十一学校数学小升初内部讲义电子版
目录
第一讲逻辑推理初步 (2)
第二讲循环小数化分数 (4)
第三讲分数计算（一） (10)
第四讲分数计算（二） (13)
第五讲分数、百分数应用题（一） (17)
第六讲分数、百分数应用题（二） (22)
第七讲生活中的经济问题 (27)
第八讲工程问题 (29)
第九讲圆的周长与面积 (32)
第十讲不定方程 (40)
第一讲逻辑推理初步
学习提示：
本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。
典型题解
下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。
例1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老师拿出这五座山的图片，并在图片上标出数字，他让五位同学来辨别，每人说出两个。学生回答如下：
甲：2是泰山，3是华山乙：4是衡山，2是嵩山丙：1是衡山，5是恒山丁：4是恒山，3是嵩山戊：2是华山，5是泰山。
老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？
例2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计，甲说：“他至少有1000本书”。乙说：“他的书不到1000本”。丙说：“他至少有一本书”。这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟有多少本书？
例3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面是哪一个和尚？”和尚回答：“讲真话的”。他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话”。他问第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的”。根据他们的回答，智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。
例4 桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知：
（1）每张都是A、K、Q、J中的一张；（2）这8张牌中至少有一张Q；（3）其中只有一张A；（4）所有的Q都夹在两张K之间；（5）至少有一张K夹在两张J之间；（6）J和Q互不相邻，A和K也互不相邻；（7）至少有两张K相邻。则图中的8张牌各是什么牌？
例5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从1到5编了好，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字：
张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略”李四说：“1号是瓦特，2号是爱因斯坦”
王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特”许六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼”
陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略”
老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？
例6 在一次有3人参加的讲话中，小张指责小王和小李：“你们都在说谎。”小李却说：“小张正在说谎。”小王则说：“小李正在说谎。”试判断他们谁讲的是真话，谁讲的是假话？
例7 有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。又知道下面三种说法只有一种是对的：（1）甲是车工（2）乙不是车工（3）丙不是钳工
请问他们各是什么工种？
例8 有四人打桥牌（牌中不含大、小王，每人共13张牌），已知某人手中的牌如下：
（1）红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；（2）各种花色的牌，张数不同；（3）红桃和黑桃共有6张；（4）红桃和方块共有5张；（5）有两张主牌（将牌）
问这手牌以什么花色为主牌？
逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。如何从复杂的条件中选准突破口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条件，然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。
例9 同住一间宿舍的A、B、C、D四名女大学生，正在听一组乐曲。她们当中有一人在修指甲，一人在做头发，一人在化妆，另一人在看书。已知：
（1）A不在修指甲，也不在看书（2）B不在化妆，也不在修指甲（3）如果A补在化妆，那么C不在修指甲（4）D不在看书，也不在修指甲。问她们各自在做什么？
例10 在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史，每位老师教两门课。现知道：
（1）化学老师和数学老师住在一起，（2）甲老师是三位老师中最年轻的，（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手，（4）物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻，（5）三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问甲乙丙三位老师分别教哪两门课？
例11 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言四个人都会，并且知道：没有人既会日语又会法语，A会日语，而B 不会，但他们可以用另一种语言交谈。C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译，B、C、D不会同一种语言，请说出四人分别掌握哪种语言？
例12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，经过数次交换后，他们五人每人都读完了这五本书。现已知：
（1）甲最后读的书是乙读的第二本，（2）丙读的第二本甲在一开始就读了，（3）丙最后读的书是乙读的第四本，（4）丁读的最后一本是丙读的第三本，（5）乙读的第四本是戊读的第三本，（6）丁第三次读的书是丙开始读的那一本。请判断出读这五本书的顺序。
例13 小东，小兰，小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道：
