巧解质数与合数问题
(完整版)小学奥数-质数与合数
质数与合数例1 :判断269 , 437两个数是合数还是质数。
分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所有质数。
如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。
因为269 V 172=289。
17 以内质数有2 , 3, 5, 7, 11 , 13。
根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2, 5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。
经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
因为437 V 212=441。
21 以内的质数有2, 3 , 5, 7, 11 , 13 ,17 , 19。
容易判断437不能被2 , 3 , 5, 7, 11整除，用13 , 17 , 19试除437 ,得到437 -19=23，所以437是合数。
对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。
判别269 ,用2〜268中所有的数试除，要除267个数；用2〜268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。
527 275 373 393 573 537例2判断数1111112111111是质数还是合数?分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111X（1000000+1）=1111111X 1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111 是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
例3判定298+1和298+3是质数还是合数？分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。
求解质数与合数的方法
求解质数与合数的方法质数和合数是数学中的两个重要概念，对于数论和其他数学领域的研究起着重要的作用。
在解决实际问题和进行数学研究时，我们经常需要找到质数和合数。
本文将介绍一些求解质数和合数的方法。
一、试除法试除法是判断一个数是否为质数的常用方法。
该方法通过逐一试除一个数的所有可能除数，如果存在能整除该数的除数，则该数为合数；若一个数没有能整除它的除数，则该数为质数。
以求解一个数n是否为质数为例，我们可以从2开始逐一试除，直到n的平方根。
如果在试除的过程中找到一个能整除n的数，则n为合数；否则，n为质数。
试除法的时间复杂度为O(√n)，在大多数情况下是有效的求解质数和合数的方法。
二、埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种较高效的求解质数的方法。
该方法通过逐渐筛去不是质数的数，最终得到一系列质数。
具体步骤如下：1. 创建一个长度为n+1的布尔数组prime[]，全部初始化为true。
2. 从2开始遍历到√n，若prime[i]为true，则将i的倍数（除i本身）标记为false。
3. 遍历结束后，未被标记为false的数即为质数。
埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度为O(nlog(logn))，在求解范围较大的质数时，效率较高。
三、费马小定理费马小定理是判断一个数是否为质数的概率性方法。
该定理提供了一种将费马定理应用于素数检验的方法。
费马小定理描述如下：如果p是一个质数，a是不被p整除的整数，则a^(p-1)模p的值恒为1。
利用费马小定理可以进行费马检验：1. 随机选择一个整数a（2 ≤ a < n）。
2. 计算a^(n-1)模n的值。
3. 如果该值不等于1，则n为合数；如果等于1，则n很可能为质数。
费马小定理的时间复杂度较低，但不保证对所有数都能正确判断。
结语本文介绍了三种常用的求解质数和合数的方法：试除法、埃拉托斯特尼筛法和费马小定理。
试除法是最基本的方法，但效率较低；埃拉托斯特尼筛法在求解大范围的质数时效率高；费马小定理则提供了一种概率性的判断方法。
轻松学习质数与合数小学数学质数与合数计算方法
轻松学习质数与合数小学数学质数与合数计算方法轻松学习质数与合数小学数学质数与合数计算方法质数和合数是小学数学中的基本概念，理解它们的特点和计算方法对于学习数学至关重要。
本文将为大家介绍质数和合数的定义，并详细解释如何计算质数和合数。
一、质数的定义和计算方法质数是指只能被1和自身整除的自然数。
换句话说，质数就是除了1和它本身之外没有其他因数的数。
根据定义，我们可以列举出一些常见的质数：2、3、5、7、11、13、17、19等等。
小于20的质数还有很多，我们可以通过逐一验证的方法得到它们。
例如，我们要判断一个数是否为质数，可以试着用2、3、4、5...依次去除它，如果除不尽，那么这个数就是质数。
这个方法虽然比较耗时，但对于小的数还是比较有效的。
除此之外，利用质因数分解也是判断质数的一个有效方法。
如果一个数可以被分解成多个质数相乘，那么它一定不是质数。
例如，24可以分解成2×2×2×3，因此24不是质数。
二、合数的定义和计算方法合数是指除了1和自身之外还有其他因数的自然数。
