SVD算法在MIMO系统模型降阶中的应用
一种基于奇异值分解的mimo速度解模糊方法
一种基于奇异值分解的mimo速度解模糊方法
基于奇异值分解（SVD）的MIMO（多输入多输出）速度解模糊方法是一种通过分解MIMO系统传输矩阵来消除多径效应和多普勒效应的影响，从而提高通信系统性能的技术。
以下是该方法的具体步骤：
1. 采集数据：在MIMO通信系统中，天线阵列会接收到来自不同方向和速度的信号。
首先，需要对这些信号进行采集，并将其转换为数字信号。
2. 预处理：对采集到的信号进行预处理，如滤波、去噪等操作，以提高信号质量。
3. 奇异值分解：将预处理后的信号矩阵进行奇异值分解。
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别为酉矩阵U、对角矩阵Σ和酉矩阵V。
其中，对角矩阵Σ的对角线元素即为信号矩阵的奇异值。
4. 速度解模糊：根据奇异值分解的结果，可以将原始信号矩阵表示为酉矩阵UΣV^H（其中^H表示共轭转置）。
在此表示下，MIMO系统传输矩阵的各列表示不同速度的信号分量。
通过比较各列奇异值的大小，可以确定信号的传播速度。
5. 速度补偿：根据解模糊后的速度信息，对信号进行速度补偿，消除多径效应和多普勒效应的影响。
速度补偿后的信号可用于后续的信号处理和分析，如信道估计、信号解调等。
6. 性能优化：采用解模糊后的信号，可以提高通信系统的性能，如信噪比、误码率等指标。
此外，基于奇异值分解的速度解模糊方法还可以应用于多用户MIMO系统，实现用户间的干扰抑制。
总之，基于奇异值分解的MIMO速度解模糊方法通过将MIMO系统传输矩阵分解为奇异值，有效地消除多径效应和多普勒效应的影响，提高通信系统性能。
在实际应用中，该方法可应用于无线通信、雷达、声呐等领域。
mimo矩阵分解
mimo矩阵分解
MIMO (multiple-input multiple-output) 矩阵分解是一种针对MIMO 系统中的问题进行矩阵分解的方法，它将 MIMO 系统中的通信信道矩阵分解为两个相互独立的矩阵，分别表示发送和接收端之间的信号处理过程。
这种矩阵分解可用于信道估计、信号检测、波束形成等应用中。
MIMO 矩阵分解的基本思想是将 MIMO 信道矩阵分解为两个矩阵：一个发射矩阵和一个接收矩阵。
发射矩阵表示发送端的信号处理，接收矩阵表示接收端的信号处理。
通过这种矩阵分解，可以将 MIMO 信道模型简化为多个单输入单输出信道模型，从而简化信号处理过程。
同时，该矩阵分解技术可以大幅减少信道估计和信号检测中需要的计算复杂度。
MIMO 矩阵分解有不同的方法，包括奇异值分解 (SVD)、QR 分解、Cholesky 分解等。
其中，SVD 是最常用的方法之一，可以将信道矩阵分解为三个矩阵，包括一个左奇异矩阵、一个右奇异矩阵和一个奇异值矩阵。
这种分解方法可以保证最小化信道矩阵的条件数，并提高通信系统的性能。
总之，MIMO 矩阵分解是一种用于 MIMO 信道中信号处理和通信系统设计的重要技术，可以简化信号处理过程，提高通信系统的性能和效率。
SVD算法原理及应用
SVD算法原理及应用给定一个矩阵A（m×n），SVD将其分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T。
其中U（m×m）是一个正交矩阵，V（n×n）也是一个正交矩阵，Σ（m×n）是一个对角矩阵，并且对角线上的元素称为奇异值。
在SVD中，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量，Σ的对角线元素即为奇异值。
奇异值的大小表示了矩阵的重要程度，越大表示信息保留得越多。
1.对矩阵A进行转置，得到A^T。
2.将A^TA进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
3.对特征值按从大到小的顺序排序，选择前k个最大的特征值及对应的特征向量，构成对角矩阵Σ和矩阵U。
4.对A进行SVD分解时，可以利用步骤2得到的特征向量构成矩阵V。
SVD的应用：1.数据降维：SVD可以用于减少数据集的维度，提取出重要的特征，去除无关的噪声和冗余信息。
2.图像压缩：SVD可以将图像矩阵分解为较小的矩阵，以实现图像的压缩和存储。
3.推荐系统：SVD可以用于基于用户的协同过滤算法，通过分解用户-物品评分矩阵，找出用户和物品之间的潜在关系，从而预测用户对未评分物品的喜好程度。
4.文本分析：SVD可以用于对文本数据进行降维，提取出关键词，构建文本的特征空间模型。
5.人脸识别：SVD可以用于人脸图像的降维和特征提取，从而实现人脸识别和人脸检测的任务。
总结：SVD是一种强大的矩阵分解方法，能够对矩阵进行降维、特征提取和数据压缩等操作。
它在数据分析、图像处理、推荐系统等领域有广泛的应用。
通过SVD，可以更好地理解和利用矩阵中的信息，从而提高数据分析和处理的效果。
svd分解信道功率
svd分解信道功率
SVD分解是一种矩阵分解方法，在信道功率分配中，SVD分解可以将MIMO（多输入多输出）信道分解为多个SISO（单输入单输出）信道。
具体来说，假设我们考虑的是$N\times N$的情况，即$N$个发射天线和$N$个接收天线。
通过对$H$（信道矩阵）做SVD分解，可以得到$U$、$A$和$V$三个矩阵。
其中，$U$是接收端向量矩阵，$A$是空口的特性值矩阵，$V$是发送端的向量矩阵。
基于SVD分解得到的这些矩阵，我们可以计算每个信道的功率，并根据计算结果为每个信道分配功率。
