(整理)常数项级数的审敛法

§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：∑∞=1n n u 0≥n u (1)显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21ΛΛ≤≤≤≤n s s s {}↑n s1.收敛准则定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分数列{}n s 有界.例1判别正项级数∑∞=122sin n nn π的收敛性 解 nn n s 22sin22sin 2122ππ+++=Λn 2121212+++<Λ121121121<-⎪⎭⎫⎝⎛-=n 有上界 级数收敛2.比较审敛法定理2 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且.),2,1(Λ=≤n v u nn 若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；反之，若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散．分析：σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=1n n u 的部分和,),2,1(2121ΛΛΛ=≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1n n u 收敛。

反之，设∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 必发散.因为若∑∞=1n nv收敛,由上面已证结论知∑∞=1n n u 也收敛，与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当Nn ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2 讨论p —级数 )2(11∑∞=n pn的收敛性，其中常数p >0．解 设1≤p ，则,11n np≥但调和级数发散，故级数(2)发散． 设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,11p p xn ≤所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ，Λ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n p p n n 级数(3)的部分和⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s Λ=.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛.总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。

常用：几何级数，p —级数（调级数） 例3 判别下列级数的敛散性.211(1).52n n n n ∞=+++∑ n n n n n u n 8125222=++> ∑∞=11n n 发散, 原级数发散 111(2).sin11n n n ∞=++∑ 21n u n < ∑∞=121n n 收敛, 原级数收敛 练习 ()∑∞=-+131sin 212.n nnn()n n n3131sin 112≤≥-+3.比较审敛法的极限形式定理3 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果lim (0),n n null v →∞=≤<+∞且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛；(2)如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散例4 判别下列级数的敛散性.(1)∑∞=11sin n n 1sin lim10,1n n n→∞=>∑∞=11n n 发散 原级数发散 ∑∞=131tan2)2(n n n ,13231tan2lim =⎪⎭⎫⎝⎛∞→nn n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 收敛 收敛 4．比值审敛法 定理4 设1n n u ∞=∑为正项级数，如果 ,lim 1ρ=+∞→nn n u u则当1<ρ级数收敛; 1>ρ(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 1=ρ时级数可能收敛也可能发散．（证略，可参考教材）例5 判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=133n n n ,131lim 1<=+∞→nn n u u 级数收敛(2)∑∞=12!n n n +∞=+=∞→+∞→21lim lim 1n u u n n n n 级数发散 (3)()011>∑∞=-x nx n nx u u nn n =+∞→1lim10<<x 收敛, 1>x 发散 1=x 发散5. 根值审敛法----柯西判别法定理5 设∑∞=1n n u 为正项级数，如果,lim ρ=∞→n n n u 则当1<ρ时级数收敛，1>ρ(或∞=∞→n n n u lim )时级数发散，1=ρ时级数可能收敛也可能发散. （证略，可参考教材）例6判别下列级数的敛散性 (1)∑∞=11n nn,1)(011<∞→→==n n n u n n n n 级数收敛 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1135)2(n nn n ,135lim >=∞→n nn u 级数发散 6 根限审敛法（与p —级数作比较） 定理6 设∑∞=1n n u 为正项级数，(1)如果()lim 0lim ,n nn n nu l nu→∞→∞=>=+∞或则∑∞=1n n u 发散；(3)如果1>p ，而(),0lim +∞<≤=∞→l lu n n pn 则级数∑∞=1n n u 收敛。

例7 判别下列级数的敛散性 （1）∑∞=1sinn nπ,1sinlimlim ππ==∞→∞→nn nu n n n 发散.（2）∑∞=12tann n π,1tanlimlim 222ππ==∞→∞→n n u n n n n 收敛二、交错级数及其审敛法交错级数： )4(,4321Λ+-+-u u u u或 ,4321Λ-+-+-u u u u 其中Λ,,21u u 都是正数． 定理7 (莱布尼兹定理) 如累交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:,0lim )2(;),3,2,1()1(1==≥∞→+n n n n u n u u Λ则级数收敛，且其和1u S ≤,其余项n r 的绝对值.1+≤n n u r分析：先证明S 2n 的极限存在,为此把S 2n 写成两种形式:)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=-Λ及 .)()()(21222543212n n n n u u u u u u u u s --------=--Λ根据条件(1)知所有括弧中的差非负的.由第一种形式可见{}n s 2单调增，由第二种形式可见12u s n < ，因单调有界数列必有极限，当∞→n , n s 2趋于一个极限s ，且.lim 12u s s n n ≤=∞→再证明前12+n 项的和s 2n+1的极限也是s,事实上，.12212+++=n n n u s s 由条件(2)知,0lim 12=+∞→n n u 因此.)(lim lim 12212s u s s n n n n n =+=+∞→+∞→由于,lim lim 212s s s n n n n ==∞→+∞→故∑∞=--11)1(n n n u 收敛于和s ,且.1u s ≤最后 )(21Λ+-±=++n n n u u r , ,21Λ+-=++n n n u u r上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以.1+=n n u r 证毕．例8 判别级数∑∞=--11)1(n n n 的敛散性。

解 ),2,1(1111Λ==+>=+n u n n u n n ， ,01limlim ==∞→∞→nu n n n 所以它是收敛的，且其和1<s 。

三、绝对收敛与条件收敛任意项级数：,4321Λ++++u u u u 它的各项为任意实数绝对值级数：∑∞=1n n u 为正项级数，如果∑∞=1n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛；如果级数∑∞=1n n u 收敛, 而∑∞=1n n u 发散，则称∑∞=1n n u 条件收敛。

如 ∑∞=--121)1(n n n 绝对收敛 ∑∞=--11)1(n n n 条件收敛定理8 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.分析：∑∞=1n n u 收敛，令),,2,1()(21Λ=+=n u u v n n n 显然0≥n v 且.),2,1(Λ=≤n u v n n 由比较审敛法知∑∞=1n n v 收敛，从而∑∞=12n n v 也收敛.而,2n n n u v u -= ,2111∑∑∑∞=∞=∞=-=n n n n n n u v u 所以∑∞=1n n u 收敛。

注意 上述定理的逆定理并不成立.TH8说明,对∑∞=1n n u ,若用正项级数的审敛法判定∑∞=1n n u 收敛。

一般地，若∑∞=1n n u 发散不能断定∑∞=1n n u 也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定∑∞=1n n u 发散，则可断定∑∞=1n n u 发散，因为从这两个审敛法的证明知,上述两种审敛法判定∑∞=1n n u 发散的依据是n u 不趋于0(,)∞→n 故∑∞=1n n u 发散。

例9判别下列级数的敛散性：（1）∑∞=--1216cos )1(n n nn π绝对收敛 111(2)(1)n p n n∞-=-∑ 0≤p 发散 10≤<p 条件收敛 1>p 绝对收敛 小结：本节介绍了常数项级数(五个定义)的审敛法，要熟练掌握比较审敛法、比值审敛法、莱布尼兹判别法等(八个定理)，会利用级数收敛的必要条件判别发散级数。