辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=( )A. (0,+∞)B. [0,2)C. (0,2)D. [0,+∞)2. 设函数f(x)的定义域为(−1,3)，则函数g(x)=f(1+x)的定义域为( )ln(1−x)A. (−2,1)B. (−2,0)∪(0,1)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制，当一个人的基因型为AA 或Aa时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当x<0时，函数y=x+( )A. 有最大值−4B. 有最小值−4C. 有最大值4D. 有最小值45. 设a=log32，b=log64，c=log3e(2e)，则( )A. c<b<aB. a<b<cC. b<a<cD. a<c<b6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确的是( )A. B. 事件A与事件B相互独立C. P(AB)与P(C)和为54%D. 事件A与事件B互斥7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. B. C. D.8. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4互不相等)，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(注：函数ℎ(x)=x +1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)( )A. (−12,0) B. [−12,0] C. [0,12) D. (0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为2，中位数为3B. 平均数为1，方差大于0.5C. 平均数为2，众数为2D. 平均数为2，方差为310. 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是p ，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则( )A.B. 元件1和元件2恰有一个能通的概率为C. 元件3和元件4都通的概率是0.81D. 电流能在M 与N 之间通过的概率为0.950411. 在△ABC 中，AD 是中线，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列等式中一定成立的是( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. S △ABC =3S △GBCD. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗12. 氡(Radon)又名氭，是一种化学元素，符号是Rn.氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是3.82天，经x 天衰变后变为原来的a′(a >0且a ≠1)，取0.8347.64=，则( )A. 经过7.64天以后，空元素会全部消失B. 经过15.28天以后，氡元素变为原来的C. a =0.834D. 经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的13. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001 231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设2a =5b =m ，且2a +1b =1，则m =______．15. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为______．16. 在△ABC 中，点F 为线段BC 上任一点(不含端点)，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则的最小值为______．17. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)． (1)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −m b ⃗ 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18. 2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 30 3000 B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M 流量，资费20元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用．小张过去50个月的手机月使用流量(单位：M)的频数分布表如下： 月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：(1)若小张选择A 套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率． (2)小张拟从A 或B 套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由．19. 已知函数f(x)=log a x ，g(x)=log a (2x +m −2)，其中x ∈[1,3]，a >0且a ≠1，m ∈R ． (1)若m =5且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a 的值．(2)当0<a <1时，不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]有解，求实数m 的取值范围．20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．21. 已知定义域为R 的函数f(x)=n−3x 3+3x+1是奇函数．(1)求y =f(x)的解析式；(2)若f (log 4x ⋅log 28x)+f(4−2a)>0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足；，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的平均值点．(1)函数y=2x2是否是[−1,1]上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)现有函数y=−22x+1+m⋅2x+1+1是[−1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，集合B={y|y=√2−x}={y|y≥0}，∴A∪B=[0,+∞)故选：D．求出集合A，集合B，再根据并集的定义，求出A∪B．本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)的定义域为(−1,3)，则对于函数g(x)=f(1+x)ln(1−x)，应有{−1<1+x<31−x>01−x≠1，求得−2<x<0或0<x<1，故函数g(x)的定义域为(−2,0)∪(0,1)，故选：B．由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论．本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是aa，所以孩子的基因型也一定为aa，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型aa，但是父母的基因型可能都是Aa或一个是Aa，一个是aa，所以父母中有可能有双眼皮，所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵x<0，∴−x>0，∴，当且仅当x=−2时等号成立，故选：A．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==，显然ln6−ln9<0，故a−b<0，a<b，排除A，C；b−c===，显然1−ln2>0，ln2−ln3<0，故b−c<0，得b<c，故a<b<c．故选：B．因为a，b，c都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，对于A，，故A正确；对于B，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确；对于C，由B可知，所以P(AB)，故C正确；对于D，事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．故选：ABC．