如果某个信道的功率为负，则可以将其舍弃，不参与分配。
通过这种方式，可以实现信道功率的最优分配，提高通信系统的性能。
SVD分解在信道功率分配中的应用，可以帮助我们更好地理解和优化通信系统的性能。
在实际应用中，需要根据具体的通信场景和需求，选择合适的SVD分解算法和参数，以获得最佳的信道功率分配效果。
基于SVD的MIMO发射技术仿真实现
基于SVD的MIMO发射技术仿真实现作者：唐焕新何海浪来源：《数字技术与应用》2009年第11期[摘要]采用奇异值分解(SVD)可以把MIMO信道分解成空域的并行正交子信道。
本文主要通过仿真研究,验证基于SVD的MIMO技术在改善系统容量方面的有效性。
[关键词]MIMO SVD[中图分类号]TN929[文献标识码]A[文章编号]1007-9416(2009)11-0014-02The Realization of MIMO Transmission Simulation based on SVDTang Huanxin He HailangDep. of Information Engineer, Shaoyang University, Hunan,422900, Shaoyang China[Abstract]In a mass dispersion environment, MIMO would greatly increase channel capacity, which linearly increases with the number of the antennas. The main work of the article lies in researching and proving the efficiency of MIMO technology based on SVD in fields of improving system capacity.[Key Words]MIMO systems SVD1 引言系统容量指通信系统在一定信噪比条件下所能达到的最大传输速率,是衡量通信系统的重要指标之一。
MIMO技术是一种通过多天线的配置充分利用信号的空间资源,有效提高衰落信道容量的方法。
由MIMO信道的容量公式,可以得出MIMO系统的信道容量随着天线数量的增大而线性增大。
也就是说MIMO技术在不增加带宽和天线发送功率的情况下,可以成倍地提高无线信道容量和频谱利用率[1]。
基于SVD与GMD的毫米波MIMO系统混合预编码方法
2017年第12期 信息通信2017 (总第 180 期）INFORMATION&COMMUNICATIONS(Sum.N o180)基于SVD与GM D的毫米波MIMO系统混合预编码方法郑溢淳s胡耀明〃(1.杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018;2.中国电子科技集团公司第50研究所，上海200331)摘要：预编码技术是毫米波多输入多输出（M IM O)系统中常用的一种可以用来提高频谱效率的技术。
相较于传统的 全数字预编码技术，混合预编码能够大大减少射频（R F)链的数量，更适合毫米波系统。
提出了 一种基于奇异值分解 (SVD)和几何均值分解(GMD)相结合的混合预编码矩阵设计方法。
通过MATLAB仿真分析可知，相较于基于正交匹 配追踪(O M P)算法的预编码设计方法，文章提出的算法性能更优，频谱效率更接近最优全数字预编码方法，且具有更 好的误码率。
关键词：毫米波;大规模MIMO;混合预编码;SVD分解;GMD分解中图分类号:TN919.3 文献标识码:A 文章编号：1673-1131(2017)12-0075-04Hybrid precoding method for millimeter - wave M IM O systems based on SVD and GMDZheng Yichun1,Hu Yaoming112(1.Department of Electronic Information,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China;2.N〇.50 Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation,Shanghai 20033 l,China)Abstract:The precoding technique is a technique commonly used in millimeter-wave multiple-input multiple-output (MIMO) systems that can be used to improve spectral efficiency. Compared with the traditional full-digital precoding methodhybrid preceding can greatly reduce the number of radio frequency (RF) chain, more suitable for mm W ave system. In this paper, a hybrid precoding matrix design method based on singular value decomposition (SVD) and geometric mean decomposition (GMD) is proposed. Compared with the precoding design method based on orthogonal matching tracing (OMP) algorithm, the proposed algorithm has better performance and better spectral efficiency,the spectral efficiency is closer to the optimal full-digital precoding method, and has better bit errorrate.Key words: mm W ave; large scale MIMO; hybrid precoding; SVD;GMD〇引言随着时代的发展，人们对通信业务的需求与日倶增，现有 的频谱资源已经逐渐无法满足用户的需求，而未来的5G(第五 代）移动通信技术，通过使用大量的未被授权的毫米波频段，可以有效解决目前频谱资源短缺带来的严峻挑战[1_a。
奇异值矩阵分解算法改进设计与应用效果分析
奇异值矩阵分解算法改进设计与应用效果分析1.引言奇异值矩阵分解（Singular Value Matrix Factorization, SVD）是一种常用的矩阵分解算法，被广泛应用于推荐系统、图像压缩、自然语言处理等领域。
然而，在实际应用中，原始的SVD算法存在一些限制，如计算复杂度较高、容易产生过拟合等问题。
为了克服这些限制，研究者们提出了一系列的改进设计，本文将对这些改进进行分析，并评估其在实际应用中的效果。
2.奇异值矩阵分解算法2.1 基本原理SVD算法通过将矩阵分解为三个矩阵的乘积，实现对原始矩阵的降维和特征提取。
具体而言，对于一个m×n的矩阵A，SVD将其分解为U、S和V三个矩阵的乘积，即A=USV^T，其中U和V是正交矩阵，S是对角矩阵。
S的对角元素称为奇异值，表示矩阵A在对应的特征向量方向上的重要性。
2.2 算法流程传统的SVD算法主要包括以下几个步骤：（1）计算A^TA的特征向量和特征值，得到V；（2）计算AA^T的特征向量和特征值，得到U；（3）将A进行奇异值分解，得到S。
3.算法改进设计3.1 隐式反馈数据处理在许多应用场景中，用户对物品的喜好往往是隐式的，例如用户的点击、观看历史等。
传统的SVD算法无法直接利用这些隐式反馈数据，因此研究者们提出了一系列的改进方法，如隐反馈矩阵分解（Implicit Matrix Factorization, IMF）算法。
IMF算法通过将隐式反馈数据转化为正态分布的隐式评分进行计算，从而提升了推荐系统的性能。
3.2 正则化项引入SVD算法容易受到过拟合的影响，为了解决这个问题，研究者们引入了正则化项。
正则化项可以限制模型的复杂度，防止过拟合的发生。
常用的正则化项有L1正则化和L2正则化，通过最小化正则项与损失函数的和来求解优化问题，达到控制模型复杂度的目的。
3.3 基于深度学习的改进近年来，深度学习在推荐系统领域取得了巨大的成功。
基于SVD的MIMO-OFDMA系统信道估计算法
总第171期2008年第9期舰船电子工程Ship Electronic Enginee ring Vol.28No.9113 基于SVD 的M IMO 2O FDMA 系统信道估计算法3明 磊(中国船舶重工集团公司第722研究所 武汉 430079)摘 要 基于802.16d/e 实现的M IMO 2OFDMA 系统模型的信道估计算法,以L S 信道估计方法为基础,结合OFD 2MA 系统导频的特点,提出一种基于时域LS 的SVD 信道估计方法,该方法是对T 矩阵进行奇异值,而T 矩阵要比信道自相关矩阵容易获得的多。
仿真和算法分析显示,该算法的性能略劣于Ove Edfor s 等人提出的基于LM MSE 的SVD 信道估计方法,但计算复杂度要低,并且对导频的要求比较宽松,具有广泛的应用性。
关键词 MIMO 2OFDMA ;L S ;LMMS E;奇异值分解中图分类号 TN915Ch annel Esti m ation Based on S VD for MIMO -OF DMA S ystemsMing L ei(The 722Resea rch Instit ute of CSIC ,Wuhan 430079)Abs tra ct Channel e stimation algorit hms by singular value decompo sition (SVD)ar e inve stigated for MIMO 2OFDMA syste ms.According to the defined downlink tra nsmission and symbol str ucture in IEEE Std.802-16d/e ,the proposed SVD channel e stimatio n method ba sed on least square (L S )is intended a s a improved algo rithm f or Ove Edfor s π,which will mor e easily get singula r value based on mat rix than that o n autocor relation ma trix .Simulatio ns a nd a nalysis show performance