排列组合(学生)
六年级奥数-排列组合(学生版)
第十九讲排列组合一、排列问题二、排列数三、组合问题四、组合数的重要性质五、插板法六、使用插板法一般有如下三种类型：1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
例1：小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
例2：用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？例3：用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？例4：某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？例5：两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？例6：一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?例7：一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?例8：已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？例9：4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．例10：一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？A1.用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？2.用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？3.用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？4.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。
高二数学-排列组合-学生
例7、用5种不同的颜色给如下的四个区域涂色,每部分涂一种颜色,相邻部分涂不同的颜色,求共有多少种涂法?
变式练习：如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着
色方法共有种。
（以数字作答）
【备选例题】
例1、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
例2、第20届世界杯足球赛于2014年夏季在巴西举办，五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？
注：在做排列组合的相关问题时，需要灵活运用加法原理和乘法原理，在分析问题时，一般首先要确定能否一步完成，否则可以采取分步（即乘法原理）。
另外还要注意解题时先选择后排序的基本原则的，这也是排列组合问题的一般原则。
另外解题时要多尝试用不同的方法解决问题，提高解题的准确率。
【巩固练习一】
1
2
3
4
5。
北师大版高中数学选修2-3第2讲：排列组合(学生版)
北师大版高中数学排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:_____________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：___________________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数：(1)排列数的定义:_______________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.(2)组合数的定义:______________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.3.排列数公式与组合数公式：(1)排列数公式：_________________________________(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.n nA n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅!.()!n n m =- 所以!.()!m n n A n m =- (3)组合数公式:________________________________(4)组合数的两个性质:性质1：.m n m n nC C -= 性质2：11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式.(1)57;A (2)212;A (3)77.A练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( )A.2m AB.21m AC.2020m A +D.2120m A + 例4：计算98100C练习2：计算972959898982C C C ++类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？练习1：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个1.89×90×91×…×100可表示为()A.10100AB.11100AC.12100AD.13100A 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0 ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )A.222574C C C ++B.222574C C C C.222574A A A ++ D.216C 8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( )A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C 3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( )A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A 4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片.5.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.6.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.7.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.8.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.能力提升1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A.144个B.120个C.96个D.72个 2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．244.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．8.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？。
排列组合学生版
排列组合一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数1.(1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？2. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？3.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为4.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有2.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 963. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.4.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为5.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？6.．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种7.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（ ）8.7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．9.4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．三.不相邻问题插空策略1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为3.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是4.书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）5. 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是6.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
六年级奥数专题 排列组合综合(学生版)
排列组合综合,掌握几种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.特殊位置特殊元素优先分析法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置）,对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．插空法元素相离（即不相邻）问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
隔板法隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板,即把n个元素分成b组的方法。
【题目】①有5个人排成一排照相,有多少种排法？②5个人排成两排照相,前排2人,后排3人,共有多少种排法？③5个人排成一排照相,如果某人必须站在中间,有多少种排法？④5个人排成一排照相,某人必须站在两头,共有多少种排法【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘,如果双方准备各放一个棋子,要求它们不在同一行,也不在同一列,那么总共有多少种不同的放置方法？（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”,每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？【试题来源】【题目】大林和小林共有小人书不超过50本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【试题来源】【题目】把13拆成三个数的和,请问有几种拆法？【试题来源】【题目】用数码0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?【试题来源】【题目】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1,那么可以组成______个满足要求的三位数．【试题来源】【题目】数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和,如3,1＋2,2+1,1+1＋1。
计数原理[1].02排列组合(A级).学生版
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一、 排列与组合1. 排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．2. 组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）3. 排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法． 二、 排列组合一些常用方法 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到知识内容排列组合分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．【例1】 给出下列问题（1）从a b c d ，，，四名学生中选出2名，完成一件工作有多少种不同的选法？ （2）从a b c d ，，，四名学生中选2名学生分别完成2件不同的工作，有多少种不同的选法？（3）a b c d ，，，四支足球队之间进行单循环赛，共需多少场？ （4）a b c d ，，，四支足球队争夺比赛的冠亚军，有多少种不同结果？ （5）某人射击8枪，命中4枪，且命中4枪均为2枪连中，有多少种不同结果？ （4）某人射击8枪，命中4枪，且命中4枪均为3枪连中，有多少种不同结果？1. 简单问题直接法【例2】 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A ．70B ．80C ．100D ．140【例3】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男女各指派一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只选一名女生； （2）两名队长当选； （3）至少有一名队长当选； （4）至多有两名女生当选；例题精讲【例4】从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（）A．12 B．24 C．36 D．48【例5】有四个不同的盒子，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种放法（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒子内有2个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？2.至少问题间接法【例6】某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。
2017.03.25 排列组合(学生版)
排 列 与 组 合【排列、组合问题的求解方法与技巧】(1)特殊元素优先安排。
(2) 正难则反，等价条件 (3)排列、组合混合问题先选后排。
(4)相邻问题捆绑处理。
(5)不相邻问题插空处理。
(6)定序问题排除法处理。
(7)分排问题直排处理。
(8)“小集团”排列问题先整体后局部。
(9) 合理分类与准确分步【例1排列问题】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ ① 不站在两端； ②甲、乙必须相邻；② 、乙不相邻； ④甲、乙之间恰有两人； ⑤甲不站在左端，乙不站在右端； ⑥甲、乙、丙三人顺序已定。
【对应训练1】(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐数为___(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______【例2组合问题】 (1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为_____(2)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)。
【对应训练2】(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_____(2)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种。
【例3排列、组合的综合应用】(2015·四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有______个【对应训练3】从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_____【例4】有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是_____【对应训练4】(1)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有______种(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_______【例5】7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法。
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1 高考冲刺复习之排列组合
基础练习
1.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是_____
2.要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是____
3. 5名乘客在汽车上，之后有6个站点，那么5名乘客下车有几种不同的种数_______
4.有10名学生，他们相互之间都要握手，至少发生几次握手_________
5.一班火车有7个站点，总共要设几张票？如果当中新增三个站，那么要多设置几张票？ 高考题型一：分堆抽人问题
1.1998年特大洪涝灾害，某某医院积极响应国家号召，派出医疗队进行救援，从6名男医生，5名女医生，10名护士中挑选出2名男医生，1名女医生，4名护士，总共有几种分法？
2.A 组中有5个人，B 组中有4个人,C 组中有6个人，从三组中各抽2名，总共6个人，分别派往5个不同的工作岗位，共有几种分法？
高考题型二：复杂的排队问题
1.捆绑法：
有7个人排队，A 、B 、C 三个人他们三人必须相邻，共有几种排法？
2.插空法
有7个人排队，A 、B 、C 三个人他们三人必须互不相邻，共有几种排法？
3.优先法
有7个人排队，A 、B 、C 三个人他们三人必须是A 排在B 前面，B 排在C 前面，是否相邻却无所谓，共有几种排法？
4.容斥法
6个人排队，甲不排头，乙不排尾有_________种排法。
高考题型三：解方程问题
1.若810n
n C C =，n=____________ 2..若方程8328
28-=x x C C 的解集为___________ {}9,4
3.有一群人进行握手，每个人都要和别人握一次，发生了45次握手，共有几人？
4. 245x x C -=
5. 33322210
1+-+-+=+x x x x x P C C
高考题型三：扑克牌问题
从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P （A ⋃B ）=____（结果用最简分数表示）
解析：考查互斥事件概率公式 P （A ⋃B ）=
1137525226+=。