高考数学大一轮复习第一章第四节函数的单调性与最值课件理新人教A版

思考：(1)若函数的最值存在，那么它一定是值域中的元素吗？(2) 若函数的值域是开区间，那么函数还存在最值吗？
提示：(1)是．(2)不存在．
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 1 (1)函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (2)对于函数f(x)，x∈D，若对任意的x1，x2∈D，且(x1－x2)· [ f (x 1 ) －f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．( √ )
思考2：若函数f(x)的单调增区间是M和它在区间N上单调递增，则 M与N有怎样的关系？
提示：N⊆M.
[拓展] 1函数的单调性定义中的x1、x2的三个特征是任意性、有大小、同 属于一个单调区间． 2．f(x)的单调减区间为(a，b)，且t1、t2∈(a，b)．f(t1)＜f(t2)⇔b＞ t1＞t2＞a.
考点一
求函数的最值[基础练通]
1 1 1 1．已知函数f(x)＝ a － x (a＞0，x＞0)，若f(x)在 2，2 上的值域为 1 ，2，则a＝________． 2
1 1 1 解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝a－x(a＞0，x＞0)在 2，2
答案：1
求函数最值的常用方法 1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； 2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出 最值； 3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再 用相应的方法求最值．
考点二 [例1] ________．
确定函数的单调性(区间)[探究变通]
1 a＝f－2， b＝f(2)，
当 x2＞x1＞1 时， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 恒成立， 设 c＝f(e)，则 a，b，c 的大小关系为( D ) A．c＞a＞b C．a＞c＞b B．c＞b＞a D．b＞a＞c
解析：由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立知，f(x)在 (1，＋∞)上单调递减．又f(x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得
3．已知函数f(x)＝
上单调递增，
1 1 f ＝ ， 所以 2 2
1－2＝1， a 2 2 即 解得a＝ . 5 1 1 f（2）＝2， a－2＝2，
2 答案： 5
a，a≤b， 2．[一题多解]对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝ 设 b，a＞b.
函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值 是________．
数f(x)在区间D上是增函数 数f(x)在区间D上是减函数
图象 描述 自左向右看图象 是上升的 自左向右看图象 是下降的
思考1：若f(x)的单调递减区间为(a，b)和(c，d)，设x1∈(a，b)，x2 ∈(c，d)，且x1＜x2，则f(x1)＞f(x2)成立吗？
1 提示：不f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ________． ⇐ 源自必修一P39B组T1
解析：要使函数有意义，则x2－2x－8＞0，解得：x＜－2或x＞ 4，结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单 调增区间为(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
(2018· 北京西城区模拟)已知函数f(x)＝x|x|，若存在x∈[1，
＋∞)，使得f(x－2k)－k＜0，则k的取值范围是( D ) A．(2，＋∞)
1 C. 2，＋∞
B．(1，＋∞)
1 D． 4，＋∞
解析：∵当x≥0时，f(x)＝x2，当x＜0时，f(x)＝－x2，∴函数f(x) 在R上单调递增． 由选项知k＞0，∴f(x－2k)－k＜0⇔f(x－2k)＜( f( k)⇔x－2k＜ k⇔x＜2k＋ k. ∵存在x∈[1，＋∞)，使得x＜2k＋ k ，即xmin＜2k＋ k ，∴1＜2k 1 ＋ k，解得k＞ . 4 k )2⇔f(x－2k)＜
1．比较函数值的大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内， 再利用函数的单调性解决． 2．求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)＜f(n)的形式， 再根据函数的单调性去掉“f”，应注意m，n应在定义域内取值． 3．利用单调性求参数时，应根据问题的具体情况，确定函数的单 调区间，列出与参数有关的不等式，或把参数分离出来求解．
1 4a≥0，即 ≤a＜1. 7 1 1 综上， ≤a＜ . 7 3
3．(知识点2)函数f(x)＝ ________．
2x 在[2，6]上的最大值和最小值分别是 x－ 1
⇐ 源自必修一P31例4
2（x－1）＋2 2x 2 解析：函数f(x)＝ ＝ ＝2＋ 在[2，6]上单调递 x－ 1 x－ 1 x－ 1 2×6 12 2× 2 减，所以f(x)min＝f(6)＝ ＝ ，f(x)max＝f(2)＝ ＝4. 6－ 1 5 2－ 1
解析：函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，且f(x)＝lg
2lg x，x＞0， 2lg（－x），x＜0.