of t he novel method is relatively poor compare d to those for Ove Edfor s πL MMSE 2SVD algorit hm ,however less complexity a nd more univer sal applica tion witho ut stric t pilot st ruc ture conditions.Ke y w ords M IMO 2OFDMA ,LS ,LMM SE ,SVD Class N umber TN9151 引言“宽带接入移动化”和“移动通信宽带化”两大趋势使得将M IMO 技术与O FDM 技术相结合成为目前移动通信领域最具有前途的研究方向之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
SVD算法在MIMO系统模型降阶中的应用作者：闫哲卢方明周林来源：《哈尔滨理工大学学报》2017年第02期摘要：针对线性时不变高阶MIMO系统模型难以直接进行计算分析的问题，对高阶模型进行模型降阶。
依据模型降阶理论，对线性时不变系统进行Lyapunov方程求解，得到线性系统的完全可控Gramians矩阵和完全可观Gramians矩阵，对Gramians矩阵进行Cholesky分解，得到Cholesky分解因子，分解因子通过SVD（singular value decomposition）法求得Hankel奇异值，从而确定系统的平衡变换阵。
计算可控可观Gramians矩阵的左右特征空间基底矩阵，利用左右特征空间的基底矩阵求得原系统降阶的系统，通过Hankel SVD 方法确定降阶之后的误差范围。
利用Matlab对SLICOT测试库中的便携式CDPlayer 120阶的高阶模型进行降阶，获取到50、30、20阶的降阶模型，对研究算法进行验证，结果表明，降阶效果理想。
关键词：线性时不变系统；模型降阶；Hankel奇异值DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.010中图分类号： TP13文献标志码： A文章编号： 1007-2683（2017）02-0050-05Abstract：For linear time invariant highorder system calculation and analysis model is difficult to directly， so we need to study on model order reduction of the model According to the basic theory of model order reduction， Lyapunov equation solution to linear time invariant system， completely controllable Gramians matrix and considerable Gramians matrix completely are obtained for a linear system， the completely controllable and considerable Gramians matrix Cholesky decomposition，the Cholesky decomposition factor and the factor decomposition by SVD （singular value decomposition） method for Hankel singular value are given to determine the balance of the system transformation matrix. The reduced order system is given by based matrix of left and right feature space which is obtained by the controllable and considerable Gramians matrix.The error bound for several reducedorder models are computed by using the method of Hankel SVD.In order to obtain the several reduceorder models，using Mtalb to turn CDPlyer highorder model that stored in SLICOT test library to a loworder system. The results show that the above order reduction method is feasible.Keywords：linear time invariant system； model order reduction； balanced transformation0引言随着科学与技术的发展，很多大规模系统的模型结构越来越复杂，如高层建筑的结构受力分析，超大规模集成电路系统的仿真模型，电力系统网络的建模等[1]，由于对这些模型建立的方程组的规模极其庞大，计算难度及复杂度等问题逐渐突出，甚至有些实时计算无法实现[2-3]。
因此，模型降阶成为了解决这一问题的重要方法。
