2019-2020学年全国百强名校高二下学期领军考试数学试题(文)
河南省八市重点高中2019-2020年高二12月“领军考试”数学(文)试题(答案不全)
2019--2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高二数学试题（文数）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知命题,41sin ),,0(:2+≤+∞∈x x x p 对任意则p ⌝为（ ） A 、41sin ),,0(2000+≤+∞∈∃x x x 使得 B 、41sin ),,0(2000+>+∞∈∃x x x 使得 C 、41sin ),0,(2000+≤-∞∈∃x x x 使得 D 、41sin ),0,(2000+>-∞∈∃x x x 使得 2、已知{}n a 是等差数列，且1,331==a a ，则=4a （ ）A 、2B 、0C 、-1D 、-23、已知，ο2100=α若α终边上与原点不重合的点P 在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）A 、332 B 、34 C 、2 D 、44、若2>x 时不等式11+<<a xa 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 5、ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为.,,c b a 若==-C B c b a cos ,cos 33则（ ）A 、31B 、31-C 、322D 、32 6、已知命题,sin sin :),,1(:2B A B A ABC q x x p >⇔>∆+∞>中，命题的解集为不等式 则下列命题为真命题的是（ ）A 、q p ∧B 、q p ∧⌝)(C 、)(q p ⌝∧D 、）（q p ⌝∧⌝)(7、若b a ≠，则03322>->b a ab ab b a 是的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件B 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件8、已知数列{}n a 是等比数列，若===++3321321,27,13a a a a a a a 则（ ）A 、3B 、9C 、313或 D 、1或9 9、，若的面积为设所对的边分别为中，角S ABC c b a C B A ABC ∆∆,,,,,334222=--S b a c ，则ab 的取值范围为（ ） A 、），（∞+0 B 、），（∞+1 C 、），（30 D 、），（∞+3 10、过抛物线x y C 4:2=的焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，则||2||BF AF +取得最小值时，|AB|=（ ）A 、22 B 、22+3 C 、232+ D 、2223+ 11、若直线)1(-=x k y 与椭圆1222=+y x C ：交于A,B 两点，若对于任意实数x k ,轴上存在点)0,(m M ，使得直线AM,BM 关于x 轴对称，则=m （ ）A 、2B 、2-C 、2D 、2-12、斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列{}n a 满足,,1,11221n n n a a a a a +===++则称数列{}n a 为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据12++-=n n n a a a 可得：1)(...)()(...2123423321-=-++-+-=+++++++n n n n a a a a a a a a a a a ，类似的，可得：=++++2100232221...a a a a （ ）A 、200a B 、101100a a C 、12102-a D 、1201-a二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
2019-2020学年全国百强名校“领军考试”高二下学期数学(6月)(文)试题(解析版)
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题.
10．在“新消费”模式的背景下，外卖员越来越多.现调研某城市外卖员的工资收入情况，对该行业20个外卖员人均年收入 （千元）与平均每天的工作时间 （小时）进行调查统计，得出 与 具有线性相关关系，且线性回归方程为 ，若某外卖员年收入约为9万元，则他平均每天工作（）
A．17B．－17C．23D．－23
【答案】B
【解析】应用复数的乘法运算求得复数 的代数式为 ，即可知虚部
【详解】
∵
∴复 的虚部为－17
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，由复数的代数式确定虚部
3．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 、 的大小关系，进而可得出 、 、 三个数的大小关系.
执行循环体， ， ；不满足判断框内的条件 ，
执行循环体， ， ；不满足判断框内的条件 ，
执行循环体， ， ；此时，满足判断框内的条件 ，退出循环，输出 的值为132.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了程序框图的循环结构流程图，，属于基础题.
8．过双曲线 ： 的左焦点 作斜率为 的直线，恰好与圆 相切， 的右顶点为 ，且 ，则双曲线 的标准方程为（）
12．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，且 轴，点 到直线 的距离为2，且 ，则椭圆 的标准方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知求得 ， ，再由椭圆的定义可得 ，根据等面积法得点 到 的距离为 ，代入可求得 ，得出椭圆 的标准方程.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 .又 ，当 时，可得 ，即有 ，
全国百强名校2020届高三下学期“领军考试” 数学(文) 含答案
附： K 2 =
n(ad − bc)2
，n＝a＋b＋c＋d。
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
18.(12 分) 已知△ABC 中 3ACtanC＋AB(tan∠BAC＋tanC)＝0。 (1)求 cos∠BAC； (2)若 AC＝3，AB＝1，点 D 在 BC 边上，且∠BAD＝∠CAD，求 AD 的长。 19.(12 分)
4
A.
B.
C.2 D.4
3
3
4.已知数列{an}是等比数列，若
a32a9 a52
= 4 ，则 a5＝
A.2 B.4 c.2 2
1
D.