简单来说，合数就是不是质数的数。
根据定义，我们可以列举一些常见的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16等等。
同样地，我们可以用试除法来判断一个数是否为合数。
当一个数不能被任何小于它的数整除时，我们就可以确定它是合数了。
利用质因数分解也是判断合数的一种方法。
如果一个数不能被分解成多个质数相乘，那么它就是合数。
三、质数与合数的应用质数和合数在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.加密算法：质数的选择在密码学中起着重要作用。
现代加密算法如RSA就依赖于大质数的分解难题，使得破解者无法轻易获取加密信息。
2.质数检测：计算机科学中经常需要判断某个数是否为质数，这对于网络安全和算法设计至关重要。
3.因数分解：质因数分解是数学中的基础问题，它在代数学和数论中有着广泛的应用。
4.数学推理：质数与合数的概念对于学习数学推理和证明具有重要意义。
质数与合数重点复习与解题思路
一，认识质数与合数质数：有且只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身，还有别的因数。
特点：0和1既不是质数，也不是合数2是最小的质数，也是唯一的偶数4是最小的合数除了2和5，其余质数的个位数都是1,3,7,9二、判断质数1、尾巴判断法，排除末尾是0,2,4,6,8,52、和判断法，排除数位上的数字和是3的倍数3、试除判断法，试除质数，被除数逐个从小到大除以质数，直到到商＜除数为止。
实例：判断148，143、179，135,243是不是质数。
解题思路：1）尾巴判断法，看尾数首先排除148和135；2）和判断法，排除243；3）试除判断法，开始判断143合179可以按从小到大的顺序用2、3、5、7、11……等质数去试除。
一般情况下用20以内的2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数去除就可以了。
143：不是质数。
判断思路：从小到大试除，1）个位是3，排除了被2、5整除的可能性； 2）它各位数字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除；3）通过口算也证明不能被7整除；4）当试除到11时,商正好是13,到此就可以断定143不是质数。
179：是质数。
步骤同143判断。
179÷2=59 (2)179÷3=66 (1)179÷5=35 (4)179÷7=25 (4)179÷11=16 (3)179÷13=13 (10)179÷17=10……9----结束当179÷17所得到的不完全商10比除数17小，就不需要继续再试除,而断定179是质数。
三、质合数与奇偶性结合考虑：2是唯一的偶质数奇+奇=偶奇+偶=奇偶+偶=偶奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数四、100以内的质数----要熟记，44 223 223 21 个数规律牢记2 3 5 7 ---四个11 13 17 19----四个====================之后都小于4个23 2931 3741 43 4753 5961 6771 73 7983 8997=====================100以内共25个质数100以内质数表课本练习题详解：1） 7,9,8可以拼成多少个不同的质数。
数的运算学习使用质数和合数进行运算
数的运算学习使用质数和合数进行运算在数学中，数的运算是非常基础，也是非常重要的一部分。
通过数的运算，我们可以解决实际问题，深入理解数的性质和规律。
其中，质数和合数是数的一个重要分类，它们在数的运算中起到了关键作用。
本文将探讨数的运算中如何使用质数和合数进行计算。
一、质数的运算质数是指只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
质数具有以下特性：1. 质数与自然数相乘的结果仍然是质数。
例如，质数2乘以3等于6，6是合数；质数3乘以5等于15，15也是合数。
通过数的运算，我们可以发现，质数与质数相乘的结果仍然是质数。
这种特性在数的运算中非常有用。
2. 质数与合数相乘的结果是合数。
合数是指除了1和本身还可以被其他数整除的正整数。
例如，4、6、8、9等都是合数。
当质数与合数相乘时，结果必定是合数。
这一特性在数的乘法运算中起到了重要作用。
二、合数的运算合数的运算可以包括加法、减法、乘法和除法等。
在数的运算中，我们可以通过合数的特性进行计算。
1. 合数相加、相减的结果还是合数。
例如，合数4加上合数6，结果为10，10也是合数；合数8减去合数6，结果为2，2是质数。
通过数的运算，我们可以发现，合数相加、相减的结果仍然是合数。
2. 合数与质数相乘、相除的结果是合数或质数。
当合数与质数相乘时，结果可以是合数或质数。
例如，合数4乘以质数3，结果为12，12是合数；合数8乘以质数3，结果为24，24也是合数。
当合数与质数相除时，结果可以是合数或质数。
例如，合数12除以质数3，结果为4，4是合数；合数24除以质数3，结果为8，8也是合数。
通过数的运算，我们可以发现，合数与质数相乘、相除的结果是合数或质数。
三、使用质数和合数进行数的运算在实际的数的运算中，我们可以通过使用质数和合数进行计算，从而更好地理解数的性质和规律。
例如，在判断一个数的因数时，我们可以通过找到其最大的质数因子，从而更快速地进行计算。
五年级数学技巧轻松掌握质数和合数的计算方法
