排列与组合 学生

排列与组合
一、知识与方法：
1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理：
分类相加指每一类中的每种方法就能完成这件事；
分步相乘指一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有
各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的。

2、排列与组合：
（1）排列、组合、排列数、组合数的概念；
（2）排列与组合的区别：__________________________；
（3）排列数与组合数联系：m m m n n n A C A ⨯=；要知道排列数计算公式的推导过程；
（4）排列数公式m n A )!
(!)1()1(m n n m n n n -=+--= ； 组合数公式!
)!(!321)1()2)(1(m m n n m m n n n n C m n -=⨯⨯⨯⨯+---= 。

其中n m N m N n ≤∈∈+,,。

（5）规定=0n A ____ ；=0n C ____ ；n n A =______。

（6）排列数与组合数的性质：
① m n n m n C C -=； ② !(1)!!n n n n ⋅=+-； ③ 11(1)!!(1)!
n n n n =-++。

3、解排列、组合题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；基本规律有：
（1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有单独使用与联合使用两种。

（2）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：
① 元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；
② 位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③ 间接法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。

（3）解组合问题应注意：
① 对结果恰当地分类，设计“分组方案”是解组合题的关键所在；
② 是用“直接法”还是“间接法”求解，其原则是“正难则反”；
4、解决排列、组合问题的常规方法或类型：
（1）元素分析法、先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
（2）位置分析法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
（3）捆绑法：解决相邻问题的方法，把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，
然后再与其余“普通元素”排列，要注意是否需要“松绑”，即特殊元素是否要全排列。

（4）插空法：解决某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先
安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

（5）多排问题单排法。

如n 2个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数等于n 2个
学生排成一排的排法数。

（6）先选后排法：先选取元素，在将元素进行排列。

（7）至多至少问题常用间接法
（8）相同元素分组采用隔板法。

（9）分组问题：要注意审清是平均分组还是非平均分组，若是平均分组（如平均分成n 组）
则在计算分组的方法数时别忘了除以!n 。

二、例题：
例1、有四位学生参加三项不同的竞赛，
（1） 每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有多少种？
（2） 每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有多少种？
（3） 每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有
多少种？
例2、（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲
和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；
（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有_____种。

例3、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有____种不同的方法。

三、练习题：
1、由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（ ）
A 、168个
B 、174个
C 、232个
D 、238个
2、在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A 、36个
B 、24个
C 、18个
D 、6个
3、某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A 、120种
B 、48种
C 、36种
D 、18种
4、有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）
A 、240种
B 、192种
C 、96种
D 、48种
5、若x A ∈则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11{1,0,,,1,2,3,4}32
M =-的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A 、15
B 、16
C 、28
D 、25
6、现有五种不同的颜色要对右图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，则共有____种不同的着色方法。

7、用4种不同的颜色为正方体的六个面着色，要求相邻两个
面颜色不相同，则不同的着色方法有种。

A、24
B、48
C、72
D、96
8、2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、
小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机
四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余
三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A、36种
B、12种
C、18种
D、48种
9、从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A、120种
B、96种
C、60种
D、48种
10、将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）
A、12种
B、24种
C、36种
D、48种
11、已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，从A到B的映射f(x)，B中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为（）
A、8
B、9
C、24
D、27
12、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）
A、140种
B、120种
C、35种
D、34种
13、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）
A、90种
B、180种
C、270种
D、540种
14、由0，1，2，3，4，5这六个数字。

（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
15、已知直线0=++c by ax 中的c b a ,,是取自集合}9|{2
≤∈=x Z x A 中的三个不同
的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则符合这些条件的直线有______条。

16、一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n ( n ≥3，n ∈N ) 等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
⑴如图1，圆环分成的3等份为321,,a a a ，有多少不同的种植方法？
如图2，圆环分成的4等份为4321,,,a a a a ，有多少不同的种植方法？
⑵如图3，圆环分成的n 等份为321,,a a a ，……，a n ，有多少不同的种植方法？。