半角模型专题--优选专练.doc
半角模型之模型精练(解析版)--中考数学专题训练
半角模型之模型精练半角模型之正方形1如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF 交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE=5，CN=8，则线段AN的长为434 ．试题分析：连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB=AD，BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF =90°，可证得△ABE≌△ADF(SAS)，可得∠BAE=∠DAF，AE=AF，从而可得∠EAF=90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM(SAS)，△EMN≌△FMN(SAS)，可得EN=FN，设DN=x，则EN=FN=x+5，CE=x+3，由勾股定理解得x=12，可得DN=12，AD=BC=20，由勾股定理即可求解．答案详解：解：如图，连接AE，AF，EN，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠EAF=90°，∴△EAF为等腰直角三角形，∵AN⊥EF，∴EM=FM，∠EAM=∠FAM=45°，∴△AEM≌△AFM(SAS)，△EMN≌△FMN(SAS)，∴EN=FN，设DN=x，∵BE=DF=5，CN=8，∴CD=CN+DN=x+8，∴EN=FN=DN+DF=x+5，CE=BC-BE=CD-BE=x+8-5=x+3，在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2=EN2，即82+(x +3)2=(x +5)2，解得：x =12，∴DN =12，AD =BC =BE +CE =5+x +3=20，∴AN =AD 2+DN 2=202+122=434，解法二：可以用相似去做，△ADN 与△FCE 相似，设正方形边长为x ，DN EC =AD CF，即x -8x -5=x x +5，∴x =20．在△ADN 中，利用勾股定理可求得AN =434．所以答案是：434．2已知正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC (或它们的延长线)于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：AB =AH ；；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN =45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH =2，AH =6，求NH 的长．(可利用(2)得到的结论)试题分析：(1)由BM =DN 可得Rt △ABM ≌Rt △ADN ，从而可证∠BAM =∠MAH =22.5，Rt △ABM ≌Rt △AHM ，即可得AB =AH ；(2)延长CB 至E ，使BE =DN ，由Rt △AEB ≌Rt △AND 得AE =AN ，∠EAB =∠NAD ，从而可证△AEM ≌△ANM ，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB =AH ；(3)分别沿AM ，AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，可证四边形ABCD 是正方形，设NH =x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理列方程即可得答案．答案详解：解：(1)∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠B =∠D =∠BAD =90°，在Rt △ABM 和Rt △ADN 中，AB =AD ∠B =∠D BM =DN，∴Rt △ABM ≌Rt △ADN (SAS )，∴∠BAM =∠DAN ，AM =AN ，∵∠MAN =45°，∴∠BAM +∠DAN =45°，∴∠BAM =∠DAN =22.5°，∵∠MAN =45°，AM =AN ，AH ⊥MN∴∠MAH =∠NAH =22.5°，∴∠BAM =∠MAH ，在Rt △ABM 和Rt △AHM 中，∠BAM =∠MAH ∠B =∠AHM AM =AM，∴Rt △ABM ≌Rt △AHM (AAS )，∴AB =AH ，所以答案是：AB =AH ；(2)AB =AH 成立，理由如下：延长CB 至E ，使BE =DN ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠D =∠ABE =90°，∴Rt △AEB ≌Rt △AND (SAS )，∴AE =AN ，∠EAB =∠NAD ，∵∠DAN +∠BAM =45°，∴∠EAB +∠BAM =45°，∴∠EAM =45°，∴∠EAM =∠NAM =45°，又AM =AM ，∴△AEM ≌△ANM (SAS )，∵AB ，AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB =AH ．(3)分别沿AM ，AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB=AH=AD=6，∠BAD=2∠MAN=90°，∠B=∠AHM=90°=∠AHN=∠D，∴四边形ABCD是正方形，∴AH=AB=BC=CD=AD=6．由(2)可知，设NH=x，则MC=BC-BM=BC-HM=4，NC=CD-DN=CD-NH=6-x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2，∴(2+x)2=42+(6-x)2，解得x=3，∴NH=3．3已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N．(1)如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．试题分析：(1)在MB的延长线上截取BE=DN，连接AE，根据正方形性质得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，证△ABE≌△ADN推出AE=AN；∠EAB=∠NAD，求出∠EAM =∠MAN，根据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME=MN即可；(2)在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．答案详解：解：(1)图1中的结论仍然成立，即BM+DN=MN，理由为：如图2，在MB 的延长线上截取BE =DN ，连接AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∠D =∠DAB =∠ABC =∠ABE =90°，∵在△ABE 和△ADN 中，AD =AB∠D =∠ABE DN =BE，∴△ABE ≌△ADN (SAS )．∴AE =AN ；∠EAB =∠NAD ，∵∠DAB =90°，∠MAN =45°，∴∠DAN +∠BAM =45°，∴∠EAM =∠BAM +∠EAB =45°=∠MAN ，∵在△AEM 和△ANM 中，AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AEM ≌△ANM (SAS )，∴ME =MN ，∴MN =ME =BE +BM =DN +BM ，即DN +BM =MN；(2)猜想：线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系为：DN -BM =MN ．证明：如图3，在DN 上截取DE =MB ，连接AE ，∵由(1)知：AD =AB ，∠D =∠ABM =90°，BM =DE ，∴△ABM ≌△ADE (SAS )．∴AM =AE ；∠MAB =∠EAD ，∵∠MAN =45°=∠MAB +∠BAN ，∴∠DAE +∠BAN =45°，∴∠EAN =90°-45°=45°=∠MAN ，∵在△AMN 和△AEN 中AM =AE∠MAN =∠EAN AN =AN，∴△AMN ≌△AEN (SAS )，∴MN =EN ，∵DN -DE =EN ，∴DN-BM=MN．4(1)问题情境：如图，正方形ABCD中，AB=6，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，延长EF，射线EF与射线CD交于点G，连接AG．①当点E在线段BC上时，求证：DG=FG；②当CE=3时，则CG的长为4或7.2．(2)思维深化：在△ABC中，∠BAC=45°，AD为BC边上的高，且BD=2+1，CD=2-1，请直接写出AD的长．试题分析：(1)①由折叠得AF=AB，∠B=∠AFE=90°，再由HL定理证明Rt△ADG≌Rt△AFG，根据全等三角形的性质即可得到结论；②设CG=x，分两种情况画图并根据勾股定理列方程可解答；(2)由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长即可．答案详解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，∠B=∠D=90°，由折叠得：∠AFE=∠B=90°，AF=AB，∴AD=AF，∠AFG=∠D=90°，在Rt△ADG和Rt△AFG中，AD=AF AG=AG，∴Rt△ADG≌Rt△AFG(HL)，∴DG=FG；②解：分两种情况：如图1，点E在边BC上时，设CG=x，则DG=FG=6-x，∵CB=6，CE=3，∴EG=EF+FG=3+6-x=9-x，在Rt△CEG中，由勾股定理得：CE2+CG2=EG2，∴32+x2=(9-x)2，∴x=4，∴CG=4；如图2，点E在边BC的延长线上时，设CG=x，则DG=FG=x-6，∵CB=6，CE=3，∴EF=BE=3+6=9，∴EG=EF-FG=9-(x-6)=15-x，在Rt△CEG中，由勾股定理得：CE2+CG2=EG2，∴32+x2=(15-x)2，∴x=7.2，∴CG=7.2；综上所述，CG的长是4或7.2；所以答案是：4或7.2；(2)解：如图3，将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合，可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，∠E=∠G=90°，AE=AG=AD，BD=EB=2+1，DC =CG=2-1，∵∠BAC=45°，∴∠EAG=∠E=∠G=90°，∴四边形AEFG为正方形，设正方形的边长为x，则BF=x-(2+1)=x-2-1，CF=x-(2-1)=x-2+1，在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BF2+CF2=BC2，即(x-2-1)2+(x-2+1)2=(2+1+2-1)2，解得：x=2+3或x=2-3(舍去)，∴AD=2+3．半角模型之等腰(直角)三角形5如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N是斜边AB上的两点，且∠MCN=45°，AM=3，BN=5，则MN= 34 ．试题分析：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM．则△CRA≌△CNB，△RAM是直角三角形，根据勾股定理即可求解．答案详解：解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR，连接RM则△CRA≌△CNB全等，△RAM是直角三角形∴AR=BN=5，∴MN=RM=32+52=34所以答案是：346如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：(1)线段BM、MN、NC之间的数量关系．(2)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的数量关系，在图中画出图形．并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明．试题分析：延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC；(2)MN=NC-BM．仿(1)的思路运用截长法证明．答案详解：解：(1)MN=BM+NC．理由如下：延长AC至E，使得CE=BM，连接DE，如图所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°．∴△MBD≌△ECD(SAS)，∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∵∠MDN=∠NDE=60°．∴△DMN≌△DEN(SAS)，∴MN=EN．又NE=NC+CE，BM=CE，∴MN=BM+NC；(2)MN=NC-BM．证明：在CA上截取CE=BM．由(1)知：∠DCE=∠DBM=90°，DC=DB．又CE=BM，∴△DCE≌△DBM(SAS)∴∠CDE=∠BDM，DM=DE．∴∠MDN=∠EDN=60°．∴△MDN≌△EDN(SAS)∴NM=NE．∵NE=NC-CE，CE=BM，∴MN=NC-BM．7如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=4，AB=AC，∠CBD=30°，M，N 分别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为23+2 ．试题分析：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长=BD+DC，代入求出答案即可．答案详解：解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，∵∠BAC=∠D=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°，∴∠ABD+∠ABE=180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC-∠MAN=90°-45°=45°，∴∠EAM=∠MAN，在△AEM 和△ANM 中，AE =AN ∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AEM ≌△ANM (SAS )，∴MN =ME ，∴MN =CN +BM ，∵在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠CBD =30°，BC =4，∴CD =12BC =2，BD =BC 2-CD 2=42-22=23，∴△DMN 的周长为DM +DN +MN =DM +DN +BM +CN =BD +DC =23+2，所以答案是：23+2．8某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．(1)小敏在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请你证明小敏发现的结论；(2)当0°<α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD 、CE 、DE 之间存在如下等量关系：BD 2+CE 2=DE 2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，连接EF (如图2)；小亮的想法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，连接EG (如图3)；请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°<α<180°时(如图4)，等量关系BD 2+CE 2=DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．试题分析：(1)如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD +∠MAE =∠DAM +∠EAC =45°，所以∠MAE =∠EAC ，即AE 平分∠MAC ；(2)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS 得到△AEF ≌△AEC ，在Rt △DFE 中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，根据旋转的性质用SAS 得到△ACE ≌△ACG ，从而在Rt △CEG 中应用勾股定理而证明．(3)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS 得到△AEF ≌△AEC ，在Rt △DFE 中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，根据旋转的性质用SAS 得到△ACE ≌△ACG ，从而在Rt △CEG 中应用勾股定理而证明．当135°<α<180°时，等量关系BD 2+CE 2=DE 2仍然成立．