分别求出P(A)，P(B)，进一步求出P(C)与P(AB)，判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(−AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，整理得，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=a ⃗ +b ⃗ ． 故选：A ．根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，利用f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，转化求解x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围． 【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，如下图，x =12或2时，f(x)=1，令t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，设x 1<x 2<x 3<x 4，则有x 1+x 2=−2，x 3⋅x 4=1，且12≤x 3<1，故x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3，因为函数ℎ(x)=x +1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故x3+1x3∈(2,52]．x1+x2+x3+x4的取值范围是(0,12]，故选：D．9.【答案】AD【解析】解：对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为a，b，c，d，显然有d≥c≥b≥a≥3，而a+b+c+d≤14，则d的最大值为5，A符合条件；对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；对于D，设连续10天的数据为x i，i∈N∗，i≤10，因平均数为2，方差为3，则有11010i=1(x i−2)2=3，于是得(x i−2)2≤30，而x i∈N，i∈N∗，i≤10，因此x i≤7，i∈N∗，i≤10，D符合条件．故选：AD．根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，由题意，可得C21p(1−p)+p2=0.96，整理可得p2−2p+0.96=0，则(p−1.2)(p−0.8)=0，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，0.9×0.9=0.81，故C正确；对于D，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为C21×0.9×(1−0.9)+C22×0.92=0.99，则电流能在M与N之间通过的概率为0.96×0.99=0.9504，故D正确．故选：ACD．根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：A ，∵在△ABC 中，AD 是中线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 正确， B ，∵在△ABC 中，AD 是中线，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 正确，D 错误，C ，设△GBC 的高为ℎ，∵AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的高为3ℎ， ∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ，∴C 正确， 故选：ABC ．利用平面向量的线性运算，中线的性质判断ABD ，利用三角形的面积公式判断D ． 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为7.64=2×3.82天后，氡元素变为原来的，A 错误；经过3.82天以后剩下的氡元素是原来的，经过7.64天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 要使得氡元素变为原来的=()4，需要经过4×3.82=15.28天，B 正确； 因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，则f(3.82)=m ， 所以a 3.82=，因为0.8347.64=(0.8343.82)2=， 所以0.8343.82=， 所以a =0.834，C 正确． 故选：BC ．由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求． 本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有021，001，130，031，103共5种情况， 则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：∵2a=5b=m>0，∴a=lgmlg2，b=lgmlg5，∵2 a +1b=1，∴2lg2 lgm +lg5lgm=1，∴lgm=lg20，则m=20．故答案为：20．把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12．所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1=1−12=12．同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2=1−13=23．所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1⋅P2=12×23=13．于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=1−P3=23．故答案为：23．先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点F 为线段BC 上任一点(不含端点)， 若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则x +2y =1， =()(x +2y)=5+=9，当且仅当x =y 且x +2y =1，即x =y =时取等号． 故答案为：9．由已知结合向量共线定理可得x +2y =1，然后结合乘1法及基本不等式即可求解． 本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)， ∴k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ −2b ⃗ =(−3,−2)， 又k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线， ∴−2(k +2)−1×(−3)=0， 解得；(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ =(7,3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −m ⋅b ⃗ =(1−2m,−m)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴−7m −3(1−2m)=0， 解得m =−3．【解析】(1)由已知求得k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解； (2)由已知求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解． 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设使用流量xM ，流量费用为y ，依题意，当2000≤x ≤3000时，y =30； 当3000<x ≤5000时，y =50； 所以流量费用超过50元概率：P(y >50)=16+12+250=35；(2)设y A 表示A 套餐的月平均消费，设y B 表示B 套餐的月平均消费， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6， ∴y A >y B ， 故选套餐B ．【解析】(1)设使用流量xM ，流量费用为y ，所以流量费用超过50元概率：P(y >50)=16+12+250=35；(2)分别求出订购A 套餐和订购B 套餐的月平均费用，比较大小后得答案． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：(1)当m =5时，g(x)=log a (2x +3)，所以F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a (2x +3)=1og a (2x 2+3x)，x ∈[1,3]，当a >1时，F(x)在定义城内单调递增，F(x)max =F(3)=1og a 27=2，解得a =3√3， 当0<a <1时，F(x)在定义域内单调递减，F(x)max =F(1)=1og a 5=2，解得a =√5，不符合题意，舍去，综上，实数a 的值为3√3；(2)要使g(x)在x ∈[1,3]上有意义，则2x +m −2>0，解得m >0，由f(x)<2g(x)，即1og a x <log a (2x +m −2)2，因为0<a <1，所以x >(2x +m −2)2， 即√x >2x +m −2，得m <−2x +√x +2，令t =√x ，t ∈[1,√3]，记ℎ(t)=−2t 2+t +2， 对称轴为t =14，ℎ(t)max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178， 若不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]有解，则m <−2x +√x +2在x ∈[1,3]有解 即m <ℎ(t)max 在x ∈[1,3]有解，即m <178． 综上所述，实数m 的取值薇围为(0,178). 【解析】(1)将m =5代入函数得出F(x)解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论a >1和0<a <1即可；(2)由对数函数性质可得m >0，再由对数单调性可符m <−2x +√x +2，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m 的取值范围． 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)设第四盘棋甲赢为事件A ，第四盘棋甲赢分两种情况：①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则P =×=， ②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则P =×=， 则P(A)=+=．(2)设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件B ，分三种情况： ①若甲赢第三盘，则概率为××(1−)=，②若甲赢第四盘，则概率为××(1−)=， ③若甲赢第五盘，则概率为(1−)×=， 则P(B)=++=．【解析】(1)第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可． (2)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=n−3x 3+3x+1是奇函数， 所以f(−x)=−f(x)，即n−3−x 3+3−x+1=−n−3x 3+3x+1，所以n⋅3x −13x+1+3=−n−3x 3+3x+1，所以n ⋅3x −1=−n +3x ， 可得n =1， 所以函数f(x)=1−3x 3+3x+1． (2)由(1)知f(x)=1−3x 3+3x+1=−13⋅3x −13x+1=−13+23(3x+1)， 易得f(x)在R 上单调递减，由f(log 4x ⋅log 28x )+f(4−2a)>0，得f(log 4x ⋅log 28x )>−f(4−2a)，因为函数f(x)是奇函数，所以f(log 4x ⋅log 28x )>f(2a −4)， 所以log 4x ⋅log 28x<2a −4，整理得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a −4，设t =log 2x ，t ∈R ， 则12(3t −t 2)<2a −4， 当t =32时，y =12(3t −t 2)有最大值，最大值为98，所以2a −4>98，解得a>4116，即实数a的取值范围是(4116,+∞)．【解析】(1)由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，从而可求得n值，即可求得f(x)的解析式；(2)由复合函数的单调性判断f(x)在R上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为1 2log2x⋅(3−log2x)<2a−4，令t=log2x，利用二次函数的性质求得12(3t−t2)的最大值，即可求得a的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)若f(x)=2x2，x∈[−1,1]，因为=0，令2x2=0，解得x=0∈(−1,1)，故y=2x2是[−1,1]上的“平均值函数”，且平均值点为0；(2)由题意知=，假设x0是平均值点，则f(x0)=，整理得2⋅22x0+2−4m⋅2x0+1+6m−19=0，令t=2x0+1∈(1,4)，显然该函数是增函数，则要使结论成立，只需g(t)=2t2−4mt+6m−19=0在(1,4)上有解即可，即g(t)在(1,4)上有零点即可，g(t)=2t2−4mt+6m−19，Δ=(−4m)2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0，①若g(t)在(1,4)上只有一个零点时，只需g(1)g(4)<0，解得或m<；②若g(t)在(1,4)上有两个不同零点时，只需⇒，解集为⌀；综上可知或，故m的取值范围是()∪(，+∞)．【解析】(1)直接求出，令k=f(x)，判断该方程在(−1,1)上是否有解即可；(2)由题设，设x0是平均值点，则2⋅22x0+2−4m⋅2x0+1+6m−19=0，令t=2x0+1∈(1,4)，则只需让2t2−4mt+6m−19=0在(1,4)上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，则集合∁U（M ∪N）等于（）A．{1，2，3}B．{2，6}C．{1，6}D．{5，6}2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣4，﹣2）．则+＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）3．（5分）函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（）A．B．C．2D．24．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为（）（结果精确到0.1）A．170.0B．165.0C．167.5D．167.95．（5分）计算（lg2）2+lg20×lg5的结果是（）A．1B．2C．lg2D．lg56．（5分）下列图象中，x为自变量，y为函数的选项是（）A．B．C．D．7．（5分）对于任意实数x、y，则“x+y＝0”是“x2+y2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+2，a，b∈R，且f（﹣1）＝0，则f（1）＝（）A．﹣2B．2C．4D．﹣49．（5分）若a＝（）﹣2，b＝log2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 10．（5分）设函数y＝log3x与y＝3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）点M是△ABC的边BC的中点，N在线段AM上，且＝x+y（x，y∈R），若x+y＝，则△NBC的面积与△ABC面积的比值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上，13．（5分）已知||＝3，||＝4，求|﹣|的取值范围．14．（5分）设p：∀x∈R，x2+x+a≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）函数f（x）＝2+的单调递减区间是．16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为，80%分位数是．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，集合B＝{x|a＜x＜a2﹣2，a∈R}．（1）求∁R A；（2）若A⫋B，求a的取值范围．18．已知＝（1，2），＝（﹣3，2）．（1）求证：，不共线；（2）若3+4＝（m﹣1）+（2﹣n），求实数m，n的值：（3）若k+与﹣2平行，求实数k的值．19．设函数f（x）＝log a（3+x）+log a（3﹣x），（a＞0，且a≠1），f（1）＝3．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰．（1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．21．已知二次函数f（x）＝x2+mx（m为整数）且关于x的方程f（x）﹣1＝0在区间（﹣，3）内有两个不同的实根．（1）求m的值；（2）若f（x）﹣a+1≥0在x∈[0，3]上恒成立，求实数a的取值范围．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n年（n∈N*）花在该台运输车上的维护费用总计为（n2+5n）万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，则集合∁U（M ∪N）等于（）A．