4
x ≥ −1
y ≥ −1
6.已知实数
x，y
满足约束条件
x
−
2
y
+
2
≥
0
，则
3x－y
的最大值是
2x − y − 2 ≤ 0
A.4
B.3
C.－2
D. − 7
2
6.某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备
(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数 t 与平均值 x (同一组中的数据用该组区间的中点值代
表)； (2)现从 10 月 1 日在该商场购买商品的顾客中随机抽取 100 名顾客，经统计有男顾客 40 人， 其中 10 人购物时刻在[19，23](夜晚)，女顾客 60 人，其中 50 人购物时刻在[7，19)(白天)，根 据提供的统计数据，完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“男顾客更喜欢 在夜晚购物”?
A.5 5
B.2 13 ＋ 2
2020届全国百强名校领军考试高三下学期模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届全国百强名校领军考试高三下学期模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1. 答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试题相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合, ,则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】化简集合,,再求交集即可．【详解】＝＝,,故＝,故选：C2.已知复数,则=（）A. 2B. 8C.D. 13【答案】B【解析】利用复数代数形式乘除运算化简,再由求解.【详解】依题意＝,所以.故选：B3.直线绕原点逆时针方向旋转后与双曲线：的一条渐近线重合,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据旋转后直线的夹角得出其直线方程,结合渐近线方程,利用离心率公式,化简即可得出答案.【详解】直线绕原点逆时针方向旋转后得直线的倾斜角为,则旋转后的直线方程为所以,双曲线的离心率.故选：C4.已知数列是等比数列,若,则a5=（）A. 2B. 4C. 2D.【答案】B【解析】根据题意,设数列的公比为,结合等比数列的通项公式进行化简,由此求得的值.【详解】根据题意,数列是等比数列,设其公比为,若,则＝＝.故选：B5.已知实数x,y满足约束条件,则3x-y的最大值是（）A. 4B. 3C. -2D. -【答案】A【解析】。
2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷(文科)(2月份)
2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|2x −3<0}，B ={x|log 2x <12}，则A ∩B ＝（ ）A.{x|x <32} B.{x|x <√2}C.{x|0<x <32}D.{x|0<x <√2}2. 已知复数z =5+i1−i −i ，则z ⋅z ¯=( ) A.2√2 B.8 C.√13 D.133. 直线y ＝x 绕原点逆时针方向旋转π12后与双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线重合，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2√33B.43C.2D.44. 已知数列{a n }是等比数列，若a 32a9a 52=4，则a 5＝（ ） A.2 B.4C.2√2D.145. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥−1y ≥−1x −2y +2≥02x −y −2≤0 ，则3x −y 的最大值是（ ）A.4B.3C.−2D.−726. 某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，则既有男生发言又有女生发言的概率为（ ） A.25 B.12C.35D.457. 已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝ln y ，其变换后得到一组数据下：由上表可得线性回归方程z =−4x +a ，则c ＝（ ） A.−4 B.e −4C.109D.e 1098. 已知f(k)＝k cos kπ(k ∈N ∗)，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A.s ≥−2？B.s ≥2？C.s ≥3？D.s ≥4？9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为（ ） A.5√5 B.2√13+√2 C.2√5+3√2 D.5√210. 已知定义在(−∞, +∞)上的增函数f(x)满足对任意x 1，x 2∈(−∞, +∞)，都有f(x 1+x 2)=12f(x 1)f(x 2)，且f(0)≠0，f(1)＝6，若2<f(a +1)<18，则a 的取值范围是（） A.(−12,1) B.(−1, 1) C.(0, 2) D.(1, 3)11. 蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:x 2a+2+y 2a=1(a >0)(a >0)的蒙日圆为x 2+y 2＝4，a ＝（ ） A.1 B.2 C.3 D.412. 已知数列{a n }满足a n =(−1)n(n+1)2n ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2019＝（ ） A.2020 B.2019C.1010D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.斜率为−1的直线l 与f(x)=13x 3+x 2的图象相切，则直线l 的方程为________．已知a →=(−1, 2)，b →=(1, 1)，若a →⋅(a →−kb →)＝0，则k ＝________．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)，若存在x 0∈[−2π, 2π]，使得f(x 0)＝−2，则ω的取值范围是________14，+∞) ．