西安石油大学现代数值计算方法第8章
西安石油大学计算方法课件1-5章
取x 0 3 取x 0 3 收敛性不同。
x n 1 l g(x n 2) 计算结果见表 2.4
25
2.收敛定理（定理2.2） 设 ( x )在[a, b]
y " 2
y(0) y (0) 1
'
希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 6 数值方法。
un a n
uk xuk 1 a k pn ( x ) u0
则乘法次数仅为n.
1000
( k n-1,n-2 , ,1,0)
又如
17
1000 1 1 1 1 ( ) 1 n ( n 1 ) n1 1001 n 1 n 1 n
2.防止大数“吃掉”小数 当|a|>>|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则
近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将 y f ( x1 , x 2 ) 换为 s=ab, 则
e( s*) s(a*, b*) s(a*, b*) e(a*) e(b*) a b b * e(a*) a * e(b*) | e( s*) || b* || e(a*) | | a* || e(b*) | 60 0.2 120 0.1 24cm 2
x
23
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
现代数值计算方法word精品文档5页
吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）课程类别：研究生公共课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）执笔人：李永海制定日期：2019年5月吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）课程类别：研究生教育课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）一、本课程的性质、目的和任务本课程属于非数学类研究生数学公共基础课程之一，数值计算方法作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如力学、电磁学、化学、生物、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为数值计算方法的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握现代数值计算方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解现代数值计算方法的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握现代数值计算方法在物理、电子、化学、生物、工程等领域的许多应用。
二、本课程教学基本要求1. 线性代数方程组直接法理解线性代数方程组直接法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组直接法的求解步骤。
2. 线性代数方程组迭代法理解线性代数方程组迭代法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组迭代法的求解步骤。
3. 矩阵特征值与特征向量计算理解乘幂法和反幂法算法原理，了解实对称矩阵的Jacobi方法；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般矩阵特征值与特征向量计算。
数值分析复习提纲 西安石油大学研究生
数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。
第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。
第五章插值法1. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；2. 掌握差商的概念及其性质，Newton插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；3．了解差分与等距节点插值多项式公式；4. 掌握Hermite 插值问题及其构造方法。
第七章数值微积分1. 了解数值求积基本思想；2. 掌握Newton-Cotes公式（梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推导及误差；3. 了解Romberg 求积公式原理；4．了解数值微分的方法。
第八章常微分方程数值解1. 掌握Euler方法（Euler公式，梯形公式，Euler预估-校正公式），局部截断误差，公式的阶；2. 了解Runge-Kutta 方法的基本思想及四阶经典Runge-Kutta 公式；3. 掌握线性多步方法的原理与公式推导。
现代数值计算方法课程设计
现代数值计算方法课程设计1. 背景现代数值计算方法是计算机科学中的一门重要课程，它涉及到了计算机科学、数学等多个学科领域，是目前计算机科学领域中的热门研究方向。
现代数值计算方法的主要研究内容包括：数值解法理论、数值算法、计算结果的误差分析、数值计算软件等。
现代数值计算方法的研究对于人类社会的发展具有重要的意义。
它可以用于解决许多重要的科学和工程问题，如大气科学、材料科学、地球物理学、医学等领域的研究。
因此，在高校中开设现代数值计算方法课程是非常必要的。
2. 课程设计简介本次现代数值计算方法课程设计主要涉及两个方面的内容：数值求解和绘图。
具体来说，数值求解的内容包括求解非线性方程、插值、数值微分与积分等；绘图的内容则包括如何使用Matplotlib等常用的绘图工具，绘制各类数学函数的图形，并以此来分析和解释计算结果。
为了完成这个课程设计，我们将使用Python编程语言，并从以下几个方面来探索现代数值计算方法的各个方面：•第一部分：非线性方程求解。
我们将介绍几种常见的求解非线性方程的数值方法，例如二分法、牛顿迭代法、离散牛顿法等，并编写相应的程序来进行数值求解。
•第二部分：插值。
我们将介绍三种主要的插值方法：线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值，并编写相应的程序来进行插值计算。
•第三部分：数值微分与积分。
