圆锥曲线经典题型
题型一：定义法
题型二：中点弦问题---点差法题型三对称问题
题型四面积问题
题型五角平分线
题型六平行四边形
题型七切线问题
题型八四点共圆
题型九角度问题
题型三 对称问题
【2015浙江理】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线1
2
y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）．
已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
题型四 面积问题1
(2016全国3)已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C
的准线于P ，Q 两点.
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
题型四 面积问题2
如图，已知点(10)F ，为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线
上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的标准方程； （2）求1
2
S S 的最小值及此时点G 的坐标．
题型四 面积问题3
已知A 、B 是椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点B(2,0),过椭圆C 的右焦点F 的直线交其于点M,N,交直线
x=4于点P ,且直线PAPF,PB 的斜率成公差不为零的等差数列
(1) 求椭圆C 的方程
(2)若记△AMB,△ANB 的面积分别为21,S S ,求2
1
S S 的取值范围
题型五 角平分线
（2010安徽文）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率2
1=e (1)求椭圆E 的方程；
(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.
题型七 切线问题
如图，过抛物线py x C 2:2
1=上的一点Q 与抛物线py x C 2:2
2-=相切于B A ,两点．若抛物线
py x C 2:21=的焦点1F 到抛物线py x C 2:22-=的焦点2F 的距离为
2
1 （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB 与抛物线1C 相切于一点P ．
题型八 四点共圆
已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
(Ⅰ)证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
题型九 角度问题
求解椭圆中的角度问题常用方法： 1.余弦定理
2.向量，||||cos a b a b θ⋅= 角度问题的等价转化：
①“以弦AB 为直径的圆过点O ”(提醒：需讨论K 是否存在)
⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y +=
②“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）；
已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，直线l ：y =x +2与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴为半
径的圆O 相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的左顶点A 作直线m ，与圆O 相交于两点R ，S ，若△ORS 是钝角三角形，求直线m 的斜率k 的取值范围．
题型三十八：三角形的内切圆问题
()r CA BC AB S ABC ⋅++=
∆2
1
例1：双曲线C 的方程为13
2
2
=-y x ，左右焦点21,F F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右支于点Q P 、，使得
901=∠PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆的半径是
例2.椭圆
116
252
2=+y x 的左右焦点21,F F ，弦AB 过点1F 且2ABF ∆内切圆的周长为π，若B A 、的坐
标分别为()()2211,,,y x y x ，则=-21y y
高考圆锥曲线题型归类总结
圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞
圆锥曲线的经典例题
例 1 已知21:220l x m y m ++=与2:36l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____． 例2 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 例3 已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．106 B ．206 C ．306 D ．4063.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程. 例4已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 例5已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 例6若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．2 23(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 例7 （过双曲线22 1916 x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________ 例8 在平面直角坐标系中，椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆做圆M ，若过点P ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛0,2c a ，所作圆M 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ▲
圆锥曲线的综合经典例题(有答案)
经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又
故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（），
将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及 准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点.
(完整版)圆锥曲线典型例题(精华版)
圆锥曲线典型例题强化训练 一、选择题 1、若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）A A. 212x y = B.212y x = C.24x y = D.2 6x y = 2、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为 22,则a 的值为（ ）C A ．-2或2 B ．2321 或 C ．2或0 D ．-2或0 3、设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：13 22 =-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 14 (B) 1 (C) 2 (D) 2 2 4、经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ ）A A.0346=--y x B. 0323=--y x C.0232=-+y x D. 0132=-+y x 5、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） D A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 6、如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点 C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ） B A ．x y 232= B ．x y 32 = C ．x y 292= D ．x y 92= 7、以14 122 2=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）D A ．1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116 42 2=+y x 8、已知双曲线192 22=-y a x ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,,
圆锥曲线经典好题目(带答案)
圆锥曲线练习题 一、填空题 1. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________． 2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2 被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________． 3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦 点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________． 5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若Q 在直线 l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB → |，则点Q 总在定直线x ＝－1上．试猜测：如果P 为椭圆x 225 ＋ y 29＝1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线________上． 6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB → ，则弦AB 的中点到准线的距离为________． 8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________． 二、解答题 9. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直， 已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32，6.求抛物线与双曲线的方程． 10. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值．
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)
高考数学圆锥曲线典型例题(必考) 9.1 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45 3和 25 3 ，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2 10＝1或3x 210＋y 2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且 m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212 ＋y 2 6 ＝1. 题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2 1 F PF S ＝12mn sin 60°＝3 3 b 2， 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞） 2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题）
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞） 2．已知M（x 0，y ）是双曲线C：=1上的一点，F 1 ，F 2 是C的左、右两个 焦点，若＜0，则y 的取值范围是（）A．B．C．D． 3．设F 1，F 2 分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B．C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A． B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F 1、F 2 分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF 1⊥PF 2 ，且|PF 1 |=2|PF 2 |，则双曲线的一条渐近线方程是（） A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F 1 作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8， F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2 Q的周长是． 12．设F 1，F 2 分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题）
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
1 椭圆题型总结 (简单) 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的 椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点 Q 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA 7. (1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为( 2,2 1 -)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ 1,4 1 ） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x= 41，∴Q(1,4 1)
高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题
高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则： 4、定点、定值问题 （1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结
论，即可简化运算； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5、最值、参数范围问题 这类常见的解法有两种：几何法和代数法． （1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； （2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法． 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 6、轨迹问题 轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。 定义法： （1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义； （2）设标准方程，求方程中的基本量 （3）求轨迹方程 相关点法： （1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上； （2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）； （3）将x0，y0代入已知曲线方程； （4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。 参数法求轨迹的一般步骤：
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】 圆锥曲线的七种常见题型 题型一：定义的应用 圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。在定义的应 用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。适用条件需要注意。 例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x- 1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。 例2：方程表示的曲线是什么？ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断 在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程， 然后判断。对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐 标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？ 例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？ 题型三：圆锥曲线焦点三角形问题 在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。 例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。 例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。 题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法
在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。 例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边 作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率是多少？ 例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。 题型五：圆锥曲线的参数方程 在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。 例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。 例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。 题型六：圆锥曲线的对称性
圆锥曲线大题题型分类归纳大全
圆锥曲线大题题型归纳梳理 圆锥曲线中的求轨迹方程问题 解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。 【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。 【例2.】已知点P 在椭圆14 22 =+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3 1 =求动点M 的轨迹方程。 【例3.】已知圆),,(,)(:023622 2 B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交 PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。 【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆14 2 2 =+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 巩固提升 1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得 ,PB PA 2 1 = 则实数m 的取值范围为_________________.
2. 已知()Q P ,,24-为圆42 2 =+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值 范围为________________. 3. 抛物线x y C 42 :的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________. 4. 已知定圆,)(:10042 2 =++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________. 5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:442 2 =+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________ 6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________. 7. 抛物线y x 42 =的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与椭圆112 242 2=+y x C : 相交于B A ,两点，O 为坐标原点。 （1）若直线l 的方程为,062=-+y x 求OB OA •的值； （2）若,12-=•OB OA 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
圆锥曲线大题20道(含答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>⋅--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2<