{1，2，3}B．{2，6}C．{1，6}D．{5，6}【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，∴M∪N＝{1，2，3，4}，∴∁U（M∪N）＝{5，6}．故选：D．2．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣4，﹣2）．则+＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）【解答】解：向量＝（2，1），＝（﹣4，﹣2）；则+＝（﹣2，﹣1）．故选：A．3．（5分）函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（）A．B．C．2D．2【解答】解：∵函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上单调递增，∴函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是f（2）＝2，故选：C．4．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为（）（结果精确到0.1）A．170.0B．165.0C．167.5D．167.9【解答】解：≈167.9，于是可估计该校学生的身高平均数为167.9，故选：D．5．（5分）计算（lg2）2+lg20×lg5的结果是（）A．1B．2C．lg2D．lg5【解答】解：因为（lg2）2+lg20×lg5＝（lg2）2+（1+lg2）•（1﹣lg2）＝1，故选：A．6．（5分）下列图象中，x为自变量，y为函数的选项是（）A．B．C．D．【解答】解：由一个自变量的值只能对应一个函数值，可知只有选项B符合题意，故选：B．7．（5分）对于任意实数x、y，则“x+y＝0”是“x2+y2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+y2＝0⇔x＝y＝0，x+y＝0⇔x＝﹣y．∴“x+y＝0”是“x2+y2＝0”的不要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+2，a，b∈R，且f（﹣1）＝0，则f（1）＝（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝﹣ax3﹣bx+2+ax3+bx+2＝4所以f（﹣1）+f（1）＝0+f（1）＝4，所以f（1）＝4．故选：C．9．（5分）若a＝（）﹣2，b＝log2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：a＝（）﹣2＝4，b＝log2＝﹣1，c＝2＝，∴a＞c＞b，故选：B．10．（5分）设函数y＝log3x与y＝3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：∵方程log3x＝﹣x+3的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）＝log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3＝0的解所在的区间是（2，3），即则x0所在的区间是（2，3），故选：C．11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P＝＝．故选：A．12．（5分）点M是△ABC的边BC的中点，N在线段AM上，且＝x+y（x，y∈R），若x+y＝，则△NBC的面积与△ABC面积的比值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设，∴，∴，且，∴，解得，∴N为AM的中点，∴，∴△NBC的面积与△ABC面积的比值是．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上，13．（5分）已知||＝3，||＝4，求|﹣|的取值范围[1，7]．【解答】解：由向量的模的不等式可得，|||﹣|||≤|﹣|≤||+||，即有1≤|﹣|≤7，当，反向共线时，取得最大值7，当，同向共线时，取得最小值1．即有所求取值范围是[1，7]．故答案为：[1，7]．14．（5分）设p：∀x∈R，x2+x+a≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：若p：∀x∈R，x2+x+a≥0，是真命题，则△＝1﹣4a≤0，解得a≥；故a的取值范围是：a≥；故答案为：[，+∞）．15．（5分）函数f（x）＝2+的单调递减区间是（﹣），（﹣）．【解答】解：∵f（x）＝2+＝2+可由y＝的图象向左平移个单位，向上平移2个单位，结合反比例函数的性质可得，f（x）的单调递减区间（﹣），（﹣）．故答案为：（﹣），（﹣）16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为7，80%分位数是8.5．【解答】解：由题意知，数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是10﹣3＝7；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是＝8.5．故答案为：7，8.5．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，集合B＝{x|a＜x＜a2﹣2，a∈R}．（1）求∁R A；（2）若A⫋B，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|1＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤1或x≥5}；（2）∵A⫋B，∴，解得，∴a的取值范围为．18．已知＝（1，2），＝（﹣3，2）．（1）求证：，不共线；（2）若3+4＝（m﹣1）+（2﹣n），求实数m，n的值：（3）若k+与﹣2平行，求实数k的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，＝（1，2），＝（﹣3，2），有1×2≠2×（﹣3），故，不共线；（2）根据题意，若3+4＝（m﹣1）+（2﹣n），且，不共线；则有，解可得；（3）根据题意，若k+与﹣2平行，设（k+）＝t（﹣2），即k+＝t﹣2t，则有，则k＝﹣；故k＝﹣．19．设函数f（x）＝log a（3+x）+log a（3﹣x），（a＞0，且a≠1），f（1）＝3．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．【解答】解：（1）因为f（x）＝log a（3+x）+log a（3﹣x）＝，由题意f（1）＝log a8＝3，故a＝2，由可得﹣3＜x＜3，故函数的定义域（﹣3，3）；（2）因为f（﹣x）＝log a（9﹣x2）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，（3）∵1≤x≤2，所以5≤9﹣x2≤8，当a＝2时，log25≤log a x≤log28＝3，函数的值域[log25，3]．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰．（1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．【解答】解：（1）由图可知，位于区间[130，150]的人数为1000×0.0030×20＝60，位于区间[110，130）的人数为1000×0.0045×20＝90，∴成绩大于110分的人数为60+90＝150，又前15%的学生人数为1000×15%＝150，∵小艾同学笔试得了112分＞110分，∴小艾有资格参加面试；（2）由图可知，这1000名学生笔试的平均成绩约为（40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0045+140×0.0030）×20＝78.4；（3）由题意可得所求概率为．21．已知二次函数f（x）＝x2+mx（m为整数）且关于x的方程f（x）﹣1＝0在区间（﹣，3）内有两个不同的实根．（1）求m的值；（2）若f（x）﹣a+1≥0在x∈[0，3]上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝x2+mx，则f（x）﹣1＝0即x2+mx﹣1＝0，设g（x）＝x2+mx﹣1，若方程f（x）﹣1＝0在区间（﹣，3）内有两个不同的实根，则g（x）在区间（﹣，3）上有两个零点，必有，解可得：﹣＜m＜﹣，又由m为整数，故m＝﹣2；（2）若f（x）﹣a+1≥0在x∈[0，3]上恒成立，即f（x）+1≥a在x∈[0，3]上恒成立，又由f（x）＝x2﹣2x，则有x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥a在x∈[0，3]上恒成立，又由y＝（x﹣1）2在[0，3]上的最小值为0，则有a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n年（n∈N*）花在该台运输车上的维护费用总计为（n2+5n）万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．【解答】解：（1）25n﹣49﹣（n2+5n）≥0，即n2﹣20n+49≤0，解得10﹣≤n≤10+，∴n≥3．∴该车运输3年开始盈利．（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，＝20﹣（n+）≤6．当且仅当n＝7时，取等号，∴方案①最后的利润为：25×7﹣49﹣（49+35）+17＝59（万）．②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．y＝25n﹣49﹣（n2+5n）＝﹣n2+20n﹣49＝﹣（n﹣10）2+51，∴n＝10时，利润最大，∴方案②的利润为51+8＝59（万），两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算．。