可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可．答案详解：解：(1)∵∠BAC =90°，∠DAE =∠DAM +∠MAE =45°，∴∠BAD +∠EAC =45°．又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD=∠DAM．∴∠MAE=∠EAC．∴AE平分∠MAC．(2)证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF=AB，BD=DF，∠AFD=∠B=45°，∠BAD=∠FAD．又∵AC=AB，∴AF=AC，在△AEF和△AEC中，∵AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE，∴△AEF≌△AEC(SAS)．∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DEF中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．证明小亮的方法：由旋转知，△ABD≌△ACG，∴BD=CG，AD=AG，∠ABC=∠ACG，∠BAD=∠CAG，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=45°=∠DAE，∵AE=AE，∴△DAE≌△GAE(SAS)，∴DE=EG，在Rt△BAC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理得，EG2=CE2+CG2，∴BD2+CE2=DE2．(3)当135°<α<180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：如图，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF．∴BD=DF，AF=AB，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠BAD=∠FAD．又∵AC=AB，∴AF=AC，又∵∠CAE=90°-∠BAE=900-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE，在△AEF和△AEC中，∵AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE，∴△AEF≌△AEC(SAS)．∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DEF中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．9已知如图1，△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D、F在BC上，∠DAF=45°．(1)探究∠AFB与∠BAD之间的数量关系并证明；(2)探究BD、DF、CF之间的数量关系并证明；(3)如图2，AF⊥DG，若BF=kFC，求FDAG的值．试题分析：(1)由等腰三角形的性质可得∠C=∠B=45°，由外角的性质可得∠AFB=∠C+∠CAF，可求解；(2)由“SAS”可证△ADF≌△AHF，可得DF=HF，由勾股定理可得结论；(3)通过证明△ABF∽△DCA，可得ACBF=CDAB=ADAF，通过证明△ADG∽△FAD，可得DFAG=AD DG=AFAD，可得结论．答案详解：解：(1)∠AFB+∠BAD=90°，理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=∠B=45°，∵∠DAF=45°，∴∠BAD+∠CAF=45°，∴∠CAF=45°-∠BAD，∵∠AFB=∠C+∠CAF，∴∠AFB=45°+45°-∠BAD，∴∠AFB+∠BAD=90°；(2)DF2=CF2+BD2，理由如下：如图，将△ADB绕点A逆时针旋转90°，得到△AHC，连接HF，∴△ADB≌△AHC，∴∠DAB=∠CAH，AH=AD，DB=CH，∠B=∠ACH=45°，∴∠HCF=90°，∠HAF=∠HAC+∠CAF=∠DAB+∠CAF=45°，∴∠HAF=∠DAF=45°，又∵AH=AD，AF=AF，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴DF=HF，∵HF2=CH2+CF2，∴DF2=CF2+BD2；(3)设CF=a，则BF=kCF=ka，∴BC=a+ka，∴AC=AB=22(a+ka)，∵∠AFB+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BFA，又∵∠B=∠C=45°，∴△ABF∽△DCA，∴AC BF=CDAB=ADAF，∵AF⊥GD，∠DAF=45°，∴∠DAF=∠ADG=45°，又∵∠DAC=∠BFA，∴△ADG∽△FAD，∴DF AG=ADDG=AFAD，∴DF AG=BFAC=ka22(k+1)a=2kk+1．10如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点(不与点C，点D重合)，将正方形纸片折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM 于点K．下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH= 45°，其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4试题分析：根据翻折不变性可知：MA=ME，即可判断①正确；过点G作GN⊥AD于N．设AE交GM于O，证明△GNM≌△ADE(ASA)，可以判断②正确；根据翻折的性质证明∠AEF=∠AED，可以判断③正确；根据△ABH与△ADE不全等，可得AH≠AE，进而可以判断④错误；过点A作AQ⊥EF于点Q，证明△ADE≌△AEQ(AAS)，可得∠EAD=∠EAQ，AD=AQ，再证明Rt△AHB≌Rt△AHQ(HL)，得∠HAB=∠HAQ，进而可以判断⑤正确．答案详解：解：根据翻折不变性可知：MA=ME，∴△AME是等腰三角形，故①正确；如图1，过点G作GN⊥AD于N．设AE交GM于O．∵∠BAN=∠ANG=∠B=90°，∴四边形ABGN是矩形，∴NG=AB=AD，由折叠可知：MG⊥AE，∴∠GOT=90°，∵∠NGM=90°-∠GTO=90°-∠ATN=∠DAE，∴∠NGM=∠DAE，∵∠GNM=∠D=90°，∴△GNM≌△ADE(ASA)，∴MG=AE，故②正确；∵MA=ME，∴∠MEA=∠MAE，由折叠可知：∠FEM=∠BAM=90°，∴∠AEF=90°-∠MEA，∵∠AED=90°-∠MAE，∴∠AEF=∠AED，∴AE平分∠DEF，故③正确；∵△GNM≌△ADE，∴MN=DE，∵△ABH与△ADE不全等，∴AH≠AE，故④错误；如图2，过点A作AQ⊥EF于点Q，∵AE平分∠DEF，∴∠AED=∠AEQ，又∵∠D=∠AQE=90°，AE=AE，∴△ADE≌△AEQ(AAS)，∴∠EAD=∠EAQ，AD=AQ，∵AD=AB，∴AB=AQ，∵AH=AH，∴Rt△AHB≌Rt△AHQ(HL)，∴∠HAB=∠HAQ，∴∠HAE=∠HAQ+∠EAQ=12(BAQ+∠DAQ)=45°，故⑤正确．综上所述：结论正确的有：①②③⑤，共4个．所以选：D．三、半角模型之等补四边形11【初步探索】(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE +FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠FAD=∠EAF；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF= BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．试题分析：(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．答案详解：解：(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．所以答案是：∠BAE+∠FAD=∠EAF；(2)仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；(3)∠EAF=180°-12∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF =BE +FD =DG +FD =GF ，AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF (SSS )，∴∠FAE =∠FAG ，∵∠FAE +∠FAG +∠GAE =360°，∴2∠FAE +(∠GAB +∠BAE )=360°，∴2∠FAE +(∠GAB +∠DAG )=360°，即2∠FAE +∠DAB =360°，∴∠EAF =180°-12∠DAB ．12问题背景：(1)如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF =60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是EF =BE +DF ．探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．试题分析：(1)延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE =AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF =FG ，即可解题；(2)延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE =AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF =FG ，即可解题．答案详解：证明：(1)在△ABE 和△ADG 中，DG =BE ∠B =∠ADG AB =AD，∴△ABE ≌△ADG (SAS )，∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =∠EAF ，∴∠EAF =∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE =AG ∠EAF =∠GAF AF =AF，∴△AEF ≌△AGF (SAS )，∴EF =FG ，∵FG =DG +DF =BE +DF ，∴EF =BE +DF ；所以答案是EF =BE +DF ．(2)结论EF =BE +DF 仍然成立；理由：如图2，延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG，在△ABE 和△ADG 中，DG =BE ∠B =∠ADG AB =AD，∴△ABE ≌△ADG (SAS )，∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =∠EAF ，∴∠EAF =∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE =AG ∠EAF =∠GAF AF =AF，∴△AEF ≌△AGF (SAS )，∴EF =FG ，∵FG =DG +DF =BE +DF ，∴EF =BE +DF ；13(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ；(2)如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．试题分析：(1)可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件(SAS)，那么就能得出EF=GE了．(2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与(1)的结果完全一样．(3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据(1)的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG =BE-DF．所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的．答案详解：证明：(1)延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE-BG∴EF=BE-FD．14如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN= 45°，AM、AN分别与对角线BD交于点E、F，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN=BM+DN；②BE2+DF2=EF2；③BC2=BF•DE；④OM=2OF，一定成立的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④试题分析：由旋转的性质可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM =∠ADM'=90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得DEAB=ADBF，可证BC2=DE•DF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可证MO=2EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解．答案详解：解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，∴∠ADM'+∠ADC=180°，∴点M'在直线CD上，∵∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，∴∠M′AN=∠MAN=45°，又∵AN=AN，AM=AM'，∴△AMN≌△AM′N(SAS)，∴MN=NM′，∴M′N=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；故①正确；∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，∴∠D'BE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，∴∠D'AE=∠EAF=45°，又∵AE=AE，AF=AD'，∴△AEF≌△AED'(SAS)，∴EF=D'E，∵D'E2=BE2+D'B2，∴BE2+DF2=EF2；故②正确；∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，∴∠BAF=∠AEF，又∵∠ABF=∠ADE=45°，∴△DAE∽△BFA，∴DE AB=AD BF，又∵AB=AD=BC，∴BC2=DE•DF，故③正确；∵∠FBM=∠FAM=45°，∴点A，点B，点M，点F四点共圆，∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，∴∠EOM=45°=∠EMO，∴EO=EM，∴MO=2EO，∵∠BAM≠∠DAN，∴∠BFM≠∠DEN，∴EO≠FO，∴OM≠2FO，故④错误，所以选：A．15如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，与对角线BD分别交于点G，H，连接EH．若∠EAF=45°，则下列判断错误的是()A.BE+DF=EFB.BG2+HD2=GH2C.E，F分别为边BC，CD的中点D.AH⊥EH试题分析：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，此时AB与AD重合，由旋转的性质可得AB=AD，BM=DF，∠DAF=∠BAM，∠ABM=∠D=90°，AM=AF，由“SAS”可证△AME≌△AFE，可得EF=ME，则EF=BE+DF，所以选项A不合题意；将△ADH绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，此时AB与AD重合，可得AN=AH，∠BAN=∠DAH，∠ADH=∠ABN=45°，DH=BN，由“SAS”可证△ANG≌△AHG，可得GH=NG，由勾股定理可得DH2+BG2=GH2，故B选项不合题意；由∠EAF=∠DBC=45°，可证点A，点B，点E，点H四点共圆，可证AH⊥HE，故D选项不合题意，利用排除法可求解．答案详解：解：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB =AD ，BM =DF ，∠DAF =∠BAM ，∠ABM =∠D =90°，AM =AF ，∴∠ABM +∠ABE =90°+90°=180°，∴点M ，B ，E 在同一条直线上．∵∠EAF =45°，∴∠DAF +∠BAE =∠BAD -∠EAE =90°-45°=45°．∵∠BAE =∠DAF ，∴∠BAM +∠BAE =45°．