函数的极限重要极限无穷大与无穷小
函数与极限数列极限函数极限无穷大与无穷小的性质两个重要
1.函数与极限：数列极限、函数极限；无穷大与无穷小的性质；两个重要极限；函数的连续性与间断点；闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分：导数概念；函数的求导法则、二阶导数；函数的微分；洛比达法则；函数的单调性与极值。
3.不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念；第一换元积分法与第二换元积分法；分部积分法；微积分基本公式、牛顿-莱布尼茨公式；定积分性质与计算；反常积分的计算。
4.微分方程：微分方程的基本概念、变量分离方程、齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、常数变易法。
5.多元函数微分：多元函数的概念、二元函数的极限和连续性；偏导数的概念、偏导数计算；全微分概念、全微分的计算；多元函数的极值及其求法。
6.二重积分：二重积分的计算；重积分的应用。
7.无穷级数：常数项级数的概念和性质、收敛法则；幂级数的概念及收敛半径、收敛域；函数展开成幂级数的方法；掌握判别无穷级数、正项级数和交错级数的敛散性的方法；理解绝对收敛与条件收敛的关系。
无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限
第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。
无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。
若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。
且若函数是无穷大，则函数必无极限。
但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。
如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。
显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。
将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。
共有21种无穷大的定义。
例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。
❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。
高数期末必考知识点总结大一
高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。
期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。
本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。
一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。
2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。
3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。
4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。
2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。
4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。
2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。
3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。
五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。
2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。
综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。
在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。
两个重要极限、无穷小的比较
04
两个重要极限和无穷小的关
系
两个重要极限与无穷小的关系
两个重要极限是：lim x->0+ (1/x) = +∞ 和 lim x->∞ (1/x) = 0。这两个 极限描述了函数在x趋向于0和无穷大 时的情况，与无穷小密切相关。
两个重要极限、无穷 小的比较
• 两个重要极限的介绍 • 无穷小的比较 • 无穷小在极限中的应用 • 两个重要极限和无穷小的关系 • 总结与展望
目录
01
两个重要极限的介绍
第一个重要极限
总结词
该极限描述了函数(1+1/x)^x在x趋向于无穷大时的行为，其结果为自然常数e。
详细描述
当x趋向于正无穷大时，函数(1+1/x)^x趋向于e，约等于2.71828。这个极限在 数学、物理和工程等领域有广泛应用，是微积分学中的一个基本概念。
05
总结与展望
总结两个重要极限和无穷小的性质和应用
两个重要极限
1
无穷小的比较
2
应用场景
3
对未来研究和学习的展望
结合计算机科学进行数值 计算和模拟
探索无穷小在数学和物理 中的应用
深入研究极限理论
01
03 02
感谢观看
THANKS
无穷小量比较
通过两个重要极限，我们 可以比较不同无穷小量的 阶，从而更好地理解极限 的概念。
微分学
在微分学中，两个重要极 限用于定义导数和积分， 是研究函数行为的关键工 具。
02
无穷小的比较
等价无穷小
第3周：极限四则运算2、两个重要极限、无穷小阶的比较
(3
cos
x)
注7：利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷 小”这一性质求极限也是一种常用方法。
例：lim ( n
1 n2
2 n2
n 1 n2
n n2
)
注8：无穷多个无穷小相加，先求和，再求极限。
求极限的常用方法小结：
1.求初等函数在 x x0时的极限，如果把 x x0 代 入函数有意义，则函数值就是极限值。
(二) lim(1 1)x e
x
x
1.特点：⑴底数是数1 加 无穷小量;
⑵指数是底中无穷小的倒数。
公式推广：1.
f
lim
( x )
1
f
1 (x)
f
(
x)
e
1
f (x)
2. lim 1 f (x) e f ( x)0
(二) lim(1 1)x e
f (x)0 f (x)
f (x)
lim
1
f (x)0 sin f (x)
例：1.lim sin 2x
x0 x
例：2.lim tan 3x
x0 x
3.lim sin 5x x0 sin 3x
注：对含有三角函数的 0型极限，常用第一个重
要极限求解。
0
例：4.lim x3
sin(x 3) x2 7x 12
同理：sin 2x ~ 2x
sin x2 ~ x2
1.定理：设 ,1, , 1 是无穷小量，且 ~ 1,
~ 1 ，则有： (1) lim f (x) lim1 f (x),
a0 b0
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
第四次课 两个重要极限 无穷小与无穷大
思考题
若 f ( x ) 0 ， 且 lim
x
f (x) A，
问：能否保证有 A 0的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
例 f (x)
lim
1 x
x 0,
1 x A 0.
有 f (x)
1 x
0
x
f ( x ) lim
x
但 y ( x k ) 2 k sin 2 k 0 M .