（1）小东不在一中，（2）小兰不在二中，（3）爱好排球的不在三中，（4）爱好游泳的在一中，（5）爱好游泳的不是小兰，你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？
例14 宾馆里住着A、B、C、D、E、F六个不同国籍的客人，他们来自美、英、法、德、俄国和意大利，现在知道：
（1）A和美国人是医生，（2）E和俄国人是教师（3）C和德国人是工程师（4）B和F都曾是运动员（5）而德国人从来不爱运动（6）法国人比A年龄要大（7）C比意大利人年龄小（8）B同美国人到英国去旅行（9）C同法国人要到瑞士去度假。问：A、B、C、D、E、F各是哪国人？
第二讲 循环小数化分数
学习提示：
在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解
一、 循环小数化成分数
1、 纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.102
10.610 6.6666
0.6=0.6666
0.69 6 62 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以
23.1020.102
0.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333
102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分……
?…
两式相减得所以343333
从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。
2、 混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2 把混循环小数化分数
10.215 2 6.353（）（）
10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152215-221371 0.215=990990330
⨯⨯⨯-==解：（）……
……
两式相减得20.353
0.3531000=353.333 0.353100=35.3330.353900=35335353-3531853 0.353=900900150
353-353186.353=66900⨯⨯⨯-===解：（）先看小数部分……
……
两式相减得 所以 536900150
=
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
练习：1、化纯循环小数为分数。
10.23 20.107（）（）
2、 化下列混循环小数为分数。
10.312 20.003 30.2316（）（）（）
二、 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。 例3 计算下面各题： 12.45+3.13 22.6091.32 (3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-
解：先把循环小数化成分数后计算。 529712
+3=5 1115165
6132283922-1=1 1009999001416(3)42=10 3927
818(4)1=3 33311⨯÷（）原式=（）原式=原式=原式=
三、循环小数作加法
循环小数能直接作加法运算吗？
（1）有限小数加循环小数
考察下面的例子。计算：
+0.40.32
+
+0.280.7
0.20.3
+
+0.60.38
0.980.45
+0.6780.54
目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。
118
+=+==
0.20.30.53
5315
77238
0.280.7 1.057
+=+==
259225
232358
+=+==
0.40.320.7232
599495
495789
+=+==
0.980.45 1.4345
5011550
33966729
+=+==
0.6780.54 1.223454
500115500
33589
0.60.380.98
+=+==
59090
现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。
+⇒+⇒
0.20.30.20.330.53
+⇒+⇒
0.280.70.280.777 1.057
+⇒+⇒
0.40.320.40.32320.7232
0.980.450.980.4545 1.4345
+⇒+⇒
+⇒+⇒
0.6780.540.6780.545454 1.223454
+⇒
0.60.380.98
怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。我们利用类似的方法还可以去研究其他的几种情形。
（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。
考察下面的一些例子。
235
0.20.30.5
+=+==
999
123405528
0.1230.4050.528
+=+==
999999999
36
0.30.61
+=+=
99
875
+=+==
0.80.7 1.6
993
5849107
+=+==
0.580.49 1.08
999999
9785841562
+=+==
0.9780.584 1.563
999999999
再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？
（3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。
考察下面的例子：
32154
+=+==
0.30.210.54
99999
6212878
+=+==
0.60.2120.878
9999999
23324556647
+=+==
0.230.3240.556647
99999999999
598153
+=+==
0.50.98 1.54
99999
674981175265
+=+==
0.670.498 1.175266
99999999999
再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？
如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环小数之间的加法运算就不是一件难事了。
★规律
（1）有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。其循环节跟原加数的循环节相同。法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环
