离散数学II_考试题型及复习提纲共72页文档
离散数学复习提纲
《离散数学》期末复习一、期末考试题型试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有15题，分数占60％；化简解答题与计算题及证明题，共占40％。
各章分数的比例大致与其所用课时比例相同。
单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。
单项选择题给出四个备选答案，其一正确。
填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。
化简解答题与计算题主要考核同学们的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
二、各章复习要求和重点第1章命题逻辑复习要求1. 命题及其联结词。
命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义，六个联结词。
2. 命题公式及分类。
在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；真值表3. 命题的判定及命题演算的推理理论。
推理方法有：真值表法；等值演算法；主析取范式法，构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.。
第2章一阶逻辑复习要求1.谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词 量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”2. 2.公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材).命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x)∧G(x))，∀x∀y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)→H(x,y))等都是谓词公式3. 解释(赋值)，谓词公式A的个体域D是非空集合，则(1) 每一个常项指定D中一个元素；(2) 每一个n元函数指定D n到D的一个函数；(3) 每一个n元谓词指定D n到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
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离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题，是由联结词⌝和命题P组成的复合命题.P取真值1，⌝P取真值0，P取真值0，⌝P 取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词， P∨Q 是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P⎺∨Q是联结词“⎺∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P⎺∨Q”↔“(⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词， P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“↔”等价联结词，P↔Q是P，Q的等价式，是“↔”和P，Q组成的复合命题. “↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q 取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真。
《离散数学》考试题库及答案(二)
《离散数学》考试题库及答案试卷五试题与答案一、填空15%（每空3分）1、设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。
2、n 阶完全图，K n 的点数X (K n ) = 。
3、有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。
4、设[R ，+，·]是代数系统，如果①[R ，+]是交换群 ②[R ，·]是半群③ 则称[R ，+，·]为环。
5、设],,[⊕⊗L 是代数系统，则],,[⊕⊗L 满足幂等律，即对L a ∈∀有 。
二、选择15%（每小题3分）1、 下面四组数能构成无向简单图的度数列的有（ ）。
A 、（2，2，2，2，2）； B 、（1，1，2，2，3）； C 、（1，1，2，2，2）； D 、（0，1，3，3，3）。
2、 下图中是哈密顿图的为（ ）。
3、 如果一个有向图D 是强连通图，则D 是欧拉图，这个命题的真值为（ ）A 、真；B 、假。
4、 下列偏序集（ ）能构成格。
5、 设}4,41,3,31,2,21,1{=s ，*为普通乘法，则[S ，*]是（）。
A 、代数系统；B 、半群；C 、群；D 、都不是。
三、证明 48%1、（10%）在至少有2个人的人群中，至少有2 个人，他们有相同的朋友数。
2、（8%）若图G 中恰有两个奇数度顶点，则这两个顶点是连通的。
3、（8%）证明在6个结点12条边的连通平面简单图中， 每个面的面数都是3。
4、（10%）证明循环群的同态像必是循环群。
5、（12%）设]1,0,,,,[-+⨯B 是布尔代数，定义运算*为)()(*b a b a b a ⨯+⨯=，求证[B ，*]是阿贝尔群。
四、计算22%1、在二叉树中1） 求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T 。
（5分） 2） 求T 对应的二元前缀码。
（5分）2、 下图所示带权图中最优投递路线并求出投递路线长度（邮局在D 点）。
答案：一、填空（15%）每空3 分1、 6；2、n ；3、2；4、+对·分配且·对+分配均成立；5、a a a a a a =⊕=⊗且。
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是 A 上的整除，则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x)，则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
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13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