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，AD =√2，把该四边形沿AC 折起，使得点B 到达点E ，且平面AEC ⊥平面ACD ，若点A 、C 、D 、E 都在同一个球的表面上，则该球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7:00−23:00这一时间段内顾客：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7:00〜11:00，11:00〜15:00，15:00∼19:00，19:00∼23:00，依次记作[7, 11),[11, 15),[15, 19),[19, 23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t 与平均值x ¯（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客40人，其中10人购物时刻在[19, 23]（夜晚），女顾客60人，其中50人购物时刻在[7, 19)（白天），根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n =a +b +c +d已知△ABC 中，3AC tan C +AB(tan ∠BAC +tan C)＝0． （1）求cos ∠BAC ；（2）若AC ＝3，AB ＝1，点D 在BC 边上，且∠BAD ＝∠CAD ，求AD 的长如图，在四棱锥P −ABCD 中AD // BC ，DA ⊥AB ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，点E 为PD 中点．（1）求证：CE // 平面PAB ；（2）若PA ⊥AD ，PA ＝2，∠PAB =2π3，求三棱锥A −PCD 的体积．已知过点P(4, 0)的动直线与抛物线C:y 2＝2px(p >0)交于点A ，B ，且OA →⋅OB →=0（点O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；（2）当直线AB 变动时，x 轴上是否存在点Q 使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．已知f(x)=12x 2−a ln x +1(a ∈R)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若2<a <e +1e，且g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x 有2个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：1e<x 1<1;g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2．（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =√3a +√32ty =a −12t，(t 为参数，a ∈R)．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ＝3． （1）若点A(0, 4)在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；（2）已知a >0，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，若|PQ|最小值为√62，求a 的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)＝x 2+2|x −1|． （1）求不等式f(x)>|2x|x的解集；（2）若f(x)的最小值为M ，且a +b +c ＝M(a, b, c ∈R)，求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．参考答案与试题解析2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A ，B ，再求交集即可． 【解答】A ＝{x|2x −3<0}＝(−∞, 1.5)，B ={x|log 2x <12}=(0, √2)，故A ∩B ＝(0, 1.5)， 2.【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z ⋅z ¯=|z|2求解． 【解答】 ∵ z =5+i 1−i−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)−i =2+3i −i ＝2+2i ，∴ z ⋅z ¯=|z|2=(2√2)2=8． 3. 【答案】 C【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可得渐近线的倾斜角为π3，所以斜率为√3，可得a ，b 的关系，再由离心率与a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 【解答】因为直线y ＝x 的斜率为1，倾斜角为π4，由题意可得渐近线的倾斜角为π4+π12=π3，所以斜率为√3，即ba =√3， 所以离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√1+3=2，4.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】根据题意，设数列{a n }的公比为q ，结合等比数列的通项公式可得a 32a9a 5=a 32×a 3q 6(a 3q )=a 3q 2＝a 5，即可得答案．【解答】根据题意，数列{a n }是等比数列，设其公比为q ， 若a 32a9a 52=4，则a 32×a 3q 6(a 3q 2)2=a 3q 2＝a 5＝4；5.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】首先画出平面区域，令z ＝3x −y ，利用目标函数的几何意义求最大值． 【解答】不等式组表示的平面区域如图：令z ＝3x −y 变形为y ＝3x −z ， 此直线在y 轴截距最小时，z 最大，由区域可知，直线经过图中D 时，z 取最大值； 由：{x −2y +2=02x −y −2=0 ⇒{x =2y =2 ；∴ D(2, 2)；∴ z 取最大值为：3×2−2＝4 6. 【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】基本事件总数n =C 52=10，既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数m =C 31C21=6，由此能求出既有男生发言又有女生发言的概率． 【解答】某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，基本事件总数n =C 52=10，既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数m =C 31C21=6， ∴ 既有男生发言又有女生发言的概率p =m n=610=35．7.【答案】 D【考点】求解线性回归方程 【解析】由已知求得x ¯与z ¯的值，代入线性回归方程求得a ，再由y ＝ce kx ，得ln y ＝ln (ce kx )＝ln c +ln e kx ＝ln c +kx ，结合z ＝ln y ，得z ＝ln c +kx ，则ln c ＝109，由此求得c 值． 【解答】 x ¯=16+17+18+194=17.5，z ¯=50+34+41+314=39．代入z =−4x +a ，得39＝−4×17.5+a ，则a =109． ∴ z =−4x +109，由y ＝ce kx ，得ln y ＝ln (ce kx )＝ln c +ln e kx ＝ln c +kx ， 令z ＝ln y ，则z ＝ln c +kx ，∴ ln c ＝109，则c ＝e 109． 8.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】第二次执行循环体，k ＝2，S ＝2，不满足退出循环的条件（1）第三次执行循环体，k ＝3，S ＝−1，不满足退出循环的条件（2）第四次执行循环体，k ＝4，S ＝3，满足退出循环的条件（3）若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是s ≥3？ 故选：C ． 9.【答案】 B【考点】平面的基本性质及推论 【解析】由题意画出图形，找出截面，求解三角形得答案． 【解答】 如图，G 为B 1C 1 的中点，则FG // B 1D 1 // BD ，得平面AEFGK // BD ，由△GC 1F ≅△HD 1F 及△HD 1E ∽△ADE ，可得D 1E =13DD 1，则D 1E =23，DE =43， 求得FG =√2，FE ＝GK =√(23)2+12=√133，AE ＝AK =√(43)2+22=2√133． ∴ 平面α与该正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为2√133+4√133+√2=2√13+√2．10.【答案】 B【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据题意，用特殊值法分析可得f(2)＝18，f(0)＝2，据此可得2<f(a +1)<18，即f(0)<f(a +1)<f(2)，结合函数的单调性分析可得答案． 【解答】 故选：B ． 11.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a 的值．【解答】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上找两个特殊点分别为(0, √a)，(√2+a, 0)，则两条切线分别是x=√2+a，y=√a，则两条直线的交点为P(√2+a, √a)，而P在蒙日圆上，所以(√2+a)2+(√a)2＝4，解得a＝1，12.【答案】D【考点】数列的求和【解析】本题可先构造数列{b n}：令b n=(−1)n(n+1)2，先得出数列{b n}的特点及周期性，然后可得数列{a n}的规律，再用分组求和法可得S2020的值，再通过S2019＝S2020−a2020可得到正确选项．【解答】由题意，可构造数列{b n}：令b n=(−1)n(n+1)2，则可得数列{b n}:−1，−1，1，1，−1，−1，1，1，…即数列{b n}是最小正周期为4的周期数列．∴数列{a n}:−1，−2，3，4，−5，−6，7，8，…∴S2020＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+...+a2017+a2018+a2019+a2020＝(−1−2+3+4)+(−5−6+7+8)+...+(−2017−2018+2019+2020)＝4×504＝2020，∴S2019＝S2020−a2020＝2020−2020＝0．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】3x+3y+1＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导函数等于−1求得切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】设切点坐标为(x0, y0)，由f(x)=13x3+x2，得f′(x)＝x2+2x，则f′(x0)=x02+2x0=−1，即x0＝−1，则y0=−13+1=23．∴直线l的方程为y−23=−1(x+1)，即3x+3y+1＝0．【答案】5【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】求出a→−kb→的坐标，利用向量的数量积运算即可求解．【解答】a→−kb→=(−1,2)−k(1,1)=(−1−k,2−k)．∵a→⋅(a→−kb→)＝0，∴(−1)×(−1−k)+2(2−k)＝0．∴k＝5．【答案】[【考点】三角方程【解析】求出x∈[−2π, 2π]时，ωx∈[−2ωπ, 2ωπ]；令−2ωπ≤−π2求出ω的取值范围即可．【解答】函数f(x)＝2sinωx(ω>0)，当x∈[−2π, 2π]时，ωx∈[−2ωπ, 2ωπ]；令−2ωπ≤−π2，解得ω≥14，此时存在x0∈[−2π, 2π]，使得f(x0)＝−2，所以ω的取值范围是[14, +∞)．【答案】3π【考点】球的表面积和体积【解析】由题意画出图形，证明DE的中点O为三棱锥E−ACD外接球的球心，求解三角形可得OD，代入球的表面积公式得答案．【解答】如图，由AB＝AC＝1，BC＝AD=√2，得AB⊥AC，即EA⊥AC，又平面AEC⊥平面ACD，平面AEC∩平面ACD＝AC，∴EA⊥平面ACD，底面ACD为等腰直角三角形，过AD的中点作底面ACD的垂线，交DE于O，则O为三棱锥E−ACD外接球的球心，则外接球的半径R=12DE=√32．∴球O的表面积为S=4π×(√32)2=3π．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】设中位数为m ，则0.025×4+0.075×4+0.100×(m −15)＝0.5，解得m ＝16． 平均值x ¯=0.025×4×9+0.075×4×13+0.100×4×17+0.050×4×21＝15.8； 2×2列联表如图：（1）K 2的观测值k =100×(300−800)240×60×80×20≈1.302<2.706．∴ 没有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”．【考点】 独立性检验 【解析】（1）设中位数为m ，再由中位数左边的频率和为0.5列式求解； （2）求出K 2的观测值k ，与临界值表比较得到结论． 【解答】设中位数为m ，则0.025×4+0.075×4+0.100×(m −15)＝0.5，解得m ＝16． 平均值x ¯=0.025×4×9+0.075×4×13+0.100×4×17+0.050×4×21＝15.8； 2×2列联表如图：（1）K 2的观测值k =100×(300−800)240×60×80×20≈1.302<2.706．∴ 没有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”． 【答案】△ABC 中，∵ 3AC tan C +AB(tan ∠BAC +tan C)＝0， ∴ 由正弦定理得(3sin B +sin C)⋅sin C cos C+sin C sin ∠BAC cos ∠BAC=0，由0<C <π，sin C ≠0，得：(3sin B +sin C)cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，整理，得：3sin B cos ∠BAC +sin C cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin (∠BAC +C)＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin B ＝0，∵ 0<B <π，sin B ≠0，∴ cos ∠BAC =−13．由cos ∠BAC =−13，得sin ∠BAC =2√23，由∠BAD＝∠CAD ，得sin ∠BAD ＝sin ∠CAD =√1−cos ∠BAC2=√1+132=√63， 由S △ABC ＝S △BAD +S △CAD ，得：12×AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AD ×sin ∠BAD +12×AC ×AD ×sin ∠CAD ，整理，得2√2=√6AD +√63AD ，解得AD =√32．