小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节……补足再
相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。
（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。法则是：用两个循环节相加的和除于99……9（其中9的个数等于循环节的位数），
商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循
环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。
（3）两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。方法是：先把两个加数改成
循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小
数，再按照法则（2）进行计算。
1．直接计算下列各题
+
+0.90.8
0.40.3
+0.430.35
+
+0.50.89
+0.40.98
0.980.89
0.1230.234+ 0.4560.567+ 0.780.123+
0.40.789+ 0.8250.78+
2． 直接计算下列各题
0.230.435+ 0.3890.983+ 0.2370.8+
0.75460.283+ 0.2030.023+ 0.6780.678+
3． 将分数化成小数计算
2(1)0.853+ 51(2)0.3869
++ 25491(3)3691199++++ 7583113(4)0.38999999
++++ 四、 循环小数与整数作乘法
我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。下面分两种情形来讨论。
（1） 纯循环小数乘以整数。
考察下面例子： 30.3220.69⨯=⨯= 30.344 1.39
⨯=⨯= 430.43220.8699⨯=⨯= 83733480.83744 3.351999999
⨯=⨯== 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？
（2） 混循环小数乘以整数。混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进
行计算。例如，计算
0.325(0.32105)10(3.25)1016.110 1.61⨯=⨯⨯÷=⨯÷=÷=
任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法则。
★ 规律
（1） 纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数
中的循环节位数相同。法则是：用循环节乘以整数的积除以99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。
（2） 混循环小数乘以整数，先将混循环小数扩大一定的倍数，使它变成纯循环小数，
按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得到混循环小数乘以整数的积。
1、 计算下列各题 0.42⨯ 0.044
⨯ 0.246⨯
0.3248⨯ 0.563⨯ 0.0565⨯
0.2567⨯ 0.12569⨯ 0.5068⨯
2、 计算
0.80.9⨯ 0.870.65⨯ 0.850.613+⨯
8170.359
⨯+ 1250.87⨯⨯ 7.087490.138⨯+
第三讲 分数计算（一）
学习提示：
在分数四则混合运算中，按照四则运算的顺序进行计算的同时，如果能够根据数据特点灵活运用定律，可以使计算更简便、迅速。这一点在一定程度上反映一个人智商的高低和知识掌握的灵活程度。
典型题解
例1 2011193411 3.00320919195
÷⨯⨯ 分析 我们在五年级学过数的整除，看到209、119、195这样的数，不难想起7、11、13、19等质数，3.003好象与1001有关系，它可是有7、11、13这三个质因数，好象能约分，可以试一试。
2500193430032091191951000
=
⨯⨯⨯原式 250019217371113111971735131000
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ = 1 太好了，约完分正好等于1。看到一个数字，你能想起哪些数学知识，这也可以说是数感吧！
例2 200412004200420052006
÷+ 分析：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。
12006⨯÷
+20042006原式=20042005 12006
2005120062006
1
⨯+⨯=+=2005=200420042006 真好，又等于1。聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11
÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！
例3 131.87.919944.3 2.14
⨯+⨯+⨯ 分析 算式是乘加乘的形式，有可能运用乘法分配律，第一个乘法算式与第三个乘法算式中分别有两个因数7.9和2.1，但是另一个因数不相同，可以把44.3拆成31.8与12.5的和后反复运用乘法分配律。
1
31.87.9199(31.812.5) 2.1
4⨯+⨯++⨯原式=
1
31.87.919931.8 2.112.5 2.1
4
1
31.8(7.9 2.1)19912.5 2.1
4
31819(8 1.25) 1.25 2.131819819 1.25 1.25 2.1318152 1.25(1921)
31815250520
⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯=+⨯++⨯=+⨯+⨯+⨯=++⨯+=++==
怎么样，合理运用和、差、积、商的变化规律进行拆分、转化创造条件运用运算定律，可以使计算变的简单吧。
例4
1234+2468+481216
1357+261014+4122028
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
分析 看起来数很大、很复杂，但排列很有规律性。1234⨯⨯⨯自不用说，
4246812222324=21234;
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4481216=4123 4.
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯哇！分母也有这一规律，用乘法分配律又可以约分了。