即∠MAE =∠FAE ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF ∠MAE =∠FAE AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )，∴ME =EF ，∴EF =BE +DF ，故A 选项不合题意，如图2，将△ADH 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABN ，此时AB 与AD重合，∴△ADH ≌△ABN ，∴AN =AH ，∠BAN =∠DAH ，∠ADH =∠ABN =45°，DH =BN ，∴∠NBG =90°，∴BN 2+BG 2=NG 2，∵∠EAF =45°，∴∠DAF +∠BAE =45°，∴∠BAN +∠BAE =45°=∠NAE ，∴∠NAE =∠EAF ，又∵AN=AH，AG=AG，∴△ANG≌△AHG(SAS)，∴GH=NG，∴BN2+BG2=NG2=GH2，∴DH2+BG2=GH2，故B选项不合题意；∵∠EAF=∠DBC=45°，∴点A，点B，点E，点H四点共圆，∴∠AHE=∠ABE=90°，∴AH⊥HE，故D选项不合题意，所以选：C．16定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，若∠A+∠C= 180°或∠B+∠D=180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．概念理解．(1)如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C=3：2：1，则∠D的度数为90°；②若∠B=90°，且AB=3，AD=2，则CD2-CB2=5．拓展延伸．(2)如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB=CB，且∠EBF=12∠ABC时，试猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并证明．试题分析：(1)①设∠C=n°，则∠A=3n°，∠B=2n°，由四边形ABCD是“对补四边形”得3n+n= 180，则n=45，即可求得∠B=2n°=90°，则∠D=180°-∠B=90°；②由∠B=90°，得∠D=90°，根据勾股定理得CD2=AC2-AD2，CB2=AC2-AB2，则CD2-CB2=AB2 -AD2=32-22=5．(2)延长DF到点G，使AE=CG，根据“同角的补角相等”证明∠A=∠BCG，即可证明△ABE≌△CBG，得BE=BG，∠ABE=∠CBG，则∠EBF=∠GBF=12∠ABC，即可证明△EBF≌△GBF，得EF=GF，则AE+CF=CG+CF=GF=EF．答案详解：解：(1)①设∠C=n°，∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∴∠A=3n°，∠B=2n°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，∴3n+n=180，解得n=45，∴∠B=2n°=90°，∴∠D=180°-∠B=90°，所以答案是：90°．②如图1，连接AC，∵∠B=90°，∴∠D=90°，∴CD2=AC2-AD2，CB2=AC2-AB2，∴CD2-CB2=AC2-AD2-(AC2-AB2)=AB2-AD2，∵AB=3，AD=2，∴CD2-CB2=32-22=5，所以答案是：5．(2)AE+CF=BF，证明：如图2，延长DF到点G，使AE=CG，则∠BCG+∠BCD=180°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCG，∵AB=CB，∴△ABE≌△CBG(SAS)，∴BE=BG，∠ABE=∠CBG，∵∠EBF=12∠ABC，∴∠GBF=∠CBF+∠CBG=∠CBF+∠ABE=12∠ABC，∴∠EBF=∠GBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△GBF(SAS)，∴EF=GF，∵AE+CF=CG+CF=GF，∴AE+CF=EF．17定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】(1)如图(1)，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C=3：2：1，则∠D的度数是90°；②若∠B=90°，且AB=22，AD=2，则CD2-CB2=4．【拓展延伸】(2)如图(2)，四边形ABCD是“对补四边形”，当AB=CB，且∠EBF=12∠ABC时，猜测AE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．【类比运用】(3)如图(3)，如图(4)，在四边形ABCD中，AB=CB，BD平分∠ADC．①如图(3)，求证：四边形ABCD是“对补四边形”；②如图(4)，设AD=a，DC=b，连接AC，当∠ABC=90°，且S△ACDS△ABC=45时，求ab的值．试题分析：(1)①利用“对补四边形”的定义列式解答即可；②利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可；(2)延长EA至点K，使AK=CF，连接BK，利用全等三角形的判定与性质解答即可；(3)①过点B作BM⊥AD，垂足为M，BN⊥DC，垂足为N，利用全等三角形的判定与性质和“对补四边形”的定义解答即可；②利用“对补四边形”的定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．答案详解：(1)解：①∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°．∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∴设∠A=3x°，则∠B=2x°，∠C=x°，∴3x+x=180，∴x=45°．∴∠B=90°，∴∠D=180°-90°=90°，所以答案是：90°；②在“对补四边形”ABCD中，连接AC，如图，∵∠B=90°，∠B+∠D=180°，则∠D=90°，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2，BC2=AC2-AB2∴CD2-BC2=AC2-AD2-(AC2-AB2)=AB2-AD2=8-4=4，所以答案是：4；(2)解：AE，CF，EF之间的数量关系为：AE+CF=EF，理由：延长EA 至点K ，使AK =CF ，连接BK ，如图，∵四边形ABCD 是“对补四边形”，∴∠BAD +∠C =180°，又∵∠BAK +∠BAD =180°，∴∠BAK =∠BCD ，在△ABK 和△CBF 中，AB =CB∠BAK =∠BCF AK =CF，∴△ABK ≌△CBF (SAS )，∴∠ABK =∠CBF ，BK =BF ．∴∠KBF =∠ABC ．∵∠EBF =12∠ABC ，∴∠EBF =12∠KBF ，∴∠EBK =∠EBF ，在△BEK 和△BEF 中，BK =BF∠EBK =∠EBF BE =BE，∴△BEK ≌△BEF (SAS )，∴EK =EF ．∴AE +CF =AE +AK =EK =EF ；(3)①证明：过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，BN ⊥DC ，垂足为N ，如图，则∠BMA =∠BNC =90°，∵BD 平分∠ADC ，∴BM =BN ，在Rt △ABM 和Rt △CBN 中，AB =CBBM =BN ，∴Rt △ABM ≌Rt △CBN (HL )，∴∠BAM =∠C ，∵∠BAM +∠BAD =180°，∴∠C +∠BAD =180°，即∠BAD 与∠C 互补，∴四边形ABCD 是“对补四边形”；②解：由①知四边形ABCD 是“对补四边形”，∴∠ABC +∠ADC =180°．∵∠ABC =90°，∴∠ADC =90°．∵AD =a ，DC =b ，则AC 2=AD 2+CD 2=a 2+b 2，∵AB =BC ，∴AB 2=BC 2=12AC 2=12(a 2+b 2)．∴S △ABC =12×AB •BC =12AB 2=14(a 2+b 2)．∵S △ACD =12×AD •CD =12ab ，S △ACD S △ABC=45，∴12ab 14(a 2+b 2)=45．∴a 2+b 2ab =52，即：a b +b a =52．解得：a b =2或a b =12，∴a b 的值是2或12．四、半角模型之矩形18如图矩形ABCD ，AB =3，AD =6．点M 、N 分别在边CD 、BC 上，AN =13，∠MAN =45°，直接写出AM 的长度．解：如图，取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接QP ，连接NH ，∵AD =6，AB =3，∴AP =AB =BQ =PQ =3，∠B =90°，∴四边形ABQP 是正方形，Rt △ABN 中，AB =3，AN =13，∴BN =AN 2-AB 2=(13)2-33=2，∴NQ =3-2=1，∵∠NAH =45°，由(1)同理得：NH =BN +PH ，设PH =x ，则NH =x +2，QH =3-x ，Rt △NHQ 中，NH 2=QH 2+NQ 2，∴(2+x )2=12+(3-x )2，x =35，∵P 是AD 的中点，PH ∥DM ，∴AH =HM ，∴DM =2PH =65，由勾股定理得：AM =AD 2+DM 2=62+65 2=6265；19如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =m ，点E 在边BC 上，且BE =2．(1)若m =8，点F 在边DC 上，且∠EAF =45°，求DF 的长；(2)若点F 在边DC 上，且∠EAF =45°，求m 的取值范围．(1)作正方形ABNM ，MN 与AF 交于点G ，连接EG ，由发现可知，EG =BE +MG ，设MG =x ，则NG =6-x ，EG =x +2，在Rt △GEN 中，EG 2=NG 2+NE 2，即(x +2)2=(6-x )2+42，解得，x =3，即MG =3，∵MN ∥CD ，∴△AGM ∽△AFD ，∴MG DF =AM AD ，即3DF =68，解得，DF =4；(2)由题意得，m ≥BE ，即m ≥2，当F 与C 重合时，m 最大，由(1)得，MG DF =AM AD ，即36=6m ，解得，m =12，则点F 在边DC 上，∠EAF =45°，m 的取值范围是2≤m ≤12．。
半角模型专题专练复习进程
半角模型专题专练半角模型例题已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√22EF （可由相似得到）结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3﹦1﹣12x ﹣12y ﹣12(1﹣x)(1﹣y) ﹦12﹣12xy所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小结论6的证明：将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7的所有相似三角形：△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE结论8的证明：因为△AMN ∽△AFE∴∠3＝∠2因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2结论9的证明：因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45°∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .一、全等关系（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BEAB HCF =∠tan . （5)、和差关系求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.例1、在正方形ABCD 中，已知∠MAN ﹦45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD 中，∠B+∠D ﹦180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.求证：∠EAF ＝12∠BAD例3、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE 的长。
专题1.8 正方形半角模型(强化)(解析版)
专题1.8 正方形半角模型【例题精讲】【例1】在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF CEF Ð=Ð=°．（1）将ADF D 绕着点A 顺时针旋转90°，得到ABG D （如图①)，求证：AEG AEF D @D ；（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图②)，求证：222EF ME NF =+．【解答】（1）证明：ADF D Q 绕着点A 顺时针旋转90°，得到ABG D ，AG AF \=，BG DF =，90GAF Ð=°，BAG DAF Ð=Ð，45EAF Ð=°Q ，904545BAE DAF BAE BAG \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，即GAE EAF Ð=Ð，\在AEG D 和AEF D 中，AG AFGAE EAF AE AE=ìïÐ=Ðíï=î，()AEG AEF SAS \D @D ；（2）证明：连接G ，如图所示：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD \===，90C Ð=°，45CEF Ð=°Q CE CF \=，DF DN =，BM BE =，BC CD =Q ，BE DF \=，BG DF =Q，BG DF BE BM\===，BMG\Ð=°，45Q，Ð=°EMB45EMG\Ð=°，90\=，MG同理：NF=，\=，MG NF22222EG MG ME NF ME\=+=+，Q，AEG AEFD@D\=，EG EF222\=+．EF ME NF【题组训练】1．如图，等边AEFD的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且45Ð=°．求证：CEF矩形ABCD是正方形．【解答】解：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=Ð=°，B D C90Q是等边三角形，AEFDAE AF \=，60AEF AFE Ð=Ð=°，45CEF Ð=°Q ，45CFE CEF \Ð=Ð=°，180456075AFD AEB \Ð=Ð=°-°-°=°，()AEB AFD AAS \D @D ，AB AD \=，\矩形ABCD 是正方形．2．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，45EAF Ð=°．（1）如图（1），试判断EF ，BE ，DF 间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF ^于点H ，试判断线段AH 与AB 的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：BE DF EF +=；理由如下：如图1，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，Q 在GDA D 和EBA D 中，90DG BE GDA ABE AD AB =ìïÐ=Ð=°íï=î，()GDA EBA SAS \D @D ，AG AE \=，GAD EAB Ð=Ð，故45GAF Ð=°，在GAF D 和EAF D 中，Q AG AE GAF EAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，()GAF EAF SAS \D @D ，GF EF \=，即GD DF BE DF EF +=+=；（2）AH AB =，理由如下：Q 四边形ABCD 为正方形，AB AD \=，90BAD Ð=°，\把ADF D 绕点A 顺时针旋转90°得到ABQ D ，如图2，AQ AF \=，90FAQ Ð=°，90ABQ D Ð=Ð=°，而90ABC Ð=°，\点Q 在CB 的延长线上，45EAF Ð=°Q ，9045QAE EAF \Ð=°-Ð=°，EAF QAE \Ð=Ð，在AEQ D 和AEF D 中，AE AE EAF QAE AQ AF =ìïÐ=Ðíï=î，()AEQ AEF SAS \D @D ，EQ EF \=，AB EQ ^Q ，AH FE ^，AB AH \=．3．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE AF =，45CEF Ð=°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）若AF =，1BE =，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，90B D C \Ð=Ð=Ð=°，AE AF =Q ，AFE AEF \Ð=Ð，45CEF Ð=°Q ，90C Ð=°，45CFE \Ð=°，AFD AEB \Ð=Ð，()ABE ADF AAS \D @D ，AB AD \=，\矩形ABCD 是正方形．