河南省郑州市2015届高三考前复习自测卷(一)数学文试题 扫描版含答案
2015-2016学年郑州一中高三上学期第一次联考试卷(文科)
2015-2016学年郑州一中高三上学期第一次联考试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60.分1．已知集合M ＝{3，log 2a}，N ＝{a ，b}，若M ∩N ＝{0}，则M ∪N ＝（ ）A 、{0，1，2}B 、{0，1，3}C 、{0，2，3}D 、{1，2，3}2．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3．袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）A 、51B 、52C 、53D 、54 4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2a 10＝9，则a 5＋a 7（ ）A 、有最小值6B 、有最大值6C 、有最大值9D 、有最小值35．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A 、32πB 、π2C 、2πD 、322π 6．已知向量a ＝（m ，2），向量b ＝（2，−3），若|a ＋b |＝|a −b |，则实数m 的值是（ ）A 、−2B 、3C 、34 D 、−3 7．已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则x 1＋y31的最小值是（ ） A 、2 B 、22C 、4 D 、238．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝−3，则输入角θ＝（ ）A 、6π B 、−6π C 、3π D 、−3π 9．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋6π）（A ＞0，ω＞0）的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数g （x ）＝Acos ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ） A 、向左平移6π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移32π个单位 D 、向右平移32π个单位 10．已知函数f （x ）＝asinx ＋bx 3＋4（a ∈R ，b ∈R ），f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f （2014）＋f （−2014）＋f ′（2015）−f ′（−2015）＝（ ）A 、0B 、2014C 、2015D 、8 11．过双曲线C ：22a x −22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率是（ ）A、332B、3C、2D、212．数列{an }，满足对任意的n∈N＋，均有an＋a1+n＋a2+n为定值．若a7＝2，a9＝3，a 98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝（）A、132B、299C、68D、99二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z＝i ia+（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝．15．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2−2x＋22y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（1）求角C的大小；（2）若c＝7，且△ABC的面积为233，求a2＋b2．18．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．19．如图，在三棱柱ABC− A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，A 1A ＝AB ＝2，BC ＝3．（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ；（2）求四棱锥B−AA 1C 1D 的体积．20．设椭圆M ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率与双曲线x 2−y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P （1，2）为椭圆M 上一点，求△PAB 面积的最大值．21．设函数，f （x ）＝lnx ＋xk ，k ∈R ． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x−2＝0垂直，求f （x ）的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意x 1＞x 2＞0，f （x 1）−f （x 2）＜x 1−x 2恒成立，求k 的取值范围．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4−1：几何证明选讲]22．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上两点，AC 与BD 相交于点E ，GC ，GD 是圆O 的切线，点F 在DG 的延长线上，且DG ＝GF ．求证：（1）D 、E 、C 、F 四点共圆；（2）GE ⊥AB ．[选修4−4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x−y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4，2)，判断点P 与直线l 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．[选修4−5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）＝|2x ＋1|＋|2x−3|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）−log 2（a 2−3a ）＞2恒成立，求实数a 的取值范围．。
最新河南省郑州市高三第一次质量预测-数学(文)试题
1,1 、
1,2 、 1,3 、 1,4 、 2,1 、 2,2 、 2,3 、 3,1 、 3,2 、 4,1 ，共有 10 个；
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则 P(B) 10 25
所以 P (C ) 1
2 ， …………………１ 0 分 5
3 P( B ) . …………………１ 1 分
5
因为 P (B ) P(C ) ，所以这样规定不公平 . …………………… 12 分
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C 的极坐
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标方程为
2 2 cos
，直线 l 的参数方程为 4
xt （ t 为参数），直线 l 和
y 1 2 2t
圆 C 交于 A, B 两点， P 是圆 C 上不同于 A, B 的任意一点 .
（ I）求圆心的极坐标； （ II ）求 PAB 面积的最大值 .
如图所示， EP 交圆于 E ,C 两点， PD 切圆于 D ， G 为 CE 上一点且 PG PD ，连接 DG 并延长交圆于点 A ，作弦 AB 垂直 EP ，垂足为 F .
（ I）求证： AB 为圆的直径； （ II ）若 AC BD , AB 5 ，求弦 DE 的长 .
23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
底面 ABCD .
又 BC 1 AD 1 ， PD CD 2 ，所以 AQ 1， BQ 2 ， 2
MQ 3, NQ 1, …………………１ 0 分
所以 VP BMQ
VA BMQ
VM ABQ
11 AQ BQ MK
1
.