模型降阶就是将原大型系统的高阶模型用低阶模型来近似，并保持原系统的主要特性，如系统的稳定性及动态过程[4]。
目前模型降阶的主要方法有：①Krylov子空间类似方法，包括经典的Arnoldi和Lanczos 降阶法[5]，该方法实际上就是模匹配的问题，单点不匹配情况下，可以进行多点匹配甚至是拟合的方法[6-7]；②正交分解模型降阶法，主要就是在时域中，将正交多项式作为基底进行空间上的展开，主要有Chebyshev多项式及Languerre多项式[8]；③平衡截断法，该方法应用广泛，对于中小模型降阶具有很大的优势[9-10]。
本文就是在经典平衡截断法的基础上，加入了SVD方法，对便携式CDPlayer模型进行降阶分析。
通过对Lvapunov方程进行求解，获得平衡截断法的可控Gramians矩阵及可观Gramians矩阵，利用所得到可控可观阵进行SVD分解从而将120阶的系统降阶到50、30、20阶。
利用此方法可以准确的得到降阶误差范围，并且可以保证系统降阶前后的稳定性及动态过程。
1模型降阶的基本理论对系统模型进行降阶时，降阶模型必须满足以下几方面的性质：1）输出的逼近误差要很小，最好能对某一个范数有一个全局误差界。
2）原系统既有的性质，例如稳定性和无缘性，降阶系统仍要保持这些性质。
3）给出的算法或者程序运行起来要简便有效[11-12]。
3SVD方法在CDPlayer模型中的应用为了验证SVD降阶方法的降阶效果，引用SLICOT测试库提供的CDPlayer的模型作为验证标准。
CD播放器的全阶模型描述了动态镜头致动器与摇臂之间的位置，镜头位置的行为是由一组三阶的微分方程控制[16]。
然而，当用于更新的便携式CDPlayer时，低阶系统就会难以实现。
为了获得CDPlayer的高阶控制器，利用有限元近似的方式，获得的是两输入两输出的120阶模型，即n=120的模型。
该模型的频率响应曲线如图1。
对CDPlayer播放器的高阶模型进行分析，得到该模型的特征值如图2（a）所示。
图2（b）、（c）、（d）分别为降阶至50、30、20阶之后的特征值。
从特征值分布图可以看出，在降阶至30阶以上时，基本可以保证原系统的性能，降阶到20阶后，保留了大部分原系统的性能。
通过图2可以看出，该系统具有很高的实部和很低的虚部。
利用Matlab对CDPlayer模型求解Hankel 奇异值，得到奇异值大小分布如图3所示。
利用经验Gramian平衡降阶算法，计算该模型的平衡变换矩阵〖WTHX〗T，得到该系统的平衡系统，对平衡系统的经验Gramian矩阵进行奇异值分解。
通过上述分析可以确定，Hankel奇异值满足σ1≥σ2≥σ3…≥σn≥0，最后，利用Hankel奇异值大小，对模型进行Hankel奇异值求解，得到如图所示，可以知道Hankel的衰减速度非常快，因此可以确定该高阶模型可以近似到一个维数非常低的模型。
利用所求得Hankel奇异值可以求出模型降阶后的误差范围。
处于作比较的目的，满阶之间的相对误差模型和降阶模型的计算如下[19]：通过SVD平衡截断方法，得到CDPlayer降阶模型及误差范围见表1。
CDPlayer作为一个多输入多输出的模型，频率响应通常是由σi图表示，也就是说频率响应的最大奇异值来反应。
模型满阶的频率响应曲线与降阶后的频率响应曲线如图4所示。
〖TP2B4.tif；S*2，BP〗〖TS（1〗〖HT5”H〗〖JZ〗图4模型满阶与降阶后的频率响应曲线〖TS）〗根据系统模型降阶可以降阶阶数判定条件∑tk=1σk/∑tk=1σk+1≥ε确定降阶的维数对模型分别降阶到50、30、20阶，每次降阶后的误差范围如图5所示。
从图4和图5可以看出，采用这种降阶方法可以将高阶模型降阶到一个良好的低阶形式。
采用该方法对CDPlayer模型进行降阶，只要降阶阶数高于30，就可以与満阶的任意频率相匹配。
当模型降阶到20阶时，在104～105范围之间遗失了一个共振峰。
从奇异值的误差图可以得到一个确定的事实，那就是当降阶到30阶时，在所有频率内不匹配的误差很低。
在进行模型降阶到20阶的情况下，除了共振峰丢失了之外，与原模型频率匹配误差也很低。
通过仿真得到的阶跃响应曲线对比，得知在30阶及以上的时候几乎保证了原模型的性能，降阶至20阶后，虽然降阶模型与原模型有一定的变化，但是可以保留大部分原系统的性能，所以可以判断降阶效果较为理想。
模型降阶前后频率响应曲线如图6所示。
4结论在平衡截断降阶方法的基础上，应用了SVD降阶方法，对模型进行Cholesky分解，求得能观能控的Gramians矩阵，根据Gramians矩阵利用求得Hankel奇异值对模型进行降阶处理，通过对CDPlaye模型进行了降阶实验，对这个2输入2输出的120阶模型进行降阶，分别降到50、30、20阶，通过仿真得到的阶跃响应曲线对比，得知在30阶及以上的时候几乎保证了原模型的性能。
利用此方法可以明确的得出降阶之后的系统误差范围。
总的来说，SVD降阶法对多输入多输出高阶模型的降阶处理是可行有效的。