（2）解：Q 由（1）可知：AE AF ==，又1BE =，90B Ð=°，\由勾股定理得，AD ===，Q 四边形ABCD 是正方形，\217ABCD S ==正方形．4．正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且45EDF Ð=°，将DAE D绕点D 逆时针旋转90°，得到DCM D ．（1）求证：EF CF AE =+；（2）当2AE =时，求EF 的长．【解答】（1）证明：DAE D Q 逆时针旋转90°得到DCM D ，180FCM FCD DCM \Ð=Ð+Ð=°，AE CM =，F \、C 、M 三点共线，DE DM \=，90EDM Ð=°，90EDF FDM \Ð+Ð=°，45EDF Ð=°Q ，45FDM EDF \Ð=Ð=°，在DEF D 和DMF D 中，Q DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ðíï=î，()DEF DMF SAS \D @D ，EF MF \=，EF CF AE \=+；（2）解：设EF MF x ==，2AE CM ==Q ，且6BC =，628BM BC CM \=+=+=，8BF BM MF BM EF x \=-=-=-，624EB AB AE =-=-=Q ，在Rt EBF D 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即2224(8)x x +-=，解得：5x =，则5EF =．5．（1）如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，45EDF Ð=°，连接EF ，求证：EF AE FC =+．（2）如图②，点E ，F 在正方形ABCD 的对角线AC 上，45EDF Ð=°，猜想EF 、AE 、FC 的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD \===，90B C ADC DAB Ð=Ð=Ð=Ð=°，如图①：延长BA ，使AM CF =，连接MD ，在AMD D 和CFD D 中，AM CF MAD C AD CD =ìïÐ=Ðíï=î，()AMD CFD SAS \D @D，MDA CDF \Ð=Ð，MD DF =，45EDF Ð=°Q ，45ADE FDC \Ð+Ð=°，45ADM ADE MDE \Ð+Ð=°=Ð，MDE EDF \Ð=Ð，在EDF D 和EDM D 中，MD DF MDE FDE DE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()EDF EDM SAS \D @D ，EF EM \=，EM AM AE AE CF =+=+Q ，EF AE CF \=+；（2）222EF AE CF =+，理由如下：如图②，将CDF D 绕点D 顺时针旋转90°，可得ADN D ，由旋转的性质可得DN DF =，AN CF =，45DAN DCF Ð=Ð=°，CDF ADN Ð=Ð，90CAN CAD DAN \Ð=Ð+Ð=°，222EN AE AN \=+，45EDF Ð=°Q ，45CDF ADE \Ð+Ð=°，45ADE ADN NDE EDF \Ð+Ð=°=Ð=Ð，在EDF D 和EDN D中，FDE NDE DE DE ïÐ=Ðíï=î，()EDF EDN SAS \D @D ，EF EN \=，222EF AE CF \=+．6．（1）如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF Ð=°，求证：EF BE FD =+；（2）如图2，四边形ABCD 中，90BAD й°，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当EAF Ð与BAD Ð满足什么关系时，仍有EF BE FD =+，说明理由．【解答】证明：（1）如图1：把ABE D 绕点A 逆时针旋转90°至ADG D ，则ADG ABE D @D ，AG AE \=，DAG BAE Ð=Ð，DG BE =，又45EAF Ð=°Q ，即45DAF BEA EAF Ð+Ð=Ð=°，GAF FAE \Ð=Ð，在GAF D 和EAF D中，GAF FAE AF AF ïÐ=Ðíï=î，()GAF EAF SAS \D @D ．GF EF \=．又DG BE =Q ，GF BE DF \=+，BE DF EF \+=；（2）当2BAD EAF Ð=Ð时，仍有EF BE FD =+，理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM DF =，连接AM ，180ABC D Ð+Ð=°Q ，180ABC ABM Ð+Ð=°，D ABM \Ð=Ð，在ABM D 和ADF D 中，AB AD ABM D BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ADF SAS \D @D AF AM \=，DAF BAM Ð=Ð，2BAD EAF Ð=ÐQ ，DAF BAE EAF \Ð+Ð=Ð，EAB BAM EAM EAF \Ð+Ð=Ð=Ð，在FAE D 和MAE D 中，AE AE FAE MAE AF AM =ìïÐ=Ðíï=î，()FAE MAE SAS \D @D ，EF EM BE BM BE DF \==+=+，即EF BE DF =+．7．（类比学习，从图1中找方法在图2中运用）（1）如图1，在正方形ABCD （四条边都相等，每个内角都是90)°中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，F 是AD 延长线上一点，且45GCE Ð=°，BE DF =．求证：GE BE GD =+．（2）如图2，已知：AC 平分BAD Ð，CE AB ^，CD CB =，180B D Ð+Ð=°．求证：AE AD BE =+．【解答】证明：（1）在正方形ABCD 中，BC CD =，在BCE D 和DCF D 中，90BC CD B CDF DF BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，CE CF \=，BCE DCF Ð=Ð，45GCE Ð=°Q ，904545GCF GCD DCF GCD BCE \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，GCF GCE \Ð=Ð，在GCE D 和GCF D 中，CE CF GCF GCE CG CG =ìïÐ=Ðíï=î，()GCE GCF SAS \D @D ，EG GF \=，GF GD DF =+Q ，GE BE GD \=+；（2）延长AB 到F 使BF AD =，180ABC CBF \Ð+Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°Q ，CBF D \Ð=Ð，CD CB =Q ，()CDA CBF SAS \D @D ，DAC F \Ð=Ð，AC Q 平分BAD Ð，DAC CAE \Ð=Ð，CAE F \Ð=Ð，AC FC \=，CE AB ^Q ，AE EF \=，AE AD BE \=+．8．（1）如图1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，45EAF Ð=°，延长CD 到点G ，使DG BE =，连接EF ，AG ．求证：EF FG =；（2）如图2，等腰Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点M ，N 在边BC 上，且45MAN Ð=°．若1BM =，3CN =，求MN 的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，ABE ADG Ð=Ð，AD AB =，在ABE D 和ADG D 中，AD AB ABE ADG DG BE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE ADG SAS \D @D ，BAE DAG \Ð=Ð，AE AG =，90EAG \Ð=°，在FAE D 和GAF D 中，45AE AG EAF FAG AF AF =ìïÐ=Ð=°íï=î，()FAE FAG SAS \D @D ，EF FG \=；（2）解：如图，过点C 作CE BC ^，垂足为点C ，截取CE ，使CE BM =．连接AE 、EN ．AB AC =Q ，90BAC Ð=°，45B ACB \Ð=Ð=°．CE BC ^Q ，45ACE B \Ð=Ð=°．在ABM D 和ACE D 中，AB AC B ACE BM CE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACE SAS \D @D ．AM AE \=，BAM CAE Ð=Ð．90BAC Ð=°Q ，45MAN Ð=°，45BAM CAN \Ð+Ð=°．于是，由BAM CAE Ð=Ð，得45MAN EAN Ð=Ð=°．在MAN D 和EAN D 中，AM AE MAN EAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，()MAN EAN SAS \D @D ．MN EN \=．在Rt ENC D 中，由勾股定理，得222EN EC NC =+．222MN BM NC \=+．1BM =Q ，3CN =，22213MN \=+，MN \=9．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转45°后交CD 边于点F ，AE 、AF 分别交BD 于G 、H 两点．（1）当55BEA Ð=°时，求HAD Ð的度数；（2）设BEA a Ð=，试用含a 的代数式表示DFA Ð的大小；（3）点E 运动的过程中，试探究BEA Ð与FEA Ð有怎样的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=°，90EBA BAD\Ð=°-Ð=°-°=°，EAB AEB90905535\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；HAD BAD EAF EAB90453510（2）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=Ð=°，90EBA BAD ADF\Ð=°-Ð=°-，EAB AEB a9090\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°-=-°，DAF BAD EAF EAB a a9045(90)45\Ð=°-Ð=°--°=°-；DFA DAF a a9090(45)135（3）BEA FEAÐ=Ð，理由如下：延长CB至I，使BI DF=，连接AI．Q四边形ABCD是正方形，AD AB\=，90Ð=Ð=°，ADF ABC\Ð=°，ABI90又BI DFQ，=\D@D，DAF BAI SAS()\=，DAF BAIÐ=Ð，AF AIEAI BAI BAE DAF BAE EAF\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，45又AED的公共边，Q是EAID与EAF()EAI EAF SAS \D @D ，BEA FEA \Ð=Ð．10．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，F 是AD 延长线上一点，BE DF =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 边上，且45GCE Ð=°，3BE =，5DG =，求GE 的长．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，BC DC \=，90B FDC Ð=Ð=°，在EBC D 和FDC D 中，DF EB FDC B CB DC =ìïÐ=Ðíï=î，()CBE CDF SAS \D @D ，CE CF \=；（2）解：由（1）得：CBE CDF D @D ，BCE DCF \Ð=Ð，BCE ECD DCF ECD \Ð+Ð=Ð+Ð，即90ECF BCD Ð=Ð=°，又45GCE Ð=°Q ，45GCF GCE \Ð=Ð=°，Q 在ECG FCG D @D 中，CE CF GCE GCF GC GC =ìïÐ=Ðíï=î，()ECG FCG SAS \D @D，358GE GF DG DF DG BE \==+=+=+=．11．如图，Rt CEF D 中，90C Ð=°，CEF Ð，CFE Ð外角平分线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．（1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）已知AB 的长为6，求(6)(6)BE DF ++的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR 中，45QPR Ð=°，一条高是PH ，长度为6，2QH =，则HR = 3或12 ．【解答】（1）证明：作AG EF ^于G ，如图1所示：则90AGE AGF Ð=Ð=°，AB CE ^Q ，AD CF ^，90B D C \Ð=Ð=°=Ð，\四边形ABCD 是矩形，CEF ÐQ ，CFE Ð外角平分线交于点A ，AB AG \=，AD AG =，AB AD \=，\四边形ABCD 是正方形；（2）解：Q 四边形ABCD 是正方形，6BC CD \==，在Rt ABE D 和Rt AGE D 中，AE AE AB AD =ìí=î，Rt ABE Rt AGE(HL)\D @D ，BE BG \=，同理：Rt ADF Rt AGF(HL)D @D ，DF GF \=，BE DF GE GF EF \+=+=，设BE x =，DF y =，则6CE BC BE x =-=-，6CF CD DF y =-=-，EF x y =+，在Rt CEF D 中，由勾股定理得：222(6)(6)()x y x y -+-=+，整理得：6()36xy x y ++=，(6)(6)(6)(6)6()36363672BE DF x y xy x y \++=++=+++=+=；（3）解：①PQR D 是锐角三角形时，如图2所示：把PQH D 沿PQ 翻折得PQD D ，把PRH D 沿PR 翻折得PRM D ，延长DQ 、MR 交于点G ，由（1）（2）得：四边形PMGD 是正方形，MR DQ QR +=，MR HR =，2DQ HQ ==，6MG DG MP PH \====，4GQ \=，设MR HR a ==，则6GR a =-，2QR a =+，在Rt GQR D 中，由勾股定理得：222(6)4(2)a a -+=+，解得：3a =，即3HR =；②当PQR D 是钝角三角形时，过P 作PT PR ^交RQ 延长线于T ，如图3所示：则904545TPQ Ð=°-°=°，由①得：3TH =，PT \===设HR x =，PR y =，则3TR x =+，PTR D Q 的面积11(3)622x =+´=´，\62x =+，225(62)y x \=+①，在Rt PRH D 中，由勾股定理得：2226y x =+②，由①②得：2(12)0x -=，12x \=，即12HR =；综上所述，HR 为3或12，故答案为：3或12．12．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，45ECG Ð=°，那么EG 与图中两条线段的和相等？证明你的结论．（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCG 中，//()AG BC BC AG >，90B Ð=°，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45ECG Ð=°，4BE =，求EG 的长？【解答】解：（1）EG BE DG=+．如图1，延长AD至F，使DF BE=，连接CF，Q四边形ABCD为正方形，Ð=Ð=Ð=°，BC DCABC ADC BCD\=，90Q，Ð=-Ð180CDF ADC\Ð=°，CDF90\Ð=Ð，ABC CDFQ，=BE DF\D@D，()EBC FDC SAS=，\Ð=Ð，EC FCBCE DCFQ，Ð=°45ECGBCE GCD BCD ECG\Ð+Ð=Ð-Ð=°-°=°，904545\Ð+=Ð=°，45GCD DCF FCG\Ð=Ð，ECG FCG=Q，GC GC\D@D，()ECG FCG SASEG GF \=，GF GD DF GD BE =+=+Q ，EG GD BE \=+．（2）如图2，过点C 作CD AG ^，交AG 的延长线于D ．