离散数学模拟题1

模 拟 试 题 1
一．将下面命题写成符号表达式。

(3,4题要使用句后给定的谓词。

)
1.如果小张去，则小王与小李都不去，否则小王与小李不都去。

2.我们不能既划船又跑步。

3.有些运动员是大学生。

(L(x)：x 是运动员；,S(x)：x 是大学生。

)
4.每个运动员都钦佩一些教练。

( L(x):x 是运动员，A(x,y):x 钦佩y ，J(x):x 是教练。

) 二．写出命题公式 (Q →⌝P)→Q 的主合取范式。

（要求有解题过程） 三．令集合A={1,{1}}, B={1}, P(A)表示A 的幂集
1.判断下面命题的真值。

并说明原因，否则不给分。

(1) B ∈A, (2) P(B) ⊆P(A) (3) {Φ}⊆P(A) (4) {1}∈P(B)
2.分别计算: (1) A ×P(B) (2) A ⊕B (3) P(A)－P(B)
四．用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

∃x(A(x)∧(B(x)→⌝C(x))), ∀x(A(x) → (C(x) ∨⌝D(x))), ∀x(A(x) →D(x)) ⇒ ∃x(A(x) ∧⌝ B(x))
五．令Ａ＝{1,2,3,4 }，给出Ａ中关系R 1,R 2,R 3, R 4如下：
R 3={<1,2>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<1,1>,<1,4>, <3,3>,<4,4>}
R 4={<2,2>,<3,2>,<4,1>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<1,2>,<3,3>,<3,4>, <4,2>,<4,4>,<4,3>,<1,1>} 1．求复合关系~R 4oR 2c 。

2．分别画出R 1、R 3、R 4关系的有向图。

3．分别指出上面各个关系是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。

4．上述四个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？哪些是从Ａ到Ａ的函数？如果是等价关系，请写出该等价关系的各个等价类。

如果是函数，请指出该函数的类型。

六．设I 是整数集合，在I 上定义二元运算 * 如下：对于任何a,b ∈I
a *b=a+
b ＋4
求证<I,*>是个交换群。

R 2: 1 2
3
4
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=0001111011101110M R1
七．具有五个元素的格中，有几个不是分配格？请画出这些非分配格的图。

八，有三个小题
1．指出下面各个图中哪些是彼此同构的.
2. 完全二叉树中，设边数为e ，叶结点数为t ，求证 e=2(t-1)。

3．根据给定一组权值:1,6,2,5,3,4,1,6,2 画出一棵最优完全二叉树。

要求有画图的过程。

a c d
f
g
h
i
e
模拟试题1参考答案 一．
1．设P ：小张去。

Q ：小王去。

R ：小李去。

表达式为：
(P →(⌝Q ∧⌝R))∧(⌝P →⌝ (Q ∧R))
2．令 P:我们划船。

Q:我们跑步。

表达式为⌝(P ∧Q) 3．∃x(L(x)∧S(x))
4．∀x(L(x)→∃y(J(y)∧A(x,y))) 二．解 (Q →⌝P) →Q
⇔⌝(⌝Q ∨⌝P)∨Q ⇔ (Q ∧P)∨Q ⇔Q ⇔ (P ∧⌝P)∨Q ⇔ (P ∨Q)∧(⌝P ∨Q) 三． 1． P(A)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}
P(B)＝{Φ,{1}}
⑴：T ；因为A={1,{1}}, B={1}, B 是A 中一个元素，所以B ∈A 。

⑵：T ；因为P(B)＝{Φ,{1}}，P(B)中两个元素Φ和{1}都属于P(A),所以P(B) ⊆P(A)。

⑶：T ；因为集合{Φ}中只有一个元素Φ，而P(A)中也有元素Φ，所以{Φ}⊆P(A)。

⑷：T 。

因为{1}是P(B)中一个元素，所以{1}∈P(B)。

2．
⑴ A ×P(B)＝{<1,Φ>,<1,{1}>,<{1},Φ>,<{1},{1}>} ⑵ A ⊕B ＝(A ⋃B)－(A ⋂B)＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。

⑶ P(A)－P(B)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}－{Φ,{1}}＝{{{1}}, {1,{1}}
四．答案：证明.
⑴ ∃x(A(x)∧(B(x)→⌝C(x))), P ⑵ A(a)∧(B(a)→⌝C(a)) ES ⑴ ⑶ A(a) T ⑵ I ⑷ (B(a)→⌝C(a)) T ⑵ I ⑸ ∀x(A(x) → (C(x) ∨⌝D(x))) P ⑹ A(a) → (C(a) ∨⌝D(a)) US ⑸ ⑺ (C(a) ∨⌝D(a)) T ⑶ ⑹ I ⑻ ∀x(A(x) →D(x)) P ⑼ A(a) →D(a)) US ⑻ ⑽ D(a) T ⑶ ⑼ I ⑾ C(a) T ⑺ ⑽ I ⑿ ⌝B(a) T ⑷ ⑾ I ⒀ A(a)∧⌝B(a) T ⑶ ⑿ I ⒁ ∃x(A(x)∧⌝B(x)) EG ⒀ 五．1．~R 4={<1,3>,<3,1>}
~R 4oR 2c ＝{<1,3>,<3,1>}o{<1,4>,<2,3>,<3,1>,<4,2>}＝{<1,1>,<3,4>} 2．
3．具有自反性：R 1，R 3，R 4。

具有反自反性：R 2。

具有对称性：R 2，R 4。

具有反对称性：R 2，R 3。

具有传递性：R 1，R 3。

4.上述四个关系中，
是等价关系：R 1，A/R 1＝{{1,2,3},{4}}。

是偏序关系：R 3 。

是从Ａ到Ａ的函数：R 2，是双射的函数。

六．答案：
1.证明封闭姓:任取a,b ∈I 因为a ＋b ＋4 ∈I , a *b ∈I. 所以*满足封闭性.。

2.证明交换性:任取a,b ∈I, 因为a *b=a ＋b ＋4=b ＋a ＋4=b *a. 所以*满足交换性。

3.证明结合性, a,b,c ∈I, 因为
(a *b)*c =(a ＋b ＋4)＋c ＋4=a ＋b ＋4＋c ＋4=a ＋(b ＋c ＋4)＋4=a *(b *c). 所以*满足结合性。

. 4.证明4是幺元, 任取a,∈I, 因为a *(-4)=a ＋4＋(-4)=a (-4)*a=(-4)+a+4=a ，所以-4是幺元。

5.证明有逆元, 任取a,∈I, -8-a ∈I , 因为
a *(-8-a)= a+(-8-a)+4=-4
(-8-a)*a=(-8-a)+a+4=-4 所以-8-a 是a 的逆元。

综上所述 <I,*>是个交换群。

七．答案：有两个。

图形如下：
八．1．a 、h 、i 同构； b 、d 同构； c 、g 同构； e 、f 同构。

2．解：由完全m 叉树公式 (m －1)i=t －1这里 (2－1)i=t －1, ∴ i=t －1, ∴T 中总的结点数v 为: v=i ＋t =(t t －1)＋t=2t －1，T 的边数 e=v －1= 2t －1－1= 2t －2=2(t t －1)
d
a
c
1 2
3
4
R 1
R 3
R 4
3．
1,1,2,2,3,4,5,6,6
2,2,2,3,4,5,6,6, 2,3,4,4,5,6,6
4,4,5,5,6,6,
5, 5,6,6,8
6,6,8,10
8,10,12
12,18
30
1
1
3
4
5
6
2 6 2
2 4 8
10
30
18
12
5。