八上培优5半角模型
半角模型结论及证明过程
半角模型结论及证明过程嘿，朋友！咱们今天来聊聊半角模型，这可有意思啦！你知道吗？半角模型就像是一个藏着宝藏的神秘盒子，一旦你打开它，就能发现里面奇妙的规律。
咱们先来说说半角模型的结论。
比如说一个正方形，有一个角度是正方形内角一半的角，那围绕这个半角产生的一些线段和图形之间，就有着特别的关系。
就像有个例子，正方形 ABCD 边长是 a，∠EAF = 45°，E 在 BC 边上，F 在 CD 边上。
这时候你会发现，EF = BE + DF 。
是不是很神奇？那怎么证明这个结论呢？咱们一步步来。
先把△ABE 绕着点 A 顺时针旋转 90°，让 AB 和 AD 重合，新的点记作 E' 。
这样一转，BE 就变成了 DE' 。
这时候你看，∠EAF = 45°，∠DAE' = 45°，那∠FAE' 不也是 45°吗？再看看△AEF 和△AE'F ，AE = AE' ，AF 是公共边，∠EAF =∠E'AF ，这不就全等了嘛！全等之后，EF 不就等于 E'F 了？而 E'F 正好就是 DE' + DF ，也就是 BE + DF 。
你说这像不像走迷宫，找到一条正确的路，一下子就通了？其实啊，半角模型在很多数学问题里都能派上大用场。
比如说解决一些几何图形的面积问题，或者是判断线段之间的关系。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的锁。
想想看，如果在考试里遇到这样的题目，你一下子就用半角模型把答案找出来了，那得多厉害，多有成就感啊！所以说，半角模型可是数学里的一个宝贝，咱们可得把它好好掌握，让它成为咱们解题的利器！朋友，你觉得半角模型有趣不？是不是也想多练练，把它用得炉火纯青？。
人教版八年级数学 全等三角形之手拉手模型和半角模型 专题讲义
八年级数学全等三角形之手拉手模型和半角模型专题讲义
一、什么叫半角模型
定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型（1）——正方形内含半角
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
三、基本模型（2）——等边三角形内含半角
四、基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角
手拉手模型。
半角模型(八年级人教版)
半角模型（八上人教版）知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。
学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．已知如图：1. 12=AOB 2∠∠ 2. OA OB =。
连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一 90度夹45度例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （2）∠AEB =∠AEF ．例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45∠=︒．EAF（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．例3. 如图，正方形ABCD中，1AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ∆的边长．∆，求APQ例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，AB AD=，90∠=∠=︒．B D①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD∠=∠，求证：EF BE DF=+；②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．例7. 已知在正方形ABCD中，45∠绕点A顺时针旋转．∠=︒，EAFEAF（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当EAF∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，求证：EF DF BE =−．（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90∠=︒，且EF交正AEF方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．题型二120度夹60度例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC∠=︒，M，N分BDC=，120别是AB，AC上的点，且60∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的∠=︒，当MDNMDN关系是否发生变化？请简述理由．例3. 如图，等边ABCMDN∠=︒，其∠=︒，现有60∆的边长为2，且DB DCBDC=，120两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．例4. 如图①，ABC∠=︒的等腰三角形，以D为BDC∆是顶角120∆是等边三角形，BDC顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形∠=︒，BD DCBDC=，探究：当M、N分别在直线MDNABC外一点，且60∠=︒，120AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN=时，BM、NC、MN之间的数量关系；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）题型三2α夹α例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且3BE =，4DF =，12EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．例5. 问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
八上培优半角模型
八上培优5 半角模型 方法：截长补短往往出现90。
套45°的情况，或者120°套60°的情况。
还有2 求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是：截长补短构造勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第 49页，新观察在第34页，新观察培优 也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。
这些题大同小异，只是图形 略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
4.如图 1.在四边形 ABCD 中. AB=AD / B+Z D=180，E 、F 分别是边 BC CD上的点，且/ BAD 二龙EAF全等三角形。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
截长法，补短法。
图形中, 套的情况。
