典中点二次函数专训3二次函数图像信息题的四种常见类型
(一)二次函数图象信息题常见的四种类型
专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型►类型之一由系数的符号确定图象的位置1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是()图1－ZT－12．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的()图1－ZT－23．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是()图1－ZT－34．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限．►类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过()图1－ZT－4A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()图1－ZT－57．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为()图1－ZT－6图1－ZT－7►类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0图1－ZT－89.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc；(2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4图1－ZT－910．［2017·杭州］设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，( )A ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＞0B ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＜0C ．若m ＜1，则(m ＋1)a ＋b ＞0D ．若m ＜1，则(m ＋1)a ＋b ＜011．如图1－ZT －10，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．图1－ZT －1012．［2017·资阳］如图1－ZT －11，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点和该抛物线与y 轴的交点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上，它的对称轴是直线x ＝1，有下列四个结论：①abc＜0，②a ＜－13，③a ＝－k ，④当0＜x ＜1时，ax ＋b ＞k.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1图1－ZT －11► 类型之四 利用二次函数求一元二次方程的根13．小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图1－ZT －12，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是( )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x 1＝－1，x 2＝4图1－ZT －1214．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图1－ZT －13所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜－1或x ＞3图1－ZT －1315．［2018·马鞍山期中］已知二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的部分图象如图1－ZT －14，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax －3＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝( )A ．－1.3B ．－2.3C ．－0.3D ．－3.3图1－ZT －1416．［2016·淮南期中］如图1－ZT －15所示，一次函数y 1＝kx ＋n 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x 的不等式kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c 的解集为( )A ．－1≤x ≤9B ．－1≤x ＜9C ．－1＜x ≤9D ．x ≤－1或x ≥9图1－ZT －15 17．［2016·南宁］二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图1－ZT －16所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．不能确定图1－ZT －1618．［2017·遂宁］函数y ＝x 2＋bx ＋c 与函数y ＝x 的图象如图1－ZT －17所示，有以下结论：①b 2－4c ＞0；②b ＋c ＝0；③b ＜0；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋bx ＋c ，y ＝x 的解为⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3；⑤当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＞0.其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③⑤图1－ZT－17教师详解详析1．[解析] D∵a＜0，b＞0，c＜0，∴图象开口向下，对称轴在x轴的右侧，交y轴于负半轴．只有D选项中的图象符合题意．故选D.2．[解析] D当x＝1时，a＋b＋c＝0，即抛物线经过点(1，0)．当a＞b＞0＞c时，抛物线的对称轴x＝－b2a＜0，没有图形符合；当a＞0＞b＞c时，则抛物线的对称轴x＝－b2a＞0，选项D符合要求；而a＞b＞c＞0和0＞a＞b＞c都不符合a＋b＋c＝0.综上所述，本题选D.3．[解析] B由函数表达式y＝a(x＋m)2＋n(a>0)可知其图象开口向上，其顶点坐标为(－m，n)．又因为m＜0，n＜0，所以顶点在第四象限，排除A，C，D.故选B.4．[答案] 三、四[解析] ∵二次项系数为1，∴抛物线开口向上．又∵对称轴是直线x＝－a＜0，4a2－8a2＝－4a2<0，故与x轴没有交点，∴其图象不经过第三、四象限．5．[解析] D∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵对称轴为直线x＝－b2a＞0，a＞0，∴b＜0，∴y＝ax＋b的图象一定过第一、三、四象限．故选D.6．