因式分解(十字相乘法)教案
十字相乘法分解因式_
(1) x 4 x 3;
2 2
(2) a 7 a 10
2 2
(3) y 7 y 12; (4)q 6q 8; (5) x x 20;
2 2
(6)m 7 mn 18n ;
2 2 2
(7)(p q) 5( p q) 36; (8)(t 1) 2(t 1) 8; 1 2 5 4 2 2 2 2 (9) x x (10)a b 37a b 36b 6 6
作业
• 1，教材P121，(1),(2),(3),(4) • 2，补充（见后）
补充、利用十字相乘法分解下列因式
(1) x 3 x 2
2
(2) x 7 x 6
2
(3) x 4 x 21
2
(4)n 7 n 60
2
(5)(m n) 2(m n) 15
2
(6) x 3 xy 10 y
2
2
思考题：
1、 k为何整数时，x kx 6 能分解成两个整系数的一次因式 的积？
2
2、 k为何整数时， x 6 x k 能分解成两个整系数的一次因式 的积？
2
对二次三项式 注 x2+px+q进行因式分解， 意 应重点掌握以下三个问题： 1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项． 2．符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的 因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
用十字相乘法分解下列因式：
2
2
－2 －4
－4x－2x=－6x
练习：分解因式 (x－y) ＋(x－y) －6 对于一般地二次三项式ax＋bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
十字相乘法教案
课题：十字相乘法一、教学设计与说明一、教材分析：“十字相乘法分解因式”是七年级第二学期第八章第4节的内容，也是学生在学习提取公因式与公式法两种因式分解后的内容。
学生对因式分解已有了解及应用，再借助十字交叉线分解因式，学生容易掌握，同时这节课也为以后学习分式的运算、一元二次方程、二次函数、分式方程、一元二次不等式等作铺垫，这节课无论从它的内容还是它的地位都十分重要。
二、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
三、教学的重点难点教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。
教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。
四、教学设计1、通过学生对问题的“议一议”，发现“232++x x ”不是一个完全平方形式，产生 了究竟是否还能分解的问题，学生带着问题进入新课。
（吸引学生）2、通过学生对多项式乘法的“算一算”，巩固了多项式的乘法的知识，又观察到了计算 中含有“232++x x ”这个结论，为以下“想一想”作了充分准备。
3、通过学生对多项式乘法遗留问题的“想一想”，既加深了对因式分解定义的理解，又得到了“232++x x ”的分解结果，从而过渡到 “ab x b a x +++)(2”的分解。
4、借助十字交叉线给师生互动，让学生“动一动”理解十字相乘法的定义。
5、通过学生的多次尝试，用“做一做”的环节来体验“如何用十字相乘法因式分解”。
6、知道了十字相乘法，那么“练一练”的环节是不可缺少的，通过“练一练”，学生就 有实践的体会，并能把知识延伸与拓展，学生学习兴趣盎然。
7、最后是学生的自主小结，交流各自的感受，达成共识。
总之，整节课力争体现学生学习的主动性，让学生完全参与整节课的教学活动，体验知识的发生发展过程，通过多次尝试，培养学生的耐心和信心，提高学生的观察能力。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备：纸和笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。
四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。
六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。
此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。
十字相乘法教案
因式分解之十字相乘法教学目标：1.理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法。
2.通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。
教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如q px x ++2的二次三项式分解因式。
教学难点：把q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使q b a =⋅ p b a =+。
教学过程：一、 复习导入：1.复习因式分解因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
实质是(和差化积)与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反） 方法：提取公因式法；公式法。
（1）对于多项式44n m -，用公式法因式分解的结果是))()((22n m n m n m ++-；（2）452+-x x 能用提取公因式法和公式法来因式分解吗？这样的多项式又该如何分解呢？这就是我们今天这节课要学习的一种新的分解因式的方法——十字相乘法。
（3）填空：=++)4)(3(x x =-+)4)(3(x x =+-)4)(3(x x =--)4)(3(x x 注：填空ab x b a x b x a x +++=++)())((2 二、探索新知：1、观察与发现反过来可得等式的左边是（二次三项式）,右边是两个(一次二项式)相乘,这个过程将(和差)的形式转化成(积)的形式,进行的是(因式分解).那么要想确定因式分解的结果，我们关键要确定什么呢？（确定a 和b ）那么a 和b 如何确定呢？满足什么条件呢？(它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数)。
如：x a x b ，由这种交叉线：左边是2x x x =∙，右边ab b a =⨯是常数项，且交叉相乘()b a x bx ax +=+是一次项。
定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
现在有一个多项式342++x x 让你分解因式，我们该如何分解呢？分析：根据总结的方法，要找到a+b=一次项系数4 ab=常数项3解：1,3;3,1====b a b a 。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
十字相乘法(详细教案)
因式分解的一点补充——十字相乘法（适用于新课标人教版八年级数学上册）青山初级中学李鑫教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点：灵活运用十字相乘法因分解式。
教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).课前练习：下列各式因式分解1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。
答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。
十字相乘法分解因式的教案
十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。
2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。
3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。
教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。
2. 教学中使用的教材和习题。
3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。
4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。
2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。
讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。
2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。
3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。
b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。
c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。
d. 化简和测试分解因式的正确与否。
示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。
2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。
巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。
