2018-2019学年度北师大版数学选修2-3单元测试：第一章计数原理章末检测

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2019版北师大版数学【选修2-3】：第1章《计数原理》综合测试(含答案)

2019版数学精品资料（北师大版）第一章综合测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250B．240C．252D．300[答案] C[解析]要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．2．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有() A．30种B．36种C．42种D．48种[答案] C[解析]本题考查排列组合的基本知识，涉及分类，分步计算原理、特殊元素、特殊位置．甲在16日，有C14C24＝24种；甲在15日，乙在15日有C24＝6种．甲在15日，乙在14日时有C14C13＝12种，所以总共24＋6＋12＝42，故选C.3．(1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42 B．35C．28 D．21[答案] D[解析]展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C r7x r，T3＝C27x2，∴x2的系数为C27＝21，此题误认为T r＋1为第r项，导致失分．4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有()A．60种B．48种C．36种D．24种[答案] D[解析]把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A44＝24种．5．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝() A．5 B．6C．7 D．8[答案] B[解析]a＝c m2m ＝2m(2m－1)…(m＋1)m！，b＝c m2m＋1＝(2m＋1)·2m…(m＋2)m！，又∵13a＝7b，∴13(m＋1)＝7(2m＋1)，∴m＝6.6．设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则关于x ，y 的方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆有( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个[答案] A[解析] 解法一：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以当m ＝4时，n ＝1或2或3；当m ＝3时，n ＝1或2；当m ＝2时，n ＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．解法二：由题意知m >n ，则应有C 24＝6(个)焦点在x 轴上的不同椭圆．故选A.7.如图，一圆形花圃内有5块区域，现有4种不同颜色的花．从4种花中选出若干种植入花圃中，要求相邻两区域不同色，种法有( )A ．324种B ．216种C ．244种D ．240种[答案] D[解析] 若1、4同色，共有C 14×3×3×2＝72(种)．若1、4不同色(里面分2与4同色不同色)，共有A 24×2×(1×3＋2×2)＝168(种)．所以一共有168＋72＝240(种)．8．(2012·辽宁理，5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9! [答案] C[解析] 本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法3！，三个家庭即(3！)3，三个家庭又可全排列，因此(3！)4 注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．9．(2014·山东省胶东示范校检测)已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x ，y 正半轴上的整点)，其运动规律为(m ，n )→(m ＋1，n ＋1)或(m ，n )→(m ＋1，n －1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到点(6,2)，则不同的运动轨迹有( )A ．15种B ．14种C ．9种D ．103种[答案] C[解析] 由运动规律可知，每一步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，而纵坐标每一步增加1(或减少1)，经过6步变化后，结果由0变到2，因此这6步中有2步是按照(m ，n )→(m ＋1，n －1)运动的，有4步是按照(m ，n )→(m ＋1，n ＋1)运动的，因此，共有C 26＝15种，而此动点只能在第一象限的整点上运动(含x ，y 正半轴上的整点)，当第一步(m ，n )→(m ＋1，n －1)时不符合要求，有C 15种；当第一步(m ，n )→(m ＋1，n ＋1)，但第二、三两步为(m ，n )→(m ＋1，n －1)时也不符合要求，有1种，故要减去不符合条件的C 15＋1＝6种，故共有15－6＝9种．10．(2014·福建理，10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) [答案] A[解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球的所有情况为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，从5个有区别的黑球中取出若干个球的所有情况为(1＋c )(1＋c )(1＋c )(1＋c )(1＋c )，而所有蓝球都取出或都不取出有1＋b 5种情况，故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2013·安徽理，11)若(x ＋a 3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.[答案] 12[解析] 由T r ＋1＝C r 8·x r (a3x )8－r ＝C r 8·x 4r －83·a 8－r.令4r －83＝4，∴r ＝5，则x 4的系数为C 58a 3＝7.解之得a ＝12.12．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______种(用数字作答)．[答案] 36[解析] 分2步完成：第一步：将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种．第二步：将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22A 33＝36种．13．用数字0,1,2,3,4,5,6组成设有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．[答案] 324[解析] 分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十位、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C 23A 33C 14＋C 23A 33C 14＝144(种)．(2)四位数中如果没有0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A 33A 13＋C 23C 13A 33C 13＝180(种)．故符合题意的四位偶数共有：144＋180＝324(种)．14．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________(用数字作答)．[答案] 31[解析] 已知(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，令x ＝1，得(1－2)5＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝－1，令x ＝0，得(0－2)5＝a 0＝－32，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31.15．一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是________．[答案] 19[解析] 为了作的直线条数最少，应出现3点或更多点共线的情况，由于直线与圆相离，应让圆上任意两点都与直线上的一点共线．圆周上有4点能连成C 24＝6条直线，而直线上恰有6个点，故这10个点中最多有6个三点共线和1个六点共线的情况，因此最少可作直线C 210－6C 23－C 26＋6＋1＝19(条)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(1)化简n ·(n ＋1)·…·(n ＋m )；(2)求证：A 57＋5A 47＝A 58； (3)求n 使A 32n ＝10A 3n .[解析] (1)由排列数公式的阶乘形式可得n ·(n ＋1)·…·(n ＋m )＝(n ＋m )！(n －1)！＝A m ＋1n ＋m .(2)A 57＋5A 47＝7×6×5×4×3＋5×7×6×5×4＝(3＋5)×7×6×5×4＝8×7×6×5×4＝A 58，故等式得证．(3)由A 32n ＝10A 3n 得2n (2n －1)(2n －2)＝10n (n －1)(n －2)，即4n (2n －1)(n －1)＝10n (n －1)(n －2)，4(2n －1)＝10(n －2)(n ≥3，n 是正整数)，解得n ＝8.17．把4个男同志和4个女同志均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？ (3)男同志与女同志分别分组，有几种不同分配方法？[解析] (1)男女合在一起共有8人，每辆车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C 28种，再上第二车共有C 26种，再上第三车共有C 24种，最后上第四车共有C 22种，这样不同分配方法，按分步计数原理有C 28·C 26·C 24·C 22＝2520(种)． (2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A 44种不同方法，同理，女同志也有A 44种方法，由分步计数原理，男女各1人上车的不同分配方法为A 44·A 44＝576(种)．(3)男女分别分组，4个男的平分成两组共有C 242＝3(种)，4个女的分成两组也有C 242＝3(种)不同分法，这样分组方法就有3×3＝9(种)，对于其中每一种分法上4部车，又有A 44种上法，因而不同分配方法为9·A 44＝216(种)．18．把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放． (1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？ (2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？[解析] (1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)．共计有8种不同的放置方法．(2)设三个盒子中小球的个数分别为x 1，x 2，x 3，显然有：x 1＋x 2＋x 3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令y i ＝x i ＋1(i ＝1,2,3)由y 1＋y 2＋y 3＝10，问题又成为求不定方程y 1＋y 2＋y 3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C 29＝36组．19．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查，(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？[分析] 由于抽取的产品与顺序无关，因此是一个组合问题．[解析] (1)所求的不同抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有C 3100＝100×99×983×2×1＝161700(种)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成．第一步：从2件次品中任取1件，有C 12种方法；第二步：从98件正品中任取2件，有C 298种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的抽取方法共有C 12·C 298＝2×4753＝9506(种)． (3)方法一：抽出的3件中至少有一件是次品的这件事，分为两类：第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C 12C 298种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C 22C 198种．根据分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12C 298＋C 22C 198＝9506＋98＝9604(种)．方法二：从100件产品中任取3件的抽法有C 3100种，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法共有C 3100－C 398＝161700－152096＝9 604(种)．[点评] 本题考查了计数原理和组合知识的应用． 20．求(x 2＋3x ＋2)5的展开式中x 项的系数． [分析] 转化为二项式问题或利用组合知识．[解析] 方法一：因为(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋2)5·(x ＋1)5＝(C 05x 5＋C 15x 4·2＋…＋C 55·25)(C 05x 5＋C 15x 4＋…＋C 55)展开后x 项为C 45x ·24·C 55＋C 55·25·C 45x ＝240x . 所以(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 项的系数为240. 方法二：因为(x 2＋3x ＋2)5＝[x 2＋(3x ＋2)]5，设T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(3x ＋2)r ，在(3x ＋2)r 中，设T k ＋1＝C k r (3x )r －k 2k ， T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r C k r (3x )r －k 2k ＝C r 5C k r 3r －k 2k x 10－r －k ，依题意可知10－r －k ＝1，即r ＋k ＝9. 