[解析] C∵一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＜0，在y轴左边．故选C.7．[解析] A由于一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象有两个不同的交点，且这两个交点都位于第一象限，所以方程ax2＋bx＋c＝x，即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的正实数根，所以函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴有两个不同的交点，且两个交点都在x轴的正半轴上．故选A.8．[解析] B∵图象的开口向下，∴a＜0.∵图象的对称轴为直线x＝－b2a＞0，∴b＞0.又∵图象与y轴的交点位于原点的下方，∴c＜0.故选项B符合题意．9．[解析] B∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，－b2a＝1，∴b＝－2a，∴b<0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0.∵当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵当x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0.故选B.10．[解析] C∵a＜0，∴函数y有最大值．当x＝1时，函数y的最大值为a＋b＋c①.当m＞1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c②.由②－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＞0，∴(m＋1)a＋b＜0，故选项A，B不一定正确．当m＜1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c③.由③－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＜0，∴(m＋1)a＋b＞0，故选项C正确，选项D错误．11．[答案] 0[解析] 方法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可知，点P(4，0)和点(－2，0)关于直线x＝1对称，因此点(－2，0)也在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，∴4a－2b＋c＝0.方法二：由题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1，16a ＋4b ＋c ＝0.从而求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a .把b ，c 的值代入4a －2b ＋c 中，得4a －2b ＋c ＝0.12．[解析] A 由抛物线的开口向下，且对称轴为直线x ＝1可知a ＜0，－b 2a＝1，即b ＝－2a ＞0.由抛物线与y 轴的交点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上知c ＝1，则abc ＜0，故结论①正确．由①知y ＝ax 2－2ax ＋1.∵当x ＝－1时，y ＝a ＋2a ＋1＝3a ＋1＜0，∴a ＜－13，故结论②正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上，∴a ＋b ＋1＝k ＋1，即a ＋b ＝k .又∵b ＝－2a ，∴a －2a ＝k ，即a ＝－k ，故结论③正确．由函数图象知，当0＜x ＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax 2＋bx ＋1＞kx ＋1，即ax 2＋bx ＞kx .又∵x ＞0，∴ax ＋b ＞k ，故结论④正确．综上所述，共有4个结论正确，故选A.13．[解析] D ∵二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴交于点(－1，0)和(4，0)，即当x ＝－1或4时，x 2＋ax ＋b ＝0，∴关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝4，故选D.14．D15．[解析] D 二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的图象的对称轴是直线x ＝－2a 2a＝－1.又∵x 1与x 2关于对称轴对称，∴1.3－(－1)＝－1－x 2，解得x 2＝－3.3，故选D.16．[解析] A 结合图象可知一次函数图象在二次函数图象上方时，对应的x 的取值范围即本题的答案，由图可知当－1≤x ≤9时，kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c .故选A.17．[解析] A 由图象可知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象的交点的横坐标之和大于0，即方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝23x的解中未知数x 的两个值的和大于0，可得ax 2＋bx ＋c ＝23x 变形为方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0后，它的两根之和大于0. 18．[解析] B ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无交点，∴b 2－4c ＜0，故结论①错误； 当x ＝1时，y ＝1＋b ＋c ＝1，则b ＋c ＝0，故结论②正确；∵对称轴在y 轴的右侧，∴a ，b 异号．又∵a ＝1＞0，∴b ＜0，故结论③正确；根据抛物线与直线y ＝x 的交点知：方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋bx ＋c ，y ＝x 的解为⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3，故结论④正确；∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2＋bx ＋c ＜x ，∴x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，故结论⑤错误．综上所述，结论②③④正确，故选B.。
二次函数题型分类总结
二次函数题型分类总结二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是学生们经常接触到的数学题型之一。
在学习二次函数的过程中，我们会遇到各种不同类型的题目，这些题目涵盖了二次函数的基本概念、性质、图像、方程、不等式等多个方面。
为了帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，本文将对二次函数题型进行分类总结，以便学生们能够更系统地学习和应用这一知识点。