求五边形ABCD 的面积.(1)求证：EF 二BE+DF(2)在(1)问中，若将△ AEF 绕点A 逆时针旋转，当点 E 、F 分别运动到BC顶点作一个60°的角，角的两边分别交 AB AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索 线段BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB=?AC, / BAC=90，?/?MAN=4°5 ,过点 C 作 NC?t AC 交AN 于点N,过点B 作BM 垂直AB 交AM 于点M,当/ MANS / BAC 内部时，求 证：BM+CN?=MN;G,使 BG 二CN 连接 AG 证^ABd A ACN(SAS)「AN 二AC /CD 延长线上时，如图 2所示，试探究EF 、BE DF 之间的数量关系.mi3.如图3, 在四边形 ABDC 中, Z B+Z C=180，DB=DC / BDC=120，以 D 为证明:延长MB 到点 FAE国2BAG二，/ NAC. !_•••/ GAM M GAB + / BAM=^ CAN+/ BAM=4°= L / MAN,<△ AMNm AMG(SAS),'二MN= MG= BM + BG= B十NC.证明二：（此证明方法见新观察培优第27页例3）⑵如图，在（1）的条件下，当AM和AN在AB两侧时，⑴的结论是否成立？请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二120 °套60 °2. 如图，△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120 ,E 为AB上一点，/ DCE=60 , / DAE二120°，求证:DE=BE 证明:（补短法）延长EB至点F,使BF=AD连接CF，则△ CBF^A CAD △CED^A CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图,△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120，点E为AB上一点，/ DCE MDAE=60 °，求证:AD+DE= BE.证明：（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF,易证△ CBF^A CAD△ CE医ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27 页例4如图，△ ABC是边长为1的等边三角形，△ BDC是顶角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB AC于M N,连结MN,试求△ AMN的周长.分析:由于/ MDN=60 , / BDC=120，所以/ BDMf Z CDN=60，注意至J DB=DC考虑运用“旋转法”将/ BDM RnZ CDN移到一起，寻找全等三角形。
初二上学期全等三角形专题之半角模型教案(有答案)
半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。
（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。
2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。
八年级数学全等三角形“半角”模型
八年级数学全等三角形“半角”模型一、什么叫半角模型定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。
2、解题思路① 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；② 证明与半角形成的三角形全等；③ 通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
例题1图证明：将△ADF 绕点 A 顺时针旋转90° ，使点 D 与点 B ，点 F 与点 G 重合（△ADF ≌ △ABG），如下图所示：例题1旋转图在△AGE 和△AFE 中∵ AG = AF , ∠GAE = ∠EAF = 45° ， AE = AE∴ △AGE ≌ △AFE ∴ GE = EF∵ GE = GB + BE = DF + BE∴ EF= BE + DF2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120° ，∠EDF = 60° ，DE ，DF 分别交 AB ，AC 于点 E , F 。
求证： EF = BE + CF例题2图证明：将△BDE 绕点 D 旋转至△CDG ，使△BDE ≌ △CDG（注：题目中已知条件 DB = DC 且∠BDC = 120°，易证∠EBD = ∠GCD = 90°，F、C、G 三点共线）例题2旋转图在△EDF 和△GDF 中∵ ED = GD , ∠EDF = ∠GDF = 60° ， DF = DF∴ △EDF ≌ △GDF ∴ EF = GF∵ GF = GC + CF = BE + CF∴ EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点 D ,E 在 BC 上，且满足∠DAE = 45° 。
半角模型经典例题
半角模型经典例题摘要：一、半角模型的概念与性质1.半角模型的定义2.半角模型的性质二、半角模型的求解方法1.解析法2.数值法3.符号法三、半角模型的经典例题解析1.例题一2.例题二3.例题三四、半角模型在实际问题中的应用1.应用场景一2.应用场景二3.应用场景三正文：半角模型是一种在数学、物理等领域中广泛应用的模型，它具有重要的理论意义和实际价值。
本文将首先介绍半角模型的概念与性质，然后探讨半角模型的求解方法，接着通过解析经典例题来加深对半角模型的理解，最后讨论半角模型在实际问题中的应用。
一、半角模型的概念与性质半角模型是一个数学模型，其基本思想是将一个实际问题简化为一个具有特定性质的数学问题。
半角模型的定义如下：（定义）设函数f(x) 满足以下条件：1.f(x) 在区间[0,π/2] 上连续；2.f(0)=f(π/2)=0.3.0<f(x)<f(π/2) for 0<x<π/2.则称f(x) 为半角模型。
半角模型具有以下性质：（性质1）半角模型的图像关于y 轴对称；（性质2）半角模型的导数在x=0 和x=π/2 处不存在；（性质3）半角模型的二阶导数在x=0 处为正，在x=π/2 处为负。
二、半角模型的求解方法半角模型的求解方法有多种，下面介绍三种常用的方法：解析法、数值法、符号法。
1.解析法：通过求导、积分等数学方法，对半角模型的解析式进行求解。
2.数值法：利用数值分析的方法，如牛顿法、梯度下降法等，对半角模型的数值进行求解。
3.符号法：通过计算机符号计算工具，如Mathematica、Maple 等，对半角模型的符号表达式进行求解。
三、半角模型的经典例题解析以下是三个半角模型的经典例题：1.例题一：求半角模型f(x)=x^2 的解析式。
解析：根据半角模型的定义，可知f(x)=x^2 满足半角模型的性质。
因此，f(x)=x^2 是一个半角模型。
2.例题二：求半角模型f(x)=sin(x) 在区间[0,π/2] 上的数值解。
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八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。
还有2α套α的情况。
求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是：截长补短构造全等三角形。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
截长法，补短法。
勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。
