精品教育高中数学必修二人教A版练习：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系含解析

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【选题明细表】
1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )
(A)相交 (B)异面
(C)相交或异面(D)平行
解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.
2.在三棱锥P ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为
PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )
(A)20°(B)70°
(C)110° (D)70°或110°
解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以
∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.
3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )
(A)30°(B)45°
(C)60°(D)120°
解:如图,取BD的中点M,
连接EM,FM.
因为E,F分别是AB,CD的中点,
所以EM AD,FM BC,
则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.
因为AD=BC=2,
所以EM=MF=1,
在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,
在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,
则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,
则∠EMF=2∠EMH=120°.
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C.
4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )
(A)与a,b都相交
(B)只能与a,b中的一条相交
(C)至少与a,b中的一条相交
(D)与a,b都平行
解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.
5.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )
(A)CC1与B1E是异面直线
(B)C1C与AE共面
(C)AE,B1C1是异面直线
(D)AE与B1C1所成的角为60°
解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A 错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E
不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.
6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC 的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.
解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.
答案:45°
7.如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)直线AB1和CC1所成的角为;
(2)直线AB1和EF所成的角为.
解析:(1)因为BB1∥CC1,
所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.
(2)连接B1C,易得EF∥B1C,
所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,
所以∠AB1C=60°.
答案:(1)45°(2)60°
8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?
解:因为AD与BC成60°角,
所以∠HGF=60°或120°.
设AE∶AB=x,
则==x.
又BC=a,
所以EF=ax.
由==1-x,
得EH=a(1-x).
所以S四边形EFGH=EF·EH·sin
60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+].
当x=时,S最大值=a2,
即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.
9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG 与IJ所成角的度数为( B )
(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°
解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,
所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,
所以HG与IJ所成的角为60°.
10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为.
解析:还原成正方体如图所示,
可知①正确.
②AB∥CM,不正确.
③正确.④MN⊥CD.不正确.
答案:①③
11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问
(1)AM和CN是否是异面直线?
(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.
解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN 不是异面直线.
由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.
(1)不是异面直线.理由:
因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,
所以MN∥A1C1.
又因为A1A C1C,
所以A1ACC1为平行四边形.
所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,
所以A,M,N,C在同一个平面内,
故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线,证明如下:
假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则
B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.
所以BC⊂平面CC1D1D,
这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.
所以假设不成立,
故D1B与CC1是异面直线.
12.如图,正方体ABCD EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
解:(1)如图,因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH,因为HD EA,EA FB,所以HD FB,所以四边形HFBD为平行四边形,
所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,
又依题意知O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,
即FO与BD所成的角是30°.
13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且
==λ,==μ.
(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;
(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;
(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.
解:(1)因为==λ,
所以EH∥BD,且EH=BD. ①
又因为==μ.
所以FG∥BD,且FG=BD. ②又λ=μ,所以EH FG(公理4).
因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.
(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,
因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.
(3)因为λ=μ,
所以四边形EFGH为平行四边形.
又因为EG⊥HF,
所以四边形EFGH为菱形.
所以FG=HG.
所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,
又BD=FG=3FG,
所以=.。