一、基本概念题型。
1. 求二次函数的顶点、对称轴、开口方向等基本性质；2. 确定二次函数的增减性、最值等相关问题；3. 根据二次函数的图像特点进行分析和判断。
二、方程与不等式题型。
1. 解二次函数的方程，包括一元二次方程和二元二次方程；2. 求二次函数不等式的解集，包括一元二次不等式和二元二次不等式。
三、图像与性质题型。
1. 根据给定的二次函数，绘制其图像；2. 根据图像，确定二次函数的各种性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等；3. 利用二次函数的图像进行相关问题的分析和解决。
四、应用题型。
1. 利用二次函数解决实际问题，如抛物线运动、优化问题等；2. 利用二次函数的性质解决相关的数学问题，如几何问题、物理问题等。
五、综合题型。
1. 将多个知识点进行综合运用，解决复杂的二次函数问题；2. 考察学生对二次函数整体理解和运用能力的题目。
通过以上分类总结，我们可以清晰地了解到二次函数题型的多样性和复杂性。
在学习和解答二次函数题目时，我们需要全面掌握二次函数的基本概念和性质，灵活运用相关的解题方法，善于将不同的知识点进行整合和应用。
同时，我们也要注重实际问题的应用，将抽象的数学知识与实际生活相结合，更好地理解和掌握二次函数的相关内容。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高解答二次函数题目的能力和水平。
同时，也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和积极性，不断提升自己的数学素养，为将来的学习和发展打下坚实的数学基础。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
二次函数图象信息题的四种常见类型
抛物线开口向上的图像
1
特点
图像开口朝上，a>0。
2
性质在抛物ຫໍສະໝຸດ 的中心处，函数取得最小值，也称为“顶点”，坐标为(f(g),-h(f(g)))。
3
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的顶点是(-1,4)，则方程的形式是什么？
抛物线开口向下的图像
特点
图像开口朝下，a<0。
性质
函数的最大值位于抛物线的中心 处，其坐标为(f(g),-h(f(g)))。
二次函数图象信息题的四 种常见类型
在学习二次函数时，掌握常见的四种图像类型对于学生们是非常重要的。这 个幻灯片将介绍这些类型，以及如何轻松应对与它们相关的信息问题。
什么是二次函数？
1 定义
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b，c为常数，a不等于零。图像为开口朝 上或朝下的轮廓类似于一个U形。
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的最大 值点是(2,5)，则a的值是多少？
两个实根的图像
特点
图像与x轴有两个交点（实 根），a>0。
性质
当x趋近于正无穷或负无穷时， 二次函数趋近于无穷大。此 外，抛物线的轴线是根的平 均值。
例题
给定二次函数y=-2(x-4)(x-3)， 求它的零点是多少？
无实根的图像
1
特点
图像可以用a(x-h)^2+k的形式表示，其中a<0。
2
性质
在抛物线的中心处，函数达到最大值。图像完全位于或高于x轴上方。
3
例题
二次方程y=x^2+4x+13有实根吗？如果不是，图像是什么样子的？
中考重要考点二次函数的图像与性质，分类详解，归纳总结规律
中考重要考点二次函数的图像与性质，分类详解，归纳总结规律在初中的数学学习中，二次函数是非常重要的章节，而且里面涉及的考点非常的多，不管是在对应学期的各种考试，还是在中考时，都是比较热门的考点，而作为即将升入初三，面临着新的知识，同学们更应该将这部分内容理解掌握，也有利于最后的复习，今天我和同学们一起学习中考比较重要的一个基础考点，二次函数的图像与性质，这里不需要同学们死记硬背，而是学会运用观察法，比较法熟练的掌握，结合图像研究其性质及不同图像之间的相互关系，从简单的y=ax²(a≠0)开始通过分类详解，归纳总结，循序渐进的学习y=ax²+bx+c(a≠0),归纳出规律，从而彻底学会掌握。
一、二次函数y=ax²(a≠0)的图像和性质二次函数y=ax²(a≠0)图象的作法：①列表：在二次函数y=ax²(a≠0)中，自变量x的取值范围是全体实数，给出x的一些代表值，求出对应的y值，一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。
注意：二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0,0)。
需要特别提醒的是，二次函数以对称轴为“界”，在对称轴的左右两侧，它的增减性是恰好相反的，而且在做题的时候，一定要注意说明其图像是在对称轴的左侧还是右侧，否则可能会出现错误。
在做题的时候利用图像去分析是解决问题的最有效途径，数形结合思想也是本章重要的数学思想之一。
二、二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像和性质二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像也是一条抛物线，它是由y=ax²向上或者向下平移|k|个单位得到的。
2020春北师大版数学九年级下册第二章 二次函数 专题二 二次函数图象信息题的四种常见类型
y=- 1 x2+ 5 x+4
分∠CAO.则此抛物线的函数表达式是 6 6
.
12.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的函数表达式;
解:(1)已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1,0),B(0,2),
所以
0 2
1 b c, 0 0 c,
②当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),得 -1+m=0+x,0+m2-2m-3=-3+0, 解得m=0或2,x=-1或1. 当m=0时,x=-1, 所以Q(-1,0),P(0,-3)(舍去), 当m=2时,x=1, 所以Q(1,0),P(2,-3).
③当四边形 BQCP 是平行四边形时,由 B(-1,0),C(0,-3),得 -1+0=x+m,m2-2m-3+0=-3+0, 解得 m=0 或 2,x=-1 或-3. 当 m=0 时,x=-1,所以 Q(-1,0),P(0,-3)(舍去), 当 m=2 时,x=-3,所以 Q(-3,0),P(2,-3). 综上,存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形,P 的坐标为 (1+ 7 ,3)或(1- 7 ,3)或(2,-3).
10.已知二次函数 y= 1 x2+5x-10,设自变量的值分别为 x1,x2,x3,且-3<x1<x2<x3, 2
则对应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系为 y1<y2<y3 .