又0≤k ≤r ≤5，r ，k ∈N ＋，所以r ＝5，k ＝4. 则T r ＋1＝C 55·C 45·3·24·x ＝240x . 所以(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 项的系数为240.方法三：把(x 2＋3x ＋2)5看成5个x 2＋3x ＋2相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x 项可由1个因式取3x,4个因式取2相乘得到，即C 153x ·C 44·24＝240x . 所以(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 项的系数为240.[点评] 本题考查利用转化的思想求三项展开式的特定项．三项式求特定项的思路有： (1)分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后再用二项式定理分别展开．(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开． (3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项相合并．21．已知⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n (n ∈N *)的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式中a －1项的二项式系数． [解析] 对于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5：T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎫－15b r ＝C r 5·(－1)r ·45－r·5－r 2b 10－5r 6.若T r ＋1为常数项，则10－5r ＝0，所以r ＝2，此时得常数项为T 3＝C 25·(－1)2·43·5－1＝27.令a ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式的各项系数之和为2n .由题意知2n ＝27，所以n ＝7.对于⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7：T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7·(－1)r ·37－r a 5r －216.若T r ＋1为a －1项，则5r －216＝－1，所以r ＝3.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式中a －1项的二项式系数为C 37＝35.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大2．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（） A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.23．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（） A ．1781B ．5681C ．6481D ．25814．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（）. A ．3，2 B ．2，3C ．6，2D ．2，65．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于 A ．715B ．815C ．1415D ．16．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.787．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261B ．341C ．477D ．6838．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（）ξ0 12P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 9．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是A ．4,4E D ξξ=-=B ．3,3E D ξξ=-=C ．4,4ED ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落A 袋中的概率为（）．A ．18B ．14C ．38D ．3411．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（） A ．0.64 B ．0.16C ．0.32D ．0.3412．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题13．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为随机变量X ，则()E X =______．14．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，且(7884)0.3P X <≤=．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为____.15．某种填数字彩票,购票者花2元买一张小卡片,在卡片上填10以内(0,1,2,…,9)的三个数字(允许重复).如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等,得奖金1000元.只要有一个数字不符(大小或次序),无奖金.则购买一张彩票的期望收益是______________元.16．随机变量ξ的分布列如下：若()3E ξ=，则()D ξ=__________. 17．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．18．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,()10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 19．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________.20．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____. 三、解答题21．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望；（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.22．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X 表示成绩“优良”的人数，求X 的分布列和期望．23．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()38.45,50.4内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=．24．某班同学在假期进行社会实践活动，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式——“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率．．．．．．．分布直方图：（Ⅰ）求n ，a ，p 的值；（Ⅱ）从年龄在[)4050，岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[)4050，岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ．25．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.26．甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（1）甲、乙各射击一次，求甲、乙同时击中10环的概率；（2）求甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率；（3）甲射击3次，X 表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求X 的分布列及数学期望()E X ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出()E X ，利用方差的定义建立()()22=13D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.【详解】由题意：()1111333E X a b =⨯+⨯+⨯，∵2a b +=，∴()1E X =.∴()()()()()222221111=111123333D X a b a b -⨯+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，∴()()()()2222122=2=21=1333D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()22=13D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．A解析：A 【分析】甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局；②乙胜第1局，甲胜2、3局；③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，由此可求得甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率. 【详解】由题意，甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局，概率为211()3p =；②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为2221()33p =⨯； ③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为23121()333p =⨯⨯，所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为22212112117()()()33333381p =+⨯+⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了概率的求法，以及相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式的应用，着重考查分类讨论思想，以及计算能力.4．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案.【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.5．C解析：C 【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =，于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C 【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．6．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥， ()50.89P ξ≤=，()510.890.11P ξ∴≥=-=， ()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.7．B解析：B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．8．D解析：D 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑9．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=，则：()214,14E D ξξ-=-=，据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以22123311113()C 1C 122224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-+⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选D ． 11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．C解析：C 【解析】因为()20,X B p ~，12p =，所以()20202020111222kkk k P X k C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当10k = 时20kC 取得最大值，故选C.二、填空题13．2【分析】列举出所有的可能出现的情况硬币4次都反面向上则青蛙停止时坐标为硬币3次反面向上而1次正面向上硬币2次反面向上而2次正面向上硬币1次反面向上而3次正面向上硬币4次都正面向上做出对应的坐标和概解析：2 【分析】列举出所有的可能出现的情况,硬币4次都反面向上,则青蛙停止时坐标为14x =-,硬币3次反面向上而1次正面向上,硬币2次反面向上而2次正面向上,硬币1次反面向上而3次正面向上,硬币4次都正面向上,做出对应的坐标和概率,算出期望. 【详解】所有可能出现的情况分别为硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为14x =-,此时概率1116p =；硬币3次反面向上而1次正面向上,则青蛙停止时坐标为21x =-,此时概率33241141=22164p C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；硬币2次反面向上而2次正面向上,则青蛙停止时坐标为32x =,此时概率222341163=22168p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为45x =,此时概率341141141=22164p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为58x =,此时标率405411216p C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.1122334455()2E X x p x p x p x p x p ∴=++++=故答案为：2 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查学生分析问题的能力和计算求解能力,难度一般.14．