__________________________，_____________________________,
__________________________.
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲第一章1、集合的三种表示法：①穷举列表法；例A={a,b,c}；B={1,2,3,……,200}；②特性刻划法；例A={x|x∈I并且I<0}；③由计算规则定义；例设a1=1,a2=2,ai+1=ai+ai-1 S={ak|k>0}。
2、没有元素的的集合称为空集。
3、设A和B是两个集合，A B，表示A中的每个元素都可以在B中找到，称A是B 的一个子集(A被B包含)，如果A中至少有一个元素不属于B，则A B。
4、幂集ρ(s)就是S的所有子集组成的集合(共2S个)，例：S={1,{2,3}}，则ρ(s)={{1},{{2,3}},{1,{2,3}},φ}5、文氏图是一种集合的图形表示。
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 第二章1、笛卡尔积A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}，即A到B的所有有序偶构成的集合。
2、(a,b)称为有序偶，若(a,b)= (c,d)，当且仅当a=c，b=d，通常(a,b)≠(b,a)，除非a=b。
3、A到B的二元关系R是A×B的一个子集，R A×B，若R= A×B，称R为全关系，R=φ称为空关系。
4、两个元素的有序偶(x,y)∈R，称x和y具有关系R，例：A上的小于关系定义为：L={(a1,a2)| a1,a2∈A∩a1<a2}。
5、对于每个x∈A，有(x,x)∈R，称R是A上的自反关系；对于每个x,y∈A，如有(x,y)∈R，有(y,x)∈R，则称R是A上的对称关系；对于每个x,y,z∈A，如有(x,y)∈R，并且(y,z)∈R，便有(x,z)∈R，则称R是A上的传递关系；例：A={1,2,3}，R1={(1,1),(2,2),(3,3),…}，R2={(1,2),(2,1),(3,3)}，R3={(1,2),(2,3),(1,3)}，则R1是自反的，R2是对称的，R3是传递的。
《离散数学》课程考试大纲
《离散数学》课程考试大纲第一部分考试说明一、考试性质专业基础课/必修二、考试目标要将抽象的数学知识以学生可以接受的、喜闻乐见的形式传授下去，让学生理解《离散数学》中的基本概念，了解部分定理的证明，掌握部分习题的计算；培养学生严密的逻辑思维、抽象推理以及发散思维能力，力求最终将学生培养成会利用所学数学知识解决生活、生产实际中所遇问题的创造性人才。
三、考试形式与试卷结构（一）答题方式闭卷。
答案必须全部答在答题纸上，答在试卷上无效。
（二）答题时间90分钟。
（三）基本题型判断、选择题（约40％）；化主（合）析取范式（约10％）；命题翻译（约10％）；包含排斥原理的应用（约10％）；图论作图题（约10％）；偏序关系读图题（约12％）、集合与二元关系、图论证明题（约8％）。
第二部分考查的知识范围与要求第一章命题逻辑范围：1．命题及其表示法 2. 联结词 3. 命题公式与翻译 4. 真值表与等价公式 5. 重言式与蕴含式 6．其它联结词 7. 对偶与范式 8. 推理理论要求：1．掌握命题的定义。
2．掌握五种基本联结词，了解其余四种联结词的定义和基本性质。
3．会证明等价式及蕴含式。
4．掌握范式与主范式的定义，会将给定的命题公式化为范式或者主范式。
5．会进行简单的逻辑推理。
第二章集合与关系范围：1．集合的概念和表示法 2. 集合的运算 3. 容斥原理 4. 序偶与笛卡尔积 5. 关系及其表示 6. 关系的性质 7. 复合关系和逆关系 8. 关系的闭包运算 9. 集合的分划和覆盖 10. 等价关系与商集 11. 序关系 12. 函数与映射 13. 逆函数与复合函数要求：1．掌握集合的定义和基本运算。
2．掌握关系的定义、性质和运算。
3．掌握等价关系和序关系，了解相容关系，会读、会画哈斯图。
4. 掌握映射与函数的定义。
第三章代数结构范围：1．代数系统的概念 2. 二元运算及其性质 3. 广群、半群与独异点 4. 群与子群5．阿贝尔群与循环群要求：1．掌握二元运算的重要性质。
离散数学复习提纲(1-457章)
离散数学复习提纲第一章 命题逻辑1．（P ∨Q ）→（⌝Q ∧R ）的主合取范式和主析取范式。
2．试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（an: ))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）(an: 解：（1）真值表)（2因此公式（2）为恒假。
（3因此公式（3）为恒真。
4．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。
法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。
）5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）（an: 1、证明：（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R= 1 ∨⌝P ∨R= 1（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））=1）6．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨⌝∨⌝,,}蕴涵S P →(an: 证明：2006年12月离散数学复习提纲 3（1）Q P ∨⌝ 规则P（2）Q P → 规则Q （1）（3）R Q ∨⌝ 规则P（4）R Q → 规则Q （3）（5）R P → 规则Q （2）（4）（6）R →S 规则P（7）P →S 规则Q （5）（6） )7．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →（an: 、证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)（1）A 规则D（2）A ∨B 规则Q （1）（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）（5）D 规则Q （4）（6）F D ∨ 规则Q （5）（7）E F D →∨)( 规则P（8）E 规则Q （6）（7）（9）E A → 规则Q （1）（8））8．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P（an: （1）┐Q ∨R（2）┐R（3）┐Q（4）┐（P ∧┐Q ）（5）┐P ∨Q（6）┐P ）9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：（1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；（2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；（3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；（4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。