4444441123421234+41234=11357+21357+41357⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式
4444441234(1+2+4)1357(1+2+4)
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
835
= 例5
2
2004
4200420032005
+-⨯ 2200420042004200420042003200520052003,200420032003,2004(2004-2003)-2003=1
⨯⨯⨯分析 即表示个,表示个也可以看成个再加上一个这样分母就转变为
2004
4
20042004200320042003
2004
= 4 2004(20042003)2003 =2004+4 =2008
=
+⨯-⨯-+⨯--原式
其实此题运用的就是例3中拆数的方法，正反运用乘法分配律。 分数计算千变万化，但万变不离其宗，除了要掌握分数运算的计算法则、定律、性质外，还要有以下两种意识：
1、 约分。约简分子、分母中的公因数及公因式。
2、 灵活运用定律、性质。这里说的主要是运用乘法分配律。对于形如乘加(减)乘的算
式及乘法算式，有一个因数可以凑整时，分析另一个因数的特点，必要时进行拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。
同学们，通过以上讲解，不知对你是否有些启发，试一下怎么样。 课后自测：
3
1 5.619.90.38(0.193
1.1)10
331423 2.843(1 1.42)1
4525
19981
31998199819992000
1534 3.47 3.67.53?3)
918542311951(18)2019341223
139
1.3 3.911.73927171717611.3
2.6
3.936917⨯⨯÷⨯⨯⨯÷÷⨯⨯÷+
⨯÷-+⨯-+÷
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
⨯⨯+⨯⨯+、 、 、 、 （、 、
2
23
1717
1111117111111
2345998999
12345678987654321
8999999999⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++++++++++++++、 、
第四讲 分数计算（二）
学习提示
在五年级的课本中，我们就学习过这样的题目：
1111
12233445
+++
⨯⨯⨯⨯，如果直接通分计算，是对的，但是显然很麻烦。我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差来计算：原式=11
11111114
112233445
55
-+-+-+--
=（）（）（）（）=。通过拆分，使得一部分分数相互抵消，从而简便计算。两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化为分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数叫做埃及分数。埃及分数在分数计算中有着重要的规律。
如
111
1(1)11111(2)()(,)1111(3)()(,,)21111
(4)()(,,,)3a a a a a b a b a b a b b a a b c a b c a b c a b b c
a b c d a b c d a b c d a b c b c d
=-
⨯++=-⨯<⨯-=⨯-<<⨯⨯⨯⨯=⨯-<<<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）为两个连续自然数，且为三个连续自然数，且为四个连续自然数，且这一讲，我们就来研究通过分数的拆分，计算较复杂的分数计算题。
典型题解 例1、
11111
122334
989999100
++++
+
⨯⨯⨯⨯⨯ 分析 每项分子都是1，分母都是两个连续自然数的乘积，所以每项都可以拆成两个单位分数的差，一部分分数相互抵消，从而使计算简便。
解答 原式111111
1111
122334
989999100
=-+-+-++
-+-
1
1100=-
99
100
=
怎么样，够简单吧。 例2、
111111
2558811111414171720
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
分析 每项分子都是1，分母排列很有规律，但不是连续的自然数，差均为3，拆分时不要忘
了每一项都乘以
13
解答 原式=111111111
111111()()()()()3253583811
3141731720
⨯-+⨯-+⨯-+
+⨯-+⨯-
111()3220
320
=⨯-=
例3、
20042004200420042004
545117221357
++++
分析 哇！数太大了吧。别急！仔细看看，分子可都是2004，不就可以看成2004乘分子都是1的分数了吗。那分母呢？515,4559,117913,2211317,3571721=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，分母是两个差是4的自然数的乘积形式，可以拆分分数了。不过，可别忘了2004乘1
4
解答 原式111112004()545117221357
=⨯+
+++ 111111
2004()155991313171721411
2004(1)214
33407
=⨯++++⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯=
题目的形式变了，可逃不脱同学们敏锐的观察力，总可以转化成我们学习过的形式。艺高人胆大，胆大可还要心细哟！
例4、111
1
123234345181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
分析 这道题的每一项的分子都是1，分母均为3个连续自然数相乘的形式，可以用拆分分数的方法。怎么拆？比如第一项：1111
()12312232
=-⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，噢对了，别忘
了三个连续自然数都乘12
解答 原式111111111(
)()()1223223342
181919202
=-⨯+-⨯++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111111
()12232334181919202
111()23802
18913802189760
=-+-++
-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯=⨯=
例5、11