五年级数学技巧轻松掌握质数和合数的计算方法数学是一门需要掌握技巧的学科，而对于五年级学生来说，理解和掌握质数和合数的计算方法是至关重要的。
在本文中，我们将介绍一些简单易懂的技巧，帮助五年级学生轻松掌握质数和合数的计算方法。
1. 质数的概念和判断方法首先，我们来了解什么是质数。
质数指的是只能被1和自身整除的自然数，如2、3、5、7等。
那么如何判断一个数是不是质数呢？判断一个数是否为质数的方法有很多，其中一种简单有效的方法是试除法。
我们可以用小于这个数的所有质数去试除它，如果都不能整除，那么就可以确定这个数是质数。
例如，我们要判断数字13是否为质数。
我们可以用小于13的质数2、3、5、7去试除，结果发现13不能被任何一个质数整除，所以13是一个质数。
2. 合数的概念和判断方法合数与质数相反，指的是除了1和自身外还能被其他数整除的自然数。
例如4、6、8、9等都是合数。
那么如何判断一个数是合数呢？判断一个数是否为合数的方法也可以使用试除法。
我们可以用小于这个数的所有自然数去试除它，如果能够整除，那么这个数就是合数。
例如，我们要判断数字20是否为合数。
我们可以用小于20的数去试除，发现20可以被2、4、5等数整除，所以20是一个合数。
3. 使用分解因数的方法掌握质数和合数的计算方法，还可以借助分解因数的方法。
分解因数是将一个数表示成两个或多个因数相乘的形式。
例如，我们要将数字24分解因数，首先我们可以找到一个因数，比如2，那么24除以2等于12，此时我们可以再次分解12，得到2和6，再次分解6，得到2和3。
因此，24可以分解为2 * 2 * 2 * 3。
利用分解因数的方法，我们可以快速判断一个数是质数还是合数。
如果一个数可以分解为两个或多个不同的质数相乘，那么这个数就是合数；如果一个数只能被1和自身相乘，那么这个数就是质数。
4. 练习和巩固为了更好地掌握质数和合数的计算方法，我们可以进行一些练习和巩固。
首先，我们可以选择一些数字，判断它们是质数还是合数。
5年级奥数质数与合数问题例题解析
【内容概述】涉及质数与合数等概念，以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题．【例题】1．试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：□□□(这是一个三位数)．□□□(这是一个三位数)，□(这是一个一位数)，使得这三个数中任意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求其他两个数．[分析与解]714＝2×3×17．由此可以看出，要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2，3，5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5．现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2，3，6这3个数字．因为任意两个偶数都有公约数2，而714是偶数，所以第二个的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3．这样一来，第二个三位数只能是263或623．但是623能被7整除，所以623与714不互质．最后来看263这个数．通过检验可知：714的质因数2，3，7和17都不是263的因数，所以714与263这两个数互质．显然，263与5也互质．因此，其他两个数为263和5．2．如图19-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等．问这6个质数的积是多少?[分析与解]设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S．4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以4S＝2S+20，即S＝10．这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：2×2×3×3×5×5＝900．3．在图19-2．所示算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立．[分析与解]记两个乘数为和cd，其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7．由已知条件，b与c相乘的个位数字仍质数，这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5或7，如果b不是5，那么c必然是5，但73×5＝365、77×5＝385的十位数字都不是质数．因此b是5，c是3、5、7中的一个，同样道理，d也是3、5、7中的一个．再由已知条件，与c的乘积的各位数字全是质数，所以乘积肯定大于2000，满足积大于2000且a、c取质数，只有以下六种情况：775×3＝2325，575×5＝2875，775×5＝3875，375×7＝2625，575×7＝4025，775×7＝5425．其中只有第一组的结果各位数字是质数，因此a＝7，c＝3同理，d也是3．最终算式即为775×33＝25575．4．把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方．那么这个和数是多少?[分析与解]设原来的两位数为，则交换十位数字与个位数字后的两位数为，两个数的和为+＝10x+y+x+10y＝11(x+y)是11的倍数，因为它是完全平方数，所以也是11×11＝121的倍数．