沈阳高一期末数学试卷及答案
沈阳高一期末数学试卷及答案选择题(共40分)1.一组数据的方差是41，则这组数据的标准差为（） A. 41 B. 82 C. 8.1D.9.92.函数f(x) = x^2 + 2x - 8的对称轴是（） A. x = 1 B. x = 2 C. x = -1 D. x = -23.物体沿直线做直线运动，已知t=0时物体位于A点，与A点相距20m处有B点。
若v=4m/s，则由A点到B点所需时间为（） A. 5s B. 10s C. 15s D. 20s4.解释“解x+1=0”的几何意义是（） A. 点 B. 反比例 C. 水平线 D. 交点5.（3.88÷0.00385）× [（-1.3）+ (8.5÷2.5)]的值近似为（） A. -1 B. 1 C. -2 D. 26.已知△ABC中，AB=7cm，BC=24cm，m∠C=90°，则AC=（） A.17cm B. 25cm C. 8cm D. 14cm7.若a:b=3:4，b:c=4:5，则a:b:c=（） A. 3:4:5 B. 12:16:20 C. 3:4:5 D. 9:16:208.（-5）^4的值是（） A. -625 B. 625 C. -125 D. 1259.若y=kx^2+12x+3当x=1时，y=2，求k的值。
10.已知集合A={x|-2<x ≤ 3}，集合B={y|y<2}，则A∩B=（）解答题(共60分)11.计算4!+5!的值。
12.已知直线l经过点A(1，2)，斜率为3，求直线l的方程。
13.已知a-b=3，a2-b2=7，求a和b的值。
14.设函数f(x)=x3+2x2-5x-6，求f’(2)的值。
15.某公司有员工300人，其中男员工占总人数的1/3。
若女员工人数是男员工人数的4倍，则女员工的人数为多少？16.计算：∛64×√(125-5^2)。
17.某地中午12点气温为28℃，下午3点时气温上升了15%，求3点的气温是多少℃。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在下列选项中，能正确表示集合A={-2，0，2}和B={x|x2+2x=0}关系的是（）A. B. C. D.2.若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.3.设函数f（x）=，则f（log39）=（）A. 1B. 3C. 6D. 94.若x＞2，则的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 45.函数f（x）=2x+log2x-3的零点所在区间（）A. B. C. D.6.条件p：关于x的不等式（a-4）x2+2（a-4）x-4＜0（a∈R）的解集为R；条件q：0＜a＜4，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数f（x）=2a x+2-1（a＞0且a≠1）图象恒过的定点是（）A. B. C. D.8.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. ，，则B. ，，则C. ，，则D. ，，，则9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-x，则函数f（x）在R上的解析式是（）A. B.C. D.10.在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.12.对任意实数a，b定义运算“⊗”：⊗设f（x）=（x2-1）⊗（4-x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.=______．14.已知函数f（x）=（2m-1）x m+1为幂函数，则f（4）=______．15.已知是定义在（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是______．16.若正四棱锥P-ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x-4＜0}，集合．（Ⅰ）求集合A，集合B；（Ⅱ）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩B．18.已知定义域为R的函数是奇函数，且a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数，若将函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k（x）的图象，再将函数k（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式．19.在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼-20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹．假设一台歼-20战斗机的制造费用为1250百万元．已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x表示飞机使用年限（取整数），则在x年中（含第x年）飞机维修费用总和为百万元，记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元，即y=（飞机制造费用+飞机维修费用）÷飞机使用年限．（Ⅰ）求y关于x的函数关系式；（Ⅱ）求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，∠ABC=∠PCD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；21.已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b是实数），x∈R，若f（-1）=4，且方程f（x）+4x=0有两个相等的实根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间，＞上的最小值．22.已知函数f（x），对任意a，b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，有f（x）＞1．（Ⅰ）求f（0）；（Ⅱ）求证：f（x）在R上为增函数；（Ⅲ）若关于x的不等式＜对于任意∈，恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解方程x2+2x=0，得：x=0或x=-2，B={-2，0}，又A={-2，0，2}，所以B A，故选：B．解一元二次方程x2+2x=0，得：x=0或x=-2，可得B={-2，0}，所以B⊊A，可得解本题考查了集合的包含关系判断及应用，属简单题2.【答案】D【解析】解：A：∵b＜a＜0，∴a2-b2=（a-b）（a+b）＜0，故A正确，B：∵b＜a＜0，∴ab-b2=b（a-b）＜0，故B正确，C：∵b＜a＜0，两边同除以ab，可得＜，故C正确，D：a|+|b|=|a+b|，故D错误，故选：D．利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题3.【答案】A【解析】解：．故选：A．可求出log39=2，而将x=2带入f（x）=3x-2即可求出f（2）的值，即得出f（log39）的值．考查对数的运算，已知函数求值的方法．4.【答案】D【解析】解：∵x＞2，∴x-2＞0，则=x-2++2=4，当且仅当x-2=即x=3时，取得最小值4，故选：D．由题意可知=x-2++2，利用基本不等式即可求解最值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：∵f（1）=2+log21-3=-1＜0，f（2）=22+log22-3=5-3=2＞0，根据零点存在性定理，f（x）的零点所在区间为（1，2）故选：B．通过计算x=1，x=2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B本题考查了函数零点的判定定理，属基础题6.