【考点】解三角形 【解析】（1）由正弦定理得(3sin B +sin C)⋅sin Ccos C +sin C sin ∠BAC cos ∠BAC=0，由(3sin B +sin C)cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，得：3sin B cos ∠BAC +sin C cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，从而3sin B cos ∠BAC +sin B ＝0，由此能求出cos ∠BAC ． （2）由cos ∠BAC =−13，得sin ∠BAC =2√23，由∠BAD ＝∠CAD ，得sin ∠BAD ＝sin ∠CAD =√1−cos ∠BAC2=√63，由S △ABC ＝S △BAD +S △CAD ，得2√2=√6AD +√63AD ，由此能求出AD ． 【解答】△ABC 中，∵ 3AC tan C +AB(tan ∠BAC +tan C)＝0， ∴ 由正弦定理得(3sin B +sin C)⋅sin C cos C+sin C sin ∠BAC cos ∠BAC=0，由0<C <π，sin C ≠0，得：(3sin B +sin C)cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，整理，得：3sin B cos ∠BAC +sin C cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin (∠BAC +C)＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin B ＝0，∵ 0<B <π，sin B ≠0，∴ cos ∠BAC =−13．由cos ∠BAC =−13，得sin ∠BAC =2√23，由∠BAD ＝∠CAD ，得sin ∠BAD ＝sin ∠CAD =√1−cos ∠BAC2=√1+132=√63， 由S △ABC ＝S △BAD +S △CAD ，得：12×AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AD ×sin ∠BAD +12×AC ×AD ×sin ∠CAD ， 整理，得2√2=√6AD +√63AD ，解得AD =√32．【答案】证明：作EF ⊥AP 于F ，点E 为PD 中点．所以F 为AP 的中点，所以EF =∥12AD ，所以EF =∥BC ，所以四边形EFBC 是平行四边形， 所以CE // BF ，BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE // 平面PAB ． PA ⊥AD ，DA ⊥AB ，所以AD ⊥平面PAB ，PA ＝2，∠PAB=2π3，所以P 到平面ACD 的距离为：2×√32=√3，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，所以三角形ACD 的面积为：12×2×1=1， 三棱锥A −PCD 的体积为：13×S △ACD ×√3=√33．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 直线与平面平行【解析】（1）作EF ⊥AP 于F ，点E 为PD 中点．证明四边形EFBC 是平行四边形，推出CE // BF ，然后证明CE // 平面PAB ．（2）求出P 到平面ACD 的距离，三角形ACD 的面积，然后转化求解三棱锥A −PCD 的体积． 【解答】证明：作EF ⊥AP 于F ，点E 为PD 中点．所以F 为AP 的中点，所以EF =∥12AD ，所以EF =∥BC ，所以四边形EFBC 是平行四边形， 所以CE // BF ，BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE // 平面PAB ． PA ⊥AD ，DA ⊥AB ，所以AD ⊥平面PAB ，PA ＝2，∠PAB =2π3，所以P 到平面ACD 的距离为：2×√32=√3，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，所以三角形ACD 的面积为：12×2×1=1，三棱锥A −PCD 的体积为：13×S △ACD ×√3=√33．【答案】设过点P(4, 0)的动直线为x ＝my +4，代入抛物线y 2＝2px ，可得y 2−2pmy −8p ＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 可得y 1y 2＝−8p ，由OA →⋅OB →=0可得x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2＝16−8p ＝0，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ；当直线AB 变动时，x 轴上假设存在点Q(t, 0)使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP 为∠AQB 的角平分线，即有k AQ +k BQ ＝0， 由（1）可得y 1y 2＝−8p ，y 1+y 2＝2pm ， 则k AQ +k BQ =y 1x1−t+y 2x 2−t=y 1my 1+4−t+y 2my 2+4−t=0，化为2my 1y 2+(4−t)(y 1+y 2)＝0， 即为−16mp +2pm(4−t)＝0， 化简可得t ＝−4，则x 轴上存在点Q(−4, 0)，使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等． 【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系【解析】（1）设过点P(4, 0)的动直线为x ＝my +4，联立抛物线的方程，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，化简可得p ，进而得到抛物线方程；（2）x 轴上假设存在点Q(t, 0)符合题意，由题意可得k AQ +k BQ ＝0，运用直线的斜率公式和韦达定理，化简可得t 的值，即可判断存在性． 【解答】设过点P(4, 0)的动直线为x ＝my +4，代入抛物线y 2＝2px ，可得y 2−2pmy −8p ＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 可得y 1y 2＝−8p ，由OA →⋅OB →=0可得x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2＝16−8p ＝0，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ；当直线AB 变动时，x 轴上假设存在点Q(t, 0)使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP 为∠AQB 的角平分线，即有k AQ +k BQ ＝0， 由（1）可得y 1y 2＝−8p ，y 1+y 2＝2pm ， 则k AQ +k BQ =y 1x1−t+y 2x2−t=y 1my 1+4−t+y 2my 2+4−t=0， 化为2my 1y 2+(4−t)(y 1+y 2)＝0，即为−16mp +2pm(4−t)＝0， 化简可得t ＝−4，则x 轴上存在点Q(−4, 0)，使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等． 