32
3
S BQM
2015年河南省郑州市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤0 2．（5分）已知集合M＝{x|x﹣2＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0] 3．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝（）A．100B．200C．360D．4005．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3＝10，且，则a2＝（）A．2B．3C．4D．56．（5分）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A．1B．C．2D．7．（5分）如图所示的程序框图中，若f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）A．0B．1C．3D．48．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17B．18C．20D．219．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）＝f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y＝f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1B．C．D．211．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3+sin x+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f （2015）＝（）A．0B．2014C．4028D．4031 12．（5分）在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若，则a10＝．14．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．15．（5分）已知，那么cos2α＝．16．（5分）给定方程：（）x+sin x﹣1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2b sin A＝a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．20．（12分）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h （x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”．当a＝8时，问函数y＝f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△P AB面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．2．（5分）已知集合M＝{x|x﹣2＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【解答】解：M＝{x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选：A．3．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3＝0，即m＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝（）A．100B．200C．360D．400【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y＝﹣5，|PF|＝b+5＝25，∴b＝20，又点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，∴a2＝20×20，∴a＝±20，∴|ab|＝400，故选：D．5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3＝10，且，则a2＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S1＝a1，S5＝5a3，又∵，∴a1a3＝5又∵a1a2a3＝10∴a2＝2故选：A．6．（5分）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A．1B．C．2D．【解答】解：长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，长方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：2．故选：C．7．（5分）如图所示的程序框图中，若f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）A．0B．1C．3D．4【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）＝的值，在同一坐标系，画出f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4的图象如下图所示：由图可知：当x＝﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C．8．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17B．18C．20D．21【解答】解：设z＝x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z＝x2+y2＝9+9＝18，故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）＝f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y＝f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）【解答】解：由函数的图象可知，当x＞0时，函数f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，函数f′（x）＜0，函数单调递减，且当x＝0时，函数取得极小值f（0），∵f（﹣1）＝f（3）＝1，∴当0≤x＜3时，f（x）＜1，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜1，综上不等式f（x）＜1的解为当﹣1＜x＜3时，即不等式的解集为（﹣1，3），故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1B．C．D．2【解答】解：∵函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期T＝＝2，则BC＝＝1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：＝2，＝∴＝2•＝2||2＝2×12＝2．故选：D．11．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3+sin x+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f （2015）＝（）A．0B．2014C．4028D．4031【解答】解：∵f（x）＝x3+sin x+1，∴f′（x）＝3x2﹣cos x，f''（x）＝6x+sin x 又∵f''（0）＝0而f（x）+f（﹣x）＝x3+sin x+1+﹣x3﹣sin x+1＝2，函数f（x）＝x3+sin x+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2＝0时，总有f（x1）+f（x2）＝2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）＝2×2015+f（0）＝4030+1＝4031．故选：D．12．（5分）在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y＝3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN＝，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2＝2，∴a﹣b＝1，∴a＝b+1，∴0≤b≤2，∴＝（a，3﹣a）•（b，3﹣b）＝2ab﹣3（a+b）+9＝2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b＝1时有最小值4；当b＝0，或b＝2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若，则a10＝96．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，∴．故答案为：96．14．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是＝50．故答案为：5015．（5分）已知，那么cos2α＝．【解答】解：∵⇒sin cosα+cos sinα＝⇒cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2﹣1＝．故答案为：．16．（5分）给定方程：（）x+sin x﹣1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sin x﹣1＝0的一个解，则满足（）α＝1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1＝﹣sin x，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y＝﹣sin x的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sin x＝﹣1，因此函数y＝（）x﹣1与y＝﹣sin x的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sin x﹣1＝0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y＝（）x﹣1与y＝﹣sin x的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x＝1﹣sin x，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sin x≤1且x＝﹣1不是方程的解∴函数y＝（）x﹣1与y＝﹣sin x的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2b sin A＝a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc＝0得：a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴由余弦定理得：cos A＝＝，∵A为三角形内角，∴A＝，由2b sin A＝a，利用正弦定理化简得：2sin B sin A＝sin A，即sin B＝，则B＝；（Ⅱ）由A＝B，得到AC＝BC＝x，可得C＝，由余弦定理得AM2＝x2+﹣2x••（﹣）＝14，解得：x＝2，则S＝AC•BC•sin C＝×2×2×＝2．△ABC18．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）＝＝所以P（C）＝1﹣P（B）＝1﹣＝．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为∠ADC ＝90°，Q 为AD的中点，所以N 为AC 的中点．…（2分）当M 为PC 的中点，即PM ＝MC 时，MN 为△P AC 的中位线，故MN ∥P A ，又MN ⊂平面BMQ ，所以P A ∥平面BMQ ．…（5分）（2）由（1）可知，P A ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P ﹣BMQ ＝V A ﹣BMQ ＝V M ﹣ABQ ，取CD 的中点K ，连结MK ，所以MK ∥PD ，，…（7分） 又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ．又，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，，…（10分） 所以V P ﹣BMQ ＝V A ﹣BMQ ＝V M ﹣ABQ ＝.，…（11分） 则点P 到平面BMQ 的距离d ＝…（12分）20．（12分）已知动点P 到定点F （1，0）和直线l ：x ＝2的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx +n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A ，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x 2+y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）设点P （x ，y ），由题意可得，， 整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，联立消去y得．，，所以，，＝＝．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h （x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”．