【答案】B【解析】解：条件p：关于x的不等式（a-4）x2+2（a-4）x-4＜0（a∈R）的解集为R，当a=4时，-4＜0恒成立，当a≠4时，则，解得0＜a＜4，综上所述p中a的取值范围为0≤a＜4，所以则p是q的必要不充分条件，故选：B．先由二次函数的性质求出条件p中a的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件，属于中档题7.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2a x+2-1（a＞0且a≠1），令x+2=0，解得x=-2，∴y=f（-2）=2×a0-1=2-1=1，∴f（x）的图象过定点（-2，1）．故选：B．根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求得f（x）的图象所过的定点．本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：A，m，n也可能相交或异面；B，m，n也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．此题考查了线线，线面，面面之间的关系，属容易题．9.【答案】C【解析】解：设x＜0，则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2-x，∴f（-x）=（-x）2+x=x2+x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴f（x）=x2+x，∴f（x）=|x|2+|x|=|x|（|x|+1），故选：C．先设x＜0，则-x＞0，然后根据x≥0时函数的解析式及f（x）为偶函数f（-x）=f（x）即可求解．本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于基础试题．10.【答案】C【解析】解：剩余几何体的底面积为：2（π-）=2π-2，剩余几何体的侧面积为：（2+2）×3+2π×3=6+6+6π，∴剩余几何体的表面积为：8，故选：C．底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，故容易得解．此题考查了柱体表面积，难度不大．11.【答案】D【解析】解：∵=20.6＞20=1，＜log31=0，0＜＜lne=1，∴a＞c＞b．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查对数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题．12.【答案】D【解析】解：当（x2-1）-（x+4）＜1时，f（x）=x2-1，（-2＜x＜3），当（x2-1）-（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤-2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：-2≤k＜1，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．13.【答案】19【解析】解：原式=（33）-3×log22-3+lg5•=3-3×（-3）+1=9+9+1=19故答案为：19利用有理指数幂及对数的性质运算可得．本题考查了对数的运算性质，属基础题．14.【答案】16【解析】解：函数f（x）=（2m-1）x m+1为幂函数，∴2m-1=1，解得m=1，∴f（x）=x2，∴f（4）=42=16，故答案为：16．根据幂函数的定义求出m的值，写出f（x）的解析式，计算f（4）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．15.【答案】[，）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的减函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．分段函数f（x）是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．16.【答案】【解析】解：如图，M，N为AD，BC的中点，E，F为切点，则OE=OF=r，EN=NF=，PE=a，PN=，∴OP=a-r，PF==，在△OFP中，，得，∴内切球表面积为4πr2=4π×=，故答案为：．作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于r的方程，得解．此题考查了棱锥内切球问题，难度不大．17.【答案】（本题满分10分）解：（Ⅰ）由全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x-4＜0}={x|-4＜x＜1}，-------------（2分）集合={x|-1＜x≤2}．--------------（4分）（Ⅱ）A∩B={x|-1＜x＜1}，--------------（6分）A∪B={x|-4＜x≤2}，--------------（8分）∁U A={x|x≤-4或x≥1}，（∁U A）∩B={x|1≤x≤2}．--------------（10分）【解析】（Ⅰ）解不等式能求出集合A和集合B．（Ⅱ）利用交集、并集、补集定义能求出A∩B，A∪B和（∁U A）∩B．本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵定义域为R的函数是奇函数，∴ ，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．∵，∴g（x）=3x+1．∵函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形，得到k（x）的图象，∴k（x）=3-x+1．∵将k（x）的图象向右平移一个单位得到h（x）的图象，∴h（x）=3-（x-1）+1．【解析】（Ⅰ）利用f（0）=0，f（-1）=-f（1）列方程组解得；（Ⅱ）先由（1）求f（x）代入得g（x）=3x+1，然后关于y轴对称，把x换成-x即可得k（x）=3-x+1，最后按照左加右减平移可得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得∈-------------（6分）（不写x范围或写错扣2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，--------（9分）当且仅当，即x=50时，等号成立．---------（11分）答：使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元．---------（12分）【解析】（Ⅰ）由y=（飞机制造费用+飞机维修费用）÷飞机使用年限．可得y关于x的函数关系式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即可．本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，属于中档题．20.【答案】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA平面ABCD，∴PA CD．∵∠PCD=90°，∴PC CD．…………………（2分）∵PA∩PC=P，∴CD平面PAC，∵AC平面PAC，∴CD AC．…………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ACD=90°．在直角三角形ACD中，∠CAD=60°，CF=AF，∴∠ACF=60°，∴CF∥AB．…………………（6分）∵CF⊄平面PAB，AB平面PAB，∴CF∥平面PAB．…………………（8分）∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF∥PA，又∵EF⊄平面PAB，PA平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵CF∩EF=F，∴平面CEF∥平面PAB．…………………（10分）∵PB平面PAB，∴PB∥平面CEF．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出PA CD，PC CD，从而CD平面PAC，由此能证明CD AC．（Ⅱ）推导出CF∥AB，CF∥平面PAB，EF∥PA，EF∥平面PAB，从而平面CEF∥平面PAB，由此能证明PB∥平面CEF．