1139924111111111
1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
(1)
22323423
99
+++
+
+++++++++
分析 没见过这么复杂的题，太难了！没关系，找不到思路的话可以一项一项的试算一下看有没有什么规律：
1
13122212223231211
1223311343434(1)(1)2323
11
122441113454545(1)(1)(1)234234
=÷=⨯=⨯+==⨯=⨯++⨯
==⨯=
⨯+++⨯⨯
发现了，发现了，都可以转化为分子都是2，而分母是两个连续自然数乘积的形式，那么最
后一项就是
2
99100
⨯，就如同例3，可以拆分分数了。
解答 原式1111
399243343453451
22323423499
=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2222
23344599100
1111112()
233499100
112()
21004950
=
++++⨯⨯⨯⨯=⨯-+-++-=⨯-=
怎么样，还不算难把。灵活利用埃及分数的拆分规律，可以简便这一些看起来很复杂的分数数列计算。但要特别注意以下几点：
1、 认真审题。找准规律，灵活应用简算方法。
2、 对于比较陌生的题目，可采用试算找规律的方法，转化为学习过的题目。
3、 掌握基本方法的同时，勇于创新，寻找新的解题方法。
好了，开始我们的练习，在练习中巩固你学会的方法，并开始你新的探索！
课后自测：
1、1111
23344520032004++++
⨯⨯⨯⨯ 2、111111112203042567290++++++
3、1111123202612420++++
4、555555(1484204374594864+++++首届《六一》杯六年级决赛试题）
5、2222123234345282930
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 6
、
234
100
11+2(1+2)1+2+3(1+2+3)1+2+3+4(1+2+
+99)1+2+
+100+++
+
⨯⨯⨯⨯（）（）（）
（）
7、
1111
1+2123123412319
++++
+++++++++ 8、1111
12342345345611121314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 9、1121231234112399123344455556100100100
100
++++++++++++++++
+
10、
22222222
222212233445200220032003200412233445
2002200320032004
++++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯
第五讲 分数百分数应用题（一）
学习提示：
分数，百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学的重点和难点之一。学好分数，百分数应用题对发展能力，提高解题技能，具有非常重要的作用。解答分数，百分数应用题的关键是确定单位“1”，能够准确找出量与率之间的对应关系。分数，百分数应用题涉及的知识广泛，数量关系变化莫测，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，能灵活的应用一些解题方法。
基本训练：
（1），男生人数占全班人数的
11
5
，你想到了什么？ 分析 这句话就是我们平时所说的“带有分率的句子”，它包含了丰富的数量关系，看到这句话我们能想到： 1， 把全班人数看作单位“1”，把全班人数平均分成11份，男生相当于其中的5份，女
生相当于其中的6份。 2， 女生人数占全班人数的11
6。 3， 男生人数占女生人数
65。 4，
女生人数是男生人数5
6
倍。
。。。。。。
（2），读一本120页的书，读了这本书的3
2
，还剩多少页？ 分析 1，
读了这本书的
32，以这本书的页数为单位“1”，没读的占这本书的3
2
1-，单位“1”的量是已知的为120页，求321-
的对应量： 40321120=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯（页）。量与率的对应是解答分数，百分数的应用题的关键。
2，
我们还可以换一个角度来思考：读了这本书的
3
2
，以这本书的页数为单位“1”，把单位“1”平均分成3份，读了其中的2份，还有（3-2）份没读，
()40233120=-⨯÷（页）这样就把一个分数应用题转化为整数应用题，这是解答分数，百分数应用题
的一个重要思路。
（3），读一本120页的书，第一天读了这本书的3
1
，第二天读了这本书的0025，还剩下多少页没有读？
分析 把百分数化成分数，分析的方法与上题相同。502531112000=⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
⨯（页）。 （2），（3）题的数量关系基本是相同的：单位“1”的量⨯分率=分率的对应量。
（4），读一本120页的书，第一天读了这本书的3
1
，第二天读了这本书的0025，还剩下50页没读，这本书一共多少页？
分析 以这本书的总页数为单位“1”，还与剩下的50页对应的分率是00253
1
1--，求单位“1”的量，用除法计算：120253115000=⎪⎭
⎫
⎝⎛
--
÷（页）。 （5），读一本书，第一天读了这本书的3
1
，第二天读了这本书的0025，第一天比第二天多读了10页，这本书一共多少页？ 分析 第一天比第二天多占这本书的
00253
1
-，与第一天比第二天多看的10页相对应，求单位“1”的量，用除法计算12025311000=⎪⎭
⎫
⎝⎛-÷（页）。 （4）（5）（6）题的数量关系基本相同，分率的对应量÷分率=单位“1”的量。在认真读题
的基础上，首先确定谁为单位“1”，再结合线段图确定量率对应关系。这是解决较为复杂分数，百分数应用题的基础。
典型题解
例1．读一本书，第一天读了这本书的31还多10页，第二天读了这本书的4
1
少3页，还剩下43页没读，这本书一共多少页？
分析 假设第一天多读的10页没有读，这好事这本书的31。第二天正好读了这本书的4
1
，那么还剩的页数就是43+10-3，转化为型如题（4），量率对应便清晰了：43+10-3与4
1
311-
-相对应，求这本书的总页数，用除法计算。 解答
()120
12
5
50413
1131043=÷=⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--÷-+
答：这本书共有120页。 例2
用两天读完一本130页的书，第一天读的页数比第二天的
2
1
多10页，第一天读了多少页？
分析 由题意知道第二天读的页数是单位“1”，画线段图如下：
