2017-2018学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷和解析

2017-2018学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{1，5}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}2．（5.00分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（1，2，﹣2）关于平面zOx的对称点是（）A．（﹣1，﹣2，﹣2）B．（1，2，2）C．（1，﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2）3．（5.00分）下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+1 B．C．y=|x+1| D．4．（5.00分）已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为（）A．1，2中的一个B．1，2 C．2 D．无法确定5．（5.00分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．7πcm2B．9πcm2C．11πcm2D．13πc m26．（5.00分）垂直于直线x﹣3y+1=0且与圆x2+y2=10相切的直线的方程是（）A．x﹣3y+10=0或x﹣3y﹣10=0 B．3x+y+10=0或3x+y﹣10=0C．或D．或7．（5.00分）m，n为空间中不重合的两条直线，α，β为空间中不重合的两个平面，则①若m⊥α，n⊥α，则m∥n②若m⊥α，m⊥n，则n∥α③若m∥α，n⊥α，则m⊥n④若α⊥β，m⊂α，n∥β，则m⊥n上述说法正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．③④8．（5.00分）若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣19．（5.00分）y=f（x）的图象由两条射线构成，如图所示，则f（x）＞log3|x|的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，2）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）∪（0，3）10．（5.00分）函数，设，，，则有（）A．f（a）＜f（c）＜f（b） B．f（b）＜f（a）＜f（c）C．f（c）＜f（a）＜f （b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）11．（5.00分）棱长为1的正方体可以在一个棱长为a的正四面体的内部任意地翻转，则a的最小值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d 的直线y=kx+m1，y=kx+m2，使得在x∈D时，恒有kx+m1≤f（x）≤kx+m2，则称f（x）在D上有一个宽度为d的通道．下列函数：①f（x）=x2（x≥0）；②；③；④，其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为（）A．①②B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13．（5.00分）函数f（x）=kx﹣k﹣a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象必过定点．14．（5.00分）已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为．15．（5.00分）函数，则满足f（3﹣x）＞0的X的取值范围是．16．（5.00分）已知函数的图象上存在一点P，函数g（x）=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则满足上述要求的实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B （1）求A∩∁R B；（2）设P={x|x∈A∩∁R B，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．18．（12.00分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于点P，直线l3：ax+y ﹣a+1=0（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，﹣2），求△PAB的外接圆的标准方程．19．（12.00分）如图，已知在正四棱锥P﹣ABCD中，M为侧棱PD的中点（1）证明：PB∥面ACM；（2）证明：平面ACM⊥平面PBD（3）设AB=2，若质点从点A沿面PAD与面PCD的表面运动到点C的最短路径恰好经过点M，求正四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12.00分）为迎接党的“十九大”胜利召开与对国务院“提速降费”的响应，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拔打电话与家庭宽带上网费）．其中一组套餐变更如下（1）客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从旧方案改成新方案，设其每月手机通话时间为x分钟（x∈N*），费用y=旧方案每月资费﹣新方案每月资费，写出y关于x的函数关系；（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，求a的取值范围．21．（12.00分）已知圆C的方程为：x2+y2﹣2mx+2my=4﹣2m2．（1）求圆C的圆心所在直线方程一般式；（2）若直线l：x﹣y+4=0被圆C截得弦长为，试求实数m的值；（3）已知定点，且点A，B是圆C上两动点，当∠APB可取得最大值为90°时，求满足条件的实数m的值．22．（12.00分）已知函数，函数g（x）=4x﹣2x+1﹣3．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，试求实数x 的取值范围．2017-2018学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{1，5}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故选：D．2．（5.00分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（1，2，﹣2）关于平面zOx的对称点是（）A．（﹣1，﹣2，﹣2）B．（1，2，2）C．（1，﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2）【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（1，2，﹣2）关于平面zOx的对称点是（1，﹣2，﹣2）．