80【分析】根据正态分布的对称性可求得即估计该校数学成绩不低于90分的人数【详解】因为X 近似服从正态分布所以根据正态分布的对称性可得所以该校数学成绩不低于90分的人数为故答案为：【点睛】本题主要考查解析：80 【分析】根据正态分布的对称性可求得(90)P X ≥，即估计该校数学成绩不低于90分的人数．【详解】因为X 近似服从正态分布2(84,)N σ，(7884)0.3P X <≤=，所以根据正态分布的对称性可得120.3(90)0.22P X -⨯≥==，所以该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280⨯=．故答案为：80 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．15．-1【分析】根据中奖规则求出中奖的概率再求不中奖的概率根据期望公式求出期望【详解】根据题意：彩票可能的数字是000001002…999共1000种可能的情况所以购买一次彩票中奖的概率为不中奖的概率为解析：-1 【分析】根据中奖规则求出中奖的概率，再求不中奖的概率，根据期望公式求出期望. 【详解】根据题意：彩票可能的数字是000,001,002，…，999共1000种可能的情况，所以购买一次彩票，中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以购买一张彩票的期望收益是1999100002110001000⨯+⨯-=-元. 故答案为：1- 【点睛】此题考查根据古典概型求概率再求期望，关键在于根据题意准确求出概率.16．【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得解得因此故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算解题时要注意概解析：59【分析】利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出()D ξ的值．【详解】由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得1612a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，()22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59．【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题．17．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4 【解析】【分析】由题意求得随机变量X 的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望．【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X 的取值为0,1,2X =，则P(X 0)0.20.40.08==⨯=，P(X 1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=，P(X 2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．3【分析】根据随机变量的概率之和为1即可求出【详解】根据随机变量的概率分布的性质可知故【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质属于中档题解析：3 【分析】根据随机变量的概率之和为1，即可求出()30P X >. 【详解】根据随机变量的概率分布的性质,可知()()()101030301P X P X P X <+≤≤+>=, 故(30)10.30.40.3P X >=--=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质，属于中档题.19．7【解析】【分析】先根据二项分布得EX 再根据Y ＝2X ＋3得EY=2EX+3即得结果【详解】因为X ～B(1002)所以EX=10×02=2因此EY=2EX+3=7【点睛】本题考查二项分布期望公式考查基解析：7 【解析】【分析】先根据二项分布得EX ，再根据Y ＝2X ＋3得 EY=2EX+3,即得结果. 【详解】因为X ～B (10，0.2)，，所以EX =10×0.2=2，因此EY=2EX+3=7. 【点睛】本题考查二项分布期望公式，考查基本求解能力.20．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552. 【解析】分析：由n 次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P (ξ=4)=435⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.129 6, P (ξ=3)=33432C ?·55⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.345 6,P (ξ=2)=222432C ?·55⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P (ξ=1)=31432C ?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P (ξ=0)=425⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.025 6. 由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．三、解答题21．（1）答案见解析，32；（2）14. 【分析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===，所以X 的分布列为所以()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =，当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=，当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=，当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题. 22．（1）2627（2）见解析，2 【分析】（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为23，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的概率．（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．【详解】解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为23，故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是23，设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A ，则()33212611132727P A C ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭．（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，()3431241022055C P X C ====，()12843124812122055C C P X C ====，()218431211228222055C C P X C ====，()383125614122055C P X C ====，所以X 的分布列为0123255555555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题．23．（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列详见解析，数学期望为2. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可；（2）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值．【详解】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：(]0,10的频率为：0.010100.1⨯=；(]10,20的频率为：0.020100.2⨯=； (]20,30的频率为：0.030100.3⨯=； (]30,40的频率为：0.025100.25⨯=； (]40,50的频率为：0.015100.15⨯=，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈()38.4550.4P Z <<()()26.5211.9526.5211.9526.511.9526.511.95P Z P Z =-⨯<<+⨯--<<+ ()0.95440.682620.1359-÷==∴Z 落在()38.45,50.4内的概率是0.1359．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(]10,30内的概率为0.20.30.5+=，所以1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为：∴()422E X =⨯=．【点睛】本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题．24．（Ⅰ）n =1000；a =60；p =0.65；（Ⅱ）分布列见解析，2EX = 【分析】（Ⅰ）由表格中的第一组数据可得年龄在[)25,30的总人数为200,再根据频率分布直方图求得总人数n ；由频率分布直方图求得[)40,45,[)30,35的人数,再根据表格求得a ,p ；（Ⅱ）先由分层抽样可得年龄在[)40,45之间6人,抽取年龄在[)45,50之间3人,则随机变量X 可能取到0,1,2,3,再由超几何分布的概率公式求得概率,即可得到分布列,并求得期望. 【详解】（Ⅰ）由题,年龄在[)25,30的总人数为1202000.6=, 根据频率分布直方图,总人数为200100050.04=⨯,即1000n =,年龄在[)40,45的人数为100050.03150⨯⨯=, 所以1500.460a =⨯=,因为年龄在[)30,35的人数的频率为()150.040.040.030.020.010.3-⨯++++=, 所以年龄在[)30,35的人数为10000.3300⨯=,所以1950.65300p == （Ⅱ）依题抽取年龄在[)40,45之间6人,抽取年龄在[)45,50之间3人, 所以随机变量X 可能取到0,1,2,3,()33391084C P X C ===,()12633918184C C P X C ===, ()21633945284C C P X C ===,()363920384C P X C ===,则X 的分布列为:所以0123284848484EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查分层抽样,考查数据处理能力. 25．（1）13；（2）15；（3）12．【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；（2）利用条件概率的公式即可计算结果；（3）与（2）解法相同. 【详解】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ， Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab 共有5种，故()51153P M ==．（2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设女生乙为b ，则()115P MN =，又由（1）知()13P M =，故()()()15P MN P N M P M ==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S ，则()815P S =， “女生乙被选中”为事件N ，()415P SN =，故()()()12P SN P N S P S ==．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题. 26．(1) 0.1225;(2) 0.8(3)见解析. 【分析】(1)分别计算出甲乙各射击一次击中10环的概率,利用相互独立事件的概率公式计算即可; (2)甲射击一次,击中9环以上（含9环）即为甲射击一次,击中9环和甲射击一次,击中10环,利用互斥事件的概率公式即可得出结果;(3)由(2)可知甲射击一次，击中9环以上（含9环）的概率为0.8,可知(3,0.8)X B .利用公式计算即可得出结果. 【详解】(1) 设事件A 表示甲运动员射击一次,恰好击中10环, 设事件B 表示乙运动员射击一次,恰好击中10环, ()10.10.10.450.35P A =---=,()0.35P B =,所以甲、乙各射击一次,甲、乙同时击中10环即()0.350.350.1225P AB =⨯=.(2)设事件C 表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则()0.350.450.8P C =+=（3）由已知可得X 的可能取值为0,1,2,3,且(3,0.8)XB3(0)0.20.008P X ===,123(1)0.80.20.096P X C ==⨯=, 223(2)0.80.20.384P X C ==⨯=,3(3)0.80.512P X ===所以30.8 2.4E X =⨯= 【点睛】本题考查相互独立事件的概率,考查二项分布的分布列和数学期望,考查运用概率知识解决实际问题的能力和计算求解能力,难度一般.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)

