2010概率论与数理统计习题解答1

Ai
n
Aj
ji, j1

Ai Aj
1i jn
5. 设 P(A) a, P(B) b, P(A B) c 。求 P(AB), P(AB), P(AB) 。
解：
P(AB) P(A) P(B) P( A B) a b c; P(AB) P(A) P( AB) a (a b c) c b; ( P(A B) P(B)) P(AB) 1 P(A B) 1 c.
(2) 昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；
P(WE) P(W ) P(WE) 0.125 0.025 0.1.
(3) 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛。
P(WE) P(W E) 1 P(W E) 1 0.175 0.825 。
1.8 设 A 和 B 是两个事件， P(A) 0.6, P(B) 0.8 。试问：
5
Байду номын сангаас
3

3

2


52 13

。
按照第二种理解，出现该花色分布的取法数可如此计算： 先从四种花色中任取一色，在此花色中取 5 张；再从余下的三种花色中任取一色，在此花色 中取 2 张；在剩下的两种花色中各取 3 张。按乘法原理，共有
种取法。故概率为
413 3131313
若两个产品是依次抽取的，它们的编号按抽中的顺序形成一个排列，以此排列作为样本
点，则 2 {(a,b) : a,b 1, 2,3, 4,5}。
(5) 检查两件产品是否合格。 一件产品合格记为 G，不合格记为 B。以两件产品各自的合格与否的状况形成的排列作为样
本点，则 {(GG), (GB), (BG), (BB)}。

mk
(m 1)k nk
.
18. n 个人排队，求指定甲乙两人之间恰有 r 个人的概率。 解法一：将每个人编号，取 n 个人的排列作为样本点，故样本空间由 n！种排列组成。假定 各基本事件发生的概率相等。记 A 为事件“甲乙两人之间恰好有 r 个人”。计算 A 中包含 的样本点数。
算法 一、先将 甲或乙排在第 i 位上， 则另一人必 须排在第 i r 1 位，故
P( AB) P( A) P( AB)
P(A) P( A) P(B) P( A B)
0.6 0.3 0.3 .
(2) P(AB) 1 P(AB) 1P(A) P(A B) 1 0.4 0.6 . (3) 因为 P(AB) P(AB) 1 P(A B) 1P(A) P(B) P(AB)，所以
8. 对任意事件 A，B，证明： P(AB)P(A B) P(A)P(B) 。
证明：记 a P(AB) 。因为 P(AB)P(A B) P(A)P(B) a P(AB) P(BA) a P(AB) a P(BA) a P(AB)P(BA) 0, P(AB)P(A B) P(A)P(B)

1


5


1

2

3

3

413 3131313
P2


1


5


1

2

3

3

52 13

。
14. 有 k 个罐子，每一个装有 n 个球，分别编有自 1 至 n 的号码。今从每一个罐子中随机地 取出一球，问取得的球中最大号码恰好为 m 的概率。
1.3 设样本空间 {x | 0 x 2}，事件 A {x | 0.5 x 1}， B {x | 0.8 x 1.6}，具体
写出下列各事件：
(1) AB
AB (0.8,1]
(2) A B
A B [0.5, 0.8]
(3) A B
A B [0, 0.5) (0.8, 2]
3. 一个工人生产了 n 个零件，以事件 Ai 表示“他生产的第 i 个零件是正品”(1≤ i ≤n)。用 Ai
表示下列事件：
(1) 没有一个零件是次品；
n
Ai
i 1
(2) 至少有一个零件是次品；
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
(3) 仅仅有一个零件是次品； (4) 至少有两个零件不是次品。
i
n 1
(2) 因为 P(AB) P(A) P(B) P(A B) ，故当 P(A B) 达到最大值时 P(AB) 达
到最小值。 P(A B) 最大值为 1，所以 P(AB) 的最小值为 0.4。当 A B 时可达到。
1.9 设 P(A) 0.2, P(B) 0.3, P(C) 0.5, P(AB) 0, P(AC) 0.1, P(BC) 0.2 ，求事件 A, B, C 中至少有一个发生的概率。
概率论与数理统计习题解答一
教材 第一章
1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时，连续 5 次都命中，观察其投篮次数。
以该运动员直至连续 5 次投篮命中时的投篮次数为样本点， {5, 6, 7, }。
(2) 掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和。
以两次出现的点数之和为样本点， {2,3, ,12}; 也可以前后两次出现点数的排列为样本点，则 ' {(a,b) : a,b 1, 2, , 6}。
(1) 在什么条件下 P(AB) 取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下 P(AB) 取到最小值，最小值是多少？ 解：
(1) 因为 AB A, AB B ，故 P(AB) min{P(A), P(B)}， P(AB) 的最大值为 0.6。 当 AB=A 即 A B 时可达到此最大值。
1.10 计算下列各题：
(1) 设 P(A) 0.5, P(B) 0.3, P(A B) 0.6 ，求 P(AB) ；
(2) 设 P(A) 0.8, P(A B) 0.4 ，求 P(AB) ；
(3) 设 P(AB) P(AB), P(A) 0.3 ，求 P(B) 。
解： (1)
(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。
以该医院一天内来就诊的人数为样本点， {0,1, 2, }。
(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的五件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品。 以抽出的两件产品的编号形成的组合（不计抽中的次序）为样本点，
1 {(a,b) : 1 a b 5, a,b 1, 2, ,5} ；
和为 i”。
因为
A3 {(1, 2), (2,1)}，故
P(
A3 )

2 36

1 18
。
因为
A4 {(1,3), (2, 2), (3,1)}，故
P( A4
)

3 36

1 12
。
因为
A5 {(1, 4), (2,3), (3, 2), (4,1)}，故
P(
A4
)

4 36

1 9
。
习题集 第一章
或者 aP(A) P(B) a P(A)P(B) [P(A) a][P(B) a] 0,
故结论得证。
10. 对任意事件 A1, , An ，证明：
(1)P
A n
i1 i

n
P( Ai );
(2)P
A n
i1 i
n
1 P(Ai );
(4) A B
A B [0, 0.5) (1.6, 2]
1.7 若 W 表示昆虫出现残翅，E 表示有退化性眼睛，且 P(W ) 0.125 ， P(E) 0.075 ，
P(WE) 0.025 。求下列事件的概率：
(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛；
P(W E) P(W ) P(E) P(WE) 0.125 0.075 0.025 0.175 .
解：
从 52 张扑克牌中随机取 13 张，共有
52
13

种取法。假定每种取法等可能。
按照第一种理解，出现该花色分布的取法共有
13 13 13 13

5

3

3

2

种，故概率为
13 13 13 13
P1


(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于T1 ，最高气温不高于T2 ）。
以该地一天内的最低气温与最高气温形成的排列作为样本点，则
{(x, y) :T1 x y T2}。
(7) 在单位圆内任取两点，观察这两点间的距离。
以两点间的距离作为样本点，则 1 [0, 2) 。
解：
从 k 个罐子中依次各取一球，共有 nk 种取法。假定每种取法等可能。记 A 为事件“最
大号码不超过 m”，B 为事件“最大号码不超过 m 1”，C 为事件“最大号码恰好为 m”。 显然， B A ， C A B 。故
P(C) P(A) P(B)

mk nk

(m 1)k nk
若以两点的坐标形成的排列作为样本点，则
2 {[(x1, y1), (x2, y2 )]: xi2 yi2 1, i 1, 2}。
(8) 在长为 l 的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度。
若以两线段的长度形成的排列作为样本点，则 1 {(l1,l l1) : 0 l1 l}。 若以该点的坐标作为样本点，则 2 [0,l] 。