根据函数图象确定函数表达式 11.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3,0),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平
(完整版)专题训练(一)二次函数图象常见四种信息题
专题训练（一）二次函数图象常见四种信息题►类型之一由系数的符号确定图象的位置1．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是()图1－ZT－12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的()图1－ZT－23．[2018·德州]如图1－ZT－3，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()图1－ZT－34．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限．►类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置5．2018·宁波如图1－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为－1，则一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是()图1－ZT－4 图1－ZT－56．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为()图1－ZT－6图1－ZT－7►类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0图1－ZT－8 图1－ZT－98．[2018·毕节]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－ZT－9所示，有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0，其中正确的个数是() A．1B．2C．3D．49．设直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a＜0)的图象的对称轴，下列说法一定正确的是()A．若m＞1，则(m－1)a＋b＞0B．若m＞1，则(m－1)a＋b＜0C．若m＜1，则(m＋1)a＋b＞0D．若m＜1，则(m＋1)a＋b＜010．如图1－ZT－10，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象上，它的对称轴是直线x＝1，有下列四个结论：①abc＜0；②a＜－13；③a＝－k；④当0＜x＜1时，ax＋b＞k.其中正确结论的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1图1－ZT －10 图1－ZT －1111.如图1－ZT －11，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．► 类型之四 利用二次函数求一元二次方程的根12．[2018·孝感]如图1－ZT －12，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是____________．图1－ZT －1213．[2018·襄阳]已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞214．[2018·马鞍山期中]已知二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的部分图象如图1－ZT －13所示，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax －3＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝( )A ．－1.3B ．－2.3C ．－0.3D ．－3.3图1－ZT －13 图1－ZT －1415．如图1－ZT －14，一次函数y 1＝kx ＋n 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x 的不等式kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c 的解集为( )A ．－1≤x ≤9B ．－1≤x ＜9C ．－1＜x ≤9D ．x ≤－1或x ≥916．[2018·湖州]在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y ＝ax 2－x ＋2(a ≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－1或14≤a ＜13B .14≤a ＜13 C ．a ≤14或a ＞13D ．a ≤－1或a ≥1417．[2018·贵阳]已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图1－ZT －15所示)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )图1－ZT －15A ．－254＜m ＜3B ．－254＜m ＜2C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2教师详解详析1．[解析]D ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0，∴图象开口向下，对称轴在y 轴的右侧，交y 轴于负半轴．只有D 选项中的图象符合题意．故选D.2．[解析]D 当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝0，即抛物线经过点(1，0)．当a ＞b ＞0＞c 时，抛物线的对称轴x ＝－b 2a ＜0，没有图形符合；当a ＞0＞b ＞c 时，则抛物线的对称轴x ＝－b2a ＞0，选项D 符合要求；而a ＞b ＞c ＞0和0＞a ＞b ＞c 都不符合a ＋b ＋c ＝0.综上所述，本题选D.3．[解析]B A ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＜0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向下，故本选项错误；B ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＞0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向上，对称轴x ＝－－22a＞0，故本选项正确；C ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＞0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向上，对称轴x ＝－－22a＞0，和x 轴的正半轴相交，故本选项错误；D ．由一次函数y ＝ax －a 的图象可得a ＞0，此时二次函数y ＝ax 2－2x ＋1的图象应该开口向上，故本选项错误．4．[答案]三、四[解析]∵二次项系数为1，∴抛物线开口向上．又∵对称轴是直线x ＝－a ＜0，4a 2－8a 2＝－4a 2<0，故与x 轴没有交点，∴其图象不经过第三、四象限．5．[解析]D 由二次函数的图象可知， a ＜0，b ＜0，当x ＝－1时，y ＝a －b ＜0， ∴y ＝(a －b )x ＋b 的图象在第二、三、四象限．6．[解析]A 由于一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象有两个不同的交点，且这两个交点都位于第一象限，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的正实数根，所以函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象与x 轴有两个不同的交点，且两个交点都在x轴的正半轴上．故选A.7．[解析]B∵图象的开口向下，∴a＜0.∵图象的对称轴为直线x＝－b2a＞0，∴b＞0.又∵图象与y轴的交点位于原点的下方，∴c＜0.故选项B符合题意．8．[解析]D①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ab＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝－b2a＜1，∴－b＜2a，即2a＋b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故③正确；④当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故④正确．