但是这个和小于100+100＝200＜121×2，所以这个和数只能是121．5．迎杯×春杯＝好好好在上面的乘法算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?[分析与解]好好好＝好×111＝好×3×37，有“杯”ד杯”的个位为“好”，所以“好”只能为1，4，9，6或5．当“好”为1时，迎杯×春杯＝111＝3×37，不可能；当“好”为4时，迎杯×春杯＝444＝2×2×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，只能是12×37，不满足；当“好”为9时，迎杯×春杯＝999＝3×3×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，可以为27×37，满足；当“好”为6时，迎杯×春杯＝666＝2×3×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，只能是18×37，不满足；当“好”为5时，迎杯×春杯＝555＝5×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，只能是15×37，不满足．所以，“好”只能是9，对应迎杯×春杯＝27×37＝999＝好好好．所以“迎+春+杯+好”之和为2+3+7+9＝21．6．数数×科学＝学数学在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“数学”所代表的两位数是多少?[分析与解]“学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与11的倍数．学数学＝学×101+数×10 是“数”的倍数，而101是质数，所以“学”一定是“数”的倍数．又“学数学”是11的倍数，因而：学+学－数＝11．因为“学”是“数”的倍数，从上式推出“数”是11的约数，所以“数”＝1，“学”＝(11+1)÷2＝6．7“数学”所代表的两位数是16．7．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填入下式的各个方框中，可使此等式成立：□□×□□＝□□×□□□＝3634．填好后得到三个两位数和一个三位数，这三个两位数中最大的一个是多少?[分析与解]3624＝2×23×79，表达为两个两位数的乘积只能是(2×23)×79，即46×79，而另外的表达为一个两位数与一个三位数的乘积，只能是23×(2×79)＝23×158，满足题意，所以这三个两位数中最大的一个是79．8．六年级的学生总人数是三位数，其中男生占，男生人数也是三位数，而组成以上两个三位数的6个数字，恰好是l，2，3，4，5，6．那么六年级共有学生多少人?[分析与解]设六年级总人数为，其中男生有人．有×＝，即5＝3，其中为5的倍数，所以z为5．而为3的倍数，所以其数字和a+b+c应为3的倍数，则在剩下的5个数中，a、b、c(不计顺序)只能为1，2，6或1，2，3或4，2，6或4，2，3．而c不能是偶数(不然z应为0)，所以只能是1，2，6或1，2，3或4，2，3可能满足；又因为最大为645，对应为387，即c不超过3．于是有可能为261，123，321，213，231，243这6种可能，验证只有当＝261是，对应为261÷3×5＝435．所以六年级共有学生435人．9．图19-3是三位数与一位数相乘的算式，在每个方格填入一个数字，使算式成立．那么共有多少种不同的填法?[分析与解]设1992＝×d(a，b，c，d可以相同)，有1992＝2×2×2×3×83，其中d 可以取2，3，4，6，8这5种，对应的算式填法有5种．10．在图19-4残缺的算式中，只写出3个数字l，其余的数字都不是1．那么这个算式的乘积是多少?[分析与解]被乘数的个位数字只可能是1、3、7、9(因为与乘数的十位数字相乘，积的个位数字为1)，被乘数与乘数的个位数字相乘，积的前两位为1、0．因此这积可能是100、101、102、103、104、105、106、107、108、109．其中101、103、107、109是质数，没有两位数的因数；100没有个位数字为1、3、7、9的因数，均不合要求．102＝17×6，104＝13×8，105＝21×5，106＝53×2，108＝27×4，但被乘数为17、27时，乘数的十位数字必须为3(才能使它与被乘数相乘的积个位数字为1)；被乘数为21时，乘数的十位数字必须为1；被乘数为13时，乘数的十位数字必须为7；均不能使相乘的积为三位数，因此被乘数必须为53，乘数为72，积为3816．11．图19-5是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式．那么所得的乘积是多少?[分析与解]由已知条件，最后结果的首位数字不能是2，因此中能是3．这说明4位上作加法时有进位．百位数上相加时最多向千位进2，所以要使千位数有进位，其中的未知数字至少是10－2－2＝6，即三个三位数加数中的第二个至少是600．因为它是第一个乘数与一个一位数字的乘积，因此该乘数肯定大于60．第二个乘数的百位数字与第一个乘数的乘积在220～229之间，所以它只能是3(否则4×60＞229)．而220~229之间个位数字不是2且是3的倍数的只有25＝3×75和228＝3×76．如果第一乘数是75，又第二个乘数的百位数字是3，那么它们的乘积小于75×400＝30000，它的首位数字也就不可能是3，不满足．