参考文献：[1]DE Tuglie E， IANNONE S M， TORELLI F. A Coherency Recognition Based on Structural Decomposition Procedure[J]. Power Systems， IEEE Transactions on， 2008， 23（2）： 555-563.[2]MARTINS N， SILVA F G， PELLANDA P C， et al. Utilizing Transfer Function Modal Equivalents of Loworder for the Design of Power Oscillation Damping Controllers in Large Power Systems[C]//IEEE PES General Meeting，2005： 2642-2648.[3]SANCHEZGasca J J， CHOW J H. Computation of Power System Loworder Models from Time Domain Simulations Using a Hankel Matrix[J]. Power Systems， IEEE Transactions on，1997， 12（4）： 1461-1467.[4]OLIVIER P D. A Comparison of Reduced Order Model Techniques[C]//41st Southeastern Symposium on. IEEE， 2009： 240-243.[5]朱耀麟，杨志海，陈西豪. 模型降阶方法研究[J]. 微计算机信息， 2011， 27（6）：22-25.[6]FREUND R W. Model Reduction Methods Based on Krylov Subspaces [J]. Acta Numerica，2003（12）： 267-319.[7]BAGLEY R L， CALICO R A. Fractional Order State Equations for the Control of Viscoelastically Damped Structures [J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1991， 14（2）： 304-311.[8]ANTOULAS A C. A New Result on Positive Real Interpolation and Model Reduction[J]. Systems Control Lett， 2005， 54： 361-374.[9]熊纲，杨超. 平衡截断方法在气动伺服弹性系统模型降阶中的应用[J]. 航空学报，2001， 22（2）： 168-170.〖ZK）〗[10]孟庆松，原海勃. 模拟训练机模型简化算法的研究[J]. 电机与控制学报， 2012， 16（2）： 102-106.[11]赵洪山，宋国维，江全元. 利用平衡理论进行电力系统模型降阶[J]. 电工技术学报，2010， 25（2）： 127-133.[12]李吉祥，武俊峰，樊丽颖. 离散系统降阶 H_SymboleB@ 控制器的设计[J]. 电机与控制学报， 2011， 15（6）.78-83.[13]WORTELBOER P M R， STEINBUCH M， BOSGRA O H. Iterative Model and Controller Reduction Using Closedloop Balancing， with Application to a Compact Disc Mechanism[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control， 1999， 9（3）： 123-142.[14]ANTOULAS A， SORENSEN D， GALLIVAN K A， et al. Model Reduction and Realtime Control for Dynamic Data Driven Systems[J]. Dynamic Data Driven Simulation， 2005：56-89.[15]胡明华，胡寿松. 平衡降阶方法及其进展[J]. 南京航空航天大学学报， 1990（4）：14.[16]孟庆松，王海英. 高阶系统的奇异摄动模型的平衡降阶[J]. 哈尔滨理工大学学报，2006， 11（3）： 82-84.[17]GUGERCIN S， ANTOULAS A C. A Survey of Model Reduction by Balanced Truncation and Some New Results[J]. International Journal of Control， 2004， 77（8）： 748-766.[18]盛洋，赖旭芝，吴敏. 基于模型降阶的平面三连杆欠驱动机械系统位置控制[J]. 自动化学报， 2014， 40（7）： 1303-1310.[19]ANTOULAS A C， BEATTIE C A， GUGERCIN S. Interpolatory Model Reduction of Largescale Dynamical Systems[M]. Springer US Efficient Modeling and Control of LargeScale Systems， 2010： 3-58.[20]REIS T， STYKEL T. A Survey on Model Reduction of Coupled Systems[M]. Springer Berlin Heidelberg： Model Order Reduction： Theory， Research Aspects and Applications，2008： 133-155.（编辑：温泽宇）。