当a＝8时，问函数y＝f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f′（x）＝2x﹣3+＝，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；∴x＝时，f（x）＝﹣+ln，极大值x＝1时，f（x）极小值＝﹣2；（Ⅱ）a＝8时，由y＝f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）＝（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）＝f（x）﹣h（x）＝，则F（x0）＝0，F′（x）＝f′x）﹣h′（x）＝（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）＝（x﹣x0）（x﹣）；当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时＜0，x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时＜0，∴y＝f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，x0＝2时，F′（x）＝（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，即点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y＝f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG＝PD，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∵∠EGA＝∠PGD，∴∠EGA＝∠DBA，∴∠DBA+∠BAD＝∠EGA+∠BAD，从而∠PF A＝∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PF A＝90°，则∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA．又∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE＝AB＝5．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△P AB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2＝，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t＝x代入y＝﹣1+2t可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|＝2＝＝，点P直线AB 距离的最大值为，．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝5时，，…（3分）由f（x）＞2得不等式的解集为．…（5分）（2）由二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，该函数在x＝﹣1取得最小值2，因为，在x＝﹣1处取得最大值m﹣2，…（8分）所以要使二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．…（10分）第21页（共21页）。
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学(文)试题(扫描版,有答案)
天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(文科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C C B B A C D C B二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.（13）4 （14）29 （15）16π5 （16）1 008三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为sin 2sin A C =，由正弦定理得2a c =，…………………………（2分）又因为222b ac c ==，所以2223cos 24a c b B ac +-==.…………………………………（5分） （Ⅱ）由3b =得，32c =，6a =，…………………………………………………（8分） 又因为27sin 1cos 4B B =-=，………………………………………………………（10分） 所以13sin 728ABC S ac B ∆==.…………………………………………………………（12分） （18）解：（Ⅰ）由题意可得3721,,20202010a b c ====，……………………………（2分） 中位数是160，………………………………………………………………………………（4分）平均数__1(7011031404160720032202)15620X =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……（6分） （Ⅱ）由已知可设12Y X B =+，因为当70X =时，460Y =，所以425B =， 所以14252Y X =+，当505Y …时, 160X …，…………………………………………（8分） 所以发电量不低于505万千瓦时包含降雨量160,200和220三类，它们彼此互斥， ………………………………………………………………………………………………（10分）所以发电量不低于505万千瓦时的概率73232020205P =++=.………………………（12分） （19）解：（Ⅰ）取1AB 的中点G ，连接,EG FG ，因为,F G 分别是1,AB AB 的中点，所以111,2FG BB FG BB =∥， 因为E 为侧棱1CC 的中点，所以,FG EC FG EC =∥，…………………………………（3分） 所以四边形FGEC 是平行四边形，则CF EG ∥，因为CF ⊂/平面1AB E ，EG ⊂平面1AB E ，所以CF ∥平面1AB E .…………………（6分）（Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ，所以1AC BB ⊥，又90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥， 因为1BB BC B ⋂=，所以AC ⊥平面1EB C ，所以1AC B C ⊥， 得111111(11)13326A EB C EB C V S AC -∆==⨯⨯⨯⨯=，………………………………………（10分） 因为112,6AE EB AB ===，所以132AB E S ∆=， 因为11C AB E A EB C V V --=，所以三棱锥1C AB E -在底面1AB E 上的高为11333C AB EAB E V S -∆=.…………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为()e x f x '=，所以(0)1f '=，又(0)1f =，得()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+，…………………………………………（2分） 又因为()2g x ax b '=+，所以(0)g b '=，又(0)1g =，得()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，因为曲线()y f x =与()y g x =在0x =处有相同的切线，所以1b =.…………………（4分） （Ⅱ）由0a =，则()()()e 1x x f x g x bx ϕ=-=--，所以()e x x b ϕ'=-，（i ）当0b …时，()>0x ϕ'>，函数()x ϕ在R 上单调递增， 又(0)0ϕ=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x …矛盾，…………（6分）（ii ）当0b >时，由()0x ϕ'>，得ln x b >；由()0x ϕ'<，得ln x b <，所以函数()x ϕ在(,ln )b -∞上单调递减，在(ln ,)b +∞上单调递增，…………………（8分）①当01b <<时，ln 0b <，又(0)0ϕ=， (ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x …矛盾； ②当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x …矛盾； ③当1b =时， ln 0b =，所以函数()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ=…，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的范围为{1}.…………………………………………………………（12分） （21）解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分） （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k++=+.…………………………………………………………（7分） 由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+， …………………………………………………………………………………………………（9分）2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=22222224(1)4(1)4(1)144(14)(4)k k k k k k k +++⨯=++++， 由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，………（11分）当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85，因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.………………………………………………………………………………………………（12分）（22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥，又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EFDG AG=，因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分） （23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数).………………………（2分）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=. …………………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分）由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…, 得3x -…； 当132x -<…时,原不等式化为424x x -+…,得30x -<…； 当12x >时，原不等式化为3224x x ++…,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x ….………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立， 当2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…，得1x a +…或13a x -…, 所以12a +-…或113a a -+…,得2a -…. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。
2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )
2015年河南省郑州市新郑一中分校高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，2）2．（5分）已知复数z＝1+ai（a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a＝（）A．2B．﹣2C．D．3．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60°，且，，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）若x∈（1，4），设，，，则a、b、c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a 7．（5分）在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n﹣1a n a n+1＝324，则n＝（）A．11B．12C．14D．168．（5分）已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O 是坐标原点，且有，那么k的值为（）A．2B．C．D．49．（5分）关于函数与函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）和g（x）的图象有一个交点在y轴上B．函数f（x）和g（x）的图象在区间（0，π）内有3个交点C．函数f（x）和g（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称10．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）11．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，，则以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率e＝（）A．B．C．D．12．（5分）若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y＝f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y＝f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）＝，此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13．（5分）若实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值是．14．（5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（2a+c）•cos B+b •cos C＝0，则B的值为．15．（5分）若一个正方体的表面积为S1，其外接球的表面积为S2，则＝．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）＝0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值范围．18．（12分）等比数列{a n}的前n项和为S n，，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）若E是线段A1B上一点，且满足，求A1E的长度．20．（12分）椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x+y+＝0的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M（0，﹣1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足＝﹣，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（ax2﹣2x﹣2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a＞0时，求函数f（|sin x|）的最小值．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F 连接CE．（1）求证：AG•EF＝CE•GD；（2）求证：．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．2015年河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，2）【解答】解：解x2﹣x﹣2≤0可得﹣1≤x≤2，∴集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝[﹣1，2]若使函数y＝ln（1﹣x）的解析式有意义则1﹣x＞0，即x＜1故B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝（﹣∞，1）∴A∩B＝[﹣1，1），故选：C．2．（5分）已知复数z＝1+ai（a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a＝（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵z＝1+ai（a∈R）在复平面上表示的点在第四象限，∴a＜0，又z•＝（1+ai）（1﹣ai）＝1+a2＝5，∴a＝±2，而a＜0，∴a＝﹣2，故选：B．3．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X＝C故选：A．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×＝；四棱锥的体积为×2×2×＝；故这个几何体的体积V＝；故选：D．5．（5分）直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60°，且，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，△ABC中∠A＝60°，AB＝2，AC＝4，由余弦定理可知BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A＝12∴，故选：B．6．（5分）若x∈（1，4），设，，，则a、b、c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：由于x＞1，所以根据指数函数性质，即b＞a＞1；又因为1＜x＜4，所以，所以，即c＜1，所以b＞a＞c，故选：B．7．（5分）在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n﹣1a n a n+1＝324，则n＝（）A．11B．12C．14D．16【解答】解：正项等比数列{a n}中，∵a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，∴＝4，＝12，＝36，＝108，＝324，a n a n+1＝＝324，∵a n﹣1∴n＝14．故选：C．8．（5分）已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O 是坐标原点，且有，那么k的值为（）A．2B．C．D．4【解答】解：当时，O，A，B三点为矩形的三个顶点，可知OA ⊥OB，由图可知直线过（2，0）点，此时k＝2，故选：A．9．（5分）关于函数与函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）和g（x）的图象有一个交点在y轴上B．函数f（x）和g（x）的图象在区间（0，π）内有3个交点C．函数f（x）和g（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称【解答】解：∵＝而sin（﹣2x﹣）＝﹣sin（2x+）则y＝与关于原点对称，∴函数f（x）和g（x）的图象关于原点（0，0）对称故选：D．10．（5分）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y＝（x+2y）（）＝2+++2≥8（当且仅当x＝4，y＝2时取到等号）．∴（x+2y）min＝8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min＝8，解得：﹣4＜m＜2．故选：D．11．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，，则以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率e＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知，双曲线离心率，设|AD|＝|BC|＝t则|AB|＝2t，|CD|＝2t﹣2t cos60°＝t，，所以，故选：B．12．（5分）若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y＝f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y＝f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）＝，此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）＝﹣x2+4x，则函数y＝﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y＝x2﹣4x（x≥0）由题意知，作出函数y＝x2﹣4x（x≥0）的图象及函数f（x）＝log3x（x＞0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13．（5分）若实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值是5．【解答】解：满足约束条件的可行域为如图所示阴影部分，由目标函数z＝x+2y得可知，当直线过（1，2）点时，取得最大值，即z取得最大值∴z max＝1+2•2＝5．故答案为：514．（5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（2a+c）•cos B+b•cos C＝0，则B的值为．【解答】解：△ABC中，∵（2a+c）•cos B+b•cos C＝0，由正弦定理可得2sin A cos B+sin（B+C）＝0，即2sin A cos B+sin A＝0，∴，∴B＝，故答案为．15．（5分）若一个正方体的表面积为S1，其外接球的表面积为S2，则＝．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S1＝6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S2＝4π（）2＝3π，所以＝＝，故答案为：．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）＝0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是1207．【解答】解：∵f（x）﹣f（x﹣5）＝0∴f（x）＝f（x﹣5）∴f（x）是以5为周期的周期函数，又∵f（x）＝x2﹣2x在x∈（﹣1，4]区间内有3个零点，∴f（x）在任意周期上都有3个零点，∵x∈（3，2013]上包含402个周期，又∵x∈[0，3]时也存在一个零点x＝2，故零点数为3×402+1＝1207．故答案为：1207三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）由图象得A＝1，＝﹣＝，∴T＝2π，则ω＝1；将（，1）代入得1＝sin（+φ），而﹣＜φ＜，所以φ＝，因此函数f（x）＝sin（x+）；（6分）（2）由于x∈[﹣π，﹣]，﹣≤x+≤，所以﹣1≤sin（x+）≤，所以f（x）的取值范围是[﹣1，]．（12分）18．（12分）等比数列{a n}的前n项和为S n，，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由题意，，所以，即，因此．（6分）（2），所以，＝．（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）若E是线段A1B上一点，且满足，求A1E的长度．【解答】证明：（1）∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点，∴A1O⊥AC，又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1O⊂侧面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC．解：（2），因此，即，OB中，A1O⊥OB，，BO＝1，又在Rt△A可得A1B＝2，则A1E的长度为．20．（12分）椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x+y+＝0的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M（0，﹣1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足＝﹣，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点到直线x+y+＝0的距离为2，∴∴c＝，a＝2，∴b＝，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵＝﹣，∴（x1﹣x0，y1）＝﹣（x2﹣x0，y2）∴y1＝﹣y2①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y＝kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2＝0②∴y1+y2＝﹣③y1y2＝④由①③可得y2＝，y1＝﹣代入④整理可得：8k4+k2﹣9＝0∴k2＝1此时②为5y2+2y﹣7＝0，判别式大于0∴直线l的方程为y＝±x﹣1．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（ax2﹣2x﹣2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a＞0时，求函数f（|sin x|）的最小值．【解答】解：由题意得：f'（x）＝（e x）'•（ax2﹣2x﹣2）+e x•（ax2﹣2x﹣2）'＝；（3分）（1）由曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得f'（2）＝0，即＝，解得a＝1；（6分）（2）设|sin x|＝t（0≤t≤1），则只需求当a＞0时，函数y＝f（t）（0≤t≤1）的最小值．令f'（x）＝0，解得或x＝﹣2，而a＞0，即．从而函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和上单调递增，在上单调递减．当时，即0＜a≤2时，函数f（x）在[0，1]上为减函数，y min＝f（1）＝（a ﹣4）e；当，即a＞2时，函数f（x）的极小值，即为其在区间[0，1]上的最小值，．综上可知，当0＜a≤2时，函数f（|sin x|）的最小值为（a﹣4）e；当a＞2时，函数f（|sin x|）的最小值为．（12分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F 连接CE．（1）求证：AG•EF＝CE•GD；（2）求证：．【解答】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝∠AGD，∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG＝∠GDF，∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF＝CE•GD（2）由（1）知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG•GF，由（1）知，∴．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【解答】解：（1）对于C：由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，进而x2+y2＝4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x+2|和y＝5的图象，由图象知定义域为（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x+2|﹣a≥0，即|x+1|+|x+2|≥a，又由（1）|x+1|+|x+2|≥1，∴a≤1．。