一、选择题1．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（） A ．274B ．92C ．3D ．43．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（）A ．13B ．12C ．5D ．44．某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于（） A ．0.064B ．0.144C ．0.216D ．0.4325．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，66．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（） A ．10.60.4k -⨯B ．10.240.76k -⨯C ．10.40.6k -⨯D ．10.760.24k -⨯7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（） A ．20B ．25C ．30D ．408．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（） A ．32元 B ．34元 C ．35元 D ．36元 9．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（）A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +10．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2311．如下五个命题:①在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；③正态曲线关于直线x σ=对称,这个曲线只有当()3,3x σσ∈-时,才在x 轴上方； ④正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越“矮胖”；⑤若随机变量()~0,1N ξ，且()1,P p ξ>=则()1102P p ξ-<<=-；其中正确命题的序号是 A ．②③B ．①④⑤C ．①④D ．①③④12．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．设在15个相同类型的产品中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不放回，若以ξ表示取出次品的个数，则()E ξ=________．14．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为随机变量X ，则()E X =______．15．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________16．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________. 前8小时内销售量 15 16 17 18 19 20 21 频数10x16161513y17．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.18．设平面上的动点P(1,y)的纵坐标y 等可能地取22,3,0,3,22,--用ξ表示点P 到坐标原点的距离,则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________19．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________.20．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．三、解答题21．甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为45.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率；（2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率.22．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．23．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.24．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P （X ＝0）＝0.01. （1）求实数m ，n 的值；（2）求X 的分布列；（3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？25．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 26．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求X 的分布列及数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩,化简可得22p q +=,即12q p += 由基本不等式化简可得21p q+ 221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.4．B解析：B 【分析】根据题意得到第2个问题不正确，第3、4个问题正确，计算概率得到答案. 【详解】选手恰好回答了4个问题就闯关成功，则第2个问题不正确，第3、4 个问题正确. 故0.60.40.60.60.40.40.60.60.144p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的应用能力.5．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.6．B解析：B 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次甲投中篮球，而乙前1k -次没有投中，甲前1k -次也没有投中或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球，根据公式写出结果．【详解】甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次投中篮球，而甲与乙前1k -次没有投中，或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球．根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第k 次投中的概率：1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；第k 次甲不中的情况应是10.40.60.6k k -⨯⨯，故总的情况是1110.240.40.240.60.60.240.76k k k ---⨯+⨯⨯=⨯．故选B ．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解X k =的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．7．B解析：B 【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果. 【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555216C =因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5(80,)16X B 则5()802516E X =⨯= 故选B 【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.8．C解析：C 【解析】【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望1332030403510105EX =⨯+⨯+⨯=，即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.9．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．10．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 11．B解析：B 【解析】对于命题①，因为2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，所以算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”，故该命题①是正确的；对于命题②，由于随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的整齐程度，因此方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的差异越大，命题②是错误；对于命题③，由于整个正太曲线都在轴上方，所以命题③的说法是不正确的；对于命题④，由于正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越贴近于轴，因此命题④的说法是正确的；对于命题⑤，由于随机变量()~0,1N ξ，且()1P p ξ>= ，所以依据正太曲线的对称性可得()1P p ξ<-= ,故()1112,P p ξ-<<=- 所以()1102P p ξ-<<=-，即命题⑤是正确的，综上应选答案B 。

(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案）（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起；（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ，故选C ．【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-，所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法，故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=，由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=，令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=，所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法，又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法；第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法，综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=，所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种；定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈，所以有23223=14+⨯+⨯种；所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法；第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择，故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =．故答案为：1或9．【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48；【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可；（2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可；【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数；（2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数；则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况，则有48个比40000大的正整数；【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析；【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=，当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解．【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法；（3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题，男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法，女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法，男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法，由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法；（5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法，再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法，所以共有16563600A A =种方法．【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。

高中数学选修2-3 第一章计数原理章末检测题附答案解析