//AG BC Q ，180A B \Ð+Ð=°，90B Ð=°Q ，18090A B \Ð=°-Ð=°，90CDA Ð=°Q ，AB BC =，\四边形ABCD 是正方形，12AB BC ==Q ，12CD AD \==，4BE =Q ，8AE AB BE \=-=，设EG x =，由（1）知EG BE GD =+，4GD x \=-，12(4)16AG AD GD x x \=-=--=-，在Rt AEG D 中：222GE AG AE =+，222(16)8x x \=-+，解得10x =，10EG \=．13．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 上两点，45EAF Ð=°，过点A 作GAB FAD Ð=Ð，且点G 为边CB 延长线上一点．①GAB FAD D @D 吗？说明理由．②若线段4DF =，8BE =，求线段EF 的长度．③若4DF =，8CF =．求线段EF 的长度．【解答】解：①全等．证明：Q 四边形ABCD 为正方形AB AD \=，ABG D Ð=Ð，在ABG D 和ADF D 中，GAB FAD Ð=Ð，AB AD =，ABG D Ð=ÐGAB FAD \D @D ．②解：90BAD Ð=°Q ，45EAF Ð=°45DAF BAE \Ð+Ð=°GAB FADD @D Q GAB FAD \Ð=Ð，AG AF=45GAB BAE \Ð+Ð=°45GAE \Ð=°GAE EAF\Ð=Ð在GAE D 和FAE D 中AG AF =Q ，GAE EAF Ð=Ð，AE AE=()GAE FAE SAS \D @D EF GE \=．GAB FADD @D Q GB DF\=8412EF GE GB BE FD BE \==+=+=+=．③设EF x =，则4BE GE BG x =-=-．EC BC BE =-Q ，12(4)16EC x x \=--=-．在Rt EFC D 中，依据勾股定理可知：222EF FC EC =+，即222(16)8x x -+=，解得：10x =．10EF \=．14．如图，Rt CEF D 中，90C Ð=°，CEF Ð，CFE Ð外角平分线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．（1）EAF Ð= 45 °（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD 是正方形．②若3BE EC ==，求DF 的长．（3）如图（2），在PQR D 中，45QPR Ð=°，高5PH =，2QH =，则HR 的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．【解答】解：（1）90C Ð=°Q ，90CFE CEF \Ð+Ð=°，36090270DFE BEF \Ð+Ð=°-°=°，AF Q 平分DFE Ð，AE 平分BEF Ð，12AFE DFE \Ð=Ð，12AEF BEF Ð=Ð，11()27013522AEF AFE DFE BEF \Ð+Ð=Ð+Ð=´°=°，18045EAF AEF AFE \Ð=°-Ð-Ð=°，故答案为：45；（2）①作AG EF ^于G ，如图1所示：则90AGE AGF Ð=Ð=°，AB CE ^Q ，AD CF ^，90B D C \Ð=Ð=°=Ð，\四边形ABCD 是矩形，CEF ÐQ ，CFE Ð外角平分线交于点A ，AB AG \=，AD AG =，AB AD \=，\四边形ABCD 是正方形；②设DF x =，3BE EC ==Q ，6BC \=，由①得四边形ABCD 是正方形，6BC CD \==，在Rt ABE D 与Rt AGE D 中，AB AG AE AE =ìí=î，Rt ABE Rt AGE(HL)\D @D ，3BE EG \==，同理，GF DF x ==，在Rt CEF D 中，222EC FC EF +=，即2223(6)(3)x x +-=+，解得：2x =，DF \的长为2；（3）解：如图2所示：把PQH D 沿PQ 翻折得PQD D ，把PRH D 沿PR 翻折得PRM D ，延长DQ 、MR 交于点G ，由（1）（2）得：四边形PMGD 是正方形，MR DQ QR +=，MR HR =，2DQ HQ ==，5MG DG MP PH \====，3GQ \=，设MR HR a ==，则5GR a =-，2QR a =+，在Rt GQR D 中，由勾股定理得：222(5)3(2)a a -+=+，解得：157a =，即157HR =；故答案为：157．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF Ð=°，将DAE D 绕点D 逆时针旋转90°，得到DCM D ．（1）求证：EF MF=（2）若2AE =，求FC 的长．【解答】解：（1）DAE D Q 逆时针旋转90°得到DCM D ，180FCM FCD DCM \Ð=Ð+Ð=°，F \、C 、M 三点共线，DE DM \=，90EDM Ð=°．90EDF FDM \Ð+Ð=°，45EDF Ð=°Q ，45FDM EDF \Ð=Ð=°，()DEF DMF SAS \D @D ，EF MF \=．（2）设EF MF x ==，2AE CM ==Q ，且6BC =，628BM BC CM \=+=+=，8BF BM MF BM EF x \=-=-=-，624EB AB AE =-=-=Q ．在Rt EBF D 中，由勾股定理得222EB BF EF +=．即2224(8)x x +-=，\解得：5x =，即5FM =．523FC FM CM \=-=-=．17．设E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上滑动保持且45EAF Ð=°，AP EF ^于点P ．（1）求证：AP AB =；（2）若5AB =，求ECF D 的周长．【解答】证明：（1）延长CB 到F ¢，使BF DF ¢=，在正方形ABCD 中，AB AD =，90ABC D Ð=Ð=°，18090ABF ABC D \Т=°-Ð=°=Ð，()ABF ADF SAS \D ¢@D ，AF AF \¢=，12Ð=Ð，13239045EAF EAF EAF \Т=Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°=Ð，又EA EA =Q ，()EAF EAF SAS \D ¢@D ，EF EF \¢=，AEF AEF S S ¢D D =，而1122EF AB EF AP ¢=g g ，AB AP \=．解：（2）CEF C EC CF EFD =++EC CF EF =++¢EC BE CF BF =+++¢BC CF DF=++210BC CD AB =+==．18．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE Ð=°，则GE BE GD =+成立吗？为什么？【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，Q BC DC B CDF BE DF =ìïÐ=Ðíï=î，()CBE CDF SAS \D @D ．CE CF \=．（2）解：GE BE GD =+成立．理由是：Q 由（1）得：CBE CDF D @D ，BCE DCF \Ð=Ð，BCE ECD DCF ECD \Ð+Ð=Ð+Ð，即90ECF BCD Ð=Ð=°，又45GCE Ð=°Q ，45GCF GCE \Ð=Ð=°．Q CE CF GCE GCF GC GC =ìïÐ=Ðíï=î，()ECG FCG SAS \D @D ．GE GF \=．GE DF GD BE GD \=+=+．19．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF Ð=°．将DAE D 绕点D 逆时针旋转90°，得到DCM D ．（1）求证：EF FM =；（2）当1AE =时，求EF 的长．【解答】解：（1）证明：DAE D Q 逆时针旋转90°得到DCM D ，180FCM FCD DCM \Ð=Ð+Ð=°，F \、C 、M三点共线，DE DM \=，90EDM Ð=°，90EDF FDM \Ð+Ð=°，45EDF Ð=°Q ，45FDM EDF \Ð=Ð=°，在DEF D 和DMF D 中，DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ðíï=î，()DEF DMF SAS \D @D ，EF MF \=；（2）设EF MF x ==，1AE CM ==Q ，且3BC =，314BM BC CM \=+=+=，4BF BM MF BM EF x \=-=-=-，312EB AB AE =-=-=Q ，在Rt EBF D 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即2222(4)x x +-=，解得：52x =，则52EF =．。
半角模型训练
半角模型半角模型: 指的是一个大角夹着一个度数为它一半的角。
条件: 四边形ABCD中, E、F分别在BC.CD（或延长线上）, 具备下列三个条件:①AB=AD（共顶点等线段）；①①BAD=2①EAF；（共顶点的倍半角）①①B+①ADC=180°（或①BAD+①BCD=180°）（对角互补四边形）结论: EF=BE+DF （延长线上为EF=BE-DF）；AE平分∠BEF, AF平分∠EFD。
情形一: 角内含半角（补短）情形二: 角外含半角（截长）模型一: 90°夹45°例1.如图, 点E、F分别是正方形BC.CD上的点, ∠EAF=45°, 求证:（1）DF+BE=EF；（2）AE平分∠BEF, AF平分∠EFD证明: 延长CB至点G, 使得BG=DF（在CD上补BE亦可）△ABG≌△ADF（SAS）△AEG≌△AEF（SAS）90°外夹45°例 2.如图, 在正方形ABCD中, E、F为CB.DC延长线上点, 且∠EAF=45°, 探究线段EF、BE、DF之间的数量关系, 并证明。
类型二、120°角夹60°例3.如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, ∠BAD=120°, E, F分别为BC, CD上的点, ∠EAF=∠C=60°, 求证(1)EF=BE+DF；（2）点A在∠BCD的平分线上.练习:1.如图, 四边形ABCD中, ∠A=∠BCD=60°, ∠ADC=60°, AB=BC, E、F分别在AD、DC延长线上, 且∠EBF=60°, 求证：AE=EF+CF例4.在等边△ABC的两边AB.AC所在直线上分别有两点M、N, D为△ABC 外一点, 且∠MDN＝60°, ∠BDC＝120°, BD＝DC. 探究: 当M、N分别在直线AB.AC上移动时, BM、NC.MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.（1）如图1, 当点M、N边AB.AC上, 且DM＝DN时, BM、NC.MN之间的数量关系是；此时/＝；（2）如图2, 点M、N在边AB、AC上, 且当DM≠DN时, 猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.（3）如图3, 当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．任意角夹半角例5.已知, 如图, 在四边形ABCD中, ∠B+∠D＝180°, AB＝AD, E, F分别是线段BC, CD上的点, 且BE+FD＝EF. 求证: ∠EAF＝/∠BAD.练习（1）如图, 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B＝∠D＝90°, E、F分别是边BC.CD 上的点, 且∠EAF＝/∠BAD.求证: EF＝BE+FD；（2）如图, 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B+∠D＝180°, E、F分别是边BC.CD上的点, 且∠EAF＝/∠BAD, （1）中的结论是否仍然成立？（3）如图, 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B+∠ADC＝180°, E、F分别是边BC.CD 延长线上的点, 且∠EAF＝/∠BAD, （1）中的结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立, 请写出它们之间的数量关系, 并证明.例6.（1）如图1, 已知正方形ABCD中, ∠MAN＝45°, 猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系？并证明. （2）如图2, 已知四边形ABCD中, AB⊥BC于点B, AD⊥CD于点D, AB＝AD, ∠BAD＝120°, ∠MAN＝60°, （1）中线段BM与DN之间的关系还成立吗？如果成立, 请证明；如果不成立, 请说明理由. （3）张大爷有一块五边形的土地, 如图3, 已知AB＝AE＝6, BC＝4, DE＝3, ∠BAE＝2∠CAD, AB⊥BC于点B, AE⊥DE于点E, 请你帮助张大爷计算这块土地的面积．课后练习1. 如图, 等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合, 将此三角板绕点A旋转, 使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC.DC于点E、F, 连结EF. 若EF＝5, DF＝2, 则BE的长为.(第1题) (第2题)2. 如图, △ABC为等边三角形, BD＝CD, ∠BDC＝120°, BC＝2, M、N分别在边AB, AC上, 且∠MDN＝60°, 则△AMN的周长等于.3. 在四边形ABCD中, ∠B+∠D＝180°, CB＝CD. 以点C为顶点的∠ECF在四边形ABCD的内部绕点C旋转, 角的两边分别与AB.AD交于点E、F, ∠ECF＝/∠BCD.（1）若∠BCD＝120°,①如图1, 当∠B＝90°, ∠BCE＝30时, 求证: EF＝BE+DF；②如图2, 当∠B≠90时, ①中的结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立, 请说明理由；③在∠ECF绕点C旋转的过程中, ①中的结论是否仍然成立, 请直接写出你的结论；（2）如图3, 若∠BCD为任意的一个角（0°＜∠BCD＜180°）, 在∠ECF绕点C旋转的过程中, ①中的三条线段BE, DF, EF之间的数量关系是否发生变化？若变化, 请说明理由；若不变, 请直接写出你的结论．4. 如图1, 四边形ABCD, 将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转, 角的一条边与DC的延长线交于点F, 角的另一边与CB的延长线交于点E, 连接EF.（1）如果四边形ABCD为正方形, 当∠EAF＝45°时, 有EF＝DF﹣BE. 请你思考如何证明这个结论（只需思考, 不必写出证明过程）；（2）如图2, 如果在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠ABC＝∠ADC＝90°, 当∠EAF＝/∠BAD时, EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（3）如图3, 如果在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠ABC与∠ADC互补, 当∠EAF＝/∠BAD时, EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中, 若BC＝4, DC＝7, CF＝2, 求△CEF的周长（直接写出结果即可）．5. 已知正方形ABCD, 一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合, 将此三角板绕A点旋转时, 两边分别交直线BC.CD于M、N.（1）当M、N分别在边BC.CD上时（如图1）, 求证: BM+DN＝MN；（2）当M、N分别在边BC.CD所在的直线上时（如图2）, 线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系, 请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3）, 线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系, 请写出结论并写出证明过程．6.问题背景:如图1: 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠BAD＝120°, ∠B＝∠ADC＝90°, E、F分别是BC.CD上的点, 且∠EAF＝60°, 探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是, 延长FD到点G, 使DG＝BE．连结AG, 先证明△ABE ≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF, 可得出结论, 他的结论应是；（2）探索延伸:如图2, 若在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B+∠D＝180°, E、F分别是BC.CD上的点, 且∠EAF＝/∠BAD, 上述结论是否仍成立, 并说明理由；（3）实际应用:如图3, 在某次军事演习中, 舰艇甲在指挥中心（点O处）北偏西30°的A处, 舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处, 并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后, 舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进, 同时, 舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/时的速度前进, 2小时后, 指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处, 且两舰艇之间的夹角为70°, 试求此时两舰艇之间的距离．7. 如图, △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形, ∠BAC＝∠DFE＝90°, AB＝AC, FD＝FE, △DEF的顶点E在边BC上移动, 在移动过程中, 线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与线段CA相交于点Q.（1）如图1, 当E为BC中点, 且BP＝CQ时, 求证: △BPE≌△CQE；（2）如图2, 当ED经过点A, 且BE＝CQ时, 求∠EAQ的度数；（3）如图3, 当E为BC中点, 连接AE、PQ, 若AP＝3, AQ＝4, PQ＝5, 求AC的长．11。