2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。
总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。
2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。
3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。
评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。
2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。
备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。
（完整版）十字相乘法因式分解说课稿
（完整版）十字相乘法因式分解说课稿十字相乘法因式分解说课稿初一数学张金燕我的说课内容是湘教版七年级数学下册第三章因式分解的补充内容，下面我就教材、教法与学法指导、教学设计和教学反思等几个方面来向大家介绍一下我对本节课的理解与设计.一、说教材1、教材的地位与作用因式分解的方法有提公因式法和公式法，是在学生学习了整式的乘法基础上，对整式运算进行探索和研究的一个重要课题，是学生完整、全面掌握因式分解的必备环节。
不论是在知识的衔接上，还是在学习方法与能力的迁移上，本节课的教学都起重要的奠基作用。
2、教学目标【知识与技能】理解掌握十字相乘法因式分解的算理，会进行简单的十字相乘法因式分解，理解二次项系数不为1的二次三项式分解因式【过程与方法】通过观察与独立思考、合作与交流掌握十字相乘法的特点，熟练掌握用十字相乘法对二次项系数为1的二次三项式分解因式，【情感与态度】激发学生的求知欲，培养学生积极思考的学习习惯.3、教学重、难点重点：十字相乘法因式分解.难点：十字相乘法因式分解的探索过程.二、说教法设计数学教学是数学活动的教学，是师生交流、互动、共同发展的过程。
学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者。
本节课的教学，从学生的学习经验和已有的知识背景、思维方式出发，向他们提供充实的数学活动，通过学前反馈、目标导入、自主探究、合作交流、展示提升、达标检测教学活动，使学生获得深刻的体验和经验，深化学生的认知程度，真正理解和掌握十字相乘法因式分解的运算法则，逐步提高熟练程度，夯实基础知识，提高运算能力.针对本节课的内容特点和初一学生的思维特征，本节课的总体教法设计思路为：1、注重引导，激发思维，积极探究；2、学生概括总结，教师补充拓展；3、加强针对性练习，巩固和强化认知.三、说教学设计：本节课设计了七个教学环节：抽测、目标导入、独学、对学、小展、大展、整理与检测.1、抽测提公因式法和公式法分解因式是十字相乘法因式分解的重要基础，学习本堂课之前，必须充分理解提公因式法和公式法的适用条件，才能避免知识混乱的现象抽测题： x5-x3 x4-y4 x4-8x2+162、目标导入（1）复习提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b)a2 ±2ab+b2=(a ±b)2（2）总结提公因式法适用于任意多项式，只要满足有公因式；公式法只要满足公式即可.（3）对于公式法(a+b)(a-b)中的改成(a+2)(a-3)，则(a+2)(a-3)=a2-a-6则也是符合多项式的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1） 你能理解吗？
（2）课本最下面4道题你能独立解答吗？
2、独立思考后我还有以下疑惑：
二、答疑解惑我最棒（约8分钟）
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
学习活动
设计意图
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】二次三项式
◆多项式 ,称为字母x地二次三项式,其中 称为二次项,bx为一次项,c为常数项．
例如, 和 都是关于x地二次三项式．
◆在多项式 中,如果把y看作常数,就是关于x地二次三项式；如果把x看作常数,就是关于y地二次三项式．
◆在多项式 中,把ab看作一个整体,即 ,就是关于ab地二次三项式．
◆多项式 ,把x＋y看作一个整体,就是关于x＋y地二次三项式．
学习活动
设计意图
◆这种方法地特征是“拆常数项,凑一次项”．公式中地x可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数地积,因式地符号与一次项系数地符号相同；当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数地积,其中绝对值较大地因数地符号与一次项系数地符号相同．
（2）对于二次项系数不是1地二次三项式 (a,b,c都是整数且a≠0)来说,如果存在四个整数 ,使 , ,且 ,那么
因式分解（十字相乘法）导学案
学习目标
1.理解二次三项式地意义；
2.理解十字相乘法地根据；
3.能用十字相乘法分解二次三项式；
4.难点是．
学习重点
掌握十字相乘法
学习难点
首项系数不为1地二次三项式地十字相乘法
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
用十字相乘
◆用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出
现：一是没有认真地验证交叉相乘地两个积地和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出地因式漏写字母．如：
学习活动
设计意图
【3】因式分解一般要遵循地步骤
◆多项式因式分解地一般步骤：先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解地多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”．
2、独立作业
＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．
（3）
点拨：要深刻理解换元地思想,这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式,以顺利地进行分解．同时要注意已分解地两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止．
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
1、独立完成＄第十四章整式地乘法与因式分解小结与复习工具单
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点地归纳总结：
2、运用新知解决问题：（重点例习题地强化训练）
例1把下列各式分解因式：
（1） ；（2） ．
点悟：
（1）常数项－15可分为3 ×(－5),且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y看作常数,转化为关于x地二次三项式,常数项 可分为(－2y)(－3y),而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
十字相乘法是适用于二次三项式地因式分解地方法．
【2】十字相乘法地依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它地一般规律是：
（1）对于二次项系数为1地二次三项式 ,如果能把常数项q分解成两个因数a,b地积,并且a＋b为一
项系数p,那么它就可以运用公式
分解因式．
◆它地特征是“拆两头,凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1地情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”地办法来确定．
◆学习时要注意符号地规律．为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项；常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们地符号与一次项系数地符号相同；常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大地一组与一次项系数地符号相同．
例3把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3）（2）提取公因式(x＋y)后,原式可转化为关于(x＋y)地二次三项式；
（3）以 为整体,化为关于 地二次三项式．
解：（1）
＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．
（2）
＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]
解：（1） ；
（2） ．
例2把下列各式分解因式：
（1） ；（2） ．
点悟：我们要把多项式 分解成形如 地形式,这里 , 而 ．
学习活动
设计意图
解：（1） ；
（2） ．
点拨：二次项系数不等于1地二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数地分解和常数项地分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解地难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性．