我们将介绍数值微分与积分的基本概念以及数值计算的主要方法，并编写相应的程序来进行数值计算。
•第四部分：绘图。
我们将介绍Matplotlib绘图工具，包括如何绘制常用的数学函数、如何设置坐标轴等，以此来更好地展示数据和计算结果。
3. 课程设计具体步骤第一部分：非线性方程求解1.确定求解的非线性方程，并确定其解的大致范围。
2.学习二分法、牛顿迭代法、离散牛顿法等求解非线性方程的数值方法。
3.编写程序来实现这些数值方法，并使用程序来进行求解。
4.比较不同方法求解的耗时和解的精度。
第二部分：插值1.确定插值数据点，并使用Matplotlib绘图工具进行可视化展示。
精品课件-计算方法(蔺小林)-第8章
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
8.3.1 龙格—库塔方法的基本思想 我们首先从欧拉公式及改进的欧拉公式着手进行分析。 欧拉公式可改写为
yn1 yn K1 K1 hf (xn , yn )
用它计算yn+1需要计算一次f(x，y)的值。若设yn=y(xn)， 则yn+1的表达式与y(xn+1)在xn处的泰勒展开式的前两项完全相 同，即局部截断误差为O(h2)。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
Rn，h之所以称为局部的，是因为如果假设y(xn)=yn， 即 第n步以及以前各步都没有误差，则由式yn+1=yn+hφ(xn, yn, h)所得的yn+1与y(xn+1)之差为
即在假定的y(xn)=yn条件下， Rn，h=y(xn+1)－yn+1， 这就是 Rn, h称为局部的含义。
xa,b
令
,
则
Rn,h
h2
2
M
O(h2 )
故欧拉方法是一阶方法。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
例 8.1 应用向前欧拉公式求初值问题:
y x y 1
y(0)
1
0 x 1
取步长h=0.1， 将计算结果与精确解y=x+e-x对照。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
解 将区间［0, 1］进行10等分，h=0.1，xn=nh(n=0.1, …，10)。
向前欧拉公式为
yn1 yn 0.1(xn yn 1)
y0
1
数值解yn与精确解y(xn)及误差列于表8.1。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
现代数值分析详解
工程数值分析题解
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理
2.注意各种方法的构造手法
3.重视各种方法的误差分析
4.做一定量的习题 5.注意与实什么？ 研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
In 1 I n 1 5 5n
( n 8, 7, ,1)
算法的优劣：
评价标准：(1) 计算量的大小
n n1 P ( x ) a x a x a n1x an 例：计算 n 0 1
直接计算：需 n ( n +1)/2 次乘法和 n 次加法。 迭代计算：P n ( x) {[(a 0 x a1 ) x a2 ]x a n1}x an 按下列迭代公式计算
u0 a0 uk x uk 1 ak P ( x) u n n , k 1, 2, , n
只需 n 次乘法和 n 次加法。
(2) 存储量的多少 (3) 逻辑结构是否简单
二、数值分析的特点
1. 近似：由此产生“误差” 在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？ 1 原点附近
2. 与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差
( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification )
模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型 观测误差 ( Measurement Error ): 通过测量得到模型中参数 的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）: 求近似解。求解数 学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引 起的误差 舍入误差 ( Roundoff Error ): 机器字长有限，通常用四舍五 入的办法取近似值，由此引起的误差.
西安石油大学研究生数值分析08 09年试题
c1 b2 a3
c2 b3
c3 a n 1
bn 1 an
= c n 1 bn
2
。
二、（此题10分）长方体的长宽高大约为50cm，20cm和10cm，长度测量误差限满足什么 条件时，其表面积不超过1cm ? 三、（此题10分）设线性方程组AX=b的系数矩阵和常数列向量为
八、（10分）对初值问题
y / f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
假设 y n 2 y ( x n 2 ), y n 1 y ( x n 1 ), y n y ( x n ) ，用线性多步法求得局部截断误差为 O（ h ）的计算公式为
4
y n 1 y n h[af ( x n , y n )
2 1 1 1 A 1 2 1 ， b 1 1 1 2 1
分别讨论解此方程组的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法的收敛性。 四、（10分）证明：方程 x ln x 4 0 在区间[1,2]内有惟一的根 x ，用迭代法求 x ，
=（
）。 ）。 )。
4. 方程f(x)=0的隔跟区间[a,b]满足（
5. k阶差商与向前差分的关系为f[ x 0 , x1 ,..., x k ]=(
6. 用最小二乘法求解矛盾线性方程组AX=b时，归结为求解法方程组。由矛盾方程组AX= b得到的法方程组为（ ）。 7. 龙贝格求积公式中的 Rn 与 C n 及 C 2 n 的关系为 Rn =（ ）。 ）。 ）。
2
（取 x 0 1.5 ，精确到3为有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。 五、（10分）设 xi （i=0,1,2,…,n）为互异节点，试证明拉格朗日插值基函数 l i ( x) 具有以下 性质