2015年河南省郑州市新郑三中高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）函数f（x）＝lg（x﹣1）+的定义域是（）A．（1，3）B．[1，3]C．（1，3]D．[1，3）2．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．B．1C．2D．3．（5分）设向量＝（2，x﹣1），＝（x+1，4），则“x＝3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y＝f（x），将其图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后再将它所得的图形沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，则y＝f（x）的解析式是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）A．f（x）＝x|x|B．f（x）＝﹣x3C．f（x）＝D．f（x）＝8．（5分）在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝﹣2+λ，则λ＝（）A．1B．2C．3D．49．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤2011B．i＞2011C．i≤1005D．i＞1005 10．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2＝0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数y＝f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝x+，且当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是．14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA ＝60°，则A、C两点之间的距离为千米．16．（5分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{a n}的前n项和为Pn，若（n∈N*），数列{b n}满足2b n+1＝b n+b n+2（n∈N*），且b3＝7，b8＝22．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）设数列c n＝a n b n，求{c n}的前n项和S n．18．（12分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）请你估算该年级的平均数及中位数．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）在平面直角坐标系内已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），若将动点P （x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．（I）求动点P所在曲线C的方程；（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++＝，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．21．（12分）设f（x）＝xlnx，g（x）＝x2﹣1．（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（10分）选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC 分别交于点M、N，且MN＝MC（1）求证：MN＝MB；（2）求证：OC⊥MN．23．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ＝时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|P A|•|PB|的范围．24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）函数f（x）＝lg（x﹣1）+的定义域是（）A．（1，3）B．[1，3]C．（1，3]D．[1，3）【解答】解：要使函数有意义，则，解得1＜x≤3，∴函数的定义域为（1，3]．故选：C．2．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．B．1C．2D．【解答】解：z＝＝+2i＝1﹣i+2i＝1+i，则|z|＝．故选：A．3．（5分）设向量＝（2，x﹣1），＝（x+1，4），则“x＝3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）＝0，解得x＝±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x＝3”是“”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）＝a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选：A．5．（5分）已知函数y＝f（x），将其图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后再将它所得的图形沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，则y＝f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意曲线与的图象沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到y＝f（x）的图形，故的图形沿x轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：D．6．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∵双曲线﹣y2＝1（a＞0）的实轴长为2，∴a＝1，∵b＝1，∴c＝，∴e＝＝．故选：D．7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）A．f（x）＝x|x|B．f（x）＝﹣x3C．f（x）＝D．f（x）＝【解答】解：由f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），知函数f（x）＝x|x|为奇函数，又f（x）＝x|x|＝当x＞0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f（x）＝﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）＝x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）＝x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∵不关于原点对称，∴f（x）＝sin x在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∵f（x）＝的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）＝在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选：A．8．（5分）在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝﹣2+λ，则λ＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得＝μ，即化简得＝，∵＝﹣2+λ，∴结合平面向量基本定理，得，解之得λ＝3，μ＝﹣故选：C．9．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤2011B．i＞2011C．i≤1005D．i＞1005【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：I≤2011故选：A．10．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A．B．4C．D．【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：2故选：D．11．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2＝0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2＝0平行，由f（x）＝x2﹣bx求导得：f′（x）＝2x﹣b，由导函数得几何含义得：f′（1）＝2﹣b＝3⇒b＝﹣1，∴f（x）＝x2+x则f（n）＝n（n+1），∴数列{}的通项为，则数列的前n项的和即为S n，则利用裂项相消法可以得到：S2014＝1＝1＝，故选：A．12．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【解答】解：∵函数f（x）＝e x+x﹣2的零点为a，f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e ﹣1＞0，∴0＜a＜1．∵函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，g（1）＝﹣1＜0，g（2）＝ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数f（x）＝e x+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得f（a）＜f（1）＜f （b），故选：A．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数y＝f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝x+，且当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是1．【解答】解：∵函数y＝f（x）是偶函数，∴f（x）在[﹣3，﹣1]上的值域与f（x）在[1，3]上的值域相同；而当x＞0时，f（x）＝x+，故f（x）在[1，3]上的值域为[4，5]；故m﹣n＝1．故答案为：1．14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．15．（5分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为千米．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC＝x，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°∴AD＝x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°＝xx＝（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC＝答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：16．（5分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．【解答】解：平面区域对应区域为正方形，边长为2，对应的面积S＝2×2＝4，不等式x+y≤对应的区域如图：对应三角形OAB，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝，即A（0，），B（，0），则△AOB的面积为＝1，则所取的点恰好满足x+y≤的概率P＝；故答案为：三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{a n}的前n项和为Pn，若（n∈N*），数列{b n}满足2b n+1＝b n+b n+2（n∈N*），且b3＝7，b8＝22．