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（-1）=4，则a-b+1=4，即b=a-3，又由方程f（x）+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1=0有两个相等的实根，则有△=（a+1）2-4a=0，解可得：a=1，b=-2，则f（x）=x2-2x+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）=x2-2x+1，则f（x）对称轴为x=1，当＜时，f（x）在，单调递减，∴f（x）最小值为f（t）=t2-2t+1；当t＞1时，f（x）在，单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）最小值为f（1）=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，由f（-1）=4可得a-b+1=4，即b=a-3，又由方程f（x）+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1=0有两个相等的实根，分析可得△=（a+1）2-4a=0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；（Ⅱ）由二次函数的解析式求出f（x）的对称轴，分情况讨论t的范围，结合二次函数的性质分析函数的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及最值，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式．22.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，在f（a+b）=f（a）+f（b）-1中，令a=b=0，则f（0）=2f（0）-1，则有f（0）=1；（Ⅱ）证明：任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞1，又由f（a+b）=f（a）+f（b）-1，则f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1＞1+f（x1）-1=f（x1），则有f（x2）＞f（x1），故f（x）在R上为增函数．（Ⅲ）根据题意，＜，即＜，则＜，又由f（0）=1，则＜，又由f（x）在R上为增函数，则＜，令m=log2x，∵∈，，则-3≤m≤-1，则原问题转化为2m2-2m+4t-4＜0在m∈[-3，-1]上恒成立，即4t＜-2m2+2m+4对任意m∈[-3，-1]恒成立，令y=-2m2+2m+4，只需4t＜y最小值，而，m∈[-3，-1]，当m=-3时，y最小值=-20，则4t＜-20．故t的取值范围是t＜-5．【解析】（Ⅰ）根据题意，由特殊值法分析：令a=b=0，则f（0）=2f（0）-1，变形可得f（0）的值，（Ⅱ）任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，则x2-x1＞0，结合f（a+b）=f（a）+f（b）-1，分析可得f（x2）＞f（x1），结合函数的单调性分析可得答案；（Ⅲ）根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令m=log2x，则原问题转化为2m2-2m+4t-4＜0在m∈[-3，-1]上恒成立，即4t＜-2m2+2m+4对任意m∈[-3，-1]恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f（0）的值．。
辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。
辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2022-2023学年度上学期东北育才高中部高一数学期末考试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合(){},20A x y x y =+-=，(){},40B x y x y =--=，则A B = （）A ．()3,1-B ．{}3,1-C ．3x =，1y =-D ．(){}3,1-2．若,R a b ∈且0ab ≠.则2211a b >成立的一个充分非必要条件是（）A ．0a b >>B ．b a>C ．0b a <<D ．()0ab a b -<3．某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为（）A ．12B ．712C ．23D ．344．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b === ，则AE =（）A ．1292525a b+ B ．16122525a b+C ．4355a b+D ．3455a b+5．命题“*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x ≤”的否定形式是（）A ．*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x >B ．R,N ,x n *∀∈∀∈都有n x >C ．*R,N x n ∃∈∃∈，使得n x>D ．R,N x n *∃∈∀∈，都有n x>6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数()22411x x f x x ++=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知实数和b 满足20222023a =，20232022b =．则下列关系式中正确的是（）A ．22log log 1a b +<B ．2a b +<C ．221a b +<D ．224a b +<8．已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a 为实数，0a ≠且1a ≠，函数1()1ax f x x -=-，则下列说法正确的是（）A ．当2a =时，函数()f x 的图像关于(1,2)中心对称B ．当1a >时，函数()f x 为减函数C ．函数1()y f x =图像关于直线y x =成轴对称图形D ．函数()f x 图像上任意不同两点的连线与x 轴有交点10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=．已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()g x 是偶函数D ．()g x 的值域是{}1,0-12．已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<则下列说法正确的是（）A ．()0,1a ∈B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()4122341624x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域是R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立.如果命题p 和q 有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A ，B ，C ，D 四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35，则下列结论中，正确结论的个数是______.①男、女员工得分在A 区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C 区间的员工最多；④得分在D 区间的员工占总人数的20%.15．已知()33f x x x =+，x 为实数且满足8（r1）3−3≥3−6r1，则()f x 的最大值为___________．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．四、解答题（本大题共70分。
辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2023年沈阳市高中一年级教学质量监测数学第Ⅰ卷（共60分）一，选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 集合{}13A x x =<<,{B x y ==,则A B = （ ）A. {}23x x << B. {}23x x ≤< C. {}3x x < D. {}1x x >【结果】B2. 对于任意实数1x ,2x ,则“12x x >”是“3312x x >”（ ）A 充分不必要款件 B. 不要不充分款件 C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】C3. 若样本1x ,2x ,3x ,…n x 平均数为10,方差为20,则样本125x -,225x -,325x -,…,25n x -地平均数和方差分别为（ ）A. 平均数为20,方差为35B. 平均数为20,方差为40C. 平均数为15,方差为75D. 平均数为15,方差为80【结果】D4. 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题地一种双假设算法,提出了盈不足,盈适足和不足适足，两盈和两不足这三种类型地盈亏问题,以及若干可通过两次假设化为盈不足问题地一般解法.这种解法传到西方后,产生了极大地影响,在当时处于世界领先地位高中数学教材中就引用了这样一道题“今有人共买羊,人出五,不足四十五：人出七,不足三.问人数，羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊,每人出5钱,差45钱。
