电磁场与电磁波试题及答案

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t tρ∂∂∇⨯=+∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂v vv v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。

(或矢量式2n D σ=vv g 、20n E ⨯=v v 、2s n H J ⨯=v v v 、20n B =vv g )1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=v v v ；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-∂v v 或AE tϕ∂+=-∇∂vv 。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2.sA ds φ=⋅⎰⎰vvÒ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。

若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。

若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。

1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z xy z ⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭r rr r r r r r3x y zx y z∂∂∂=++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r∂∂∇⋅===∂∂r r由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

1. 在直角坐标系证明0A ∇⋅∇⨯=r2.()[()()()]()()()0y x x x z z x y z x y z y y x x z z AA A A A A A e e e e e e x y z y z z x x y A A A A A A x y z y z x z x y∇⋅∇⨯∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++⋅-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂r r r r r r r1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。

例静电场 0sD ds q ⋅=∑⎰⎰v vÒ 0D ρ∇⋅=v 有源0lE dl ⋅=⎰v v Ñ 0E ∇⋅=v 无旋1. 已知 R r r '=-r r r ，证明RR R R e R''∇=-∇==r 。

2. 证明x y z x y zR R R x x y y z z R e e e e e e x y z R R R'''∂∂∂---∇=++=++∂∂∂r r r v v v R '∇= …… R =-∇1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ，恒定电流的呢？2. 一般电流/0,/J dS dq dt J t ρ⋅=-∇⋅=-∂∂⎰v v vÑ； 恒定电流0,0J dS J ⋅=∇⋅=⎰v v v Ñ1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心 发生平动，移向电场强的方向。

1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。

2. 答静电场基本方程的积分形式 01s E ds q ε⋅=∑⎰⎰r r Ò ，0l E dl ⋅=⎰r r Ñ微分形式 ,0D E ρ∇⋅=∇⨯=r r1. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

2. 静电场基本方程微分形式,0D E ρ∇⋅=∇⨯=v v，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。

1. 试说明导体处于静电平衡时特性。

2. 答导体处于静电平衡时特性有 ①导体内 0E =v；②导体是等位体（导体表面是等位面）；③导体内无电荷，电荷分布在导体的表面(孤立导体，曲率)；④导体表面附近电场强度垂直于表面，且 0/E n σε=v v。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答在界面上D 的法向量连续 12n n D D =或（1212n D n D ⋅=⋅v vv v ）；E 的切向分量连续12t t E E =或（1112n E n E ⨯=⨯v vv v ）1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。

2. 在界面上D 的法向量 2n D σ=或（12n D σ⋅=vv ）；E 的切向分量20t E =或（120n E ⨯=vv ）1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为12φφ=，1212n nφφεε∂∂=∂∂ 1. 试推导静电场的泊松方程。

2. 解由 D ρ∇⋅=v ，其中 ,D E E εφ==-∇v v v，D E ε∴∇⋅=∇⋅v vε为常数2ρφε∴∇=- 泊松方程1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义2. 对于某一空间区域V ，边界面为s ，φ满足，给定（对导体给定q ）则解是唯一的。

只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。

不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1. 试写出恒定电场的边界条件。

2. 答恒定电场的边界条件为，，1. 分离变量法的基本步骤有哪些?2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。

2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。

解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。

1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。

7、 试题关键字恒定磁场的基本方程1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。

2. 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为0s lB ds H dl I ⋅=⋅=⎰∑⎰v v v vÑÑ’ 0B H J∇⋅=∇⨯=v v 说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。

1. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。

2. 答:恒定磁场的边界条件为:12()s n H H J ⨯-=rr r r ,12()0n B B ⨯-=r r r ，说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。

1. 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为σ。

证明垂直于平面的z 轴上z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的。

2. 证明半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为0223200d d 2()zr z rr z σε=+E e故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为002232221200000d 12()2()2z z zr z r z r z r z σσσεεε∞∞==-=++⎰E e e e而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为022320000d 12()42zz zr z r r z σσεε'==-==+⎰E e e e E1. 由矢量位的表示式0()()d 4Rτμτπ''=⎰J r A r 证明磁感应强度的积分公式03()()d 4R τμτπ'⨯'=⎰J r RB r并证明0B ∇⋅= 2. 答0()()()d 4R τμτπ''=∇⨯=∇⨯⎰J r B r A r00()1d ()()d 44R R ττμμττππ''''=∇⨯=-⨯∇⎰⎰J r J r0033()()()d d 44R R ττμμττππ'⨯'''=-⨯-=⎰⎰R J r R J r[()]0∇⋅=∇⋅∇⨯=B A r1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

2. 解 点电荷q 产生的电场满足麦克斯韦方程0∇⨯=E 和ρ∇⋅=D由ρ∇⋅=D 得d d τττρτ∇⋅=⎰⎰D据散度定理，上式即为d sq⋅=⎰ÑD S利用球对称性，得24rq r π=D e故得点电荷的电场表示式24rq r πε=E e由于0∇⨯=E ，可取ϕ=-∇E ，则得2εεϕεϕρ∇⨯=∇⋅=-∇⋅∇=-∇=D E即得泊松方程2ρϕε∇=-1. 写出在空气和μ=∞的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

2. 解 空气和理想导体分界面的边界条件为0s ⨯=⨯=n E n H J根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式s ms →,→-,→E H H E J J即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件0ms ⨯=⨯=-n H n E J式中，J ms 为表面磁流密度。

1. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式。

2.()l s D H dl J dS t ∂⋅=+⋅∂⎰⎰⎰r r r r r Ñ DH J t ∂∇⨯=+∂rr r l s B E dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰r r r r Ñ B E t ∂∇⨯=-∂r r 0sB dS ⋅=⎰⎰r r Ò 0B ∇⋅=rs D dS q ⋅=⎰⎰r r Ò D ρ∇⋅=r1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。

2. 答边界条件为120t t E E == 或10n E ⨯=rr1t sH J =r r 或 1s n H J ⨯=rr r120n n B B == 或 10n B ⋅=rr 1n s D ρ= 或 1s n D ρ⋅=rr1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。