奥数 六年级竞赛 利润 浓度.教师版word

时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1．(2008年西城实验考题)某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元．问：商品的购入价是________元．2．(2008年清华附中考题)王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为元/个．3．(2008年清华附中考题)某书店购回甲、乙两种定价相同的书，其中甲种书占35，需按定价的78%付款给批发商，乙种书按定价的82%付款给批发商，请算算，书店按定价销售完这两种书后获利的百分率是多少？4．(2008年西城实验考题)将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________．5．(2008年101中学考题)A种酒精浓度为40%，B种酒精浓度为36%，C种酒精浓度为35%，它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液，其中B种酒精比C种酒精多3千克，则A 种酒精有千克．测试卷8·利润浓度篇【解析】1． 该商品的定价为：(832960)(180%)8960+÷-=(元)，则购入价为：89609608000-=(元)．2． 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元．3． 设甲、乙两种书的定价为a ，甲、乙两种书的总量为b ，则甲种书数量为35b ，乙种书数量为25b ，则书店购买甲、乙两种书的成本为：3278%82%0.79655a b a b ab ⨯⨯+⨯⨯=，而销售所得为ab ，所以获利的百分率为：()0.7960.796100%26%ab ab ab -÷⨯=．4． 开始时药与水的比为3:7，加入一定量的水后，药与水的比为24:766:19=，由于在操作开始前后药的重量不变，所以我们把开始时药与水的比化为6:14，即，原来药占6份，水占14份；加入一定量的水后，药还是6份，水变为19份，所以加入了5份的水，若再加入5份的水，则水变为24份，药仍然为6份，所以最后得到的药水中药的百分比为：6(624)100%20%÷+⨯=．5． 设A 种酒精有x 千克，B 种酒精有y 千克，C 种酒精有z 千克，则：11340%36%35%1138.5%x y z z yx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪⨯+⨯+⨯=⨯⎩解得7x =， 3.5y =，0.5z =，故A 种酒精有7千克．利润、浓度问题是小学六年级新学的知识点，与现实生活联系得比较紧密，同时又涉及到百分数和比例，所以是小升初重点考察的对象．2009年的出题方式仍然可能是大题中出现一道或者两道和本讲内容相关的题目，而且占的分值权重回较大．只要认真复习，掌握解题规律，就可以顺利拿下这部分分值．利润、浓度问题的内容与生活实际联系很紧密，在经济问题中，要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系，而在浓度问题中则要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系．⑴经济问题主要相关公式：100%100%-=+=⨯=⨯售价成本售价成本利润，利润率利润成本成本； 1⨯售价=成本（+利润率），1=售价成本利润率+．浓度问题相关公式：=+溶液溶质溶剂；100%100%⨯=⨯+=溶质溶剂溶质溶质浓度溶液． ⑵常用方法：①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量； ②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法； ③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)； 形象表达：AB=甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用。

不仅如此，对某些利润问题，有时候也可以巧妙地利用浓度倒三角分析其中的数量关系，从而解决问题．第8讲小升初专项训练· 利润、浓度问题::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-zy %浓度x 混合浓度z%【例 1】 李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？【分析】 经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可．1元钱3个苹果，也就是一个苹果13元；1元钱2个苹果，也就是一个苹果12元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个27元．在前一半的每个苹果可以挣111236-=(元)，而后一半的每个苹果亏1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得27元，就会共赚取2247元钱．如果从前、后两半中各取一个苹果，合在一起销售，这样可赚得11562142-=(元)，所以每一半苹果有2524204742÷=个，那么苹果总数为2042408⨯=个．［巩固］商店购进1000个十二生肖玩具，运途中破损了一些．未破损的好玩具卖完后，利润率为50%；破损的玩具降价出售，亏损了10%．最后结算，商店总的利润率为39.2%．商店卖出的好玩具有多少个？［分析］ 设商店卖出的好玩具有x 个，则破损的玩具有()1000x -个．根据题意，有：()50%100010%100039.2%x x ⨯--⨯=⨯，解得820x =．故商店卖出的好玩具有820个．【例 2】 某店原来将一批苹果按100%的利润(即利润是成本的100%)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？【分析】 第二次降价的利润是：(30.2%40%38%)(140%)25%-⨯÷-=，利润问题价格是原定价的(125%)(1100%)62.5%+÷+=．［巩固］某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价．当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售．问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？［分析］ 设这批笔记本的成本是“1”．因此定价是()1130% 1.3⨯+=．其中80%的卖价是1.380%⨯，20%的卖价是1.3220%÷⨯．因此全部卖价是1.380% 1.3220% 1.17⨯+÷⨯=． 实际获得利润的百分数是1.1710.1717%-==．