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证明：由 yn1
yn
h[ 2
f
(xn ,
yn )
f
( xn1 ,
yn 1 )
]
和 y[k1] n1
yn
h[ 2
f
(xn , yn)
f
( xn1 ,
y(k) n1
)]
有：
y (k 1) n1
yn1
1h 2
f
( xn1 ,
y(k) n1
)
f (xn1, yn1)
1 2
h
f y
(
xn1
,
)(
y (k ) n 1
Rn
y( xn1)
yn1
h3 12
y(n )
n [xn , xn1]
用泰勒展开法推导Euler预估－校正 格式的局部截断误差
改写Euler预估－校正公式为：
yn1
yn
h 2
(k1
k2 )
k1 f (xn , yn )
k2 f (xn h, yn hk1)
在 yn y(xn ) 的假定下，
yn1 )
1 2
hL
y(k) n 1
yn1
(介于yn( k1) 与yn 1之间)
反复使用不等式有：
y (k 1) n1
yn1
1 2
hL
y(k) n 1
yn1
（ 1 hL）k 1 2
y (0) n 1
yn1
0
三、Euler预估-校正格式
实用中,在h 取得较小时,用梯形公式计算,第二式 只迭代一次就结束,得到Euler预估-校正格式:
问题的解y(x)在区间[a，b]中的点列
xi xi1 h（i i 1，2， n）上的近似值 y.i以下设 hi
不变，记为h-步长 。
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
则上述微分方程有唯一解y(x)
假设解y(x)在区间[a,b]上是存在而且唯一的， 并且具有充分的光滑度，因此，要求f(x,y)也充
yn1
yn
hf
(xn ,
yn )
yn1
yn
h[ 2
f
(xn , yn) f( xn 1 ,yn 1 )]( n
0,1,2,
)
第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。
四、方法的误差估计、收敛性和稳定性
定义1：n y（xn） yn 为 xn某一数值方法在xn处
的整体截断误差(不考虑舍入误差的影响)。
从而得到Euler公式。
3、数值微分法
y y ( xn1)
( xn )
xn1 xn
y(xn )
f (xn , y(xn ))
4、几何方法
过点(xn,yn)作以f(xn ,yn)为斜率的直线方程：
y yn f (xn , yn )(x xn )
将x=xn+1处该直线上的函数值做为y(xn+1)的近似
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算yn1 时，只用到xn1 ,xn和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 yn1 时，除用到 xn1,xn 和 yn 以外，还要用 xn p和 yn p ( p 1,2 k; k 0) ,即前
k步的值。
（3）显式格式与隐式格式。
§8.1 欧拉法与梯形法
一、欧拉(Euler)法
设节点为 xn x0 nh（n 0，1，2,3 ），得欧拉方法计算公 式为： yn1 yn hf（xn，yn）（n 0，1，2，3， ） 下面通过几种常用的方法来推导该公式。
1、泰勒展开法
假设在 x附n 近把y（x）做Taylor展开，有：
第八章
常微分方程初值问题的数值解法
§8.0 概述 §8.1 欧拉法与梯形法
§8.2 泰勒展开法与龙格-库塔 （Runge–Kutta）方法
§8.3 线性多步法 §8.4 数值算例
§8.0 概述
本章着重讨论一阶常微分方程初值问题
dy dx
f（x，y）
a
xb
y（x0） y0
的数值解法。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初值
y( xn1 ))
h3 12
f ''(, y())
(xn , xn1)
从而得到梯形公式：
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)
n 0,1,2,
梯形方法关于yn+1是隐式的，而Euler方法是显式 的。一般情形下不容易从上式解出yn+1，因而可将上
式与Euler公式联合使用，即
由
取h的线性部分,并用 y表n 示 y的(x近n ) 似值,得
2、数值积分法
从xn 到 xn +h对等式 y´(t )=f(t,y(t)) 进行积分得到
y(xn h) y(xn )
xn1 f (t, y(t))dt
xn
再利用左矩形公式，得
y(xn h) y(xn ) hf (xn, y(xn ))
k 1
f
(xn ,
yn )
y'(xn )
而
k2 f (xn h, yn hk1)
f (xn h, y(xn ) hk1)
f
(
xn
,
y
(
xn
))
h
x
f
(xn ,
y(xn )) hk1
值，则有Euler公式。这实质上是在每个小区间上利 用折线来代替曲线的结果，故Euler法又称Euler折线 法。
二、梯形法
在式 y(xn1）
y(xn )
xn1 xn
f（中t，,y将（积t））分d用t 梯形公式来
代替，则有
y( xn1 )
y(xn )
h 2
[
f
(xn ,
y(xn ))
f
( xn1 ,
y (k1) n1
y(k) n1
来控制迭代次数，这里为允许误差。把满足误差要求的
y(k 1) n1
作为y(xn+1)的近似值yn+1.类似地可以得出yn+2,yn+3,…
可以证明,当f(x,y)满足Lipschitz条件,即：
f L, 且 h L 1
y
2
(L为Lipschitz常数)时,上述数列收敛。
y(0) n1
yn
hf
(xn ,
yn )
y(k 1) n1
yn
h[ 2
f
(xn , yn)
f
( xn1 ,
y(k) n1
)](k
0,1,2,
;n
0,1,2,
)
使用上式时，先用第一式算出xn+1处yn+1的初始近
y(0) n 1
似
再用第二式反复迭代，得到数列 用 y(k1) n1 k 0
定义2：对单步法，在 yn y（xn）的假设下，
R n
y（xn1）
yn1
称为在
xn处的局部截断误差。
（P232定义1）
Remark1: Euler法的局部截断误差为(由泰勒余项):
Rn
y( xn1)
yn1
h2 2
y(n )
n [xn , xn1]
Remark2: 梯形方法的局部截断误差为（由梯形积分）