2017-2018年山东省临沂市兰山区高一(上)数学期中试卷和答案

2017-2018学年山东省临沂市兰山区高一（上）期中数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．32．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{0，1}3．（3分）定义域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各等式中，正确的是（）A．=±a B．=C．a0=1 D．=5．（3分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）6．（3分）某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电话，12年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元7．（3分）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x8．（3分）函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是7，则指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为（）A．6 B．5 C．3 D．49．（3分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）10．（3分）函数f（x）=|x|+k有两个零点，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k=011．（3分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，并且α，β是方程f（x）=0的两实根，则实数α，β，a，b的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b12．（3分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）二、填空题（将答案填在题中的横线上）13．（3分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．14．（3分）为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是．（填写所有正确的编号）15．（3分）已知，则f（x）的值域为．16．（3分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．指数函数的图象如图所示．（1）在已知图象的基础上画出指数函数的图象；（2）求y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围．19．已知函数f（x）=．（I）判断f（x）的奇偶性；（II）求证：f（x）+f（）为定值；（III）求+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．20．已知函数f（x）=1og a（a＞0，且a≠1）是奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．21．我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？22．已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年山东省临沂市兰山区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵f（α）=log2（α+1）=1∴α+1=2，故α=1，故选：B．2．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{0，1}【解答】解：由集合B中的不等式变形得：20≤2x＜22，解得：0≤x＜2，∴B=[0，2），又A={﹣1，1}，则A∩B={1}．故选：B．3．（3分）定义域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为[0，+∞）；函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）；函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数的定义域为（0，+∞）；故选：D．4．（3分）下列各等式中，正确的是（）A．=±a B．=C．a0=1 D．=【解答】解：∵，A错，，B错；a0=1中a≠0，C错；=，D正确．故选：D．5．（3分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）【解答】解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=﹣x，再令g（x）=lnx，h（x）=﹣x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选：B．6．（3分）某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电话，12年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元【解答】解：12年后的价格可降为=8100×=2400元．故选：A．7．（3分）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x【解答】解：∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选：B．8．（3分）函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是7，则指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为（）A．6 B．5 C．3 D．4【解答】解：若a＞1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递增；函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a2﹣1=7，∴a2=4，又∵指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为a0+a2=1+a2=5，若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递减；则函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a0﹣1=7，不合，舍去．故选：B．9．（3分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，∵f（x）≤4，∴2+m≤4，解得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．10．（3分）函数f（x）=|x|+k有两个零点，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k=0【解答】解：由题意可得函数y=|x|的图象和直线y=﹣k有两个交点，数形结合可得﹣k＞0，即k＜0，故选：A．11．（3分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，并且α，β是方程f（x）=0的两实根，则实数α，β，a，b的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b【解答】解：方法1：方程化为一般形式得：x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0，∵α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2=0的两根，∴α+β=a+bf（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（b）＜0又二次函数图象开口向上，所以必有α＜a＜b＜β；故选：A．方法2：令w=（x﹣a）（x﹣b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x ﹣a）（x﹣b）﹣2的图象是将w向下平移2个单位得到，如图则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．故选：A．12．（3分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）【解答】解：定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f （x+4）=f（x）．函数是周期函数，周期为4；②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．说明函数在x∈[0，2]，函数是增函数；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．函数的对称轴x=2．则函数在x∈[2，4]，函数是增函数；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：B．二、填空题（将答案填在题中的横线上）13．（3分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于﹣10．【解答】解：∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1014．（3分）为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是②．（填写所有正确的编号）【解答】解：单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，故函数的图象一直是下凹的，仅有②符合题意，故答案为：②．15．（3分）已知，则f（x）的值域为（0，+∞）．【解答】解：知，当x＜0时，函数f（x）=2x单调递增，根据指数函数的性质可得：0＜f（x）＜1．当x≥0时，函数f（x）=x+1单调递增，根据指数函数的性质可得：f（x）≥1，综上可得函数f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为（0，+∞）．16．（3分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．【解答】解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A={x|1≤x≤3}，∵log2x＞1，即log2x＞log22，∴x＞2，∴B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤3}；C R B={x|x≤2}，∴C R B∪A={x|x≤3}；（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，当C⊆A，当C为空集时，a≤1；当C为非空集合时，可得1＜a≤3，综上所述a≤3．18．指数函数的图象如图所示．（2）求y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由已知图象知，∴，∴的图象如图所示．（2）∵y=ax2+bx的顶点横坐标为，∴，∴y=ax2+bx的顶点横坐标的取值范围是．19．已知函数f（x）=．（I）判断f（x）的奇偶性；（II）求证：f（x）+f（）为定值；（III）求+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=．∴函数f（x）=的定义域R，定义域关于原点对称．∴f（x）是偶函数．证明：（Ⅱ）∵，∴为定值．解：（Ⅲ）由（II）知，+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）==0+f（1）=0．20．已知函数f（x）=1og a（a＞0，且a≠1）是奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立，即．∴1﹣m2x2=1﹣x2，得m=±1．当m=1时，，故m=1不合题意，舍去．∴m=﹣1．（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．证明如下：由（1）得（a＞0，且a≠1），任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，令，∴．∵x 1＞1，x2＞1，x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x2＞0，∴t（x1）＞t（x2）．∴当a＞1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．21．我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？【解答】解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40）（3分）（6分）（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（8分）当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（10分）当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．（12分）22．已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由已知a2﹣a+1=2，∴a=2．（2）∵f（x）=2x﹣2+1，∴g（x）=2x，∴h（x）=log2x（x＞0），（3）要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x2≤4，∴1＜x≤2，据题有在（1，2]恒成立，∴设t=log2x（1＜x≤2），∴0＜t≤1，∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．即：在[0，1]时恒成立，设，t∈（0，1]单调递增，∴t=1时，有y max=1，∴m≥1．。