［巩固］有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜10%．甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元．甲店的进货价是多少元？［分析］ 因为甲店进货价比乙店进货价便宜10%，所以甲店进货价是乙店的90%．设乙店的进货价为x 元，则甲店的进货价为90%x 元．由题意可知，甲店的定价为()90%120%x ⨯+元，乙店的定价为()115%x ⨯+元，而最终甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，由此可列方程：()()115%90%120%11.2x x ⨯+-⨯+=．解得160x =(元)，那么甲店的进货价为16090%144⨯=(元)．【例 3】 利民商店从一家日杂公司买进了一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价40%定价出售．但是，按这种定价卖出这批蚊香的90%时，夏季即将过去．为了加快资金的周转，利民商店按照定价打七折的优惠价，把剩余的蚊香全部卖出．这样，实际所得的纯利润比希望获得的纯利润少了15%．按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元(税金与买蚊香用的钱一起作为成本)．请问利民商店买进这批蚊香时一共用了多少元？【分析】 解法一：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获得的纯利润为“0.4300x -”元，实际上比希望的少卖的钱数为：x ⨯(190%-)⨯(140%+)⨯(170%-)0.042x =(元)． 根据题意，得：0.042x =(0.4300x -)15%⨯，解得2500x =． 故买进这批蚊香共用2500元．解法二：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获纯利润“0.4300x -”元，实际所得利润为“(0.4300x -)⨯(115%-)0.34255x =-”元．10%的蚊香打七折，就相当于全部蚊香打九七折卖，这样一共卖得“1.40.97x ⨯”元． 根据题意，有：1.40.973000.34255x x x ⨯--=-，解得2500x =． 所以买进这批蚊香共用2500元．［巩固］成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售．当销掉80%后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？［分析］ 先销掉80%，可以获得利润0.2540%120080%96⨯⨯⨯=(元)．最后总共获得86%的利润，利润共0.2540%120086%103.2⨯⨯⨯=(元)，那么出售剩下的20%，要获得利润103.2967.2-=(元)，每本需要获得利润()7.2120020%0.03÷⨯=(元)，所以现在售价是0.250.030.28+=(元)，而定价是()0.25140%0.35⨯+=(元)．售价是定价的0.28100%80%0.35⨯=，故出售时是打8折．【例 4】 小明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？【分析】 浓度倒三角的妙用．红笔按85%优惠，黑笔按80%优惠，结果少付18%，相当于按82%优惠，可类似浓度问题进行配比，得到红、黑两种笔的总价之比为()()82%80%:85%82%2:3--=，而红、黑两种笔的单价分别为5元和9元，所以这两种笔的数量之比为23:6:559=，所以他买了6663656⨯=+支红笔．［拓展］某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售．那么买三件的顾客有多少人？［分析］ 如果对于浓度倒三角比较熟悉，容易想到3(120%)1100%340%485%⨯-+⨯==⨯，所以1个买一件的与1个买三件的合起来看，正好每件是原定价的85%．由于买2件的，每件价格是原定价的110%90%-=，高于85%，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于3(290%)2(380%)1285%⨯⨯+⨯⨯=⨯，所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件，共买76件，所以后一种有4124763325252⎛⎫⎛⎫-⨯÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(人)．其中买二件的有：325155⨯=(人)．前一种有33258-=(人)，其中买一件的有824÷=(人)． 于是买三件的有3315414--=(人)．【例 5】 (2008年第六届“走美”六年级初赛)A 、B 两杯食盐水各有40克，浓度比是3:2．在B 中加入60克水，然后倒入A 中________克．再在A 、B 中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7:3． 【分析】 在B 中加入60克水后，B 盐水浓度减少为原来的25，但溶质质量不变，此时两杯盐水中的盐的质量比仍然为3:2，B 中的盐占所有盐的质量的22325=+，但最终状态下B 中的盐占所有盐的质量的337310=+，也就是说B 中的盐减少了32111054-÷=，所以从A 中倒出了14的盐水，即25克．［拓展］A 、B 、C 三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A 中，充分混合后从A 中取出10克倒入B 中，再充分混合后从B 中取出10克倒入C 中，最后得到的盐水的浓度是0.5%．问开始倒入试管A 中的盐水浓度是百分之几？［分析］ 整个过程中盐水浓度在下降．倒入A 中后，浓度变为原来的10110102=+；倒入B 中后，浓度变为A 中的10110203=+；倒入C 中后，浓度变为B 中的10110304=+．所以对于一开始倒入A 中的盐水浓度可以用倒推的方法，1110.5%12%432÷÷÷=，即一开始倒入A 中的盐水浓度为12%．［拓展］有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升；丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？浓度问题小结：在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然．【例 6】 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A 、B 两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A 种酒精溶液浓度是B 种酒精溶液浓度的2倍，那么A 种酒精溶液的浓度是百分之几？