假设第一天读的页数正好是第二天的2
1
，则全书的页数为（130-10）页，从图中可以看出，两天共读的占第二天的（1+
2
1），与（130-10）相对应，求单位“1”的量用除法计算，求出第二天读的页数后。再求第一 天读的页数。 解法1 第二天 （130-10）÷（1+2
1） =2
3120÷
=80（页）
第一天 130-80=50（页） 答：第一天读了50页。
解法2 本题也可以用“份”的思想转化为整数应用题来解答 （130-10）÷（1+2）+10 =103120+÷ =50（页）
答：第一天读了50页。 例3
阳光水果店运来荔枝，香蕉，苹果共1600千克。当卖出荔枝总数的
7
5
和150千克香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。原来运来这三种水果各多少千克？
分析 由题意可知以荔枝的总数为单位“1”，卖出荔枝总数的
75，还剩荔枝总数的7
2
。卖出150千克香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。说明香蕉的数量相当于荔枝总数的
72还多150千克。苹果的数量相当于荔枝总数的7
2
少200千克。假设运水果时少运150千克香蕉，多运200千克苹果，即1600-150+200=1650（千克），这1650千克正好对应荔枝总数的⎪⎭
⎫
⎝
⎛++
72721，所以有： 解答 荔枝的数量：（1600-150+200）÷⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++
72721
=7
111650÷
=1050（千克）
香蕉的数量： 150
300150
7
2
1050+=+⨯
=450（千克） 苹果的数量：2007
2
1050-⨯
=300-200 =100（千克）
答：水果店原来运来荔枝1050千克，香蕉450千克，苹果100千克。 提示：本题也可以用“份”的思想转化为整数应用题来解答，很好解的哦，就留给同学们吧。 例4
小华读一本故事书，第一天读了这本书的31，第二天读了余下的5
3
，两天一共读了220页，这本书一共多少页？
分析 以这本书的总页数为单位“1”，第二天读了余下的
53，也就是读了311-的5
3
，第二天读了这本书的5253311=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
，两天共读的220页与两天共读的分率5
2
31+相对应。 解答 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷5331131220
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+÷5231220 =15
11220÷
=300（页） 答：这本书共有300页。 例5
甲，乙两人分别有人民币若干元，甲比乙多
31，当甲给乙9元时，乙反而比甲多5
4
，问甲乙两人原来分别有人民币多少元？
分析 注意到本题中甲乙两人持有的人民币的总和没变，因此把两个人的钱数总和看作单位
“1”，由“甲比乙多31”可以知道甲占两人总数的74，后来“乙反而比甲多5
4
”，甲占总数的145，由此可以确定与14
574-的差相对的量是9元。 解答： 421541113113119=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛++
÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
+÷（元）
小升初数学培优讲义全46讲—第30讲 相遇问题
第30讲相遇问题 考点解读 1、考察范围：速度、时间、路程三个量之间的相依关系。用线段图分析数量关系。 2、考察重点：基本公式的运用。对题意的分析理解与把握。 3、命题趋势：本节主要讲直线上的相遇问题，近年来二次相遇、多次相遇以及一些结合单位“1”的知识点受到不少名校青睐。 知识梳理 1、基本公式 路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度 相遇路程＝相遇时间×速度和 2.解题方法 ①公式法：主要是以上公式的运用，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时候条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，并且能迅速反应找到所需的公式。 ②图示法：在一些过程较为复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。 ③方程法：在关系复杂，等量关系明显的题目中，可以设条件中的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程求解。 典例剖析 【例1】两地相距120千米，甲、乙两人骑自行车同时从两地相对开出，甲每小时行14千米，经过4小时后与乙相遇，则乙每小时行多少千米？ 【变式练习】 1、甲、乙两站相距470千米，一列火车于中午1时从甲站出发，每小时行52千米，另一列火车下午2时30分从乙站开出，下午6时两车相遇，求从乙站开出的火车的速度？ 2、甲、乙两艘船分别从两个码头同时出发相向而行。甲船每小时行驶38海里，乙船每小时
行驶28海里。两船行驶4小时后，相距30海里。两个码头相距多少海里？ 【例2】快车从甲地开往乙地，慢车从乙地开往甲地，两车同时相对开出，9小时相遇。相遇后，两车按原速继续行驶，又经过6小时快车到达乙地，慢车离甲地还有420千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【变式练习】 1、一辆慢车和一辆快车同时从甲、乙两地相对而行，慢车5小时行驶240千米，正好与快车相遇，相遇后快车继续行驶了4小时到达乙地，甲、乙两地相距多少千米？ 2、甲、乙两个物体分别从相距169米的两处同时相对运动，甲第一分钟走2米，以后每分钟比前一分钟多走1米，乙每分钟走5米。问：12分钟后，甲、乙各走了多少米？甲、乙开始运动几分钟后相遇？ 【例3】A、B两车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后A车到达中点。B车离中点还有
小升初数学专题复习讲义
小升初数学专题复习讲义 数学
专题一数论 考点扫描 数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。 1.数的奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数 奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数 奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数 （只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数） 2.数的整除，常见的数的整除特征 （1）2：个位是偶数； （2）3：各个数位之和是3的倍数； （3）5：个位是0或5； （4）4、25：后两位可以被4（25）整除； （5）8、125：后三位可以被8（125）整除；