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）设数列c n＝a n b n，求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{b n}是等差数列，公差，（1分）b n＝b3+（n ﹣3）d＝3n﹣2（2分）∵当n＝1时，得，（1分）当n≥2时，得（1分）当n＝1时，也满足上式．∴a n＝（）n，n∈N•（1分）（2）由（1）知，∴c n＝（3n﹣2）•（）n，n∈N•．（1分）∴S n＝1•（）+4×（）2+7×（）3+…（3n﹣5）×（）n﹣1+（3n﹣2）×（）n，于是S n＝1•（）2+4×（）3+7×（）4+…（3n﹣5）×（）n+（3n﹣2）×（）n+1，②（2分）两式①﹣②相减得S n＝+3[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（3n﹣2）×（）n+1═+3[]﹣（3n﹣2）×（）n+1＝﹣（3n+2）×（）n+1，∴S n＝﹣（3n+2）×（）n18．（12分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）请你估算该年级的平均数及中位数．【解答】解：（1）（2）设所求平均数为，由频率分布直方图可得：所以该年级段的平均分数约为81．设中位数为X，依题意得0.04+0.16+0.2+0.032×（x﹣80）＝0.5解得x＝83.12519．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D 为AC 中点，得DO 为△AB 1C 中位线， ∴A 1B ∥OD ．∵OD ⊂平面AB 1C ，A 1B ⊄平面BC 1D ， ∴直线AB 1∥平面BC 1D ； （2）证明：∵AA 1⊥底面ABC ， ∴AA 1⊥BD ，∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点 ∴BD ⊥AC∵AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵BD ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）解：由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD ＝BC sin60°＝3，∴S △BCD ＝＝， ∴V C ﹣BC 1D ＝V C 1﹣BCD ＝••6＝9．20．（12分）在平面直角坐标系内已知两点A （﹣1，0）、B （1，0），若将动点P （x ，y ）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．（I ）求动点P 所在曲线C 的方程；（II ）过点B 作斜率为的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且++＝，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．【解答】解：：（I ）依据题意，有＝（x +1，y ），＝（x ﹣1，y ），∵，∴x 2﹣1+2y 2＝1，∴动点P所在曲线C的轨迹方程是+y2＝1．（II）因直线l过点B，且斜率为k＝﹣，故有l：y＝﹣（x﹣1）．联立方程组，得2x2﹣2x﹣1＝0．设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2＝1，y1+y2＝．又++＝，点G与点H关于原点对称，于是，可得点H（﹣1，﹣）、G（1，）．若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣＝（x﹣），l2：y ＝﹣x．联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，﹣）．因此，可算得|O1H|＝＝，|O1M|＝＝．所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，﹣），半径为．21．（12分）设f（x）＝xlnx，g（x）＝x2﹣1．（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）h（x）＝xlnx﹣x2+1h′（x）＝lnx+1﹣2x令t（x）＝lnx+1﹣2x t′（x）＝﹣2＝∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）＝﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）＝xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）＝lnx+1﹣2mx，令G（x）＝lnx+1﹣2mx，则G′（x）＝﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）＝1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）＝0，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）＝lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）＝0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）＝﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）＝﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）＝1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）＝0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（10分）选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC 分别交于点M、N，且MN＝MC（1）求证：MN＝MB；（2）求证：OC⊥MN．【解答】证明：（Ⅰ）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∠ACB＝90°∵MN＝MC，∴∠MCN＝∠MNC又∵∠ENA＝∠MNC，∴∠ENA＝∠MCN∴∠EAC＝∠DCB，∵∠EAC＝∠EBC，∴∠MBC＝∠MCB，∴MB＝MC，∴MN＝MB．…（5分）（Ⅱ）设OC∩BE＝F，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB由（Ⅰ）知，∠MBC＝∠MCB，∴∠DBM＝∠FCM．又∵∠DMB＝∠FMC∴∠MDB＝∠MFC，即∠MFC＝90°∴OC⊥MN．…（10分）23．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ＝时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|P A|•|PB|的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为．当θ＝时，直线AB的方程为，y＝x﹣1，代入，可得3x2﹣4x＝0，∴x＝0或x＝∴|AB|＝•＝；（Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2t cosθ﹣1＝0．设A，B对应的参数为t1，t2，∴|P A|•|PB|＝﹣t1t2＝＝∈[，1]．24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3＝﹣2，∴a＝1．（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y＝|2n﹣1|+|2n+1|+2＝，∴y min＝4，由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．。
【新课标Ⅱ-4】2015届高三上月考(1)数学【文】试题(Word版,含答案)
2015届上学期高三一轮复习第一次月考数学文试题【新课标II-4】考试时间 120分钟 满分150分第I 卷（共60分）一、选择题（共15题，每题4分）1．已知复数521i iz +=，则它的共轭复数z 等于( )A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --2.已知函数21,(1)()2,(1)x x x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于A 、12 B 、43C 、2D 、43.在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是A 、4B 、3C 、2D 、14．下列命题中的真命题是 ( )．A.∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B.∀x ∈(0，＋∞)，1xe x >+C.∃x ∈(－∞，0)，23xx< D.∀x ∈(0，π)，sin x>cos x5. 已知向量(1,2)a =u u r，(2,1)b =-u r，则“2014λ=”是“a b λ⊥r r”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα+=（ ） A.7 B.-7 C.17-D.177．已知锐角α的终边上一点P(1＋cos 40°， sin 40°)，则锐角α＝ ( )．A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°8．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．函数()ln x f x e x =+，()ln x g x e x -=+，()ln x g x e x -=-的零点分别是a ，b ，c 则 A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c 10．下列命题正确的是 ( ) A ．函数πsin(2)3y x =+在ππ(,)36-内单调递增B ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2π C ．函数πcos()3y x =+图象关于点π(,0)6对称D ．函数πtan()3y x =+图象关于直线π6x =对称11.集合31A x Nx ⎧⎫=∈≥⎨⎬⎩⎭,{}2log (1)1B x N x =∈+≤,S A ⊆,S B φ⋂≠，则集合S 的个数为A 、0B 、2C 、4D 、8 12.函数()f x =tan x,则函数y ＝()f x －1＋4log x 与x 轴的交点个数是A 、1B 、2C 、3D 、413. 定义在R 上的函数()f x 在区间()2,∞-上是增函数，且(2)f x +的图象关于1=x 对称，则 A. (1)(5)f f < B. (1)(5)f f > C. (1)(5)f f = D. (0)(5)f f =14．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）( )A ． 1B ． 4C ． πD ． 1或4 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b)在直线x (sin A －sin B)＋y sin B ＝c sin C 上．则角C 的值为 （ ）A ．6π B ．3π C ． 4π D ．56π二、填空题（共5题，每题4分）16．函数212log (32)y x x =-+的单调增区间为______．17.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是___.18．若函数f(x)＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的 取值范围为______．19. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 90，点C 在以O 为圆心的劣弧⋂AB 上运动，若OC =x OA +y OB ，其中R y x ∈,，则xy 的取值范围是___________________.20. 若数列{}n a 的通项公式21(1)nan =+，记122(1)(1)(1)n n c a a a =--⋅⋅⋅-，试推测n c =_________三、解答题:(共70分.解答必须写出必要的文字说明或解答过程) 21．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． 22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x ax bx c =++在x ＝2处取得极值为c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．23..设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域，集合B 为函数11y x x =++的值域，集合C 为不等式()140ax x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭的解集． (1)求A B ； (2)若A C C R ⊆，求a 的取值范围．24.（本小题满分12分）已知函数2()cos cos f x x x x m =-+ ()m R ∈的图象过点(,0)12M π （I ）求函数()f x 的单调递增区间；(II)将函数f （x ）图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数g （x ）的图象，若a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g （x ）取得最大值，求b 的取值范围。
