分式方程的解法1——窦硕爱
解分式方程的方法
解分式方程的方法一、通分法：针对分式的分母进行通分，并将方程中的每一项乘以分母的通分因子，使得分式方程中的分母相同。
然后将等号两边的分子相加或相减，将分式转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$首先，将方程两边的分式通分，通分因子为$x(x-1)(x+1)$，得到$(x-1)(x+1)+2x=x(x-1) \Rightarrow x^2-1+2x=x^2-x \Rightarrowx=1$二、消元法：通过合理的变换，将方程中的分式消去，转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$首先，将两边的分式通过通分转化为同类分数，得到$\frac{x-1-2x}{x(x-1)}=\frac{3}{x+1} \Rightarrow \frac{-x-1}{x(x-1)}=\frac{3}{x+1} \Rightarrow (-x-1)(x+1)=-3(x)(x-1) \Rightarrow x=1$三、代换法：通过合理的代换将含有分式的方程转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=1$令$y=\frac{1}{x}$，则分式方程转化为整式方程$y+\frac{1}{y-1}=1$。
将等式两边通分，得到$y(y-2)+1=y-1 \Rightarrow y^2-2y+1=y^2-2y \Rightarrow 1=-1$，此时方程无解。
四、等效方程法：通过等效方程将分式方程转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x}=\frac{2x-3}{x(x-1)}$首先将等式两边的分式通分，得到$\frac{x+2(x-1)}{(x-1)(x)}=\frac{2x-3}{x(x-1)}$。
由等式两边的分母相等，可得$x+2(x-1)=2x-3$。
怎样解决简单的分式方程跟我学习分式方程的解法
怎样解决简单的分式方程跟我学习分式方程的解法关于怎样解决简单的分式方程，下面将介绍一些分式方程的解法。
一、分式方程的定义和基本性质分式方程是指方程中含有分式的方程。
一般形式为：分子是多项式，分母是多项式的方程。
对于分式方程，有以下基本性质：1. 分式方程的未知数通常在分母中。
2. 要求方程中的分子和分母都是多项式，且方程中的未知数不出现在分母的分母中。
二、解分式方程的基本步骤解分式方程的基本步骤如下：1. 将分式方程的分子和分母化简，使其分子和分母均为多项式。
2. 通过消去分母来求解方程。
消去分母的方法包括通分、倒数和提取公因式等。
3. 将方程转化为多项式方程，即分子为0的方程。
4. 求解多项式方程，得到解集。
三、解决简单的分式方程的例子例1：解方程 (x - 2)/(3x + 4) = 1/(2x + 1)解法：1. 先将方程中的分式进行通分，得到 (2x + 1)/(3x + 4) = 1/(2x + 1)。
2. 接着将方程中的分母进行消去，得到 (2x + 1)^2 = (3x + 4)。
3. 将方程展开并整理，得到 4x^2 + x - 6 = 0。
4. 使用因式分解或求根公式等方法求解多项式方程，得到 x = -3/4 或 x = 3/2。
5. 综合两个解得到方程的解集为 {-3/4, 3/2}。
例2：解方程 (2x + 3)/(x - 1) = 5/(x + 2)解法：1. 先将方程中的分式进行通分，得到 (2x + 3)/(x - 1) = 5/(x + 2)。
2. 将方程中的分母进行消去，得到 (2x + 3)(x + 2) = 5(x - 1)。
3. 将方程展开并整理，得到 2x^2 + 7x + 9 = 5x - 5。
4. 化简为多项式方程，得到 2x^2 + 2x - 14 = 0。
5. 使用因式分解或求根公式等方法求解多项式方程，得到 x = -3 或x = 2。
6. 综合两个解得到方程的解集为 {-3, 2}。
八年级数学分式方程的解法
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
解分式方程： 1 10
x 5 x2 25
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
解得：
x+5=10 x=5
为什么会产 生增根？
检验： 将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应
分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(xx（6）2x x 1 10
2
5
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
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大多数中国人旅游喜欢蜻蜓点水，而且“上车睡觉，下车拍照，定点尿尿，举旗报到，回家什么都不知道”。 ? 176、两支火把 两支火把，奉火神之命到世界各地去考察。两支火把中有一支没有点燃，另一支是点燃的，发出很亮的光芒。过了不久，两支火把都回来了，而且都向 火神
分式方程的解法是什么？
分式方程的解法是什么？
分式方程的解法是什么，具体步骤小伙伴们知道吗？尚不了解的考生看过来，下面由小编为你精心准备了“分式方程的解法是什么?”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
分式方程的解法是什么?
一、分式方程的解法
将分式方程整理成整式方程(即乘以公分母)2.去括号，移项，合并同类项;3.求解;4.检验。
一、分式方程的解法具体步骤
第一步，去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，解3÷(x+1)=5÷(x+3)。
同乘(x+1)(x+3)就可以去掉分母了。
第二步，去括号，系数分别乘以括号里的数。
第三步，移项，含有未知数的式子移动到方程左边，常数移动到方程右边。
第四步，合并同类项
第五步，系数化为1，方程的基本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变，和天平一样的。
这里除以-2。
第六步，检验，把方程的解代入分式方程，检验是否正确。
分式方程解析
分式方程解析分式方程（Rational Equations）是包含有分式的方程。
解分式方程是指要找出使得该方程成立的值。
在解分式方程之前，我们先来了解一些基本概念和方法。
首先，我们需要知道分式的定义。
一个分式由分子（numerator）和分母（denominator）组成，分子和分母都是多项式。
通常，我们把分式写成a/b的形式，其中a是分子，b是分母。
解分式方程的基本思路是将方程转化为一个方程，其中不再包含分式。
这可以通过消去分母来实现。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题。
步骤1：将分式方程转化为等价的方程，其中不再包含分式。
我们可以通过两端同乘分母来消去分母。
例如，对于方程1/x = 2/3，我们可以将两边分别乘以3来得到等价方程3(1/x) = 3(2/3)，即3/x = 2。
步骤2：简化等式。
在步骤1中，我们已经消去了分母。
现在，我们需要将等式简化，并找到解。
对于方程3/x = 2，我们可以通过两边同乘x来得到等价方程3 = 2x。
然后我们可以继续简化等式，得到x = 3/2。
步骤3：验证解。
我们找到了方程的解x = 3/2，但我们还需要验证这个解是否满足原方程。
将解代入原方程，如果等式成立，则该解是正确的。
对于方程1/x = 2/3，将x = 3/2代入，我们有1/(3/2) = 2/3，计算得到2/3 = 2/3，等式成立。
因此，x = 3/2是方程的解。
在解分式方程的过程中，有一些常见的错误可能会导致错误的解或无解。
这些错误包括未将方程转化为等价形式、在简化等式时发生错误、代入解时计算错误等。
因此，在解分式方程时，需要仔细检查每个步骤，确保正确性。
解分式方程在实际问题中有很多应用。
例如，在做数学题中，我们常常会遇到包含有分式方程的问题。
解分式方程可以帮助我们找到问题的解，解决实际问题。
此外，在经济学、物理学和工程学等领域中，也经常需要解分式方程来解决问题。
总结起来，解分式方程是一种重要的数学技能。
专题7 分式方程的解法(必讲)
专题7分式方程的解法含有分式的方程叫做分式方程。
一、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程例1解方程 21421224x x x x +-=+--． 分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为： 14212(2)(2)2x x x x x +-=++--方程两边各项都乘以24x -：2(2)42(2)4x x x x -+-+=-即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+=解得：1x =或2x =．检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根． 所以，原方程的解是1x =．说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．2．用换元法化分式方程为一元二次方程例2解方程 2223()4011x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程21x y x =-．解：设21x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-． (1)当4y =时，241x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=；(2)当1y =-时，22215111012x x x x x x x -±=-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，2x =，152x -±=都是原方程的解． 说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y 的值，而没有求到原方程的解，即x 的值．例3解方程 22228(2)3(1)1112x x x x x x+-+=-+． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式2221x x x +-与2212x x x-+互为倒数．因此，可以设2221x x y x +=-，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 解：设2221x x y x +=-，则22112x y x x -=+ 原方程可化为：2338118113018y y y y y y +=⇒-+=⇒==或． (1)当1y =时，22222112121x x x x x x x +=⇒+=-⇒=--； (2)当38y =时，2222223181633516303851x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒++=⇒=-=--或．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是12x =-，3x =-，15x =-． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．对于某些分式方程也可以采取特殊的方法去解决。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。
解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。
本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。
一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。
然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。
2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。
然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。
3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。
接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。
二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。
比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。
求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。
通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。
2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。
已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。
求填满一半的水池所需的时间。
通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。
3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。
例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。
已知一年后获得的总收益为800元。
求该人分别投资了多少钱。
通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。
4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。
例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。
求两种溶液的混合比例。
通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。
分式方程的解法
例 1 解方程 5 7 x x2
解： 方程两边都乘以 x ( x – 2 ) , 约去分母，得 5 ( x – 2 ) = 7x
解这个整式方程，得 x=–5
检验：当 x = – 5 时， x ( x – 2 ) = (– 5)(– 5 – 2) = 35 ≠0
所以 – 5 是原方程的根.
例 2 解方程 1 1x3 x2 2x
解： 方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得 1 = x – 1– 3( x – 2)
解这个整式方程，得 x=2
检验：当 x = 2 时，x – 2 = 0
所以 2 是增根，原方程无解.
解方程
随 堂
练
(1)
3 x-1
=
4 x
习
(2)
x 2x-3
+
5 3-2x
=4
思考题:
解关于x的方程
x-3 x-1
=
m x-1
产生增根,则常数m的值等于(
)
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
分式方程
【例3】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单
独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙
队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪
个队的施工速度快？
解：设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 1 .
`
谢谢！
左左边边
9900 1188
55，， 右右边边
6600 1188 --
66
55
因因 为为 左左 边边 == 右右 边边 ，， 所所 以以 xx == 1188 是是 原原 方方 程程 的的 根根 ..
再看分式方程
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全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选
教案设计
初中数学 《分式方程解法1》
一、教案背景
1、面向学生：
中学 小学 2、学科：数学
3、课时：1
4、学生课前准备：复习分式的基本性质，分式方程的概念，
一元一次方程的解法。
二、教材分析
本节是青岛版数学八年级上册第三章《分式》第七节《分式
方程》第二课时。
本节是在上节学习分式方程的基础上，仍以上节问题1,2中
得到的方程为例，研究怎样解分式方程的问题。
通过小亮的思考，
引导学生探索解分式方程的解法，由学生得出解分式方程的基本
思路：去分母，把分式方程化为整式方程。
使学生体会到，运用
转化的数学思想，是解分式方程的关键。
本节重点放在解分式
方程的步骤和转化思想上，验根虽作为一个步骤出现，但教学中
暂不要作过多的解释。
三、教学目标
知识技能：
1、经历探索分式方程的解法的过程，体会分式方程化为整式
方程的思想。
√ 2
(2)1
x x
2、会解可化为一元一次方程的分式方程。
3、掌握解分式方程的一般步骤。
过程与方法：
经历探索分式方程的解法的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：
结合已有经验解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
教学重点：分式方程的解法。
教学难点：把分式方程转化为整式方程。
教学思路：
本节课主要学习没有增根的分式方程的解法，它是在分式方程的概念的基础上进一步学习，重点是探索解分式方程的步骤。
在设计本课时教案时，先复习分式的基本性质，分式方程的概念，并由上节的问题1与问题2中的两个分式方程引出它的解法，注意引导学生利用分式的基本性质探索，并与一元一次方程的解法进行比较学习。
在理解、掌握分式方程的解法的学习过程中，逐步渗透类比、转化数学思想。
在学习过程中，采用小组学习方式，组间竞争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和兴趣。
教师准备：制作课件、精选习题、学生分成十组
教学过程：
一、知识回顾
1、分式的基本性质有哪些？
2、什么是分式方程？
3、判断，下列哪些是分式方程？
【学生活动】以小组为单位抢答。
师：按各组表现给小组计分。
设计意图：为分式方程的解法做铺垫。
二、温故知新
1、51
532
-=+x x 是什么方程？
2、怎样解这个方程？
3、怎样检验求出的x 的值是不是方程的解？
【学生活动】以小组为单位抢答。
找一名学生板演2题。
【教师活动】询问每一步的依据及注意的问题。
解整式方程的一般步骤有＿＿＿＿＿ 、 ＿＿＿＿＿ 、
＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。
设计意图：为分式方程的解法做铺垫。
三、探索新知 类比方程51
532
-=+x x 的解法
1、你认为分式方程42480
300
=-x x ，应先怎样做呢？ 2、试试看，你能否求出未知数的值。
3、怎样检验你求出的未知数的值是否是分式方程的解？
【学生活动】学生思考后与小组内的同伴交流。
口答1、3，
1
(1)2
x =2
(2)1x x =2
4(3)5151x
x x +-+24
(4)0
35x
x ---=
在练习本上做2。
【教师活动】巡看学生做2的情况
设计意图：让学生使用类比思想，总结出分式方程的解法。
四、自主学习
自学P77-78例1、例2
自学要求：弄明白每一步的依据，不明白的地方组内解决。
【教师活动】1、说一说解分式方程的步骤？ 。
2、你知道解分式方程的基本思路吗？
解分式方程的基本思路是 ，将分式方程化为
________方程。
【学生活动】学生抢答
师生总结：解分式方程可以分为：一化二解三检验四结论。
五、夯实基础
1、解方程 时，下列变形正确的是（ ） A 、3x+3-2x+1=1 B 、 3x+3-2x-1=1
C 、3x+3-2x+1=3x
D 、 3x+3-2x-1=3x 2、解方程 【学生活动】口答 1，找两名学生板演2
【教师活动】师强调(1)去分母时，原方程的整式部分不要漏
乘．
121
13x x x x +--=3
=3
x x -
(2)约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号
设计意图：为学生提供演练机会，加强对分式方程解法的理解及掌握。
六、小结
1、解方分式程的一般步骤：
①去分母，化为一元一次方程。
方程两边都乘最简公分母
②解一元一次方程
③检验：
把未知数的值代入原方程，看方程的左右两边是否相等。
④结论。
2、确定分式方程的根。
解分式方程体现的数学思想：转化思想 类比思想
设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点。
七、随堂检测
解下列方程
1、6
5
1(1)x x x x +=++ 2
(2)233x
x x =---
设计意图：检测学生对本节课知识的掌握程度，以确定下节课的教学内容及重点。
八、拓展提升
已知方程 的解是x=1，求m 的值。
设计意图：使学生熟练掌握分式方程的解法，综合运用新旧2m x+34
=m -15
知识，使知识融会贯通。
九、布置作业
必做题:课本习题3.7A组1题（1）（2）
选做题：配套练习册33页6、8题
设计意图：课后巩固，加深学生对分式方程的解法的掌握。
教学反思：本节课教学过程注重了引导学生亲自获取新知识的过程，注重引导学生探究，通过引发学生自己的认知冲突，达到理解并掌握新知识的目的。
但在教学中也存在许多不足之处。
下面是我在本节课中的不足及解决措施：
1.部分学生对分式方程的解法掌握的不好，导致这节课难以接受，需要对分式方程的解法进一步的讲解和练习。
2.部分学生对分式方程的验根这一步只作为形式，而没有实际去验一验。
3.由于学生层次不等，基础差的学生运算能力差，虽知道解题思路，能找出最简公分母，但去分母时漏乘不含分母的项，所以在讲课时要经常强调。
4.小组抢答时优秀生抢答较多，其他学生回答问题机会较少。
以后注意让不同的学生都有机会回答问题，不能单单让一人或几人回答问题。