高中数学选修2-3第一章计数原理章末检测题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从n 个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n 的值为()A ．6B ．8C ．9D ．122．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!3．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A ．85B ．56C ．49D ．284．从集合{0,1,2}到集合{1,2,3,4}的不同映射的个数是()A ．81B ．64C ．24D ．125．(2012·重庆卷)82x x 的展开式中常数项为()A.3516B.358C.354D ．1056．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为()A ．2B ．－1C ．0D ．17．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A 、B 两个节目相邻且都不排在3号位置，那么节目单上不同的排序方式有()A ．144种B ．192种C ．96种D ．72种8．(x ＋1)4(x －1)5的展开式中x 4的系数为()A ．－40B ．10C ．40D ．459．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A ．33B ．34C ．35D ．3610.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为()A ．320B ．160C ．96D ．6011．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种12．绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有()A ．6种B ．12种C ．20种D ．40种二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填写在题中的横线上)13.84x x 展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为___________________．(用数字作答)14．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．15．已知(1＋x )6(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，那么a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝________.16．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有________条．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)有0,1,2,3,4,5共六个数字．(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．18．(本小题满分12分)已知3241nx x 展开式中的倒数第三项的系数为45，求：(1)含x 3的项；(2)系数最大的项．19．(本小题满分12分)(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？20．(本小题满分12分)设a ＞0，若(1＋ax 12)n 的展开式中含x 2项的系数等于含x 项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x ，那么a 等于多少？21．(本小题满分13分)带有编号1、2、3、4、5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？22．(本小题满分13分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，求n的值；(3)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和．参考答案一、选择题1.【解析】∵A2n＝72，∴n＝9.【答案】C2.【解析】把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．【答案】C3.【解析】分两类计算，C22C17＋C12C27＝49，故选C.【答案】C4.【解析】利用可重复的排列求幂法可得答案为43＝64(个)．【答案】B5.【解析】T r＋1＝C r8(x)8－r2rx＝12rC r8x4－r2－r2＝12rC r8x4－r，令4－r＝0，则r＝4，∴常数项为T5＝124C48＝116×70＝358.【答案】B6.【解析】(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.【答案】D7.【解析】第一步，将C、D、E、F全排，共有A44种排法，产生5个空，第二步，将A、B捆绑有2种方法，第三步，将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C13种，所以一共有144种方法．【答案】A8.【解析】(x＋1)4(x－1)5＝(x－1)5(x2＋4x x＋6x＋4x＋1)，则x4的系数为C35×(－1)3＋C25×6＋C15×(－1)＝45.【答案】D9.【解析】①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33，故选A.【答案】A10.【解析】不同的涂色方法种数为5×4×4×4＝320种．【答案】A11.【解析】利用分步计数原理求解．第一步先排甲，共有A 14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A 55种不同的排法，因此不同的演讲次序共有A 14·A 55＝480(种)．【答案】C12.【解析】方法一(树形图)：如图所示，先吃A 的情况，共有10种，如果先吃D ，情况相同，所以不同的吃法有20种．方法二：依题意，本题属定序问题，所以有A 66A 33·A 33＝20种．【答案】C 二、填空题13.【解析】∵384418841rrr r r r T Cx C xx --+==，当r ＝0,4,8时为含x 的整数次幂的项，所以展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为C 08＋C 48＋C 88＝72.【答案】7214.【解析】满足题设的取法分三类：①四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数中任取4个，有C 45＝5(种)；②两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；③四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．【答案】6615.【解析】令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－64；∴a 1＋a 2＋…＋a 11＝－65.【答案】－6516.【解析】把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C 37＝35.【答案】35三、解答题17.【解析】(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A 35个；第二类，2在个位时有A 14A 24个；第三类，4在个位时有A 14A 24个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数A 35＋A 14A 24＋A 14A 24＝156个．(2)五位数中5的倍数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数有A 45个，第二类，个位上的数字是5的五位数有A 14A 34个．故满足条件的五位数有A 45＋A 14A 34＝216(个)．18.【解析】(1)由题设知C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n ＝10.则21011130341211010r r r r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11r －3012＝3，得r ＝6，含x 3的项为T 7＝C 610x 3＝C 410x 3＝210x 3.(2)系数最大的项为中间项，即T 6＝C 510x55－3012＝252x 2512.19.【解析】(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C 24种插法；二是2张同时插入，有C 14种插法，再考虑3人可交换有A 33种方法．所以，共有A 33(C 24＋C 14)＝60(种)．(2)可先让4人坐在4个位置上，有A 44种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A 25种插法，所以所求的坐法为A 44·A 25＝480(种)．20.【解析】T r ＋1＝C r n (ax 12)r ＝C r n a r x r 2，∴4422229135nnn C a C a C a x x⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴()()()()()22123914!211352n n n n n n a n n a ⎧----=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即()()()22231081270n n a n n a ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，∴(n －2)(n －3)n (n －1)＝25.∴3n 2－23n ＋30＝0.解得n ＝53(舍去)或n ＝6，a2＝27030＝9，又a＞0，∴a＝3.21.【解析】(1)由分步计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进不同的4个盒子里(每盒一个)共有A45种放法．(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C45C14种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C25A44种不同的放法．22.【解析】(1)C320＝1140.(2)C13nC14n＝23⇒14n－13＝23，解得n＝34.(3)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(答案解析)

一、选择题1．若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A ．1215B ．135C ．18D ．92．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（） A ．40B ．36C ．32D ．203．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-10 4．1180被9除的余数为（）A ．1-B ．1C ．8D ．8-5．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷6．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种7．设()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为( ) A ．94B ．93C ．92D ．92-8．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（） A ．840B ．2226C ．2100D ．23529．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（） A ．60B ．150C ．180D ．24010．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A ．240B ．360C ．420D ．96011．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（） A ．20种B ．24种C ．32种D ．48种12．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．-1或-9D ．1或9二、填空题13．某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.14．已知正整数n ，二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________. 15．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．16．把13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子中，若使放入盒子中的小球个数不小于盒子的编号数，则不同的放法种数为______. 17．83被5除所得的余数是_____________．18．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________.19．计算2222223456C C C C C ++++=______.20．已知()()()()52012213211x x a a x a x --=+-+-()()565611a x a x +⋅⋅⋅+-+-，则5a =______.三、解答题21．红星高中2019年五一演讲比赛将在体育馆举行，所有参加人员凭票入场.（1）若将6张连号的门票分给明明、慧慧等六位老师，每人1张，且明明、慧慧分得的门票连号，则一共有多少种不同的分法？（2）高二年级准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么高二年级不同的演讲顺序一共有多少种？22．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 23．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？24．有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数（1）甲只能在中间或者两边位置；（2）男生必须排在一起；（3）男女各不相邻；（4）甲乙两人中间必须有3人.25．已知212nxi x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，i 是虚数单位，0x >，n ∈+N . （1）如果展开式中的倒数第3项的系数是-180，求n 的值；（2）对（1）中的n ，求展开式中系数为正实数的项. 26．已知. （1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可求得常数项．