故选：C．3．（5.00分）下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+1 B．C．y=|x+1| D．【解答】解：对于A，y=x2+1为偶函数；对于B，y=1+在（0，+∞）递减；对于C，y=|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，为非奇非偶函数，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y=2x﹣2﹣x，有f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），即为奇函数．故选：C．4．（5.00分）已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为（）A．1，2中的一个B．1，2 C．2 D．无法确定【解答】解：映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，可得b=1或2，故选：A．5．（5.00分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．7πcm2B．9πcm2C．11πcm2D．13πcm2【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径为r=1cm，高为3cm 的无盖圆柱，并且圆柱上面陷入一个半径为R=1cm的半球，如图所示，∴该几何体的表面积为：S==π+6π+2π=9π（cm2）．故选：B．6．（5.00分）垂直于直线x﹣3y+1=0且与圆x2+y2=10相切的直线的方程是（）A．x﹣3y+10=0或x﹣3y﹣10=0 B．3x+y+10=0或3x+y﹣10=0C．或D．或【解答】解：设垂直于直线x﹣3y+1=0的直线方程为3x+y+c=0，∵所求直线垂直于直线x﹣3y+1=0且与圆x2+y2=10相切，∴圆心O（0，0）到直线3x+y+c=0的距离：d==，解得c=±10，∴垂直于直线x﹣3y+1=0且与圆x2+y2=10相切的直线的方程是3x+y+10=0或3x+y ﹣10=0．故选：B．7．（5.00分）m，n为空间中不重合的两条直线，α，β为空间中不重合的两个平面，则①若m⊥α，n⊥α，则m∥n②若m⊥α，m⊥n，则n∥α③若m∥α，n⊥α，则m⊥n④若α⊥β，m⊂α，n∥β，则m⊥n上述说法正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．③④【解答】解：①若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理可得：m∥n，正确；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，错误；③若m∥α，则存在b⊂α，使m∥b，由n⊥α得n⊥b，则m⊥n，正确④若α⊥β，m⊂α，n∥β，则m，n关系不能确定，错误，故选：A．8．（5.00分）若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选：C．9．（5.00分）y=f（x）的图象由两条射线构成，如图所示，则f（x）＞log3|x|的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，2）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）∪（0，3）【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=log3|x|的图象如下图所示：由图可得：若f（x）＞log3|x|，则x∈（﹣1，3），故选：C．10．（5.00分）函数，设，，，则有（）A．f（a）＜f（c）＜f（b） B．f（b）＜f（a）＜f（c）C．f（c）＜f（a）＜f （b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）【解答】解：∵函数是减函数，＞，＜log21=0，0＜＜=1，∴b＜c＜a．∴f（c）＜f（b）＜f（a），故选：D．11．（5.00分）棱长为1的正方体可以在一个棱长为a的正四面体的内部任意地翻转，则a的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4×r×a2=，解得r=a，∵正方体的棱长为1，∴，解得a=3．故选：A．12．（5.00分）定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d 的直线y=kx+m1，y=kx+m2，使得在x∈D时，恒有kx+m1≤f（x）≤kx+m2，则称f（x）在D上有一个宽度为d的通道．下列函数：①f（x）=x2（x≥0）；②；③；④，其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为（）A．①②B．②③C．②④D．②③④【解答】解：①当x≥0时，f（x）=x2≥0且函数单调递增，故①不存在宽度为2的通道；②∈[0，2]，故存在y=0和y=2，满足有一个宽度为2的通道；③∈（﹣1，1），故存在y=﹣1和y=1，满足有一个宽度为2的通道；④∈[﹣，0）∪（0，]，故存在y=﹣1和y=1，满足有一个宽度为2的通道；故有一个宽度为2的通道的函数的序号为②③④，故选：D．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13．（5.00分）函数f（x）=kx﹣k﹣a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，﹣1）．【解答】解：y=f（x）=kx﹣k﹣a x﹣1，a＞0且a≠1，可令x=1，可得y=k﹣k﹣a0=0﹣1=﹣1，则f（x）的图象恒过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．14．（5.00分）已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为2．【解答】解：根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；由B′O′=C′O′=1，∠B'A'C'=90°，∴O′A′=B′C′=1，∴原△ABC的面积为S=BC×OA=×2×2=2．故答案为：2．15．（5.00分）函数，则满足f（3﹣x）＞0的X的取值范围是（2，3）．【解答】解：根据题意，f（x）=﹣=﹣，（x＞0），分析易得f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，若f（3﹣x）＞0，则有f（3﹣x）＞f（1），则有0＜3﹣x＜1，解可得2＜x＜3；即x的取值范围是（2，3）；故答案为：（2，3）．16．