第十二讲 常数项级数审敛内容提要与典型例题
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高数 常数项级数的审敛法 知识点与例题精讲
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
数项级数习题课完整版
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
高数课件-常数项级数的审敛法
證明 S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
高数第十二章(2)常数项级数的审敛法
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
上页
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
机动 目录
单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
上页
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
机动
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常数项级数审敛法
4
1 例1 判 别 级 数 n2 n 的 敛 散 性 n 1 1 1 un n n 解: n2 2 1 1 而级数 2n 收 敛 级 数 n2n 收 敛 n 1 n 1 1 例 2 证明级数 是发散的. n 1 n( n 1)
例 3 讨论 P-级数
根据定理4可知:
当 0 x 1 时 , 级数收敛 ;
当 x 1 时 , 而当 级数发散 ;
x 1 时 , 级数 n 发散 .
n 1
21
2. 根值审敛法
定理5 设
n 1
n 为正项级数 , 且 lim un , 则 un n
(1) 当 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 1 时 , 级数发散 .
6
1 例4 判 别 级 数 (n 1)(n 2)的 敛 散 性 n 1
1 1 解 : un 2 ( n 1)(n 2) n 1 1 而级数 n2 收 敛 级 数 (n 1)(n 2)收 敛 n 1 n 1 1!2! n！ 例5 判 别 级 数 (2n)! 的 敛 散 性 n 3 1!2! n! n n! ( n 1)! 解 : un ( 2n)! ( 2n)！ ( 2n)! 1 1 2 （n 2）n 3) 2n ( n
N 0,当n N时，有 un 1 0
2 当n N时，un un un un ,
2 而 un收 敛 ， un收 敛
n N
n 1
n N
2 即 un收 敛 n1
8
(2)
un un1
1 ( un un1 ) 2
1 例1 判 别 级 数 n2 n 的 敛 散 性 n 1 1 1 un n n 解: n2 2 1 1 而级数 2n 收 敛 级 数 n2n 收 敛 n 1 n 1 1 例 2 证明级数 是发散的. n 1 n( n 1)
例 3 讨论 P-级数
根据定理4可知:
当 0 x 1 时 , 级数收敛 ;
当 x 1 时 , 而当 级数发散 ;
x 1 时 , 级数 n 发散 .
n 1
21
2. 根值审敛法
定理5 设
n 1
n 为正项级数 , 且 lim un , 则 un n
(1) 当 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 1 时 , 级数发散 .
6
1 例4 判 别 级 数 (n 1)(n 2)的 敛 散 性 n 1
1 1 解 : un 2 ( n 1)(n 2) n 1 1 而级数 n2 收 敛 级 数 (n 1)(n 2)收 敛 n 1 n 1 1!2! n！ 例5 判 别 级 数 (2n)! 的 敛 散 性 n 3 1!2! n! n n! ( n 1)! 解 : un ( 2n)! ( 2n)！ ( 2n)! 1 1 2 （n 2）n 3) 2n ( n
N 0,当n N时，有 un 1 0
2 当n N时，un un un un ,
2 而 un收 敛 ， un收 敛
n N
n 1
n N
2 即 un收 敛 n1
8
(2)
un un1
1 ( un un1 ) 2
10-2 常数项级数的审敛法
l 3l 即 v n < un < v n 2 2
由比较审敛法的推论, 由比较审敛法的推论
∞
∞
(n > N )
∞ 3l （ i） ∑ v n收 敛 ⇒ ∑ vn收敛 ⇒ ∑ un收敛 ） n =1 n =1 2 n =1
l un收 敛 ⇒ ∑ vn收敛 ⇒ ∑ vn收敛 （ ii） ） n =1 n =1 2 n =1
所以原级数发散。 所以原级数发散。
∑
n =1
∞
1 n+1 ln( ), n n+1 ∵
而∑ 3 收敛, n=1 2 n
∞
1 1 n+1 ln( )~ 3 n n+1 n2
1
所以原级数收敛。 所以原级数收敛。
13
定理 10.2.4 (比值审敛法 达朗贝尔 比值审敛法,达朗贝尔 审敛法) 比值审敛法 达朗贝尔D’Alember审敛法 审敛法
∑
∞
∑
∞
收敛, ∑1 v n 收敛 则 ∑ u n 收敛 ; n=
n=1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
发散, 发散. ∑ v n 发散 则 ∑ u n 发散. = =
n 1 n 1
∞
∞
9
un =l 证明 (1) 由 lim n→ ∞ v n
∃ N , 当 n > N时 ,
l 对于ε = > 0, 2 l un l l− < <l+ 2 vn 2
n =1 n =1
∞
∞
k > 0和正整数N，当n ≥ N 时，有un ≤ kvn , 则：
（ 1 ）∑ v n 收 敛
n =1 ∞ ∞
⇒ ⇒
第十二章常数项级数的概念和性质
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
的收敛性.
