21数学理科攻略大一轮复习课标精练：92 直线圆的位置关系试题部分 含解析

9.2直线、圆的位置关系探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.直线与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;(3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想2018课标Ⅲ,6,5分直线与圆相离求范围三角形面积公式★★☆2017课标Ⅱ,9,5分直线与圆相交求离心率双曲线的几何性质2016课标Ⅲ,16,5分直线与圆相交求值解直角三角形2.圆与圆的位置关系2015课标Ⅱ,7,5分直线与圆相交求弦长圆的方程分析解读从近5年的高考情况来看,本节主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题等,一般为选择题、填空题,难度中等,本节知识有时还与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题,在解题时要充分利用圆的几何性质简化运算过程,认真体会数形结合思想的应用.通过本节的知识主要考查学生数学运算、直观想象素养.破考点练考向【考点集训】考点一直线与圆的位置关系1.(2019甘肃西北师大附中,5)已知集合M={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=2},N={(x,y)|x,y为实数,且x+y=2},则M∩N的元素个数为()A.0B.1C.2D.3答案B2.(2019江西上饶一模,6)直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案B3.(2020届四川成都七中高三零诊,15)若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为.考点二 圆与圆的位置关系1.(2019海南海口实验中学二模,8)已知圆O 1的方程为x 2+y 2=1,圆O 2的方程为(x+a)2+y 2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是( ) A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3} C.{1,-1} D.{3,-3}答案 A2.(2020届江西南昌十中高二月考,4)圆x 2+4x+y 2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r 2有三条公切线,则半径r=( )A.5B.4C.3D.2答案 C炼技法 提能力 【方法集训】方法1 与圆有关的切线问题的处理方法1.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案 D2.(2019广西玉林高中4月月考,15)若过点(2,1)总可以作两条直线与圆x 2+y 2+kx+2y+k 2-15=0相切,则实数k 的取值范围是 . 答案 (-8√33,-4)∪(2,8√33) 3.(2019河北张家口期末,15)经过点P(4,-1)作圆x 2+y 2-2y=0的切线,设两个切点分别为A,B,则tan ∠APB= . 答案√199方法2 与圆有关的弦长问题的处理方法1.(2019湖南五市十校高三联考,6)两圆x 2+y 2+4x-4y=0和x 2+y 2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN 的长为( ) A.3√55B.4C.6√55D.12√552.(2019豫西南五校3月联考,7)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=√3x,l2:y=kx-1,若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为()A.√3B.1C.12D.√33答案C3.(2019皖南八校联考,14)设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则|AB|=.答案√6【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]答案A2.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33答案A3.(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2√6B.8C.4√6D.10答案C4.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x 轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|=.答案 4B 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0答案 A2.(2019浙江,12,6分)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 答案 -2;√5C 组 教师专用题组1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 . 答案 [-5√2,1]2.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=23.(2015湖北,14,5分)如图,圆C 与x 轴相切于点T(1,0),与y 轴正半轴交于两点A,B(B 在A 的上方),且|AB|=2.(1)圆C 的标准··方程为 ;(2)过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于M,N 两点,下列三个结论: ①|NA||NB|=|MA||MB|;②|NB||NA|-|MA||MB|=2;③|NB||NA|+|MA||MB|=2√2.其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x-1)2+(y-√2)2=2 (2)①②③4.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是 . 答案 [-1,1]5.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA 上的所有点到点O 的距离均不小于···圆O 的半径.已知点A,B 到直线l 的距离分别为AC 和BD(C,D 为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d(单位:百米),求当d 最小时,P,Q 两点间的距离.解析 本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解法一:(1)过A 作AE ⊥BD,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE 为矩形, DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB ⊥AB,所以cos ∠PBD=sin ∠ABE=810=45. 所以PB=BDcos ∠PBD =1245=15.因此道路PB 的长为15(百米).(2)不能,理由如下:①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D 处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=√AE2+ED2=10,从而cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB =725>0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P 符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35=9;当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=√QA2-AC2=2-62√21. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3√21时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3√21.因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为(17+3√21)百米. 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l 的方程为y=9,点A,B 的纵坐标分别为3,-3. 因为AB 为圆O 的直径,AB=10, 所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB,所以直线PB 的斜率为-43, 直线PB 的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=√(-13+4)2+(9+3)2=15. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x ≤4). 