半角模型(初中数学最全半角模型专题)
变式练习
变式4.在平面直角坐标系中，已知A（x，y），点A作AB⊥y
轴，垂足为B．若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至
N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作
AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，AF＝c，试
1 1
证明： + =
．
例2.如图所示，过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内
几何模型一：半角模型
类型一、正方形中夹半角模型（45°）
例1.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上
的点，且∠EAF＝45°
求证：EF＝BE+DF；
变式练习
变式1.如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、
BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋
转90°，得到△DCM．
∠BAD．证明：EF＝BE﹣FD
变式练习
变式3.已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，
AB＝AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD＝EF．求
证：2∠EAF＝∠BAD．
变式练习
变式4.已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点M在BC上，
点N在BC的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，
求证：MC＝BN+MN；
则MN的长为
．
变式练习
变式2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线
上与点B，C不重合的两点．∠BAC＝90°，∠EAF＝135°，
证明：EF2＝EC2+BF2
类型三、其他半角模型
例4.在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为
专题02 全等三角形中的半角模型(原卷版)
专题02 全等三角形中的半角模型【模型展示】【模型证明】【模型拓展】90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD证明证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF 。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN 绕点A 顺时针旋转90°，N 点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN ，且AM=AM ，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，即MN²=BM²+BN’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
证明过程见证明①中时△FAE ≌△F’AE 即可。
结论④：图1、2中ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=。
证明：如图5中，过A 点作AH ⊥EF 于H 点，由结论③可知：∠AEH=∠AEB ，且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE ，∴△AEB ≌△AEH(AAS)，∴AH=AB=AD ，进而可以证明△AHF ≌△ADF(AAS)，∴ADF ABE AHF AHE AEF S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=.【题型演练】一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD ，∠BCD ＝120°，E 、F 分别为BC 、CD 上一点，∠EAF ＝30°，EF ＝3，DF ＝1．则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN ＝45°，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：①MN ＝BM +DN ；②BE 2+DF 2＝EF 2；③BC 2＝BF •DE ；④OM OF （ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题3．如图，在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，BC ＝4，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，M ，N 分别在BD ，CD 上，∠MAN ＝45°，则△DMN 的周长为_____．4．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF V 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG V ，若2BE =，则EF 的长为______．5．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，且∠EDF ＝45°，则DE 的长为 _____．三、解答题6．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．7．已知，如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF ∠=°，AE ，AF 分别交BD于H ，G ，连EF ，求证：①DF BE EF += ②222DG BH HG +=.8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF V 绕点A 顺时针旋转90° 后，得到ABM V ，连接EM ，AE ，且使得45∠=°MAE ．（1）求证：=ME EF ；（2）求证：222EF BE DF =+.9．已知：边长为4的正方形ABCD ，∠EAF 的两边分别与射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAF ＝45°，连接EF ．求证：EF ＝BE +DF ．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠B ＝∠ADC ＝90°，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE '，则F 、D 、E '在一条直线上，∠E 'AF ＝ 度，……根据定理，可证：△AEF ≌△AE 'F ．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．10．如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．11．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD．（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．(1)求证：GEF EDC@V V (2)求证：四边形BFGH 是正方形；(3)求证：ED 平分∠CEI13．学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE ¢△的位置，然后证明AFE AFE ¢≌△△，从而可得=EF E F ¢．E F E D DF BE DF ¢¢=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O e 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．。
半角模型-含答案docx
半角模型1.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF=45∘，则△EDF的周长等于________ ．2.正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45∘．将△DAE绕点D逆时针旋转90∘，得到△DCM．(1) 求证：EF=FM(2) 当AE=1时，求EF的长．3.如图，已知正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45∘，将△DAE绕点D 逆时针旋转90∘，得到△DCM，若AE=2，则FM的长为________ ．4.(1) 如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．(2) E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45∘AG⊥EF，G为垂足，求证：AG=AB．5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1) 求证：CE=CF；(2) 若点G在AD上，且∠GCE=45∘，则GE=BE+GD成立吗？为什么？6.如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45∘，AE=AF，则有下列结论：①∠1=∠2=22.5∘②点C到EF的距离是√2−1③△ECF的周长为2④BE+DF>EF其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号）7.如图，已知正方形ABCD的边长为8 cm，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45∘．当EF=8 cm 时，△AEF的面积是________ cm2；当EF=7 cm时，△EFC的面积是________ cm2．8.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE=3√5，且∠ECF=45∘，则CF的长为 ()A．2√10 B．3√5 C．53√10D．103√59.(1) 如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．(2) E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45∘，AG⊥EF，G为垂足，求证：AG= AB．10.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1) 求证：CE=CF；(2) 若G是AD上一点，且∠GCE=45∘①证明：GE=BE+GD；②设BE=4，GE=10，求△CEG的面积．11.如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45∘，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．图1图2图3(1) 如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90∘得到△ABG．①求证：△AGE≅△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2) 如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．12.如图（1），已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF=45∘，判断线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90∘，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图1中线段BE，EF，FD之间的数量关系是________；(2) 如图2，已知正方形ABCD边长为5，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF=45∘，AG⊥EF于点G，则AG的长为________，△EFC的周长为________；(3) 如图3，已知△AEF中，EAF=45∘，AG⊥EF于点G，且EG=2，GF=3，则△AEF的面积为________．13.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF=BE+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF②FH=FD③∠EAF=45∘④S△EAF=S△ABE+S△ADF；⑤△CEF的周长为2其中正确结论的是 ________ ．14.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45∘，将△ADC绕点A顺时针旋转90∘后，得到△AFB，连接EF，下列结论：（1）△AED≅△AEF（2）△ABE≅△ACD（3）BE+DC=DE（4）BE2+DC2=DE2其中正确结论有 () 个A．1B．2C．3D．415.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45∘，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．16.如图，在△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90∘，点D、E都在边BC上，∠DAE=45∘，若BD= 2CE，则DE的长是 ()A．1B．3−√52C．3√5−52D．3√5−517.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．18.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC．M是AB的中点，点P从B出发向点C运动，MQ⊥MP交AC于点Q．试说明△MPQ的形状和面积将如何变化．19.如图所示，△ABD是等边三角形，在△ABC中，BC=a，CA=b．问：当∠ACB为何值时，C、D两点间的距离最大？最大值是多少？20.如图所示，点D为∠ABC的平分线BD上一点，点E、F分别为∠ABC两边上的动点，且∠ABC+∠EDF=180∘．连接DE、DF，判断在E、F运动过程中，DE、DF的数量关系并证明．21.如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB=135∘，BP=1，AP=√7，求PC的值．()A．√5B．3C．2√2D．222.点P为等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90∘，PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．23.如图．设P是等边△ABC内的一点，且PA:PB:PC=3:4:5，求∠APB的度数．24.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120∘，以D为顶点作一个60∘角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ()A．9B．8C．7D．625.△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120∘的等腰三角形，∠MDN=60∘，求△AMN 的周长．