【分析】 新倒入纯酒精：()100010040014%100015%60++⨯-⨯=(克)． 设A 种酒精溶液的浓度为x ，则B 种为2x．根据新倒入的纯酒精量，可列方程： 100400602xx +⨯=，解得20%x =，即A 种酒精溶液的浓度是20%． 另解：设A 种酒精溶液的浓度为x ，则B 种为2x．根据题意，假设先把100克A 种酒精和400克B 种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克15%的酒精溶液混合，所以A 、B 两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为()100014%15%14%12%500--⨯=．根据浓度倒三角，有()12%:12%400:1002x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得20%x =．故A 种酒精溶液的浓度是20%．［巩固］甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍．将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？［分析］ 设乙瓶盐水的浓度是%x ，甲瓶盐水的浓度是3%x ，有1003%300%(100300)15%x x ⨯+⨯=+⨯，解得10x =，即甲瓶盐水的浓度是30%．［巩固］在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和23，已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？［分析］ 设丙缸酒精溶液的重量为x 千克，则乙缸为()50x -千克．根据纯酒精的量可列方程：()25048%5062.5%10056%3x x ⨯+-⨯+⨯=⨯， 解得18x =，所以丙缸中纯酒精的量是218123⨯=(千克)．另解：由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为56%248%64%⨯-=．那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：()264%:64%62.5%32:183⎛⎫--= ⎪⎝⎭，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有1850183218⨯=+千克，丙缸中纯酒精的量是218123⨯=(千克)．【例 7】 甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%．如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？【分析】 根据题意，先从甲、乙两瓶酒精中各取5升混合在一起，得到10升浓度为65%的酒精溶液；再将两瓶中剩下的溶液混合在一起，得到浓度为66.25%的溶液若干升．再将这两次混合得到的溶液混合在一起，得到浓度是66%的溶液．根据浓度三角，两次混合得到的溶液的量之比为：()()66.25%66%:66%65%1:4--=，所以后一次混合得到溶液52440⨯⨯=升．这40升浓度为66.25%的溶液是由浓度为70%和60%的溶液混合得到的，这两种溶液的量的比为：()()66.25%60%:70%66.25%5:3--=，所以其中浓度为70%的溶液有5402553⨯=+升，浓度为60%的溶液有3401553⨯=+升．所以原来甲瓶酒精有25530+=升，乙瓶酒精有15520+=升．［巩固］纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%．如果每种酒精都多取20克，混合后纯酒精的含量变为45%．求甲、乙两种酒精原有多少克？［分析］ 原来混合时甲、乙的质量比是：40%35%160%40%4-=-，现在混合时甲、乙的质量比是：45%35%260%45%3-=-．由于原来甲、乙的质量差=现在甲、乙的质量差，所以原来甲的质量是该质量差的11413=-倍，现在甲的质量是该质量差的2232=-倍．于是多取的20克与15233-=对应．所以，质量差520123=÷=(克)，原来甲的质量是112441⨯=-克，原来乙的质量是4121641⨯=-克．【例 8】 甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器有浓度为10%的盐水600克．分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【分析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为()()40020%60010%40060014%⨯+⨯÷+=，而甲容器中原来浓度为20%，所以相互倒了()()40020%14%20%10%240⨯-÷-=(克)．另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的．这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的．假设相互倒了x 克，那么甲容器中是由()400x -克20%的盐水和x 克10%的盐水混合，乙容器中是由x 克20%的盐水和()600x -10%的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以()()400::600x x x x -=-，解得240x =．［巩固］ 甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4%，乙桶有糖水40千克，含糖率为20%，两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？［分析］ 由于两桶糖水互换的量是对等的，故在变化过程中，两桶中糖水的量没有改变，而两桶中糖水的含糖率由原来的不等变化为相等，那么变化后的含糖率为： ()()604%4020%6040100%10.4%⨯+⨯÷+⨯=，甲桶中原来的含糖率为4%，所以互相交换了：()()6010.4%4%20%4%24⨯-÷-=(千克)．【例 9】 甲杯中有纯酒精12克，乙杯中有水15克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为50%，乙杯中纯酒精含量为25%．问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？【分析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：15÷(125%-)155-=(克)，则甲杯中剩纯酒精1257-=(克)．