(a 0)
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn 1q
a aqn , 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1
q
当q 1时,
lim qn
即 sn s 误差为 Rn
即
级数收敛
lim
n
Rn
0
例 1 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
例 1 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性
13 35
(2n 1) (2n 1)
sn
1 (1 2
1 2n
), 1
lim
n
sn
lim 1 (1 1 ) n 2 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 L an L
2).
1 3
3 3 3 10 100 1000
3 10n
2、概念
第十二章 第1节 常数项级数的概念和性质
∑
n=1
若它按某一规律加括弧 , 例如设为
显然, 新级数的部分和序列 σ m ( m = 1 , 2 ,L) 为原级数 部分和序列 Sn ( n = 1 , 2 ,L) 的一个子序列. 因此必有 用反证法可证 lim σ m = lim Sn = S
m→∞ n→∞
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) +L
2
n−1
a 当 q < 1时, 由于 lim q = 0 , 从而 lim Sn = n→∞ n→∞ 1− q a ; 因此级数收敛 , 其和为 1− q n 当 q > 1时, 由于 lim q = ∞ , 从而 lim Sn = ∞ , 因此 n→∞
n
a − a qn = 1− q
级数发散 .
n→∞
推论: 推论 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意:原级数发散,则加括号后不一定发散 例如 注意 ( 级数 1−1+1−1+ L 却发散 . 但 1−1) + (1−1) +L= 0 , 18
三. 级数收敛的必要条件 设收敛级数 S =
n=1
un , 则必有 lim un = 0 ∑
n→∞
un+1 = un
故
enn! nn
e = > 1 (n = 1, 2,L) 1 n (1+ n )
∞ n
un > un−1 >L> u1 = e
从而 lim un ≠ 0 , 这说明级数 发散 . n n→∞ n=1 n
∑
e n!
21
1 (2) ∑ 3 n + 3n2 + 2n n=1 1 1 (n + 2) − n 1 = = 因 n3 + 3n2 + 2n n(n +1)(n + 2) 2 n(n +1)(n + 2) 1 1 1 = − ( n = 1, 2, L) 2 n(n +1) (n +1)(n + 2) n 1 1 n 1 1 Sn = ∑ 3 = ∑ − 2 k + 3k + 2k 2 k=1 k(k +1) (k +1)(k + 2) k =1 1 1 1 进行拆项相消 = − 2 1⋅ 2 (n +1)(n + 2)
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5.比较法 6.比值法 7.根值法
2、正项级数及其审敛法
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界. (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 (3) 极限审敛法 设un 0, vn 0 若un与vn 是同阶无穷小
则 un与 vn同敛散
特别 若un ~ vn （等价无穷小） 则 un与 vn同敛散 (4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
当 0时
sin n
sin n n 1
发散
Vn
n 1
条件收敛
0 Vn 0
级数显然收敛
关于常数项级数审敛
正项级数 由级数收敛的必要条件要使
un 0
un
收敛必须
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有 的却发散，问题的实质是级数收敛与否取决于 un 0 的阶 因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更 基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则 更能说明问题的实质，使用起来也更有效
N
vn收敛 un发散 un收敛 vn发散
1
Y
un 发散
N
un
un 0
Y
un 收敛
| un |敛
N
Y
un绝对收敛
用检比 法
用比较法 条 件 收 敛
用L—准则或考察部分和
N
N
un收敛
Y
二、典型例题
例1 求极限
3n 解 考察正项级数 un n!2n n 1 n un1 3 n!2 lim lim n 1 n u n ( n 1)!2 3n n 3 lim 01 n 2( n 1) n 3 由检比法 n 收敛 n!2
un1 lim 和 lim n un 作为 un 变化快慢 n u n n 的一种估计 得到检比法和检根法，检比法 和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数
解
对级数 n 1 un1 n p lim lim ( ) | a || a | n u n n 1 n
n
a np
a a 收敛 p | a | 1 p n 1 n n 1 n an a n 发散 | a | 1 p p n 1 n n 1 n
3n lim n n n!2
由级数收敛的必要条件得
3n lim n 0 n n!2
例2 设
