沪科版七年级数学上册-3.4.2一元一次方程组的应用 (二)

3.4.2二元一次方程组的应用(二)
【教学目标】
1．学会利用二元一次方程组解决简单的实际问题，会归纳列方程组解决实际问题的一般步骤．
2．通过解决实际问题的教学，掌握使用方程去反映现实世界中的等量关系的方法与思想，体会代数方法的优越性，再次感受二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
【教学重难点】
以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题是重点，根据题意找出等量关系是难点．
【教学过程】
一、导入新课
导入方式一：
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
(说明：开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题．)
导入方式二：
出示问题：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg ；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18～20 kg ，每只小牛1天约需饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？ (说明：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．)
二、推进新课
(一)探索新知
活动
1．探索分析，解决问题
学生思考、讨论．
判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
(1)先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．
(2)根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．
学生在比较探究后发现用方法(2)较简便．
(说明：引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法(1)主要是估算的运用，而方法(2)是方程思想的应用．)
设问1.如果选择方法(2)，如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量？ (有前面几节的知识准备，学生可以回答)
列方程组求解．
主要思路：
学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．
解：设平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg 和y kg ，
根据题意可列方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
30x ＋15y ＝675，①42x ＋20y ＝940.② 解这个方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝20，y ＝5.
(说明：规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯．)
这就是说，平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料20 kg 和5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．
(说明：让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答．)
归纳：
活动
2．拓广探索，比较分析
设问2.以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
个别学生可能会列出如下方程组
⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ＋15y ＝675，12x ＋5y ＝265.
但结果一致．
(说明：比较分析，加深对方程组的认识．)
活动
3．归纳总结
列二元一次方程组解应用题的步骤可归纳如下：(1)审题，弄清题意和题目中的数量关系；(2)设未知数，用字母(如x ，y )表示题目中的两个未知数，可以直接设，也可以间接设；
(3)找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系；(4)根据这些相等关系列出需要的代数式，再列出方程并组成方程组；(5)解这个方程组，求出未知数的值；(6)检验方程组的解，看所求得的解是否符合题意，不符合题意的解应该舍去；(7)写出答语(包括单位名称)．
(二)应用新知
【例2】 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5.现要把一块长200 m ，宽100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)?
1．探索分析，研究策略
如何解决这一实际问题呢？
学生自主探索，合作交流，整理思路：
(1)先明确有两种方法可分割长方形，即横向或纵向．
(2)确定分割线的位置，也就是确定面积比．
(3)面积比与总产量比及单位面积产量比之间有关．
(4)选取数学工具求解．
……
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．
2．合作交流，解决问题 总结学生的讨论结果：
种植方案一：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和EBCF ，设AE ＝x m ，EB ＝y m ，长方形土地的长为200 m ，所以x ＋y ＝200.①
总产量＝面积×单位面积产量．
设甲的单位面积产量为a ，因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，所以乙的单位面积产量就是1.5a .
甲种作物的总产量为100xa ，乙种作物的总产量为100y ×1.5a ，根据总产量比值是3∶4可以列出第二个方程(100xa )∶(100y ×1.5a )＝3∶4.② 将①②两个方程联立就可以得到方程组
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝200，(100xa )∶(100y ×1.5a )＝3∶4.
①② 将方程②化简，得2x ∶3y ＝3∶4.
所以8x ＝9y .③
由①，得y ＝200－x .④
将④代入③，得8x ＝9(200－x )．
所以x ＝1 80017
≈106. 把x ＝106代入④，得y ＝200－106＝94.
所以这种种植方案为：过长方形土地长边上离一端约106 m 处，把这块地分为两个长方形，较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物．
你能求出第二种种植方案吗？试试看．
(具体过程由学生写出．)
(三)拓展提升
学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个．如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．
按以下步骤展开问题的讨论： (1)学生独立思考，选择数学模型．
(2)小组讨论达成共识，形成解题思路．
(3)学生板书交流．
(4)对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果．
【引申问题1】 如果用1个盒身和1个盒底做成无盖的纸盒，这20张白卡纸如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套？
【引申问题2】 针对这一问题背景，你能提出一个探索性问题吗？
(说明：安排开放题，以利于培养学生的探索精神和创新意识．)
三、本课小结
通过学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们不仅要学会分析阅读材料，从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型，还要了解同一数学问题并非只有一种方案，往往是多元化的，要从不同角度来观察问题、解决问题．
四、趣味练习
有趣的诗歌算题
在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥乏味之感，令人耳目一新、回味无穷．下面采撷几例用方程组解的应用题，共同赏析．
（一）周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗中的“寿”指的是年龄．诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设这个两位数的十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝y ，6y ＝10x ＋y .解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝6.
答：这个两位数是36，即周瑜共活了36岁．
（二）官兵分布
一千官兵一千布，一官四尺无零数；
四兵才得布一尺，请问官兵多少数？
这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，问军官和士兵各多少名？
解：设有x 名军官，y 名士兵，
根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1 000，4x ＋14y ＝1 000， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝200，y ＝800.
答：有200名军官，800名士兵．
三、老头买梨
一群老头去赶集，半路买了一堆梨；
一人一个多一个，一人两个少两梨；
请问君子知道否，几个老头几个梨？
这首诗的意思是：若干个人分若干个梨，如果一人分一个，那么还剩余一个梨；如果一人分两个，那么少两个梨，不够分配，问共有多少个人和多少个梨？
解：设有x 个老头，y 个梨，
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＋2＝2x .解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝4. 答：有3个老头，4个梨．。