26.D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120∘，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN= MN，(1) ∠MDN= ________度；(2) 作出三角形△DMN的高DH，并证明：DH=BD；(3) 在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH．27.如图，△ABC等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120∘的等腰三角形，以D为顶点作一个60∘角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，若SΔBMD +SΔCND=10，则SΔDMN= ________ ．28.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180∘，AB=AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，求证：EF=BE−FD．29.如图，已知等边△ABC外有一点H，连接CH、BH，BH=CH且∠BHC=120∘，在AB上取点E、在AC上取点F，若∠EHF=60∘，设EH、FH分别交BC于P、Q两点，试证明以下结论：=2BC(1) CΔAEF(2) AF=2BP，AE=2CQ半角模型1.【答案】4【解析】∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠BAE=∠C=90∘∴把△ABE绕点B顺时针旋转90∘可得到△BCG，如图∴BG=AE，CG=AE，∠GBE=90∘，∠BAE=∠C=90∘∴点G在DC的延长线上∵∠EBF=45∘∴∠FBG=∠EBG−∠EBF=45∘∴∠FBG=∠FBE在△FBG和△EBF中，{BF=BF∠FBG=∠FBEBG=BE∴△FBG≌△FBE(SAS)∴FG=EF∵FG=FC+CG=CF+AE∴EF=CF+AE∴△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=42.(1)【答案】证明见解析【解析】∵△DAE逆时针旋转90∘得到△DCM∴DE=DM，∠EDM=90∘∴∠EDF+∠FDM=90∘∵∠EDF=45∘∴∠FDM=∠EDF=45∘∵DF=DF∴△DEF≅△DMF∴EF=MF(2)【答案】52【解析】设EF=x∵AE=CM=1∴BF=BM−MF=BM−EF=4−x∵EB=2由勾股定理得：EB2+BF2=EF2即22+(4−x)2=x2，解得：x=523.【答案】297【解析】∵△DAE逆时针旋转90∘得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180∘∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90∘∴∠EDF+∠FDM=90∘∵∠EDF=45∘∴∠FDM=∠EDF=45∘∵DF=DF∴△DEF≅△DMF∴EF=MF设EF=MF=x∵AE=CM=2，且BC=5∴BM=BC+CM=7∴BF=BM−MF=BM−EF=7−x∵EB=AB−AE=3在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2即32+(7−x)2=x2，解得：x=297∴FM=29 74.(1)【答案】45∘【解析】如图所示，延长AB至点E，使得BE=DQ，连接CE，证△CDQ≅△CBE，再证△CQP≅△CEP(2)【答案】证明见解析【解析】如图所示，延长FB至点Q，使得BQ=DE，连接AQ先证△ADE≅△ABQ，再证△AQF≅△AEF，利用面积法可得AB=AG5.(1)【答案】证明见解析【解析】∵四边形ABCD为正方形∴BC=CD，∠B=∠ADC=90∘在△BEC和△DFC中，{BC=CD∠B=∠CDF BE=DF∴△CBE≅△CDF(SAS)∴CE=CF(2)【答案】成立，理由见解析【解析】∵由（1）得△CBE≅△CDF∴∠BCE=∠DCF∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90∘∵∠GCE=45∘∴∠GCF=∠GCE=45∘∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC∴△ECG≅△FCG(SAS)∴GE=GF∴GE=DF+GD=BE+GD6.【答案】①②③【解析】∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90∘在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AE=AFAB=AD∴Rt△ABE≅Rt△ADF∴∠1=∠2∵∠EAF=45∘∴∠1=∠2=∠22.5∘，故①正确；连接EF、AC，它们相交于点H，如图所示：∵Rt△ABE≅Rt△ADF∴BE=DF∵BC=DC∴CE=CF∵AE=AF∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF∴EB=EH，FD=FH∴BE+DF=EH+HF=EF，故④错误；∴C△ECF=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=2，故③正确；设BE=x，则EF=2x，CE=1−x∵△CEF为等腰直角三角形∴EF=√2CE，即2x=√2(1−x)，解得：x=√2−1∴EF=2(√2−1)∴CH=12EF=√2−1，故②正确；故答案为①②③7.【答案】32；8【解析】如图所示，延长CB到G，使得BG=DF，连接AG∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABG=90∘∵BG=DF∴△ABG≅△ADF∴AG=AF，∠GAB=∠FAD∵∠EAF=45∘∴∠FAD+∠BAE=45∘∴∠GAE=∠FAE=45∘∵AE=AE∴△GAE≅△FAE∴EF=EG=8∴S△AEF=S△AEG=12×8×8=32当EF=7时，由上述结论可知：S△EFC=S正方形ABCD −2S△AEF=8×8−2×12×7×8=64−56=88.【答案】A【解析】如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF∵四边形ABCD为正方形在△BCE与△DCG中，{CB=CD∠CBE=∠CDGBE=DG∴△BCE≅△DCG ( SAS )∴ CG=CE，∠DCG=∠BCE∴∠GCF=45∘在△GCF与△ECF中，{GC=EC∠GCF=∠ECFCF=CF∴△GCF≅△ECF ( SAS )∴ GF=EF∵ CE=3√5，CB=6∴ BE=√CE2−CB2=√(3√5)2−62=3∴ AE=3设AF=x，则DF=6−x，GF=3+(6−x)=9−x∴ EF=√AE2+x2=√9+x2∴ (9−x)2=9+x2∴ x=4，即AF=4∴ GF=5∴ DF=2∴ CF=√CD2+DF2=√62+22=2√10故选 A9.(1)【答案】45∘【解析】如图所示，将Rt△CDQ绕点C逆时针旋转90∘易证P、B、E三点共线∵AQ+QD+AP+PB=AD+AB=1+1=2∴AQ+AP+PQ=AQ+QD+AP+PB，即PQ=QD+PB=PE∵PC=PC,CQ=CE,PQ=PE∴△PQC≅△PEC(SSS)∴∠PCQ=∠PCE=45∘(2)【答案】证明见解析【解析】把△ADE绕点A顺时针旋转90∘，得△ABQ∵FA=FA,∠FAQ=∠FAE=45°,AQ=AE,∴△AFQ≅△AFE(SAS)∴AB=AG10.(1)【答案】证明见解析【解析】在正方形ABCD中，∵{BC=CD∠B=∠CDFBE=DF∴△CBE≅△CDF (SAS)∴CE=CF(2)【答案】①证明见解析；②60【解析】①∵由 (1) 得：△CBE≅△CDF∴∠BCE=∠DCF∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90∘∵∠GCE=45∘∴∠GCF=∠GCE=45∘∵{CE=CF∠GCE=∠GCFGC=GC∴△ECG≅△FCG (SAS)∴GE=GF∴GE=DF+GD=BE+GD ②由①得：GE=BE+GD∵BE=4，GE=10∴GD=6设正方形的边长为x，则AG=x−6，AE=x−4由勾股定理得：(x−6)2+(x−4)2=102解得：x1=12，x2=−2（舍去）∴正方形的边长为12∴AG=6，AE=8∴△GAE的面积为24，△CDG的面积为36，△CBE的面积为24，正方形ABCD的面积为144∴△CGE的面积为6011.(1)【答案】①见解析；②6【解析】①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD=90∘∵∠EAF=45∘∴∠BAE+∠DAF=45∘∴∠BAG+∠BAE=45∘∴∠GAE=∠FAE在△GAE和△FAE中，{AG=AF∠GAE=∠FAEAE=AE，∴△GAE≅△FAE②∵△GAE≅△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF∴AB=AH，GE=EF=5设正方形的边长为x，则EC=x−2，FC=x−3在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2即(x−2)2+(x−3)2=25，解得：x=6∴AB=6∴AH=6(2)【答案】见解析【解析】如图所示，将△ABM逆时针旋转90∘得△ADM′∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠ADB=45∘由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45∘，BM=DM′∴∠NDM′=90∘∴NM′2=ND2+DM′2∠EAM′=90∘，∠EAF=45∘∴∠EAF=∠FAM′=45∘在△AMN和△AM′N中，{AM=AM′∠MAN=∠M′ANAN=AN∴△AMN≅△AM′N∴MN=NM′∵BM=DM′∴MN2=ND2+BM2 12.(1)【答案】EF=BE+FD【解析】△AHB≅△AFD，△AEH≅△AEF(2)【答案】5；10【解析】∵△FAE≅△HAE，AG，AB分别是△FAE与△HAE的高∴AG=AB=5∵Rt△AEG≅Rt△ABE∴EG=BE同理得：GF=DF∴△EFC的周长为BC+CD=10(3)【答案】15【解析】将△AEF置于图2中∵EG=2，GF=3∴BE=2，DF=3，EF=5设AB=x，则CE=x−2，CF=x−3在△CEF中，根据勾股定理，解得x=−1（舍去），x=6∴AG=AB=6∴S△AEF=12EF⋅AG=1513.【答案】①②③④⑤【解析】如图，延长CB到G点，使BG=DF，连接AG，则EF=EG在△ADF和△ABG中，∵AD=AB，∠D=∠ABG，DF=BG∴△ADF≅△ABG (SAS)∴∠GAB=∠FAD，AG=AF在△AEF和△AEG中，∵AG=AF，EF=EG，AE=AE∴△AEF≅△AEG (SSS)∴∠GEA=∠FEA，即AE平分∠BEF故①正确；∵∠ABE=∠AHE=90∘，∠AEB=∠AEH，AE=AE∴△ABE≅△AHE (AAS)∴BE=EH∴FH=BG=FD故②正确；∠EAF=∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE∴∠EAF=12∠BAD=12×90∘=45∘故③正确；∵△ABE≅△AHE (AAS)，△AHF≅△ADF (HL)∴S△EAF=S△ABE+S△ADF故④正确；∵△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=1+1=2故⑤正确；故正确的有：①②③④⑤14.【答案】B【解析】∵△ADC绕点A顺时针旋转90∘得△AFB∴△ADC≅△AFB，∠FAD=90∘∴AD=AF∵∠DAE=45∘∴∠FAE=90∘−∠DAE=45∘∴∠DAE=∠FAE，AE为△AED和△AEF的公共边∴△AED≅△AEF∴ED=FE在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90∘∵∠ACB=∠ABF∴∠ABC+∠ABF=90∘，即∠FBE=90∘∴在Rt△FBE中，BE2+BF2=FE2∴BE+DC=DE故正确的有（1）（4）故选 B15.【答案】BD2+EC2=DE2，证明见解析【解析】如图所示，作AF⊥AE，使AF=AE∵∠DAE=∠DAF=45∘∵AD=AD∴△ADE≅△ADF∴DF=DE∵∠BAF=∠CAE=45∘−∠BAD，AB=AC∴△ABF≅△ACE∴BF=CE，∠ABF=∠ACE∴∠FBD=∠ABF+∠ABC=∠ACE+∠ABC=90∘∴BD2+EC2=BD2+BF2=DF2=DE216.【答案】D【解析】∵ΔABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90∘∴∠ABC=∠C=45∘由勾股定理得：BC=√AB2+AC2=4把ΔAEC绕A点旋转到ΔAFB，使AB和AC重合，连接DF则AF=AE，∠FBA=∠C=45∘，∠BAF=∠CAE∵∠DAE=45∘∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC−∠DAE=90∘−45∘=45∘∴∠FAD=∠DAE=45∘在ΔFAD和ΔEAD中，{AD=AD∠FAD=∠EADAF=AE∴ΔFAD≅ΔEAD(SAS)∴DF=DE，BF=EC设EC=x，则BF=x，BD=2x，DF=DE=√5x∵BC=4∴2x+√5x+x=4，解得：x=3−√5∴DE=√5x=√5(3−√5)=3√5−5故选 D17.【答案】2【解析】“对角互补”+“邻边相等”的四边形，已知对角线的长度并不能直接求面积．利用旋转可将四边形变形成我们熟悉的三角形如图：延长CD到点E，使DE=BC，连接AE易证：△ABC ≅△ADE所以S△ABC=S△ADE，AC=AE，∠BAC=∠DAE所以△ACE为等腰直角三角形，S四边形ABCD =S△ACE=12×22=218.【答案】略【解析】如图，连接CM易证△MQC ≅△MPB，所以MQ=MP 所以△MPQ为等腰直角三角形，形状不变△MPQ的面积与边MP的长度有关当点P从点B到BC中点时，面积由大变小当点P是BC中点时，三角形的面积最小当点P继续向点C运动时，面积由小变大19.【答案】∠ACB=120∘时，C、D两点间的距离最大，为a+b【解析】如图，以CD为边作等边三角形DCC′，所以CD=CC′易证△DBC ≅△DAC′，所以AC′=BC=a在△ACC′中，AC+AC′>CC′当C，A，C′三点共线时，AC+AC′=CC′=a+b所以CD的最大值为a+b此时∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠AC′D=180∘−60∘=120∘20.【答案】DE=DF【解析】如图，过点D分别作BA和BC的垂线段，垂足分别为H和Q易证：△DHE ≅△DQF，所以DE=DF21.【答案】B【解析】如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90∘得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合），所以，AP′=PC，BP′=BP=1，所以，△PBP′是等腰直角三角形，所以，∠P′PB=45∘，PP′=√BP2+BP′2=√12+12=√2，∵∠APB=135∘，∴∠APP′=∠APB−∠P′PB=135∘−45∘=90∘，在Rt△APP′中，AP′=√PP′2+AP2=√(√2)2+(√7)2=3，∴PC=AP′=3.22.【答案】∠BPC=135∘．【解析】如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90∘得到△BCD，连接DP，∵△ACP绕点C逆时针旋转90∘得到△BCD，∴CP=CD=2，∠DCP=90∘，DB=PA=3，∴△CPD为等腰直角三角形，∴PD=√2PC=2√2，∠CPD=45∘，在△PDB中，PB=1，PD=2√2，DB=3，而12+(2√2)2=32，∴PB2+PD2=BD2，∴△PBD为直角三角形，∴∠DPB=90∘，∴∠BPC=45∘+90∘=135∘．23.【答案】∠APB=150∘．【解析】将ΔPBC绕点B逆时针旋转60∘得ΔDAB，则BP=BD，∠DBP=60∘，∴ΔDBP为等边三角形，∠DPB=60∘，设AD=PC=5k，DP=BP=4k，∵AP2+DP2=(3k)2+(4k)2=25k2=AD2，∴ΔADP是直角三角形，∠APD=90∘，∴∠APB=∠APD+∠DPB=150∘．24.【答案】D【解析】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120∘∴∠DBC=∠BCD=30∘∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60∘∴∠DBA=∠DCA=90∘延长AB至F，使BF=CN，连接DF∴ BF =CN ，DB =DC∴ Rt △BDF ≌Rt △CDN∴ ∠BDF =∠CDN ，DF =DN∵ ∠MDN =60∘∴ ∠BDM +∠CDN =60∘∴ ∠BDM +∠BDF =60∘ ∴ ∠FDM =∠MDN =60∘∴ △DMN ≌△DMF∴ MN =MF ∴ △AMN 的周长 =AM +AN +MN =AM +MB +BF +AN =AB +AC =6故选 D25.