【答案】f(x)=12x 2−a ln x +1，求导，f ′(x)=x −ax=x 2−a x(x >0)，①当a ≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当a >0时，x ∈(0,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上可知，a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增；证明：①方法一：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1， 所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e ，得△＝a 2−4>0， 且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2，由x 1+x 2=x 1+1x 1=a <e +1e，得(x 1−e)(x 1−1e)x 1<0，所以1e <x 1<1，解法二：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1， 所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e，得△＝a 2−4>0， 且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2， 设m(x)＝x 2−ax +1＝0，因为m(1e )=1e2−ae+1=1e+e−a e>0，m(1)＝2−a <0，由零点存在定理得1e <x 1<1；②g(x 1)−g(x 2)=12x 12−ax 1+ln x 1+1−12x 22+ax 2−ln x 2−1=12(x 1+x 2)(x 1−x 2)−a(x 1−x 2)+21nx 1=−12(x 1+x 2)(x 1−x 2)+21nx 1=12x 12−12x 12+21nx 1(1e <x 1<1)，设ℎ(t)=12t 2−12t 2+21nt ，(1e<t <1)，求导，ℎ(t)=−1t3−t +2t=−(t 2−1)24<0，(1e<t <1)，故y ＝ℎ(t)在(1e ,1)单调递减，ℎ(t)<ℎ(1e )=12e 2−12e −2， 所以g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2..【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断f(x)的单调性；（2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得x 1和x 2的关系，因此可以求得x 1的取值范围； 方法二：根据方法一求得x 1和x 2的关系，根据函数的零点存在定理求得x 1的取值范围；②根据①可知，表示出g(x 1)−g(x 2)，消元，根据x 1的取值范围和函数的单调性即可求得g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2.. 【解答】f(x)=12x 2−a ln x +1，求导，f ′(x)=x −ax=x 2−a x(x >0)，①当a ≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当a >0时，x ∈(0,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上可知，a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增；证明：①方法一：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1，所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e ，得△＝a 2−4>0，且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2，由x 1+x 2=x 1+1x 1=a <e +1e ，得(x 1−e)(x 1−1e)x 1<0，所以1e<x 1<1，解法二：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1， 所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e ，得△＝a 2−4>0， 且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2， 设m(x)＝x 2−ax +1＝0，因为m(1e )=1e 2−ae +1=1e+e−a e>0，m(1)＝2−a <0，由零点存在定理得1e<x 1<1；②g(x 1)−g(x 2)=12x 12−ax 1+ln x 1+1−12x 22+ax 2−ln x 2−1=12(x 1+x 2)(x 1−x 2)−a(x 1−x 2)+21nx 1=−12(x 1+x 2)(x 1−x 2)+21nx 1=12x 12−12x 12+21nx 1(1e <x 1<1)，设ℎ(t)=12t 2−12t 2+21nt ，(1e<t <1)，求导，ℎ(t)=−1t 3−t +2t=−(t 2−1)24<0，(1e<t <1)，故y ＝ℎ(t)在(1e,1)单调递减，ℎ(t)<ℎ(1e)=12e 2−12e 2−2，所以g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2..（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】直线l 的参数方程为{x =√3a +√32ty =a −12t ，(t 为参数，a ∈R)．转换为直角坐标方程为x +√3y −2√3a =0， 由于点A(0, 4)在直线l 上，所以4√3−2√3a =0，解得a ＝2．即：x +√3y −4√3=0，转换为极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ−4√3=0． 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ＝3．转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1． 设点Q(√3cos θ,sin θ)，点Q 到直线x +√3y −2√3a =0的距离d =√3cos √3sin √3a|1+3，由于a >0，所以|PQ|≥|√6−2√3a|2=√62，解得a =√2或0（0舍去）．故a =√2．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】直线l 的参数方程为{x =√3a +√32ty =a −12t ，(t 为参数，a ∈R)．