x2＝
函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间
是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
2．(2018· 银川模拟)函数 f(x)＝(x－2)|x|的单调增区间为________．
1 1 C.7，3
⇐ 源自必修一P45B组T6
1 B．0，3 1 D． 7，1
解析：选C.当x≤1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a为减函数，则3a－1＜ 0，即a＜ 1 ；当x＞1时，f(x)＝logax为减函数，则0＜a＜1，且3a－1＋ 3
1 ＝(x2－x1)a（x1＋x2）－x x ， 1 2
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4， 1＜x1x2＜4，－1＜－ 1 1 ＜－ . x1x2 4
又因为1＜a＜3， 所以2＜a(x1＋x2)＜12， 得a(x1＋x2)－ 1 ＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0， x1x2
象可知，单调递减区间为(－∞，1－ 2)和(1，1＋ 2)．
答案：(－∞，1－ 2)和(1，1＋ 2)
2．若本例(2)中函数变为f(x)＝ 上的单调性．
ax (a≠0)，试判断f(x)在(－1，1) x－ 1
解：解法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1，
x－1＋1 1 ， 1＋ f(x)＝a ＝a x － 1 x － 1 1 1 f(x1)－f(x2)＝a1＋x －1－a1＋x －1 1 2
答案：[－1，0]和[1，＋∞)
1 (2)判断并证明函数f(x)＝ax ＋ x (其中1＜a＜3)在[1，2]上的单调
2
性．
1 解：当a∈(1，3)时，函数f(x)＝ax ＋x在[1，2]上单调递增．
2
证明：设1≤x1＜x2≤2，则 1 1 2 2 f(x2)－f(x1)＝ax2＋ －ax1－ x2 x1
即f(x2)＞f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．
[母题变式] 1．若本例(1)中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解析：作出函数y＝|－x2＋2x＋1|
2 （1－ 2＜x＜1＋ 2） －x ＋2x＋1 ＝ 2 的图象如图所示．由图 x －2x－1 （x＜1－ 2或x＞1＋ 2）
知识点2 前提
函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意x∈I，都有 ③对于任意x∈I，都有
f(x)≥M ____________
条件
f(x)≤M ____________
②存在x0∈I，使得f(x0) ＝M
④存在x0∈I，使得f(x0)＝ M M为最小值
结论
M为最大值
解析：由于f(x)＝(x－2)|x|＝
2 x －2x，x≥0， 2 －x ＋2x，x＜0，
结合图象(图略)可
知函数的单调增区间是(－∞，0)，[1，＋∞)．
答案：(－∞，0)，[1，＋∞)
考点三 命题点 1
函数单调性的应用[创新贯通] 利用单调性比较大小
[例 2]
(2018· 南昌模拟)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
2 x ＋1，x≥0， 解析：作出函数f(x)＝ 1，x＜0
的图象如图所示，不等式f(1－x2)＞f(2x)，等价于 1－x ＞0， 1－x2＞2x，解得－1＜x＜ 2－1. 2x＞0.
2
2 1－x ＞0， 2x≤0
或
命题点3
利用单调性求参数的范围
[例4]
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是 [1，＋∞)．( × ) (4)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × )
2．(知识点1)设函数f(x)＝
（3a－1）x＋4a，x≤1， logax，x＞1
是R上的减函
数，那么实数a的取值范围是( C ) A．(0，1)
第四节
函数的单调性与最值
教材细梳理 知识点1 函数的单调性
单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 定 义
任意 某个区间D上的____________ 两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有 当x1＜x2时，都有
f (x1)＜f(x2) ，那么就说函 ___________ f(x1)＞f(x2) ，那么就说函 ___________
1 5 5 5 f－2＝f2.因为1＜2＜ ＜e，所以f(2)＞f2＞f(e)，故b＞a＞c. 2
命题点2
利用单调性解不等式
[例3]
2 x ＋1，x≥0， 已知函数f(x)＝ 则满足不等式f(1－x2)＞f(2x) 1，x＜0，
的范围是( D ) A．(0， 2－1) C．(0， 2＋1) B．(－1， 2＋1) D．(－1， 2－1)