河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测数学文试题卷
河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测数学文试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x ∀>>，那么P ⌝是( ) A. 30,0x x ∃≤≤ B. 30,0x x ∀>≤ C. 30,0x x ∃>≤ D. 30,0x x ∀<≤2.已知集合{}|20M x x =-<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( ) A. [2,)+∞ B. ()2,+∞ C. (),0-∞ D. (,0]-∞3. 设是虚数单位，若复数()03m m R i1+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A. 3- B. 1- C.1 D.34.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ）A. 100B.200C.360D.400 5.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12310a a a =，且15515S S =，则2a =（ ） A. 2 B.3 C.4 D.5 6.已知长方体的底面是边长为1的正方形，，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1B.C.2D. 7.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.21 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B. 12- C.12D. 2 11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a =14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos 2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-. 正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足2220a b c --+=，2sin b A a =，BC 边上中线AM （I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率； （II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩（为参数），直线和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题 13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4. 三、解答题17．解：(1).由03222=+--bc c b a 得bc c b a 3222-=--222cos 2b c a A bc +-∴==.6A π= ………… 4分由a A b =sin 2，得21sin =B . 故6π=B ．………6分 (2).设x BC AC ==，由余弦定理得222214)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，………8分解得22=x ，……10分 故3223222221ABC =⋅⋅⋅=∆S ……………………12分 18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(1).设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(，共有10个；…………………6分则 522510)(==A P .…………………8分 (2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C . 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分 所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线， 故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………5分(2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==， 取CD 的中点K ，连结MK ，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分 又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，1,MQ NQ ==…………………10分所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=.BQM S ∆=…………………11分则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQ P S V …………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+NCQ MPBDA联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分 02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m，12x x == 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=212||||m m ≤+……10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m时等号成立，此时n =经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分 21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈ax 时，0)('>x f 所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a. …………………6分 （2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+- 即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分 令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-=002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=， 则)11)((22222)('0000xx x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x 所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F 即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增， 所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分 那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>-- 因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ， 故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分 (Ⅱ)直线的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线的距离32231122=-+=d ，…………………7分所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。
河南省郑州市2015届高三数学第一次质量预测试题 理(含解析)
河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( ) A.()2,+∞ B. [2,)+∞ C. (),1-∞- D. (,1]-∞-考点：集合的包含关系判断及应用．. 专题：集合．分析：由集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，M ⊆N ，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论解答：解：∵集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，M ⊆N ， ∴a≥2，实数a 的取值范围是[2，+∞）故选B ．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错．2. 在复平面内与复数512iz i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A. 12i +B. 12i -C. 2i -+D. 2i + 考点：复数代数形式的乘除运算．. 专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解答：解：复数===2+i 所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A （﹣2，1）， ∴A 对应的复数为﹣2+i ． 故选：C ．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题． 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 2-考点：等差数列的前n项和．.专题：等差数列与等比数列．分析：由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．解答：解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，∴，解得a1=4，d=﹣2．故选D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．4. 命题:p“2a=-”是命题:q“直线310ax y+-=与直线6430x y+-=垂直”成立的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5. 已知点(),P a b是抛物线220x y=上一点，焦点为F，25PF=，则ab=（）A. 100B.200C.360D.400考点：抛物线的简单性质．.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．6. 已知点(),P x y的坐标满足条件11350xy xx y≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P到直线34130x y--=的最小值为（）A. 115 B. 2 C.95 D. 1考点：简单线性规划．.专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A. 32 B. 327C.64D. 647考点：简单空间图形的三视图．.专题：不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．解答：解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档．8. 如图，函数()()sinf x A xωϕ=+（其中0,0,2Aπωϕ>>≤）与坐标轴的三个交点,,P Q R满足()1,0P，(),2,24PQR Mπ∠=-为线段QR的中点，则A的值为（）A. 23B. 73 3C. 833 D. 43考点：正弦函数的图象．.专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，ω的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．解答：解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，∴可得Q（4，0），R（0，﹣4），|PQ|=3，T=6=，解得ω=，∴函数经过Q，R，有∵|∅|∴∅=﹣∴解得A=．故选：C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．9. .如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x xg x x=-+=+，且()h x m≥恒成立，则m的最大值是（）A. 4B.3C. 1D. 0考点：程序框图．.专题：图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．10. 设函数()()224,ln25xf x e xg x x x=+-=+-，若实数,a b分别是()(),f xg x的零点，则（ ） A. ()()0g a f b << B. ()()0f b g a << C.()()0g a f b << D.()()0f bg a <<考点：函数零点的判定定理．. 专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f （1）=e ﹣2＞0，g （1）=0+2﹣5＜0，得出a ＜1，b ＞1，再运用单调性得出g （a ）＜g （1）＜0，f （b ）＞f （1）＞0，即可选择答案． 