ 1,R = 收敛区间为(]0,2三、幂级数的运算1．四则运算设∑∞=0n nn x a 和 ∑∞=0n n n x b 分别在()R R ,-及),(//R R -内收敛，（1）加减法 ∑∞=±0)(n n n n x b a 在()R R ,-及),(//R R -中较小的区间内成立.（2）乘法（两幂级数的柯西乘积）)(2210 +++++n n x a x a x a a )(2210 +++++⋅n n x b x b x b b++++++=2021120011000)()(x b a b a b a x b a b a b a .)(0110 ++++-n n n n x b a b a b a 可以证明上式在()R R ,-与),(//R R -中较小的区间内成立．（3）除法： ++++++++nn n n x b x b x b b x a x a x a a 22102210,2210 +++++=n n x c x c x c c 这里设.00≠b 为决定系数,,,,,,210 n c c c c 可将∑∞=0n nn x b 与∑∞=0n n n x c 与相乘，并令乘积中各项的系数分别等于级数∑∞=0n n n x a 中同次幂的系数，即得：,,,201102210011000c b c b c b a c b c b a c b a ++=+==由这些方程就可以顺序地求出.,,,,,210 n c c c c相除后所得∑∞=0n n n x c 的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多．2.幂级数的和函数性质 ()R R x x a x s n n n ,,)(0-∈=∑∞=性质1 幂级数nnn a x∞=∑和函数()s x 在其收敛域上连续.性质2 )(x S 在区间()R R ,-内是可导的.且有逐项求导公式)5(,)()()(110///∑∑∑∞=-∞=∞====n n n n n n n n n x na x a x a x S其中R x <，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.反复应用上述结论 ： )(x S 在收敛区间()R R ,-内具有任意阶导数． 性质3 )(x S 在区间()R R ,-内是可积的.且有逐项积分公式∑⎰⎰∑⎰∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000)(n x nn xn n n xdx x a dx x a dx x S )6(,101∑∞=++=n n n x n a其中R x <，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
例2 求下列幂级数的和函数(1)在区间()1,1-内求幂级数∑∞=+01n nn x 的和函数解 设和函数0()1nn x s x n ∞==+∑ 显然(0)1s =10()1n n x xs x n +∞==+∑并由)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n 01()ln(1).1xxs x dx x x ==---⎰当0≠x 时,有1()ln(1)s x x x=--.从而 1ln(1),01,()1,0.x x s x xx ⎧--<<⎪=⎨⎪=⎩ 由幂级数的和函数的连续性可知，和函数)(x S 在处是连续的．可验证：1lim ()lim[ln(1)]1n n s x x x→∞→∞=--=.求和函数经常与求等比级数的和相联系,一般：,n u n 若是的整式函数先遂项积分化为等比级数求和,再遂项求导得和函数;,n u n 若是关于的分式函数时先遂项求导化为等比级数求和,再遂项积分得函数; 练习：∑∞=-2)1(n nn n x ()()()()1ln 1s x x x x =--+小结：本节介绍了幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法，会利用幂级数的分析性质求其和函数.。