乘数是76，另一个乘数就要大于30000÷76＞394，那么只有395、396、397、398、399这五种可能，它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30324．由于各个数字都不一能是2，所以只有76×396＝30096满足题目的要求．算式中所得的乘积为30096．12．请补全图19-6这个残缺的除法竖式．问这个除法算式的商数是多少?[分析与解]易知除号下第二行的首位为9．第二行的个位与第三行首位数字之和不小于10．如果商的首位数字大于1，那么除数必须小于50，所以第三行首位数字小于5，而第二的个位数字不小于6．分别验证6，7，8，9四种情况，均不满足．如果商的首位数字为1，验证第二行个位数字各种情况，只有2满足条件，此时除数为92，商为109．10028÷92＝109为题中算式．即这个除法算式的商数为109．13．若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最少是多少?[分析与解]14．互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数．(例如102和20l，35和53，11和l1，…，称为互为反序的数，但120和2l 不是互为反序的数．)[分析与解]简单使用位值原理不易解决，可以试试分解质因数．92565＝3×3×5×11×11×17．注意到3×3×5×11×11×17＝165×561．所以这个自然数为165或561．15．开放的中国盼奥运×□=盼盼盼盼盼盼盼盼盼上面的横式中不同的汉字代表不同的数字，□代表某个一位数．那么，“盼”字所代表的数字是多少?[分析与解]。
五年级奥数解析5.质数和合数
小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析与解】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．【分析与解】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数或与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试．即23有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【分析与解】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少?【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．【分析与解】有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?【分析与解】有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?【分析与解】这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析与解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有34×34×34即333×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(3927033+3927034+3927035)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。
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巧解质数与合数问题
（1）巧记100以内的质数：
2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97。
（2）“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数。
（3）“1”这个数既不是质数也不是合数。
例1 两个质数的和是，这两个数的积是多少？
做一做1 两个质数的和是99，这两个数的积是多少？
例2 九个连续的自然数，它们都大于100，那么其中质数最多有多少个？
做一做20个连续的自然数中质数最多有多少个？最少有几个？
例3 用0,1,2，4中的3个数能组成哪些三位质数？
做一做用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成一些质数，如果每个数字都要用到并且只用到1次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？
例4 一个长方体的上面和正面的面积之和是77平方厘米，它的长、宽、高都是整厘米数，且为质数。
问：这个长方体的长、宽、高是多少？
做一做求质数a,b,c,使得ab c÷(a+b+c)=5
例5 把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，那么这几个质数分别是多少？
做一做把41拆成若干个不同质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的积中哪个最小？
例6 试找出10个连续自然数，且它们都是合数。
做一做把1~8这8个自然数填入右图大圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内的数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法）。