详解：由题意264n =，6n =，∴通项为36662166(3)(3r rrr r rr T C x C x x---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2463135C =，故选B.．点睛：在()n a bx +展开式中二项式系数为2n ，所有项的系数和为()n a b +．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数n 有关，而所有项系数和还与二项式中的系数,a b 有关．2．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.3．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 4．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()2101101210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅-1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯-121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.5．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法，又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法；第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法，综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、区域有2+1＝3种涂色方法，则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．7．A解析：A 【分析】由()913x -的展开式的通项为()193rrr T C x +=-，可得10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，则01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-，再令1x =-即可得解；【详解】解：因为()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，()913x -的展开式的通项为()193rr r T C x +=-，所以10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，所以01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+- 令1x =-得901234567894a a a a a a a a a a -+-+-+-+-= 所以901294a a a a +++⋅⋅⋅+= 故选：A 【点睛】本题考查赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226 故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9．B解析：B 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有3115212210C C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C C A =种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的分组方法；故选：B ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题．10．C解析：C 【分析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论. 【详解】由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.11．C解析：C 【分析】根据角所在的位置，分两类：角排在一或五；角排在二或四.根据分类计数原理和排列组合的知识可得．【详解】若角排在一或五，有22232A A =24种；若角排在二或四，有22222A A 8=. 根据分类计数原理可得，共有24832+＝种. 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合和计数原理，属于基础题.12．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.二、填空题13．150【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组分2种情况分类讨论再将分好的三组全排列对应三个学校由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组由两种分组方法若分成3解析：150 【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式；故答案为：150．【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题解析：4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论．【详解】二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222kn k k k kn k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 令357n k -=，可得573k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.15．【分析】先求出展开式通项得出系数要使展开式中系数最大只需该项系数不小于前一项系数也不小于后一项系数建立关于项数的不等式求解即可【详解】二项式的展开式通项为若第系数最大需满足即整理得解得所以该二项展开解析：20126720x【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==，0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩，整理得121321121r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x . 故答案为：20126720x . 【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.16．20【分析】先将每个盒子放入编号相同的小球剩余3个小球讨论剩余小球放入一个两个三个盒子计算得到答案【详解】先将每个盒子放入编号相同的小球剩余3个小球若3个小球都放入一个盒子有4种放法；若3个小球放入解析：20 【分析】先将每个盒子放入编号相同的小球，剩余3个小球，讨论剩余小球放入一个，两个，三个盒子，计算得到答案. 【详解】先将每个盒子放入编号相同的小球，剩余3个小球，若3个小球都放入一个盒子，有4种放法；若3个小球放入两个盒子，有2412A =种放法；若3个小球放入三个盒子，有4种放法. 故不同的方法有412420++=种. 故答案为：20. 【点睛】本题考查了分类原理和排列，意在考查学生的计算能力和应用能力，先将每个盒子放入编号相同的小球是解题的关键.17．1【分析】变形利用二项式定理展开即可求出被除所得的余数【详解】因为所以转化为求被除所得的余数因为所以被除所得的余数是1故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题考查了推理运算能力属解析：1 【分析】变形883(52)=-，利用二项式定理展开即可求出被5除所得的余数. 【详解】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求8885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：1 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题.18．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．19．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11m m mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++ 3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.20．【分析】将已知等式等价变形为结合二项展开式的通项即可求得【详解】展开后含有的项为：故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用注意根据题意分析所给代数式的特点考查理解辨析能力与运算求解能力解析：272【分析】将已知等式等价变形为5[2(1)1][3(1)1]x x -+-+，结合二项展开式的通项即可求得5a . 【详解】55(21)(32)[2(1)1][3(1)1]x x x x --=-+-+，展开后含有5(1)x -的项为：0551445552(1)2(1)3(1)272(1)C x C x x x ⋅⋅-+⋅⋅-⋅-=-，5272a ∴=.故答案为：272 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，考查理解辨析能力与运算求解能力.三、解答题21．（1）240种；（2）1140种【分析】（1）先从6张门票中选出两张连号的门票，有5种选法，剩下的4张门票分给其余四位老师属于排列问题，有44A 种，又因为两张连号的门票分明明、慧慧两位老师，有22A 种分法，由分步乘法计数原理即可求得结果；（2）先分类再分步.一类是甲、乙两人中恰有一人参加，先从甲、乙中选出1人，再从其余6人中选出3人，最后将参加的4人全排列，有134264960C C A ⋅⋅=种；另一类是甲、乙两人都参加，有22C 种.除甲、乙外，再选2名，有26C 种.其余两人先排好有22A 种，甲、乙不相邻采用插空法有23A 种，用分步乘法计数原理22222623C C A A ⋅⋅⋅计算.最后再将两类的结果加起来. 【详解】解：（1）门票连号有5种，分给其余四位老师有44A 种，明明、慧慧分得的门票连号，一共有42425240A A ⨯⨯=种；（2）就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为134264960C C A ⋅⋅=；第二类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人，满足题意的不同的演讲顺序种数为22222623180C C A A ⋅⋅⋅=. 因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为9601801140+=. 【点睛】本题考查了两个计数原理的综合应用，其中甲、乙不相邻采用“插空法”，属于中档题. 22．（1）720；（2）3720. 【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解．【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工．【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．23．（1）1560；（2）156；（3）92. 【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果. 【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C C A A ⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C C A A A ⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A =个若个位不是0，共有：11224496C C A =个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C =种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C =种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C =种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.24．（1）2160；（2）720；（3）144；（4）720. 【分析】（1）利用元素分析法（特殊元素优先安排），甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，问题得以解决；（2）利用捆绑法，先将男生捆绑在一起算一个大元素，与女生进行全排，在将男生内部全排得到结果；（3）男女各不相邻，先排四名女生，之后将3名男生插在四个空中，正好得到所要的结果；（4）从除甲、乙之外的5人中选3人排在甲、乙中间，之后再排，问题得以解决. 【详解】（1）甲为特殊元素，所以先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有13A 种选择，其余6人全排列，有66A 种排法，由分步计数原理得共有16362160A A ⋅=种；（2）捆绑法，先将男生排在一起，和四名女生合在一起，有55A 种排法，再将三名男生内部排列，有33A 种排法，由分步计数原理得共有5353720A A ⋅=种；（3）男女各不相邻，即为女生排好后男生插入中间的三个空即可，所以有4343144A A ⋅=种；（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有35A 种排法，甲、乙两人有22A 种排法，甲、乙以及中间的三人与其余2人共有33A 种排法，由分步计数原理得共有323523720A A A ⋅⋅=种. 【点睛】该题考查的是有关具有特殊要求的排列问题，在解题的过程中，注意处理原则和解题方法为：特殊元素优先考虑，不邻问题插空法，相邻问题捆绑法等，属于简单题目.25．（1）10n =（2）311520T =，1073360T x -=，2011T x -=.【解析】【分析】(1)由题意得到关于n 的方程，解方程可得n 的值；(2)结合(1)中求得的n 的值，得到展开式的通项公式，然后整理计算可得展开式中系数为正实数的项. 