这些题大同小异，只是图形略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;NNGBAN证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠ BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.F解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二 120°套 60°2. 如图，△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°， 求证:DE=BECF证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.CBAECBAE F证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如 图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.A BDP分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。
另一方面,△AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页例5 如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分∠ACB.(1)求A点坐标;(2)如图1, AQ在∠CAB内部，P是AQ上一点，满足∠ACB=∠AQB, AP=BQ. 试判断△CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2. BD⊥BC交y轴负半轴于D. ∠BDO=60°, F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足∠CFD+∠E=180°. 当F在AC上移动时，结论: ①CE+CF值不变; ②CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.x分析:(1)由∠A0C≌△BOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA ⊥AC, 连结DA, 加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF≅△BDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2α°套α°1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连接OD，求∠AOD的度数；（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．解：（1）如图所示，作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）如图所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA（AAS），∴EC=DF=4，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF，∴AM-MF=AM-MN=AN，∴AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0 （1）求A、B两点坐标；（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P 点坐标；（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．（1）解：∵（a-b）2+|b-4|=0，∴a-b=0，b-4=0，∴a=4，b=4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）FG2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）求证：∠PAC=∠PBC；（2）作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，求S△PCE：S△PBE；（3）若M 、N 分别是边AC 、BC 上的点，且∠MPN=12∠APB ，则线段AM 、MN 、BN 之间有何数量关系，并说明理由．解：（1）如图1，过点P 作PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，∵PC 平分∠DCB ， ∴PE=PF ，在Rt △PAF 和Rt △PEB 中， PF ＝PE PA ＝PB ，∴Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴∠PAC=∠PBC ，（2）如图2，过点P 作PF ⊥AC 于F ，∵PE ⊥BC ，CP 是∠BCD 的平分线， ∴PE=PF ，∠PCF=∠PCE ， ∵PC=PC ，∴△PCF ≌△PCE ， ∴CF=CE ，由（1）知，Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴AF=BE ，∵AF=AC+CF ，BE=BC-CE ，∴AC+CF=BC-CE ，∴5+CF=11-CE ， ∴CE=CF=3，∵△PFC ≌△PEC ， ∴S △PFC =S △PEC ，∵Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴S△PAF =S △PEB ，∴S △PCE ：S △PBE =S △PFC ：S △PFA =12CF ×PF ：12AC ×PF =CF ：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如图3，在BC 上截取BQ=AM ， 在△PMA 和△PQB 中，PA PB PAM PBQ MA BQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△PMA ≌△PQB ， ∴PM=PQ ，∠MPA=QPB ，∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB ， 即：∠APB=∠MPQ ，∵∠MPN=12∠APB ， ∴∠MPN=12∠MPQ ，∴∠MPN=∠QPN ，在△MPN 和△QPC 中，PN PN MPN QPN MP QP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MPN ≌△QPC ， ∴MN=QN ，∴BN=AM+MN ．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF ，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ ，是一道中等难度的中考常考题．∴∠FAK=∠FKA ，∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF，∵∠BFD=60°，∴∠AKF＝12∠BFD＝30°，∵△GBA≌△EAC，∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，∴KG=BG-BK=AE-AF=FE，在△GAK与△EFC中，AG＝CE∠AGB＝∠AECKG＝FE，∴△GAK≌△EFC，∴∠CFE=∠AKF，∴∠CFE=∠AKF=30°；方法二：只要证明△ADB≌△BFC即可解决问题；（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，∵∠BFE=∠BAC，∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，∴∠EAC=∠FBA，在△ABK与△ACF中，AB＝AC∠ABK＝∠FACBK＝AF，∴△ABK≌△AFC，∴S△ABK=S△ACF，∠AKB=∠AFC，∵∠BFE=2∠CFE，∴∠BFE=2∠AKF，∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，∴∠AKF=∠KAF，∴△FAK是等腰三角形，∴AF=FK，∴BK=AF=FK，∴S△ABK=S△AFK，∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF，∴ABFACFSSVV=2故答案为：2．。