【答案】1【解析】如图所示，延长 BD 交 AC 于 P ，延长 CD 交 AB 于 Q ，在 PC 上截取 KP =QM ，交 AC 于 P ，连接 DK∵ △BDC 是等腰三角形，且 ∠BDC =120∘ ∴ BD =CD ，∠DBC =∠DCB =30∘，∠BDQ =∠CDP =60∘ ∵ △ABC 等边三角形∴ ∠ABC =∠ACB =60∘ ∴ ∠MBD =∠PCD =30∘，CQ ⊥AB ，BP ⊥AC ∴ AQ =BQ =12AB =12，AP =PC =12AC =12在 △BDQ 和 △CDP 中，{∠QBD =∠PCDBD =CD∠BDQ =∠CDP∴ △BDQ ≌△CDP(ASA)∴ BQ =PC ，QD =PD∵ CQ ⊥AB ，BP ⊥AC∴ ∠MQD =∠DPK =90∘在 △MDQ 与 △PDK 中，{∠MQD=∠DPKQM=PK∴△MDQ≌△PDK(SAS)∴∠QDM=∠PDK，DM=DK∵∠BDQ=60∘，∠MDN=60∘∴∠QDM+∠PDN=60∘∴∠PDK+∠PDN=60∘，即∠KDN=60∘在△MDN与△KDN中，{DM=DK∠MDN=∠KDN=60∘DN=DN∴△MDN≌△KDN(SAS)∴MN=KN=NP+PK∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP=126.(1)【答案】60∘【解析】如图所示，将△BDM顺时针旋转120∘得到△CDE则DM=DE,∠BDM=∠CDE,BM=CE∴EN=CE+CN=BM+CN=MN∵BM+CN=MN在 △DMN 和 △DEN 中，{MN =EN DM =DE DN =DN∴△DMN ≅△DEN(SSS)∴∠MDN =∠EDN(2)【答案】证明见解析【解析】如图所示，延长 AC 至 E ，使 CE =BM ，连接 DE∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC =∠ACB =60∘∵BD =CD ，∠BDC =120∘∴∠CBD =∠BCD =30∘∴∠ABD =∠ACD =90∘∴∠ABD =∠ECD =90∘∴△BDM ≅△CDE (SAS)∴DM =DE∵NE =NC +CE =NC +BM =MN ，DN =DN∴△DMN ≅△DEN (SSS)∴∠DNM =∠DNE∵DH ⊥MN ，DC ⊥AC∴DH =DC∵BD =DC∴DH =BD(3)【答案】证明见解析【解析】∵∠ABD =90∘，DH ⊥MN ，DH =BD ，DM =DM∴△BDM ≅△HDM∴∠BDM =∠HDM∴ MD 平分 ∠BDH27.【答案】10【解析】如图所示，延长 AB 至 K ，使 ∠KDN =∠BDC =120∘易证：△KDB≌△NDC，△DKM≌△DNM则S△DMN=S△BMD+S△CND=1028.【答案】证明见解析【解析】如图所示，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG∵∠B+∠ADC=180∘，∠ADF+∠ADC=180∘∴∠B=∠ADF 在△ABG和△ADF中，{AB=AD∠B=∠ADFBG=DF∴△ABG≅△ADF(SAS)∴∠BAG=∠DAF，AG=AF∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD∴∠GAE=∠EAF 在△AEG和△AEF中，{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE∴△AEG≅△AEF(SAS)∴EG=EF∵EG=BE−BG ∴EF=BE−FD29.(1)【答案】证明见解析【解析】如图所示，延长EB至M，使BM=CF，连接HM易证：△HCF≌△HBM(SAS)，△HFE≌△HME(SAS)∴EF=BE+CF∴C△AEF=2BC(2)【答案】证明见解析【解析】如图所示，过E作ES//AC交BC于S，交HF于T由HF平分∠EFC得：△EFT为等腰三角形∴EF=ET∵△BES为等边三角形∴ST=CF，AE=CS∴△QCF≌△QST(ASA)∴QC=QS∴AE=2CQ同理可证：AF=2BP。
专题04 全等模型-半角模型(原卷版)
专题04全等模型-半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件：∆ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC ，△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠PDE ＝90°．使△DEP 的顶点P 与△ABC 的顶点A 重合，PD ，PE 分别与BC 相交于点F 、G ，若BF ＝6，CG ＝4，则FG ＝_____．例3．（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为_____．△绕点（分析：我们把ADF于是易证得：ADF≅直接应用：正方形ABCD(2)【变式练习】已知：如图、、之间的数量关系，并说明理由．写出BD DE CE模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件：∆ABC是等边三角形，∆BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④∆AEF的周长=2AB；⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
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半角模型例题已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF结论 3：AH﹦ AD结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小22 2结论 6：BM﹢DN﹦MN结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线结论 9：四点共圆结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11： MN﹦EF（可由相似得到）结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到）结论 5 的证明：设正方形 ABCD的边长为 1则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y)﹦﹣ xy所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小结论 6 的证明：将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合′∴DN﹦ BN′易证△ AMN≌△ AMN′∴MN﹦ MN′在 Rt△BMN中，由勾股定理可得：2′ 2′2BM﹢BN ﹦MN22 2即 BM﹢DN﹦MN结论 7 的所有相似三角形：△ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE结论 8 的证明：因为△ AMN∽△ AFE∴∠ 3＝∠ 2因为△ AMN∽△ BAN∴∠ 3＝∠ 4∴∠ 2＝∠ 4因为 AB∥CD∴∠ 1＝∠ 4∴∠ 1＝∠ 2结论 9 的证明：因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45°∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆A、M、 F、 D 四点共圆C、E、 M、 F 四点共圆**必会结论 --------图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF.一、全等关系（）求证：① 2 2 2 平分，平分DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE .1二、相似关系（2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG .（3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BEDF 1 . CE CF 2三、垂直关系（4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB .（5) 、和差关系BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ；③ | BE DF | 2 | BH DG | .例1、在正方形 ABCD中，已知∠ MAN﹦ 45°，若 M、N 分别在边CB、 DC的延长线上移动，①.试探究线段 MN、BM 、 DN之间的数量关系 .②.求证： AB=AH.例2、在四边形 ABCD中，∠ B+∠ D﹦ 180°，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、 CD上，且满足 EF=BE +DF.求证：∠ EAF＝∠BAD例3、在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=2∠ DAE=120°，若 BD=5，CE=8，求 DE的长。
例 4、请阅读下列材料：已知：如图 1 在Rt ABC 中，，，点 D 、E 分别为线段BC上两动点，若DAE 45．探BAC 90 AB AC究线段 BD 、 DE 、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC 绕点A顺时针旋转 90 ，得到ABE ，连结 E D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．AAC D CB D B EE图 1 图2例 5、探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝45°，试判断 BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把 (1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠ D ＝180°， E 、F 分别是边 BC 、 CD 上的点，且∠ EAF=1∠BAD ”，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证 2明，若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）问中，若将△ AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E 、 F 运动到 BC 、 CD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变， 则（1）问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明 ..练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ﹦∠ D ﹦ 90°， AB ﹦AD ，若 E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD .求证： EF=BE +DF.练习巩固 2：如图，在五边形 ABCDE 中， AB ﹦BC ﹦CD ﹦ DE ﹦EA ，∠CAD ＝ ∠BAE ，求∠ BAE 的度数练习巩固 3：已知：正方形 ABCD 中， MAN45o ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB 、DC （或它们的延长线）于点 M 、N ．（1）如图 1，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，有 BM DN MN ．当 MAN 绕点 A 旋转到BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM ， DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．ADADADNNBCBCMBCMMN练习巩固 4(1) 如图，在四边形 ABCD 中， AB ﹦ AD ，∠ B ﹦∠ D ﹦90°， E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠BAD ．求证： EF BE FD ;ADFBEC(2) 如图在四边形 ABCD 中， AB ﹦AD ，∠ B ﹢∠ D ﹦180°， E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形 ABCD 中， AB ﹦AD ，∠ B ﹢∠ ADC ﹦ 180°， E 、 F 分别是边 BC 、CD 延长线上的点，且∠ EAF ＝ ∠BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．ADFB ECFADBCE（4）如图①，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E 、F 分别在边 AB 、CD 上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P ，连接 EP ．（1）如图②，若 M 为 AD 边的中点，①△ AEM 的周长﹦cm ；②求证： EP ﹦ AE ﹢DP ；（2）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置（点 M 不与 A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．（5）. 如图 17，正方形 ABCD ， E 、 F 分别为 BC 、 CD 边上一点．DFC（1）若∠ EAF ﹦45o ．求证： EF ﹦ BE ﹢DF ．（2）若△ AEF 绕 A 点旋转，保持∠ EAF ﹦45o ，问⊿ CEF 的周长是否随△AEF 位置的变化而变化？E（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，如果⊿ CEF 的周长为 2．求∠ EAF A图 17B的度数．练习巩固 5、如图，已知在正方形 ABCD 中， MAN ﹦45°，连接 BD 与 AM ， AN 分别交于 E 、F 两点。
求证：（ 1） MN ﹦MB ﹢DN ；（ 2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；（ 3） VCMN 的周长等于正方形 ABCD 边长的 2 倍；S ABCD2AB ；（ 4） WSVCMNMN（ 5）若MABAMN﹦ 20°，求 ；（ 6）若 MAB 0 p p 45o ，求 AMN ； （ 7） EF 2EB 2 DF 2 ；（ 8） VAEN 与 VAFM 是等腰三角形；（ 9）SVAEF1 。
SVAMN2练习巩固6、在等边ABC 的两边AB， AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为 ABC BDC 120 ， BD CD ，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长L的关系．外一点，且BM ，BN ，MNMDN 60 ，之间的数量NA A AM NNMBB C BC CMD D D图①图②图③（1）如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式_________；此时Q__________ L（2）如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM DN 时，猜想(1) 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN x ，则 Q _________(用x，L表示 ) 练习巩固 7、如图所示，△ ABC是边长为 1 的等边三角形，△ BDC是顶角为120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°的∠ MDN，点 M， N 分别在 AB， AC上，求△ AMN的周长练习巩固 8、如图，在正方形ABCD中， BE=3， EF﹦5，DF﹦4，求∠ BAE﹢∠ DCF为多少度。
巩固练习 9、如图 1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ ACB﹦∠ F﹦90°，∠ A﹦∠ E﹦30°。
△ EDF 绕着边 AB的中点 D 旋转， DE， DF分别交线段 AC于点 M， K．．．(1)①如图 2、图 3，当∠ CDF﹦0°或 60°时， AM﹢CK_______MK(填“ >”，“ <”或“ =”) ．②如图 4，当∠ CDF﹦30°时， AM﹢CK___MK(只填“ >”或“ <”) ．(2)猜想：如图 1，当 0°＜∠ CDF＜60°时， AM﹢CK_______MK，证明你所得到的结论．(3) 如果MK2 CK 2 AM 2，请直接写出∠CDF的度数和MK的值．AM。