常数项级数的判敛法
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。
正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。
比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。
常数项级数的审敛法
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
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铃
❖定理8(绝对收敛与收敛的关系)
如果级数 un 绝对收敛, 则级数 un 必定收敛.
n1
n1
例例142
判别级数
(1)n
n1
1 2n
(1
1 n
)n2
的收敛性.
解
由
|un
|
1 2n
(1
1 n
)n2
,
有
lim
n
n
|
un
|
❖p级数的收敛性
p级数 n1
1 np
当
p1
时收敛,
当 p1 时发散.
例 2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n1)
证证 因为 1 1 1 , n(n1) (n1)2 n1
而级数
n1
1 n 1
发散,
故级数 n1
1 也发散. n(n 1)
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铃
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
1 np
( p 0) 的收敛性.
解 当 p1 时,
1 np
1 n
,
而级数 n11n 发散,
所以级数
n1
1 np
也发散.
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2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
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(n N ) ，
由比较判别法可知结论成立。
（2）∵ lim un 0 ， n vn
∴对 1 ，NN ， n N 时，有
un vn
1
，
vn un
vn
(n N ) ，
由比较判别法可知，当vn 收敛时， un 也收敛。
n1
n1
（3）∵ lim un ， lim vn 0 ，
n vn
n un
由反证法及（2）即知结论成立。
n1
n1
（2）当 L 0 ，且 vn 收敛时， un 也收敛；
n1
n1
（3）当 L ，且 vn 发散时， un 也发散。
n1
n1
证明： （1）∵ lim un L ，
n vn
∴对
L 2
0
，NN
，
n N
时，有
un L L ，即 L un 3L ，
vn
2
2 vn 2
从而
L 2 vn
un
3L 2 vn
n
un1 un
，则
（1）当 1时 ， un 收敛；
n1
（2）当 1 时， un 发散 ；
n1
（3）当 1时 ， un 可能收敛也可能发散。
n1
证：（1）当 lim un1 1 时， n un
取 0 ，使得q1 。
而对此给定的 ，必 NN ，当 n N 时 ，
有 un1 。 un
故得 un1 ， un
n1
∵unvn (n1,2, ) ，
故 nSnM ，
∴ n有界 ，故 un 收敛。
n1
（2）用反证法。若vn 收敛，则由（1）知 un 收敛，
n1
n1
这与 un 发散矛盾，故vn 发散。
n1
n1
推论：设 un 和vn 都是正项级数，若存在常数
n1 n1
C 0 ， NN ，使当n N 时 恒有un Cvn 成立，则
n
n 1
lim lnn ，
n
而
1 发散，
n1 n
n
∴
lnn 发散。
n1 n
为了便于使用比较判别法，需了解下列无穷大之
间的关系，它们按照阶由低往高排列为：
ln n ， n ，an(a1) ，n! ，nn ，其中(0, 0) 。
定理 2.3（比值判别法，达朗贝尔判别法）
设
un
n1
为正项级数，若 lim
故
Sn
有界
，从而
n1
1 np
收敛。
p 级数
n1
1 np
当p1时, 当p1时,
收敛, 发散.
例 3．判定级数的敛散性：
（1）
1
n1 2n n
解：（1）∵ 2n n2n1 (2n1 n)2n1 ，
∴
1 2n
n
1 2n1
( n1,
2,
)，
而
1 是公比为1 的收敛的等比级数，
n1 2n1
2
∴
1
收敛。
n1 2n n
极限形式的比较判别法在两个正项级数的通项均
趋向于零的情况下，其实是比较两个通项作为无穷小
量的阶。它表明：当 n 时，如果un 是比 vn 高阶或
Hale Waihona Puke 是与vn 同阶的无穷小，而级数vn 收敛，则级数un
n1
n1
收敛；如果 un 是比 vn 低阶或是与vn 同阶的无穷小，
而级数 vn 发散，则级数un 发散。
由 vn 收敛 un 收敛；
n1
n1
由 un 发散 vn 发散。
n1
n1
例
2． 讨论
p
级数
n1
1 np
的敛散性，其中
p 0
。
解：（1）当
p1
时， 1 np
1 n
(n1,2,3, ) ，
而 1 发散，故 1 发散。
n1 n
n1 n p
（2）当
p1 时，对于n1 xn
，有 1 xp
1 np
un1 un
q
，un1
qun
（n N
），
即 uN2 quN1 ， uN3 quN2 q2uN1 ，
……
uNk quNk1qk1uN1 ，
……
因此正项级数 uN 2 uN3 uNk 的各项小于收
敛的等比级数 quN 1 q2uN 1 qk1uN 1 的对应项。
，可得
1
np
n1 n1n p
dx
n n1
1 xp
dx
(n2, 3,
)
，知部分和
Sn
1
1 2p
1 np
1
2 1
1 xp
dx
n1 n1 x p dx
用1比 较n1 审x1p敛dx法1判定11正p 项x1级p数n1 是否收敛时，
常用1等 比p1级1(数1和n p1p1级)数1作p为 11比。较级数。
解：对当∵级nn数lim的时3通n，1项1n3先1l43nn1作n1n分2～析3n1l：nim，3 3nlnn1nnln2(1n1lnn2(1)n22
， ) ～2
n
，
从而而3nn111n1l43n
收 n敛2 ，与 1
n
4
n3
同阶。
∴
3 n1
1 lnn2 n1 n
收敛。
（3）
lnn
n1 n
lnn
解：∵ lim
n1
n1
例 4．判别下列正项级数的敛散性
（1）
1
sin
2
n1 n
n
解：对级数的通项先作分析：
当 n 时，sin 2 ～ 2 ，从而 1 sin 2 ～2 。
nn
n nn
∵ lim n
1 sin n
2
2
n
1 ，而
2
n1n
发散，
n
∴
1 sin 2
发散。
n1 n
n
（2）
3
n1
1 ln n1
n2 n
n1
2n 收敛。 2n
定理 2.1（比较判别法）
设有正项级数 un 和 vn ，且 un vn (n1,2, )
n1
n1
（1）若vn 收敛，则un 也收敛；
n1
n1
（2）若un 发散，则vn 也发散。
n1
n1
证：（1）设vn 和un 的部分和分别为Sn及n ，
n1 n1
若 vn 收敛，则Sn 有界，即 M 0 ，使得 Sn M 。
（2）
1
n1 n(n1)
解：∵ 1 1 （n1, 2, ）， n(n1) n1
而
1 1 1 1 ，发散，
n1n1 2 3
n1
∴
1
发散。
n1 n(n1)
推论 2.1（比较判别法的极限形式）
设
un
n1
和
vn
n1
均为正项级数，且 lim un n vn
L
，则
（1）当 0 L 时， un 与 vn 具有相同的敛散性；
第九章 常数项级数
常数项级数的概念与性质 常数项级数的判敛法 反常积分判敛法
2.1 正项级数的判敛法
级数 un ， un 0 (n1,2,3, ,) 称为正项级数。
n1
∵ Sn Sn1un Sn1 ，∴Sn是单调增加的数列。
若Sn有界，则 lim Sn 必存在，从而 un 收敛。
n
n1
反之，若 un 收敛，则 lim Sn S ，Sn 必有界。
n1
n
定理 2.1 正项级数 un 收敛 它的部分和数列Sn有界。
n1
sin
例 1．试判定正项级数
2n 的收敛性。
n1 2n
解：
Sn
1 2
sin 4
4
sin 6
8
sin 2n
2n
，
1 2
1 4
1 8
1 2n
1[1( 2
1
1
2 1
)n
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sin
即Sn有界，故正项级数