由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为25%，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为()()100%50%:50%25%2:1--=，所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是7214⨯=克．［巩固］甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量为25%．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？［分析］ 由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为25%，而在此次倒入之前，甲容器中是纯酒精，浓度为100%，根据浓度倒三角，()()100%62.5%:62.5%25%1:1--=，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等．而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有15(125%)20155÷-=-=立方分米，所以甲容器中剩下的有1156-=立方分米，故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米．1． (2008年清华附中考题)某种皮衣定价是1150元，以8折售出仍可以盈利15%，某顾客再在8折的基础上要求再让利150元，如果真是这样，商店是盈利还是亏损？【分析】 该皮衣的成本为：()11500.8115%800⨯÷+=元，在8折的基础上再让利150元为：11500.8150770⨯-=元，所以商店会亏损30元．2． 甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元．【分析】 设甲成本为x 元，则乙为()2200x -元．根据条件可以列出方程：()()()90%120%115%22002200131x x ⨯+++--=⎡⎤⎣⎦，解得1200x =．故甲商品的成本为1200元． 另解：甲种商品的实际售价为成本的()120%90%108%+⨯=，所以甲种商品的利润率为8%； 乙种商品的实际售价为成本的()115%90%103.5%+⨯=，所以乙种商品的利润率为3.5%．根据“鸡兔同笼”的思想，甲种商品的成本为：()()1312200 3.5%8% 3.5%1200-⨯÷-=(元)．3． 100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？【分析】 晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的，所以本题可以抓住这个不变量来解．原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为()⨯-=千克，晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是100199%11千克，所以晾晒后的蘑菇有()÷-=千克．1198%504．有A、B两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取1升混合在一起，得到一瓶浓度为36%的盐水，他又将这份盐水与2升A瓶盐水混合在一起，最终浓度为32%．那么B瓶盐水的浓度是．【分析】根据题意，A瓶盐水的浓度为32%236%2⨯-=，那么B瓶盐水的浓度是⨯-=．36%228%44%5．A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%，它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水．如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克，那么A瓶盐水有多少克？【分析】设C瓶盐水有x克，则B瓶盐水为30=-克．则++)702xx+克，A瓶盐水为100-(30x x()()70220%3018%16%10018.8%-⨯++⨯+⨯=⨯，解得10x x xx=．所以A瓶盐水为：7021050-⨯=(克)．96 ｜六年级 第八讲 提高班｜奇妙的完全数古时候，自然数6是一个备受宠爱的数.有人认为，6是属于美神维纳斯的，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，因为上帝创造它时花了6天时间…… 自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常“完善”的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系.6的因数共有4个：ｌ、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数.例如，28也是一个完全数，它的真因数有 1、2、4、7、14，而 1＋2＋4＋7＋14正好等于28.在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张.有人统计过，在1万到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个.并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了.公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果121n +-是一个质数，那么，由公式12(21)n n N +=-算出的数一定是一个完全数.18世纪时，大数学家欧拉又从理论上证明：每一个偶完全数必定是由这种公式算出的.尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨. 直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展.1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数.到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数.在欧几里得公式里，只要121n +-是质数，12(21)n n N +=-就一定是完全数.所以，寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关.1979年，当人们知道4972441-是一个新的质数时，随之也就知道了496497244(2441)-是一个新的完全数；1983年，人们知道2432861-是一个更大的质数时，也就知道了242243286(2861)-是一个更大的完全数.它是迄今所知最大的一个完全数.这是一个非常大的数，大到很难在书中将它原原本本地写出来.有趣的是，虽然很少有人知道这个数的最后一个数字是多少，却知道它一定是一个偶数，因为，由欧几里得公式算出的完全数都是偶数！那么，奇数中有没有完全数呢？。