解答：解：∵函数f （x ）=ex+2x ﹣4，g （x ）=lnx+2x2﹣5， ∴f （x ）与g （x ）在各自的定义域上为增函数， ∵f （1）=e ﹣2＞0，g （1）=0+2﹣5＜0， ∴若实数a ，b 分别是f （x ），g （x ）的零点， ∴a ＜1，b ＞1，∵g （a ）＜g （1）＜0，f （b ）＞f （1）＞0， 故选： A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可． 11. 在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.[]2,4 C. []3,6 D. []4,6考点：平面向量数量积的运算．. 专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB 所在直线的方程，设出M ，N 的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．解答：解：以C 为坐标原点，CA 为x 轴建立平面坐标系，则A （30），B （0，3，∴AB 所在直线的方程为：y=3﹣x ， 设M （a ，3﹣a ），N （b ，3﹣b ），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a ＞b ， ∵MN=，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣a ）2=2， ∴a ﹣b=1， ∴a=b+1， ∴0≤b≤2， ∴=（a ，3﹣a ）•（b ，3﹣b ）=2ab ﹣3（a+b ）+9 =2（b2﹣2b+3），0≤b≤2， ∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6， ∴的取值范围为[4，6]故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12. 设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015i if x x f x x a i ====…，记()()()()2132k k k k k I f a f a f a f a =-+-+…()()20152014k k f a f a +-，1,2k =，则（ ）A.12I I < B.12I I = C.12I I > D. 无法确定考点：对数的运算性质．.专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（ai+1）﹣f1（ai）==．可得I1=×2014．由于fi+1（ai+1）﹣fi（ai）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（ai+1）﹣f1（ai）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（ai+1）﹣f2（ai）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 已知等比数列{}na，前n项和为nS，12453,64a a a a+=+=，则6S=考点：等比数列的前n项和．.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{an}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知20cos a xdx π=⎰，在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的一次项系数的值为 考点：二项式系数的性质；定积分．.专题：概率与统计．分析：利用微积分基本定理可得a==1，于是二项式=，再利用展开式的通项公式即可得出．解答：解：==1， ∴二项式=，其通项公式Tr+1==（﹣1）r，令10﹣3r=1，解得r=3． ∴T4==﹣10x ，∴一次项系数的值为﹣10． 故答案为：﹣10．点评：本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题． 15. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D∈，当122x x a+=时，恒有()()122f x f x b+=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()19120f f ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭…()19120ff ⎛⎫++= ⎪⎝⎭考点：函数的值．.专题：函数的性质及应用．分析：函数f （x ）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f （x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论 解答：解：∵f （x ）=x3+sinx+2，∴f ′（x ）=3x2﹣cosx ，f''（x ）=6x+sinx ， ∴f''（0）=0，而f （x ）+f （﹣x ）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f （x ）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．16.给定方程：1sin102xx⎛⎫+-=⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x是方程的实数根，则01x>-.正确命题是考点：命题的真假判断与应用．.专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，D 为边AC 的中点，232,cos 4a ABC =∠=（I ）若3c =，求sin ACB ∠的值；（II ）若3BD =，求ABC ∆的面积.考点：正弦定理；余弦定理．.专题：计算题；三角函数的求值；解三角形． 分析：（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（Ⅱ） 以BA ，BC 为邻边作平行四边形ABCE ，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．解答：解：（Ⅰ），c=3，由余弦定理：b2=c2+a2﹣2cacos ∠ABC =，∴．又∠ABC ∈（0，π），所以，由正弦定理：，得．（Ⅱ） 以BA ，BC 为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则，BE=2BD=6，在△BCE 中，由余弦定理：BE2=CB2+CE2﹣2CB•CE•co s ∠BCE ． 即，解得：CE=3，即AB=3， 所以．点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题． 18.(本小题满分12分)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”.（I ） 求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（II ）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．.专题：计算题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和； （Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望． 解答：解：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首， 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50， 又，∴， ，．∴ξ的分布列为： ξ 1030 50∴．点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，190,1,22ADC BC AD PD CD ∠=︒====，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 上一点.（I ）试确定点M 的位置，使得||PA 平面BMQ ，并证明你的结论； （II ）若2PM MC =，求二面角P BQ M --的余弦值.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．. 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）当M 为PC 中点时，PA ∥平面BMQ ，连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，则MN ∥PA ，由此能证明PA ∥平面BMQ ．（Ⅱ）以点D 为原点DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BQ ﹣M 的余弦值． 解答：解：（Ⅰ）当M 为PC 中点时，PA ∥平面BMQ ，…（2分） 理由如下：连结AC 交BQ 于N ，连结MN ， 因为∠ADC=90°，Q 为AD 的中点， 所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM=MC 时，MN 为△PAC 的中位线，…（4分） 故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，PA ⊈平面BMQ ， 所以PA ∥平面BMQ ．…（5分）（Ⅱ）由题意，以点D 为原点DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，…（6分） 则P （0，0，2），Q （1，0，0），B （1，2，0），…（7分） 由PM=2MC 可得点，所以，设平面PQB 的法向量为， 则令z=1，∴，…（9分）同理平面MBQ 的法向量为，…（10分）设二面角大小为θ，．∴二面角P﹣BQ﹣M 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.（本小题满分12分）已知动点P到定点()1,0F和直线:2l x=的距离之比为22，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于,A B两点，直线:l y mx n=+与曲线E交于,C D两点，与线段AB相交于一点（与,A B不重合）（I）求曲线E的方程；（II）当直线与圆221x y+=相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题．.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C （x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E 的方程是．（2）设C （x1，y1），D （x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l 与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y 得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. （本小题满分12分） 已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（I ）当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2e x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．. 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP交圆于,E C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD=，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（I）求证：AB为圆的直径；（II）若,5AC BD AB==，求弦DE的长.考点：与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．.专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．解答：（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线的参数方程为122x ty t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩（为参数），直线和圆C交于,A B两点，P 是圆C上不同于,A B的任意一点.（I）求圆心的极坐标；（II）求PAB∆面积的最大值.考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．.专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．. 专题：不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 解答：解：（Ⅰ）当m=5时，，由f （x ）＞2可得 ①，或 ②，或 ③．解①求得﹣＜x ＜﹣1，解②求得﹣1≤x ＜0，解③求得x ∈∅，易得不等式即4﹣3x ＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f （x ）的图象恒有公共点，只需m ﹣2≥2， 求得m≥4．．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。