每人出7钱,差3钱问合伙人数，羊价各是多少？（ ）A 21，105 B. 21，150 C. 24，165 D. 24，171【结果】B5. 设2log 5a =,0.52b =,4log 10c =,则a ,b ,c 地大小关系为（ ）A. b c a<< B. c b a << C. b a c << D. c a b<<【结果】A 6. 若函数()()22f x ax a b x b =+-+是定义在(),22a a --上地偶函数,则223a b f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）的..A. 13 B. 0 C. 1 D. 3【结果】D7. 函数21()21x x f x x -=⋅+地图象大约是（ ）A. B.C. D.【结果】B8. 已知函数()()1,1ln 1,1x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩,则函数()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-地零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 2D. 1【结果】A 二，选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对地得5分,有选错地得0分,部分选对地得2分.9. 先后抛掷质地均匀地硬币两次,下面表达正确地有（ ）A. 样本空间中一共含有4个样本点B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”是互斥事件C. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件D. 事件“一次正面向上一次背面向上”发生地概率是12【结果】ACD10. 最近,EDG 电子竞技俱乐部首次夺得英雄联盟全球总决赛冠军地消息在网络上轰动一时,这是对电子竞技体育主流价值地一种认可,也是一场集体地自我证明,电竞并不等同于打游戏,其需要很强地责任心和自律精神,我国体育总局已经将电子竞技项目列为正式体育竞赛项目现某公司推出一款全新电子竞技游戏,下面雷达图给出该游戏中3个人物地5种特征思路.则下面表达正确地是：（ ）A. 小轲生命值低,却法力，防衡力，移动速度都很出色,适合快速进攻B. 小娜地各项特征均衡,组队进攻时,可以弥补小轲地弱点C. 小班地生命值比小轲大,所以游戏中一定比小轲活得久D. 假如进行一对一对抗赛,小班比小娜地胜率大【结果】AB11. 如图所示,已知P ,Q ,R 分别是ABC 三边地AB ,BC ,CA 地四等分,假如AB a = ,AC b =,以下向量表示正确地是（ ）A. 3142QP a b =-- B. 3142QR a b =-+ C. 1344PR a b =-+ D. BC a b =-【结果】BC 12. 已知直线2y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =地图象交于点()11,A x y ,()22,B x y ,则下面表达正确地是（）的A. 122x x += B. 12e e 2e x x +> C. 12e ln 22x x +< D. 12x x <【结果】ABD 第Ⅱ卷（非选择题共90分）三，填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 求值:22223log log 32log log 64⎛⎫-+= ⎪⎝⎭____________．【结果】314. 设0a >,0b >,若2a b +=,则416a b +地最小值为______.【结果】1815. 命题“()0,x ∀∈+∞,有关x 地方程210mx x -+=不成立”地否定是真命题,则实数m 地取值范围是______.【结果】14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，16. 若1122m x m -<≤+（其中m 为整数）,则m 叫做离实数x 最近地整数,记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-,则函数()f x 地最大值是______.【结果】12##0.5四，解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量()1,2a =r ,(1,3)=- b ,()4,3c =r .（1）求与6a b +共线地单位向量。
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辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分)
1. （2分）集合A={x|0≤x＜4，且x∈N}的真子集的个数是（）
A . 16
B . 8
C . 15
D . 4
2. （2分） (2020高一下·惠山期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（）
A . 1条
B . 2条
C . 3条
D . 4条
3. （2分） (2016高一上·延安期中) 下列给出四组函数，表示同一函数的是（）
A . f（x）=x﹣1，g（x）= ﹣1
B . f（x）=2x+1，g（x）=2x﹣1
C . f（x）=|x|，g（x）=
D . f（x）=1，g（x）=x0
4. （2分）设a=0.60.6 ， b=0.61.5 ， c=1.50.6 ，则a，b，c的大小关系是（）
A . a＜b＜c
B . a＜c＜b
C . b＜a＜c
D . b＜c＜a
5. （2分） (2019高一上·东台期中) 设 , , ,则下列选项中正确的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）与直线平行，且到l的距离为的直线方程为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·辽宁模拟) 直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，则a+b+ab的最大值为（）
A . 1
B . ﹣1
C . +
D . +1
8. （2分）(2014·湖南理) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分） (2016高一上·虹口期末) 下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是（）
A . y=|x|
B . y=﹣x3
C . y=（）x
D . y=
10. （2分） (2020高二下·河南月考) 已知函数（），若方程
恰有3个不同的根，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2017高一上·辽源月考) 已知函数的定义域为[0,1],则的定义域为________
12. （1分） (2018高一上·大石桥期末) 给出下列命题，其中正确的序号是________（写出所有正确命题的序号）
①函数的图像恒过定点；
②已知集合，则映射中满足的映射共有1个；
③若函数的值域为，则实数的取值范围是；
④函数的图像关于对称的函数解析式为
13. （1分）已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
14. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：
①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题 (共5题；共55分)
15. （10分） (2019高一上·西宁月考) 设，，求：
（1）；
（2）
16. （10分） (2019高一上·鸡泽月考) 已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．
17. （10分） (2016高一下·包头期中) 已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2 时，求直线l的方程．
18. （15分） (2016高二上·德州期中) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中点．
（1）求证：FH∥平面BDE；
（2）求证：AB⊥平面BCF；
（3）求五面体ABCDEF的体积．
19. （10分） (2020高二下·东莞月考) 设函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分) 1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共5题；共55分)
15-1、15-2、
16-1、
16-2、17-1、
17-2、18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
第11 页共11 页。