在线段AD 上取点M (3,154),因为OM=√32+(154)2<√32+42=5,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P 符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=√(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),得a=4+3√21,所以Q(4+3√21,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3√21,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3√21-(-13)=17+3√21.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3√21)百米.6.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22.由题意可知直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y=tx. 将上述方程代入圆C 1的方程,化简得(1+t 2)x 2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t 2)>0(*),x 1+x 2=61+t 2,所以x 0=31+t 2,代入直线l 的方程,得y 0=3t1+t 2.因为x 02+y 02=9(1+t 2)2+9t 2(1+t 2)2=9(1+t 2)(1+t 2)2=91+t 2=3x 0, 所以(x 0-32)2+y 02=94.由(*)解得t 2<45,又t 2≥0,所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x -32)2+y 2=94(53<x ≤3).(3)由(2)知,曲线C 是在区间(53,3]上的一段圆弧. 如图,D (53,2√53),E (53,-2√53),F(3,0),直线L 过定点G(4,0).联立直线L 的方程与曲线C 的方程,消去y 整理得(1+k 2)x 2-(3+8k 2)x+16k 2=0.令判别式Δ=0,解得k=±34,由求根公式解得交点的横坐标为x H,I =125∈(53,3],由图可知,要使直线L 与曲线C 只有一个交点,则k ∈[k DG ,k EG ]∪{k GH ,k GI },即k ∈[-2√57,2√57]∪{-34,34}.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019海南海口一中模拟,7)已知点P(1,m)在椭圆x 24+y 2=1的外部,则直线y=2mx+√3与圆x 2+y 2=1的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切答案 B2.(2020届甘肃兰州一中9月月考,3)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2B.4√2C.2√10D.6答案 D3.(2018安徽合肥一模,8)设圆x 2+y 2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l 过(0,3),且与圆C 交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为( ) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 答案 B4.(2019河南信阳二模,9)若直线y=kx+1(k ≠0)与圆x 2+(y-1)2=1相交于A,B 两点,C 点坐标为(3,0),若点M(a,b)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则a+b 等于( ) A.1B.52C.53D.73答案 C5.(2020届安徽六安一中高二(上)开学考试,11)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x-m)2+(y-m-6)2=2与圆C 2:(x+1)2+(y-2)2=1交于A,B 两点,若|OA|=|OB|,则实数m 的值为( ) A.1B.2C.-1D.-2答案 D6.(2019四川成都外国语学校3月月考,10)若a,b,c 是△ABC 三个内角的对边,且csin C=3asin A+3bsin B,则直线l:ax-by+c=0被圆O:x 2+y 2=12所截得的弦长为( )A.4√6B.2√6C.6D.5答案 C7.(2019内蒙古通辽模拟,9)在平面直角坐标系xOy 中,过点P(1,4)向圆C:(x-m)2+y 2=m 2+5(1<m<6)引两条切线,切点分别为A 、B,则直线AB 过定点( )A.(-12,1) B.(-1,32) C.(-12,32) D.(-1,12) 答案 B 8.(2018河南郑州外国语中学3月调研,9)已知圆C 1:(x+2a)2+y 2=4和圆C 2:x 2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b ∈R 且ab ≠0,则1a 2+1b 2的最小值为( )A.2B.4C.8D.9 答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2020届贵州贵阳一中高三(上)第一次适应性考试,14)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0所截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值是 . 答案 410.(2019四川第一次诊断性测试,16)已知直线l:y=kx 与圆x 2+y 2-2x-2y+1=0相交于A,B 两点,点M(0,b),且MA ⊥MB,若b ∈(1,32),则实数k 的取值范围是 .答案 (1,6-√23)∪(6+√23,+∞)三、解答题(共15分)11.(2020届皖南八校高三(上)摸底考试,22)已知圆C 的圆心C 的坐标为(1,2),且圆C 与直线l:x-2y-7=0相切,过点A(2,0)的动直线m 与圆C 相交于M,N 两点,直线m 与直线l 的交点为B.(1)求圆C 的标准方程;(2)求|MN|的最小值;(3)(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB⃗⃗⃗⃗⃗ 是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 解析 本题考查圆的方程的求法和运用,考查直线和圆的位置关系,以及弦长公式的运用,考查向量的加减运算和数量积的坐标表示,考查化简运算能力和分类讨论思想,体现了逻辑推理,数学运算的核心素养.(1)设圆C 的半径为r,因为圆C 与直线l:x-2y-7=0相切,且C(1,2),所以圆心C 到直线l 的距离为r,即r=5=2√5,则圆C 的方程为(x-1)2+(y-2)2=20.(2)由|MN|=2√r 2-d 2=2√20-d 2(d 为圆心C 到直线m 的距离),可得d 最大时,|MN|最小,当A(2,0)为MN 中点时,d 最大,且|AC|=√(1-2)2+(2-0)2=√5,则|MN|的最小值为2√20-5=2√15.(3)设MN 的中点为P,则CP ⊥MN,即CP ⊥AB,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 当m 与x 轴垂直时,m 的方程为x=2,代入圆C 的方程可得y=2±√19,∴MN 的中点P(2,2),x=2与直线l 的交点为B (2,-52),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-52).由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),可得2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-5)=-10,即(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-10; 当m 与x 轴不垂直时,设直线m 的方程为y=k(x-2),与直线x-2y-7=0联立,求得B (4k -72k -1,-5k 2k -1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-52k -1,-5k 2k -1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2)·(-52k -1,-5k 2k -1)=52k -1-10k 2k -1=-5, 则(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-10. 综上可得(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值,且为-10.思路分析 (1)设圆C 的半径为r,运用直线和圆相切的条件:圆心到直线的距离与圆的半径r 相等,即可得到r,进而得到圆的方程;(2)直线和圆相交时,半径r 、弦心距d 和弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理得到|MN|,可得d 最大时,|MN|最小,即A 为弦的中点时,d 最大,由两点的距离公式,计算可得所求值;(3)设MN 的中点为P,则CP ⊥MN,即CP ⊥AB,由向量垂直的条件和中点表示,以及向量的加减运算可得(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,再讨论m 与x 轴是否垂直,进而求得B 的坐标,由向量的数量积的坐标表示,计算可得所求定值.。