（5.00分）已知函数的图象上存在一点P，函数g（x）=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则满足上述要求的实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：∵函数的图象上存在一点P，函数g（x）=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，设P（m，n），则Q（n，m），∴，整理得：，∴a=﹣+e m=﹣（e2m﹣2e m）=﹣（e m﹣1）+．∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B （1）求A∩∁R B；（2）设P={x|x∈A∩∁R B，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．【解答】解：集合={x|﹣3＜x＜4}，关于x的不等式|x|＜2的解集为B={x|﹣2＜x＜2}；（1）∁R B={x|x≤﹣2或x≥2}，∴集合A∩∁R B={x|﹣3＜x≤﹣2或2≤x＜4}；（2）P={x|x∈A∩∁R B，x∈Z}={﹣2，2，3}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}，若P中只有两个元素属于Q，则，或，解得m∈∅，或2≤m≤3，∴m的取值范围是2≤m≤3．18．（12.00分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于点P，直线l3：ax+y ﹣a+1=0（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，﹣2），求△PAB的外接圆的标准方程．【解答】解：（1）联立，解得P（0，1），∵点P在直线l3上，∴1﹣a+1=0，即a=2；（2）如图，∵直线l3：ax+y﹣a+1=0过B（3，﹣2），∴3a﹣2﹣a+1=0，即a=，可得直线l3：x+2y+1=0．∴A（﹣1，0），又P（0，1），设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则，解得D=﹣2，E=2，F=﹣3．∴△PAB的外接圆的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0，化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=5．19．（12.00分）如图，已知在正四棱锥P﹣ABCD中，M为侧棱PD的中点（1）证明：PB∥面ACM；（2）证明：平面ACM⊥平面PBD（3）设AB=2，若质点从点A沿面PAD与面PCD的表面运动到点C的最短路径恰好经过点M，求正四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连结OM，∵正四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，∴O是BD中点，∵M为侧棱PD的中点，∴OM∥PB，∵PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）∵正四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD=O，∴PO⊥AC，BD⊥AC，∵PO∩BD=O，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACM，∴平面ACM⊥平面PBD；解：（3）∵AB=2，若质点从点A沿面PAD与面PCD的表面运动到点C的最短路径恰好经过点M，∴△PAD和△PCD是全等的等边三角形，∴AD=CD=PA=PB=PC=PD=2，∴AO===，PO==，S正方形ABCD=2×2=4，∴正四棱锥P﹣ABCD的体积：V===．20．（12.00分）为迎接党的“十九大”胜利召开与对国务院“提速降费”的响应，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拔打电话与家庭宽带上网费）．其中一组套餐变更如下（1）客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从旧方案改成新方案，设其每月手机通话时间为x分钟（x∈N*），费用y=旧方案每月资费﹣新方案每月资费，写出y关于x的函数关系；（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，求a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤100时，y=68+0.2x﹣58=0.2x+10，当x＞100时，y=68+0.2x﹣[58+（x﹣100）×a]=10+100a+（0.2﹣a）x，（a＞0.2）．∴y关于x的函数关系式为：．（a＞0.2）．（2）∵客户平均月通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，∴y＞0，当x≤100时，y=0.2x+10＞0，当100＜x≤400时，y=10+100a+（0.2﹣a）x＞0，a＞0.2解得0.2＜a＜0.3．∴a的取值范围是（0.2，0.3）．21．（12.00分）已知圆C的方程为：x2+y2﹣2mx+2my=4﹣2m2．（1）求圆C的圆心所在直线方程一般式；（2）若直线l：x﹣y+4=0被圆C截得弦长为，试求实数m的值；（3）已知定点，且点A，B是圆C上两动点，当∠APB可取得最大值为90°时，求满足条件的实数m的值．【解答】解：（1）根据题意，圆C的方程为：x2+y2﹣2mx+2my=4﹣2m2，变形可得：（x﹣m）2+（y+m）2=4所以圆心为（m，﹣m），所以圆心在直线方程为x+y=0；（2）由（1）可得：圆C的方程为：（x﹣m）2+（y+m）2=4；圆的半径为2，又由直线l：x﹣y+4=0被圆C截得弦长为，所以圆心到直线距离为所以，解得m=﹣1或m=﹣3；（3）根据题意，当PA、PB为圆的两条切线时，∠APB取最大值．此时∠APB=90°，又CA⊥PA，CB⊥PB，CA=CB所以四边形PACB为正方形，则|CP|=即P到圆心C的距离=；解得．22．（12.00分）已知函数，函数g（x）=4x﹣2x+1﹣3．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，试求实数x 的取值范围．【解答】解：（1），=（log2x﹣log28）（log22+log2x），=（log2x﹣3）（1+log2x），=log22x﹣2log2x﹣3=（log2x﹣1）2﹣4≥﹣4，即f（x）的值域为[﹣4，+∞），（2）∵不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，∴f（x）≤g（a）min，∵g（x）=4x﹣2x+1﹣3=（2x）2﹣2•2x﹣3=（2x﹣1）2﹣4，∵实数∴g（a）=（2a﹣1）2﹣4，∴g（a）在[，2]上为增函数，∴g（a）min=g（）=﹣1﹣2，∵f（x）=（log2x﹣1）2﹣4≤﹣1﹣2，∴（log2x﹣1）2≤3﹣2=（﹣1）2，∴﹣﹣1≤log2x﹣1≤+1，∴﹣≤log2x≤，解得（）≤x≤2，故x 的取值范围为[（），2]第21页（共21页）。