【详解】（1）由已知，得-22(2)180n n C i =-，即24180n C =，所以2900n n --=，又n ∈+N ，解得10n =. （2）展开式的通项为5510210211010(2)(2)k k kkk kk TC xi xC i x----+==，因为系数为正实数，且{0,1,2,,10}k ∈，所以2,6,10k =.代入通项公式可得所求的项为311520T =，1073360T x -=，2011T x -=.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及其应用，分类讨论的数学思想，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 26．（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】（1）若，，令,则，令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A ．72B ．48C ．24D ．602．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则 21S 的值为（）A ．66B ．153C ．295D ．3613．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A ．14 B ．16 C ．20 D ．484．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 5．影片《红海行动》里的“蛟龙突击队”在奉命执行撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成6项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，则这6项任务的不同安排方案共有（） A ．18种B ．36种C ．144种D ．216种6．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A7．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（） A ．2263C AB ．2666C AC ．2266C AD ．2265C A8．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则6a =（）A ．1792-B ．1792C ．5376-D ．53769．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，则两名女生相邻而站的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．4510．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（） A ．2280B ．2120C ．1440D ．72011．5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数为（） A ．35 B ．53C ．35AD ．35C12．41(1)x x++的展开式中常数项为（） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．已知522()ax x-的展开式中1x -的系数为40-，则实数a =____ 14．设()28210012101(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1210a a a ++⋯+= ________．15．()83x y z +-展开式中，52x y z 项的系数为__________.16．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.17．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案） 18．已知()()()()52012213211x x a a x a x --=+-+-()()565611a x a x +⋅⋅⋅+-+-，则5a =______.19．有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，则共有_____种不同安排方案.20．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是_____．三、解答题21．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式. 22．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.23．江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答．．．．．．．）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ 24．已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.25．已知2nx x ⎫⎪⎭的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．26．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，利用分步乘法计数原理可求得排法种数. 【详解】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A =种. 故选：C. 【点睛】本题考查捆绑法与插空法的综合应用，同时也考查了分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式.n a 当n 为偶数时，42n n a +=；当n 为奇数时，0212322233551,3,6,C C C C C C ======,所以()()232138n n n n a C +++==，所以21S =()()()()22221352124620124622224622758a a a a a a a a ⎡⎤+++++++++=++++++++++⎣⎦()122423112475286753618⎡⎤=⨯⨯+⨯+=+=⎣⎦，故选D. 考点：归纳推理与数列求和.3．B解析：B 【解析】由间接法得32162420416C C C -⋅=-=，故选B ．4．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=，由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=，令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=，所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.5．B解析：B 【分析】根据A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，先得到任务E 、F 相邻的位置的种数，再考虑E 、F 的顺序，然后将剩下的3个任务全排列，最后用分步计数原理求解. 【详解】因为A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，则任务E 、F 相邻的位置有3种，考虑E 、F 的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他3个位置，有336A =种，所以这6项任务的不同安排方案共有32636⨯⨯=种，故选：B 【点睛】本题主要考查计数原理中的排列问题，还考查了分析求解的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.7．C解析：C 【分析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可. 【详解】首先先从后排6人中选2人出来，共26C 种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4 人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有26A 种不同排法，其余位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是2266C A . 故选：C 【点睛】本题考查排列与组合的应用，涉及到定序排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.8．D解析：D 【分析】将原式改写成88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----，利用二项式定理解决系数问题即可得解. 【详解】88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----290129(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋅-+⋅⋅，所以26356882C 2C 2358417925376.a =⨯⨯+⨯=+= 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.9．B解析：B 【分析】这是一个古典概型，先确定5名师生站成一排站法数，记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起，视为一个元素与其余3个人全排，计算出事件A 共有不同站法数，再代入公式求解.5名师生站成一排共有55120A=种站法，记“两名女生相邻而站”为事件A，两名女生站在一起有222A=种，视为一个元素与其余3个人全排，有4424A=种排法，则事件A共有不同站法242448A A⋅=种，所以()482 1205p A==，两名女生相邻而站的概率是2 5 .故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题. 10．A解析：A【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列.【详解】由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有7722AA，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有552A，故得到的数字大于3.14的不同情况有75752222280 AAA-=.故选：A【点睛】本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 11．B解析：B【分析】把不同的报名方法可分5步完成，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，不同的报名方法可分5步完成：第一步：第一名同学报名由3种方法第二步：第二名同学报名由3种方法第三步：第三名同学报名由3种方法第四步：第四名同学报名由3种方法第五步：第五名同学报名由3种方法根据分步乘法计数原理，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种方法. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分步求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项公式令的幂指数为求出的值利用其系数为得到关于的方程解方程即可求解【详解】由二项式定理可得二项展开式的通项公式为令解得所以的展开式中的系数为解得故答案为：【点解析：1-【分析】利用二项式定理写出522()ax x -二项展开式的通项公式，令x 的幂指数为1-，求出r 的值，利用其系数为40-得到关于a 的方程，解方程即可求解.【详解】由二项式定理可得，522()ax x -二项展开式的通项公式为()()5553155222rrr r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令531r -=-，解得2r ，所以522()ax x-的展开式中1x -的系数为()2235240C a ⋅-⋅=-，解得1a =-. 故答案为：1- 【点睛】本题考查利用二项式定理由二项展开式中某项的系数求参数；考查运算求解能力；利用二项式定理写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14．【分析】因为分别令和即可求得答案【详解】令原式化为令得故答案为:【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法考查了分析能力和计算能力属于中档题解析：34【分析】因为()()()()()8210201210143212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-,分别令1x =和12x =,即可求得答案. 【详解】()()()()()8210201210143212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-令1x =.∴原式化为012102a a a a =++++.令12x =,得054a =, ∴121053244a a a +++=-=. 故答案为: 34. 【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．【分析】由的指数是1得到然后由的指数是2得到然后即可算出答案【详解】因为的指数是1所以得到又因为的指数是2得到所以项的系数为故答案为：【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理解析：1512-【分析】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，由z 的指数是1，得到()()7183C x y z +-，然后由y 的指数是2，得到()22573C x y ，然后即可算出答案.【详解】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦因为z 的指数是1，所以得到()()7183C x y z +-又因为y 的指数是2，得到()22573C xy所以52x y z 项的系数为()12287131512C C -=-故答案为：1512- 【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理.16．