不是无穷大．
例
证明 lim
1 x 1
x1
.
y 1 x 1
定义 : 如果 lim
x x0
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
性质：
x
x 0
1 2x
1.6 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
1.无穷小量定义
定义1。 若
定义2。 若
n
(极限为零的变量)
lim x n 0 , 则 称 { x n } 为 无 穷 小 量
lim f ( x ) 0 , 则 称 f ( x ) 在 x a 的 过 程 中 为 无 穷 小 量
(3)lim x
2
x 0
0 , 故 当 x 0时 , 3 x 2 是 比 x高 阶 的 无 穷 小 量 ,
2
x 2
x2
1, 故 当 x 2 时 , x 2 与 x 2 是 等 价 无 穷 小 .
即 x x 2, ( x 2 ).
性质(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
极限的计算两个重要极限
极限的计算两个重要极限初等函数的极限是微积分中的重要概念之一，它能够帮助我们研究函数在其中一点的趋势。
在微积分中，极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
可以说，极限是描述函数在无穷接近其中一特定点时的行为。
在本文中，我们将探讨两个重要的极限：无穷大极限和无穷小极限。
1.无穷大极限无穷大极限也称为“函数趋向于无穷”的极限。
当自变量趋近于一些特定值时，函数的取值趋向于正无穷或负无穷。
例如，考虑函数f(x)=x^2，当x趋近于正无穷时，f(x)也趋向于正无穷。
这意味着不论多大的正实数M，只要x足够大，都能找到一个正实数N，使得当x>N时，f(x)>M成立。
我们可以用数学符号表示无穷大极限：lim(x→∞) f(x) = ∞类似地，当x趋近于负无穷时，f(x)也趋向于负无穷，可以表示为：lim(x→-∞) f(x) = -∞2.无穷小极限无穷小极限也称为“函数趋向于零”的极限。
当自变量趋近于一些特定值时，函数的取值趋向于零。
例如，考虑函数f(x)=1/x，当x趋近于正无穷时，f(x)趋向于零。
这意味着无论多小的正实数ε，只要x足够大，都能找到一个正实数N，使得当x>N时，f(x)，<ε成立。
我们可以用数学符号表示无穷小极限：lim(x→∞) f(x) = 0类似地，当x趋近于负无穷时，f(x)也趋向于零，可以表示为：lim(x→-∞) f(x) = 03.极限的计算方法计算极限的方法有很多种，常见的有代入法、夹逼定理、洛必达法则等。
代入法是最简单直接的计算极限的方法，即直接将极限点的值代入函数中进行计算。
但有时函数在极限点处可能没有定义，此时代入法就不适用。
夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，该原理是利用一个已知的不等式夹住相同极限点的函数，以确定其极限值。
洛必达法则是一种用于解决极限问题的有力工具。
它可以用来解决函数极限的不定型问题，它的基本思想是将极限问题转化为导数问题，通过求导数来确定极限值。
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设
f (x)
2 x,
x2
2,
验证lim f ( x) 2.
x 0 y 2 xy
x0
2 y x2 2
x0
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
x从右侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
1
1
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
A 或 B 以及（3）中的某些情形：
考虑自变量 x 趋近于有限值x0 ，记这一变 化过程为x x0 .
仿照数列极限的定义，给出 x x0 时函数
的极限的定义.
1. 定义 :
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x,对应的函数值 f ( x)都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就叫函数
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f ( x) A . 则 lim f (x) A x x0
讨论单侧极限
函数的极限六种存在形式
lim f ( x) A; lim f ( x) A; lim f ( x) A.
x x0
x x0
x
x
0
lim f ( x) A; lim f ( x) A; lim f ( x) A;
x
x
x
即函数极限的两种主要形式如下
1.自变量趋于有限值时函数的极限
第四节 函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数极限的性质和计算 三、无穷小量与无穷大量 四、小结与思考判断题
一、函数极限的定义
本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给 出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过 程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数， 那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极 限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量 的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研 究两种情形：
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
结论：lim f ( x) A lim f (x) A且 lim f (x) A.
x
x
x
二、函数极限的性质
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
推论3 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
记作 右极限
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x0 ) A.
0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 ) A.
注意 :{x 0 x x0 }
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 表示x 及x ，
对正数 X ，| x | X 表示 x 及x X . 定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么
小）总存在着正数X ，使得对于适合不等式| x | X 的一切 x ，所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
结论：
lim
x x0
f (x)
A
f ( x0 )
f ( x0 )
A.
例1 验证 lim x 不存在. x0 x
y
证 lim x lim x
x x x0
x0
lim(1) 1 x0
1.局部有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x) 有极限 ,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x)存在, 则极限唯一.
3.局部保号性
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U 0( x0 ,)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
三、极限的运算法则
极限的四则运算法则
定理1 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1)lim[ f ( x) g( x)] A B; (2)lim[ f ( x) g( x)] A B; (3)lim f ( x) A ,其中B 0. g(x) B
x
x
lim lim lim 1 1
x x x0
x0
x0
1
o
x
1
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
注：分段函数分点处的极限， 要分 别求左极限和右极限.
小结 证明函数极限不存在的方法是:
(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；
(2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等。
| f ( x) A |
那么常数 A就叫函数 f ( x) 当x 时的极限，
记作
lim f ( x) A
x
另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .