第14讲 小升初奥数容斥原理
XX小升初奥数知识点：容斥原理、余数问题
XX小升初奥数知识点：容斥原理、余数问题小升初奥数知识点：容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例一次期末考试，某班有1人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人?00-=1小升初奥数知识点讲解：余数问题一、同余的定义：①若两个整数a、b除以的余数相同，则称a、b对于模同余。
②已知三个整数a、b、，如果|a-b，就称a、b对于模同余，记作a≡b，读作a同余于b模。
二、同余的性质：①自身性：a≡a；②对称性：若a≡b，则b≡a；③传递性：若a≡b，b≡，则a≡；④和差性：若a≡b，≡d，则a+≡b+d，a-≡b-d；⑤相乘性：若a≡b，≡d，则a×≡b×d；⑥乘方性：若a≡b，则an≡bn；⑦同倍性:若a≡b，整数，则a×≡b×；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则A=a×b=（a）b②若B=+d则B=+d=×d四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数，n表示的各个数位上数字的和，则≡n或（d3）；②一个自然数，X表示的各个奇数位上数字的和，表示的各个偶数数位上数字的和，则≡-X或≡11-（X-）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1。
容斥原理问题公式
容斥原理问题公式嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理问题公式。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多复杂问题的谜团呢！你想想看，生活中好多情况不就像一团乱麻嘛。
比如你去参加一个聚会，有的人喜欢吃蛋糕，有的人喜欢喝饮料，还有的人既喜欢吃蛋糕又喜欢喝饮料。
那怎么才能清楚知道到底有多少人有不同的喜好呢？这时候容斥原理问题公式就派上用场啦！它就好像是一个超级整理大师，能把那些重叠的、交叉的部分都给理清楚。
就好比整理一个杂乱的房间，把相同的东西放在一起，不同的东西区分开来。
咱说个具体的例子哈。
假设有一群小朋友，有的喜欢画画，有的喜欢唱歌，还有的既喜欢画画又喜欢唱歌。
如果我们只简单地把喜欢画画的人数和喜欢唱歌的人数加起来，那不就重复计算了那些既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友嘛。
这时候，容斥原理问题公式就能帮我们准确地算出真正的人数啦！它是不是很厉害？就像一个聪明的小助手，默默地帮我们把事情都处理得妥妥当当。
再比如，在一个班级里，有同学擅长数学，有同学擅长语文，还有同学两门都擅长。
我们要是想知道到底有多少同学在这两门学科上有特长，不用容斥原理问题公式可不行哦！不然可就糊涂啦。
这容斥原理问题公式啊，真的是无处不在呢。
它就像是我们生活中的小秘密武器，能让我们在面对各种复杂情况时都能游刃有余。
你说，要是没有它，我们得多头疼啊！好多问题都会变得像一团解不开的毛线球。
但有了它，就像找到了线头，能一点点把问题都解开。
容斥原理问题公式不就是这么神奇嘛！它让我们能更清楚地看到事物的本质，把那些看似混乱的局面变得清晰明了。
它真的是我们解决问题的好帮手啊！所以啊，大家可一定要好好掌握这个神奇的公式哦！。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
小升初容斥原理
小升初容斥原理
容斥原理是指通过排除重叠的部分，计算出两个或多个集合的并集的方法。
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决集合与运算的问题。
例如，假设A和B是两个集合，我们要求A和B的并集中元
素的个数。
容斥原理告诉我们，可以通过计算A的元素个数
加上B的元素个数，然后减去A和B的交集中元素的个数来
得到并集中元素的个数。
用数学公式表示就是：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决排列组合类问题。
通过应用容斥原理，可以将一个复杂的问题转化为更简单的子问题，从而简化解题过程。
需要注意的是，在应用容斥原理时，需要注意重叠部分的计算。
有时候，重叠部分需要进行递推计算，或者使用其他方法来求解。
总之，容斥原理是小升初数学中常用的一个解题方法，通过排除重叠部分，可以简化解题过程，提高解题效率。
小学数学奥林匹克辅导小升初专题容斥原理
小学奥林匹克数学辅导-----------容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A ＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，⋯｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，⋯，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，⋯，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、⋯表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符|A| 、| B| |C|、⋯表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式容斥原理在概率论和组合数学中被广泛应用，是一种用于计算交集的公式。
它的核心思想是通过减去所有可能的重叠部分来计算集合的总数，从而得到最终的结果。
容斥原理的正确应用能够避免重复计数，使问题的解决更加简洁和准确。
要理解容斥原理，首先需要了解集合的概念。
集合是由一些元素组成的整体，而容斥原理的目的就是计算多个集合的交集的元素个数。
假设有两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，那么根据容斥原理，A与B的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数再减去A与B的交集元素个数。
使用数学符号来表示，即|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
这个公式可以扩展到多个集合的情况。
假设有三个集合A、B和C，它们的交集表示为A∩B∩C，那么根据容斥原理，A、B和C的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数加上C的元素个数，再减去A与B的交集元素个数，减去A与C的交集元素个数，减去B与C的交集元素个数，最后再加上A、B和C的交集元素个数。
使用数学符号表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C|。
通过依次减去和加上各个集合的交集元素个数，我们可以计算任意多个集合的并集元素个数。
容斥原理的应用不仅限于计算集合的元素个数，还可以用于计算集合的概率。
假设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么根据容斥原理，A或B发生的概率等于A发生的概率加上B发生的概率减去A与B同时发生的概率。
使用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
同样地，容斥原理可以推广到多个事件的情况。
通过理解容斥原理，我们能够更加灵活地解决各种与集合有关的问题。
它可以帮助我们避免重复计数，减少工作量，提高计算的准确性。
在实际应用中，容斥原理被广泛运用于概率计算、组合数学、统计学等领域，并在解决集合问题中起到了重要的指导作用。
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是一种基本的计数原理，用于解决组合数学中的计数问题。