转换为直角坐标方程为x +√3y −2√3a =0， 由于点A(0, 4)在直线l 上，所以4√3−2√3a =0，解得a ＝2．即：x +√3y −4√3=0，转换为极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ−4√3=0． 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ＝3．转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1．设点Q(√3cos θ,sin θ)，点Q 到直线x +√3y −2√3a =0的距离d =√3cos √3sin √3a|1+3，由于a >0，所以|PQ|≥|√6−2√3a|2=√62，解得a =√2或0（0舍去）．故a =√2．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 【答案】当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0 ，∴ x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．当x ≥1时，f(x)＝x 2+2x −2＝(x +1)2−3； 当x ＝1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1>1， ∴ f(x)最小值为1，∴ a +b +c ＝M ＝1， ∵ a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴ √a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理√b 2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴ √a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 【解析】 （1）根据f(x)>|2x|x，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；（2）先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c ＝M ＝1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2成立．【解答】当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0 ，∴ x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．当x≥1时，f(x)＝x2+2x−2＝(x+1)2−3；当x＝1时，f(x)取得最小值为1；当x<1时，f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1>1，∴f(x)最小值为1，∴a+b+c＝M＝1，∵a2+b2≥a22+b22+ab=(a+b)22，∴√a2+b2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2，同理2+c2≥√2(b+c)2,√c2+a2≥√2(c+a)2，∴√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)=√2．第21页共22页◎第22页共22页。
全国百强名校领军考试2019-2020学年下学期高三语文试题及答案
2019-2020学年下学期全国百强名校“领军考试”试卷高三语文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
《福州古厝》一书的序言中指出：“保护好古建筑、保护好文物就是保存历史，保存城市的文脉，保存历史文化名城无形的优良传统。
”近日，总书记沿河西走廊自西向东，先后来到敦煌、嘉峪关、张掖、武威、兰州等历史文化名城考察调研，再次引起了人们对城市文脉的关注。
城市文脉是贯穿于一个城市历史文化中的人类精神血脉，是这个城市在漫长时光中积淀的地域色彩和文化个性。
生活在城市中的每个人都有义务保存好自己城市的文脉，因为这是承前启后、继往开来的资源和动能。
今天，国人有能力在城市文脉保护中大有作为了。
近年来，我国各地的历史文化名城和其他类型的城市，进行了大量城市历史文化风貌保护的制度探索。
除了历史文化名城必备的《历史文化名城保护专项规划》外，各地还制订了许多接地气、可操作的具体规章制度。
这些具体细致的法规将会为城市文脉的保存延续发挥长久的积极作用。
但是直到今天，总体上看我国城市文脉保存制度建设的路仍然很长，城市之间参差不齐的情况比较普遍，每个城市都有大量空白处需要填补，都有大量调查研究的具体工作要做。
要保存好城市的文脉，必须发挥多种社会力量的作用。
在城市文脉的保护工作中，社会力量参与的意愿比较积极。
一般说来，企业更适合于需要投资并能得到回报的项目，社会组织更适合于政府购买服务的项目，个人则多做志愿者或发挥社会监督作用。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
全国百强名校2019-2020学年高二下学期领军考试+语文本含答案
2019—2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高二语文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
对于传统手工艺而言，传承，就是最好的保护。
传统手工艺的传承模式主要还是延续家族传承、师徒传承等古老的方式，但目前很多传统手工艺人却面临“子不愿承父业”、后继无人的尴尬境地。
究其原因，在我国数千年的封建社会时期里，受儒家思想的影响，手工艺人的社会地位低下。
由于长期不受社会主流阶层的重视，大部分传统手工艺的传承只能依靠“师傅带徒弟”的形式，特别依赖于经验传授，无法形成规范化的教学体系。
传承人在学成出师以前，需要经过很长时间“学徒工”的过程，既是学徒，也是小工，收入普遍比较微薄。
这是传统手工艺在传承方面原本就存在的先天性问题。
到了现代，这些手工艺品在现代化的浪潮下，绝大部分功能已经被现代工业产品所取代，因此传统手工艺品受到极大的冲击。
大部分手工艺人的产品已经逐渐失去了实用性，除少部分具有观赏价值的可以作为工艺美术品销售以外，更多的手工艺产品已经失去了市场，进一步导致很多手工艺人面临“后继无人”的问题。
得益于移动互联网的高速发展，中国快速步入“自媒体时代”。
就目前情况而言，国内自媒体平台如雨后春笋。
部分传统手工艺人敏锐察觉到了移动互联网所带来的商机，主动拥抱自媒体，并积极投入其中。
然而，大部分手工艺人在使用自媒体平台时，只是简单的将其理解为一种营销渠道，而并没有真正深入地融入移动互联网时代。
这种运用自媒体的营销模式主要表现为通过“微博”、“朋友圈”、“抖音”等平台发布手工艺产品的宣传性图文或短视频，从而达到提高销量的目的，甚至直接通过这些自媒体平台进行交易活动。
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全国百强名校2019-2020学年高二下学期领军考试（文） 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部『答案』在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题『答案』后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号。