lim nan a 0 试证
n
an
发散
证 不妨设 a > 0
由极限保号性知
an 由于 lim nan lim a 0 n n 1 n a 故由比较法的极限形式得
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
3、交错级数及其审敛法
Leibniz定理
4、任意项级数及其审敛法 绝对收敛，条件收敛 附： 正项级数与任意项级数审敛程序
un发散
N
un
un 0
Y lim n u n
un 收敛
un1 lim un
0 un vn
Y N
1
| a | 1
n
绝对收敛
发散
分情况说明
a 1 级数成为
p1
1 np n 1
p1
收敛
发散
n
a 1 级数成为
p 1 绝对收敛
( 1) np n 1
p1
条件收敛
例12 对 , 的值，研究一般项为 2 n n Vn sin 的级数的敛散性 n 解 n Vn sin[ n ( ) ] ( 1) sin( ) n n 由于当 n 充分大时， sin( ) 定号 n 故级数从某一项以后可视为交错级数
而 例7
a1 an bn b1
bn
收敛
由比较法得
an
收敛
Cauchy积分审敛法
设
y f ( x ) 0 单调减少 un f (n) 则
un
n 1
与
1
f ( x )dx
同敛散
证
由 f(x) 单调减少知
k 1
uk 1 f ( k 1)
n
f ( x )dx
当 整数 无论为何值
lim | Vn | lim | sin(
n n
总有
| sin | 0
lim Vn 0
n
n 级数发散
) |
当 整数 Vn ( 1)
n
当n 时 sin 非增地趋于 0 n 由Leibniz审敛法知 Vn 收敛 n1 sin | Vn | n | | lim lim | | 但 n 1 n n n 1 而 发散 故由比较法的极限形式 n 1 n
1 n ln( n 2) n n , 由于 lim n n 1, n 1 n u n lim n . lim ln( n 2) 1, n n a
1 当 a 1 即 0 1 时, 原级数收敛； a 1 当 0 a 1 即 1 时, 原级数发散； a ln( n 2) 当 a 1时, 原级数为 , 1 n n 1 (1 ) n ln( n 2) lim , 原级数也发散． n 1 n (1 ) n
第十二讲 常数项级数审敛
内容提要与典型例题
常数项级数审敛
一、主要内容
1、常数项级数
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在).
n
收敛级数的基本性质
级数收敛的必要条件:
常数项级数审敛法
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
1 1 lim lim n 0, n n ln n n ln n 1 n f ( x ) x ln x ( x 0), 1 f ( x ) 1 0 ( x 1), 在 (1, ) 上单增, x 1 1 即 单减, 故 当 n 1 时单减, x ln x n ln n 1 1 un un1 ( n 1), n ln n ( n 1) ln( n 1)
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．
例5 设
试证
a n cn bn 收敛
n
都收敛 且
an bn cn
证
由 an bn cn 知
因
0 bn an cn an
an c 都收敛 故正项级数 (cn an ) 收敛 再由比较审敛法知 正项级数 (bn an )
( 1)n1 an
1 ln un un 0 例10 已知 lim n ln n 证明 ⑴ 1 un收敛
⑵ 1 un发散 ⑶
证⑴
1 ln un 由 lim 1 知 对 1 n ln n 1 ln un q 1 N , n N 有 ln n
N
当n N时 an 0
例3 若
A
B C
un vn 都发散 (un vn ) 必发散
[| un | | vn |]
n n
n
发散
则
D 以上说法都不对
v u
必发散
必发散
例3
(1)
判断级数敛散性 :
1 n (n ) n 1 1 nn n n nn , 解 un 1 n 1 n (n ) (1 2 ) n n 1 1 n 1 n2 n lim (1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n 1 1 1 n x lim n lim x exp{lim ln x } x x n x 1 exp{lim } e 0 1; x x
lim Sn A u1 n n 1 即 ( un1 un ) 收敛 进而 ( un1 un ) 收敛 n 1 n1 u1 vn 收敛 由比较法得
n1
lim un A
例9 设正数数列
an 单调减少，级数 ( 1)n1 an
而 bn (bn an ) an 即
收敛
bn 可表为两个收敛级数 (bn an ) an 之和 故 bn 收敛
例6 设 an 0, bn 0 且 an1 bn1 an bn 若 bn 收敛 则 an 也收敛
an1 an a1 证 由题设知 bn1 bn b1
而
⑶ 如 u n
1 n(ln n) p
1 ln ln n p ln(ln n) un lim lim 1 n ln n n ln n
但
p 1时 un收敛
p 1时 un发散
a n 的敛散性 ( p 0, a常数) 例11 讨论 p n 1 n n
1 un的敛散性不定
1 ln q ln n un
ln un q ln n
1 un q n 故由比较法知
1 nq 收敛 un 收敛 1 ln ⑵ 由 lim un 1 知 N ,当n N n ln n 1 ln 1 un ln r ln n r 1 有 un ln n 1 ln un r ln n un r n 1 而 r 发散 故由比较法知 un 发散 n
k n 1
f ( k ) uk