它的核心思想是通过相互排斥的事件之间的关系来计算它们的交集的大小。
在集合论中，容斥原理可以通过以下公式来表达：\[|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| -\sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k\leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|\]其中，\(A_1, A_2, \dots, A_n\) 是 n 个事件，\(A_i\) 代表第 i 个事件，\(|A|\) 代表事件 A 的大小。
以二个事件为例，容斥原理可以简化为以下公式：\[|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|\]这个公式表示两个事件 A1 和 A2 的并集的大小等于它们各自的大小之和减去它们的交集的大小。
容斥原理还可以推广到多个事件的情况。
通过反复使用这个公式，可以计算多个事件的并集的大小。
容斥原理在组合数学、概率论、统计学等领域具有广泛的应用。
它可以用于解决组合数学中的排列组合问题，计算事件的概率，估计事件的期望值等等。
除了上述公式，容斥原理还有一些等价的形式，如包含减法形式、指示函数形式等。
这些形式可以根据具体的问题选择使用。
在解决问题时，需要注意事件之间的相互排斥关系，避免重复计算。
通过合理地应用容斥原理，可以简化问题的复杂度，提高计算效率。
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容斥原理
一、两量重叠问题
求两个集合并集的元素的个数，从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“
”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“
”读作“交”，相
当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素
个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
一、两量重叠问题
1．先包含——A B + 重叠部分A
B 计算了2次，多加了1次；
2．再排除——A B A B +-
把多加了1次的重叠部分A
B 减去．
图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．
1．先包含：A B C ++ 重叠部分A
B 、B
C 、C A 重叠了2次，
多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---
重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-
A B B C A C --计算时都被减掉了．
3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
例1、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
举一反三、有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那
么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米。
例2、实验小学六年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这
个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
举一反三、一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没
完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？
图3
2厘米
4厘
米
例3、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
举一反三、某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
例4、甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
举一反三、在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?
二、三量重叠问题
例5、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
举一反三、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
2、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个
班的学生人数．
例6、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片
盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
举一反三、如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，
5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．
C
B
A
10
例7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平
方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？
举一反三、如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外
面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求
A 与C 公共部分的面积是多少？
【巩固习题】
1、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？
2、如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．
3、在自然数1100
~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？
4、某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?
真题练习：
(2017长郡双语）：
1、某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？
（2017年麓山国际）：
2、某班有学生46人其中28人学电脑，35人学美术有37人学钢琴，有40人学奥数，那么可以肯定这个班至少有多少人四项都学。
（2017年怡雅中学）:
3、有13个同学，其中有5个人同时喜欢足球和篮球，喜欢足球和喜欢排球的共有8人，不喜欢排球但喜欢篮球的有5个人，同时不喜欢足球、篮球和排球的有3个人，同时喜欢足球、篮球和排球的有人。
（2017年广益中学）：
4、某班在一次测验中，有28人语文得优，有30人数学得优，其中语文和数学都得优的有10人，另外有1人语文、数学都没得优，这个班有多少学生？
（2018年青竹湖湘一）：
5、如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡的53，是小贺卡的4
3
，若两张贺卡不重叠的面积等于240平方厘米，求重叠部分的面积．
6、某次数学小测试只有2道题，结果全班有10人全对，第一道题有25人做对，第二道题有18人做错，那么两道题都做错的有 人。