故选D.9．[解析]C∵a＜0，∴函数y有最大值．当x＝1时，函数y的最大值为a＋b＋c①.当m＞1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c②.由②－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＞0，∴(m＋1)a＋b＜0，故选项A，B不一定正确．当m＜1，x＝m时，函数y＝m2a＋mb＋c③.由③－①，得(m2－1)a＋(m－1)b＜0.又∵m－1＜0，∴(m＋1)a＋b＞0，故选项C正确，选项D错误．10．[解析]A由抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝1，可知a＜0，－b2a＝1，即b＝－2a＞0.由抛物线与y轴的交点在一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象上，知c＝1，则abc＜0，故结论①正确．由①知y＝ax2－2ax＋1.当x＝－1时，y＝a＋2a＋1＝3a＋1＜0，∴a ＜－13，故结论②正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)的图象上，∴a ＋b ＋1＝k ＋1，即a ＋b ＝k .又∵b ＝－2a ，∴a －2a ＝k ，即a ＝－k ，故结论③正确．由函数图象知，当0＜x ＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，∴ax 2＋bx ＋1＞kx ＋1，即ax 2＋bx ＞kx .又∵x ＞0，∴ax ＋b ＞k ，故结论④正确．综上所述，4个结论都正确．故选A.11．[答案]0[解析]方法一：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，由对称性可知，点P (4，0)和点(－2，0)关于直线x ＝1对称，因此点(－2，0)也在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴4a －2b ＋c ＝0.方法二：由题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1，16a ＋4b ＋c ＝0.从而求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a .把b ，c 的值代入4a －2b ＋c 中，得4a －2b ＋c ＝0.12．[答案]x 1＝－2，x 2＝1[解析]∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝1， 即方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.13．[解析]A ∵二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，∴Δ＝(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m ≤5.14．[解析]D 二次函数y ＝ax 2＋2ax －3的图象的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1.又∵x 1与x 2关于对称轴对称，∴1.3－(－1)＝－1－x 2，解得x 2＝－3.3.故选D.15．[解析]A 由图可知当－1≤x ≤9时，kx ＋n ≥ax 2＋bx ＋c .故选A. 16．[解析]A ∵抛物线的表达式为y ＝ax 2－x ＋2.观察图象可知，当a ＜0时，x ＝－1，y ≤2， 且－－12a≥－1时，满足条件，可得a ≤－1；当a ＞0时，x ＝2，y ≥1，且－－12a ≤2时满足条件，∴a ≥14.∵直线MN 的表达式为y ＝－13x ＋53，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ＋53，y ＝ax 2－x ＋2消去y ，得到3ax 2－2x ＋1＝0. ∵Δ＞0， ∴a ＜13，∴14≤a ＜13满足条件． 综上所述，满足条件的a 的值为a ≤－1或14≤a ＜13.17．[解析]D 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为y＝(x＋2)·(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)，当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有相等的实数解，解得m＝－6，所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.故选D.。
典中点二次函数专训5用二次函数解决问题的四种类型
典中点二次函数专训5 用二次函数解决问题的四种类型◐名师点金◑利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．类型：建立平面直角坐标系解决实际问题题型1：拱桥(隧道)问题1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．题型2：建筑物问题2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( )A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m题型3：物体运动类问题3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4 m，AC＝3 m，网球飞行最大高度OM＝5 m，圆柱形桶的直径为0.5 m，高为0.3 m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？类型2：建立二次函数模型解决最值问题题型1：利用二次函数解决图形高度的最值问题4．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________．题型2：利用二次函数解决图形面积的最值问题5．工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm,如的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)。
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典中点二次函数专训3 二次函数图像信息题的四种常见类型 ◐名师点金◑
利用图像信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图像信息转换为数学语言，掌握二次函数的图像和性质是解决此类问题的关键．
类型1： 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号
1．如图，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：
①abc ＜0； ②b 2－4ac 4a ＞0； ③ac －b ＋1＝0； ④OA ·OB ＝－c a
.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 类型2： 利用二次函数的图像比较大小
1．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图像上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是( )
A ．y 1≤y 2
B ．y 1＜y 2
C ．y 1≥y 2
D ．y 1＞y 2
类型3： 利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．x ＜－1
B ．x ＞3
C ．－1＜x ＜3
D ．x ＜－1或x ＞3
4．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax 2＋bx ＝0的根是____________．
类型4：根据抛物线的特征确定其他函数的图像
5．二次函数y＝ax2＋bx的图像如左下图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是( )
6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图像上．
(1)求m的值和二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．。