42【分析】根据题意不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数再加上甲值16号且乙值14号的排法进而计算可得答案【详解】解：根据题意不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值1解析：42 【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=，故答案为：42．【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．17．240【分析】根据题意分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意将5个医疗队分派到4个重灾区每个重灾区至少分配一个解析：240 【分析】根据题意，分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队. 分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有1245C C 种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.故答案为：240. 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.18．【分析】将已知等式等价变形为结合二项展开式的通项即可求得【详解】展开后含有的项为：故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用注意根据题意分析所给代数式的特点考查理解辨析能力与运算求解能力解析：272【分析】将已知等式等价变形为5[2(1)1][3(1)1]x x -+-+，结合二项展开式的通项即可求得5a . 【详解】55(21)(32)[2(1)1][3(1)1]x x x x --=-+-+，展开后含有5(1)x -的项为：0551445552(1)2(1)3(1)272(1)C x C x x x ⋅⋅-+⋅⋅-⋅-=-，5272a ∴=.故答案为：272 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，考查理解辨析能力与运算求解能力.19．【分析】利用分步乘法计数原理可得结果【详解】解：根据题意得第一步先排本校老师先排甲2种排法再排剩下的两名本校老师有中排法；第二步排外校老师乙有两种排法再排剩下的两名外校老师有种排法；据分步乘法计数原解析：16【分析】利用分步乘法计数原理可得结果．【详解】解：根据题意得，第一步先排本校老师，先排甲2种排法，再排剩下的两名本校老师有22A 中排法；第二步，排外校老师乙有两种排法，再排剩下的两名外校老师有22A 种排法；据分步乘法计数原理得共有22222216A A ⨯⨯⨯=种安排方案；故答案为：16．【点睛】本题考查有限制条件的排列组合问题，属于中档题．20．【分析】因为所以从这五个数中每次取出两个不同的数分别为共可得到的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数【详解】解：首先从这五个数中任取两个不同的数排列共种排法因为所以从这五个数中每次取出两个不同的解析：18【分析】因为lg lg lgaa b b-=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数a b. 【详解】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共2520A =种排法，因为3913=，1339=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数为：20218-=，故答案为：18. 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于基础题.三、解答题21．（1）1（2）证明见解析；【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+n n n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种【分析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解.. （3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解. （5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解. 【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=（种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=（种）.（5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=（种）. 【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 23．（1）144；（2）360；（3）108 【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将3名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析： ①先将3名男生排成一排，有33A 种情况，②男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则有3334144A A ⨯=种不同的出场顺序；（2）根据题意，将6人排成一排，有66A 种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有6622360A A =种；（3）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况， ②将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有33A 种情况， ③女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有13C 种，则有313333108A C A =种符合题意的安排方法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用． 24．（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】（1）若，，令,则，令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

北师大版数学选修2-3单元测试：第一章计数原理章末检测

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种解析：完成这件事共分5步，即每个同学均报完一个小组才结束，每人有2种选择方法，故共有25＝32种不同选择方法．答案：D2．(陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C24·C34·C34＝96种．答案：C4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(C 126)2A 410个．答案：A5.⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式中，第5项是常数项，则x 3的系数为( ) A ．1215 B ．405 C ．－1215D ．－405解析：T 5＝C 4n 3n －4x n －6，由题意知，n －6＝0，解得n ＝6. T r ＋1＝C r 6(－1)r 36－r x 6－32r ，令6－32r ＝3得r ＝2，所以x 3的系数为C 26(－1)234＝15×34＝1 215.答案：A6．从1,2，－1，－2，－3中任取不同的3个数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，其中表示开口向上的抛物线的条数为( )A ．10B ．24C ．48D ．60解析：因为y ＝ax 2＋bx ＋c 表示开口向上的抛物线，a 必须大于0，因此共有C 12A 24＝24条抛物线．答案：B7．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法，故总的排法种数有2×2×A 33＝24.答案：B8．(安徽高考)(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r (－1)r ，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x 2＋2)中提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)中提供2时，则取r ＝5，所以(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是5－2＝3.答案：D9．用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数( )A ．6B ．9C ．10D ．8解析：比12 340小的分三类：第一类是千位比2小为0，有A 33＝6个；第二类是千位为2，百位比3小为0，有A 22＝2个；第三类是十位比4小为0，有1个．共有6＋2＋1＝9个，所以12 340是第10个数．答案：C10．在(1＋x )n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则(1－x 2)n 等于( ) A ．0 B ．pq C ．p 2－q 2D ．p 2＋q 2解析：由于(1＋x )n 与(1－x )n 展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x )n ＝p －q ，所以(1－x 2)n ＝(1－x )n (1＋x )n ＝(p ＋q )(p －q )＝p 2－q 2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上) 11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．(用数字作答)解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种．答案：1 26012．(天津高考)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)rx 6－32r ，当6－32r ＝0，即r ＝4时是常数项，所以常数项是C 46(－1)4＝15. 答案：1513．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个．(用数字作答)解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·A 33＝12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不能是首位数字，则有2·A 22＝4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不能是首位数字，则有2·(2·A 22)＝8个五位数，所以全部合理的五位数共有12＋4＋8＝24个．答案：2414．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n 行(n ∈N ＋)，在这些数中，非1的数之和为________．解析：所求和S ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)＝2n－12－1－2n ＋1＝2n－2n .答案：2n －2n三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的常数项，求⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式中含a －1的项的二项式系数．解：设⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎫－15b r ＝⎝⎛⎭⎫－15r ·45－rC r 5·b 10－5r6，(r ＝0,1,2,3,4,5)．若它为常数项，则10－5r6＝0，∴r ＝2.代入上式，得T 3＝27. 即常数项是27，从而可得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n中n ＝7，同理⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7二项展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·37－r C r7·a 5r －216，令5r －21＝－1，得r ＝4.故含a －1的项是第5项，其二项系数是35.16．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．17．(本小题满分12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)解：(1)分三步完成：第一步，取两个偶数，有C23种方法；第二步，取两个奇数，有C23种方法；第三步，将取出的四个数字排成四位数有A44种方法．根据分步乘法计数原理，共能组成C23C23A44＝216个不同的四位数．(2)先取出两个偶数和两个奇数，有C23C23种方法；再将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有A22A33种方法．根据分步乘法计数原理，偶数排在一起的四位数有C23C23A22A33＝108个．(3)两个偶数不相邻用插空法，共有四位数C23C23A23＝108个．18．(本小题满分14分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N＋)．(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．解：(1)由题设条件，得m＋n＝19.∴m ＝19－n ，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝⎛⎭⎫n －1922＋3234， ∵n ∈N ＋.∴当n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值⎝⎛⎭⎫122＋3234＝81.(2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数取最小值，此时x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156.。

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