回答非选择题时，将『答案』用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＋2∈A}，则A ∩B ＝
A.{1，2}
B.{0，l}
C.{0，1，2}
D.{－1，0，1，2，3，4}
2.设复数z ＝(4＋i)(3－5i)，则复数z 的虚部为
A.17
B.－17
C.23
D.－23
3.设14a log 1.1=，1
41b log 5=，c ＝(14
)0.1，则 A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c
4.设α是第三象限角，且2sin cos sin 2cos αααα+-＝7，那么sin(α＋6
π)＝
A.20
B.20-
C.20
D.20- 5.已知向量a 是单位向量，|b|＝3，|a －b|
，则向量a ，b 的夹角大小为 A.6π B.4π C.3
π D.23π 6.对于不同直线a ，b ，l 以及平面a ，B ，下列说法中正确的是
A.如果a//α，a//β，则α//β
B.如果a ⊥l ，b ⊥l ，则a//b
C.如果a//α，b//β，则a//b
D.如果a ⊥α，b ⊥α，则a//b
7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为
A.22
B.62
C.132
D.240
8.过双曲线C ：22
221x y a b
-=的左焦点F x 2＋y 2＝a 2相切，C
的右顶点为A ，且|AF|＝2C 的标准方程为 A.22
13y x -= B.2213x y -= C.2214y x -= D.2
214x y -= 9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若c ＋2b ＝3a ，2sinC ＝3sinA ，则cosB ＝ A.1
3 B.23 C.4348 D.548
10.在“新消费”模式的背景下，外卖员越来越多.现调研某城市外卖员的工资收入情况，对该行业20个外卖员人均年收入y(千元)与平均每天的工作时间x(小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ＝10x ＋10，若某外卖员年收入约为9万元，则他平均每天工作
A.7小时
B.8小时
C.9小时
D.10小时
11.余数，数学用语。
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，取余数运算：a mod b ＝c(b 不为0)表示整数a 除以整数b 所得余数为c ，如7÷3＝2…1。
已知1 mod 7＝1，11mod 7＝4，111mod 7＝6，1111mod 7＝5，…，按照这样的规律， 20001
111⋅⋅⋅个mod7＝
A.1
B.4
C.6
D.5
12.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且
PF 2⊥x 轴，点足到直线F 1P 的距离为2，且| F 1F 2|＝6，则椭圆C 的标准方程为 A.221189x y += B.221123x y += C.2219x y += D.2
2118
x y += 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.y ＝2cos(3x ＋8π)在区间[－8π，8
π]的最小值为 。
14.已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 1a 4＝27，则a 6＝ 。
15.三棱锥P －ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 中，AB ＝3，C ＝30°，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则该球的表面积是 。
16.若函数f(x)＝xlnx ＋ax 2＋1在区间(0，＋∞)内有且仅有1个极值点，则实数a 的取值范围为 。
三、解答题：共70分。
解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝51，a 2是a 1和a 6的等比中项。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝
n n+1
1a a ，求数列{b n }的前n 项和S n 。
18.(12分)
骑行有很多好处：
1.习惯性的单车运动，更能扩大你的心脏。
2.单车是需要大量氧气的运动。
3.单车运动同时也能防止高血压，有时比药物更有效。
还能防止发胖、血管硬化，并使骨骼强硬。
4.自行车是减肥的工具。
5.单车运动，不只可以减肥，还使你的身段更为匀称迷人。
6.事实上因为踩单车压缩血管，使得血液循环加速，大脑摄入更多的氧气，因此你吸进了更多的新鲜空气。
7.它不止是一种减肥运动，更是心灵愉悦的放逐。
某机构为调查我国公民对骑行的喜爱态度，随机选了某城市某小区的100位居民调查，调查结果统计如表：
(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为是否喜爱骑行与年龄有关?
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(12分)
已知函数f(x)＝2x3－9x2－24x＋6。
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若a≥3，求函数f(x)在区间[a，a＋2]上的最大值和最小值
20.(12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，A1M＝1
3
AA1，C1N＝
1
3
B1C1，A1B1
＝2，AA1＝A1C1＝3。
(1)求证：MN//平面AB1C；
(2)求直线MN与平面AB1C之间的距离。
21.(12分)
已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的焦点为F，圆C2：(x＋2)2＋(y＋8)2＝4，过y轴上点G 且与y轴不垂直的直线l与抛物线C1交于A，B两点，B关于y轴的对称点为D，O为坐标原点，连接GC2交x轴于点E，且点E，F分别是GC2，OG的中点。
(1)求抛物线C 1的方程；
(2)证明：直线AD 与圆C 2相交。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x 3cos y sin θθ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋
4π)。
(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求|MN|的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f(x)＝|2x －3|＋|2x ＋1|。
(1)求不等式f(x)≥4x －1的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为m ，a>0，b>－1且满足
111
a b ++＝m ，求a ＋b 的最小值。