（6）9：各个数位之和是9的倍数； （7）7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数； （8）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数； （9）13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除； （10）17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。 3.余数的性质 （1）余数的可加性：和的余数等于余数的和； （2）余数的可减性：差的余数等于余数的差； （3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积； （4）同余的性质： 对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除；
十一学校数学小升初内部讲义电子版
目录 第一讲逻辑推理初步 (2) 第二讲循环小数化分数 (4) 第三讲分数计算（一） (10) 第四讲分数计算（二） (13) 第五讲分数、百分数应用题（一） (17) 第六讲分数、百分数应用题（二） (22) 第七讲生活中的经济问题 (27) 第八讲工程问题 (29) 第九讲圆的周长与面积 (32) 第十讲不定方程 (40)
第一讲逻辑推理初步 学习提示： 本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。 典型题解 下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。 例1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老师拿出这五座山的图片，并在图片上标出数字，他让五位同学来辨别，每人说出两个。学生回答如下： 甲：2是泰山，3是华山乙：4是衡山，2是嵩山丙：1是衡山，5是恒山丁：4是恒山，3是嵩山戊：2是华山，5是泰山。 老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？ 例2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计，甲说：“他至少有1000本书”。乙说：“他的书不到1000本”。丙说：“他至少有一本书”。这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟有多少本书？ 例3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面是哪一个和尚？”和尚回答：“讲真话的”。他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话”。他问第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的”。根据他们的回答，智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。 例4 桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知： （1）每张都是A、K、Q、J中的一张；（2）这8张牌中至少有一张Q；（3）其中只有一张A；（4）所有的Q都夹在两张K之间；（5）至少有一张K夹在两张J之间；（6）J和Q互不相邻，A和K也互不相邻；（7）至少有两张K相邻。则图中的8张牌各是什么牌？ 例5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从1到5编了好，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字： 张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略”李四说：“1号是瓦特，2号是爱因斯坦” 王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特”许六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼” 陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略” 老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第1讲 整数和小数第1讲 整数和小数(原卷)
提高版（通用） 2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第1讲整数和小数 知识精讲 知识点一：整数 1.整数的意义和分类：像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称为（整数）。整数分为正整数、0、负整数（整数也可以分为自然数和负整数） 【提示】0既不是正数，也不是负数 2.整数的读法：读一个多位数，从高级到低级，一级一级地读。每级都按照个级的读法来读，读亿级、万级时，必须加上“亿”字或“万”字。每级末尾的“0"都不读，其他数位有一个或连续几个“0"的都只读一个零。（读数时，可以先画出分级线，再读数，这样可以快速、准确地读出一个多位数 3.整数的写法：写数时，按从高位到低位的顺序，一级一级地写。亿级和万级都按个级的写法来写。哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写0（写完后，画上分级线检查，每一级都只能写四位，不要多写或少写0） ４.整数的大小比较: ○1比较两个整数的大小，首先数一下多位数的位数，位数多的大于位数少的○2如果位数相同，就比较最高位，最高位上的数大的那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。 ５．整数的改写和近似数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 （１）数的改写： ①把整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数：把万位或亿位后面的4
个0或个0去掉，换成一个“万”字或“亿”字就可以了 ②把非整万、整亿数改写成用“万”或“化”作单位的数：先把原数的小数点向左移动4位或8位（小数部分末尾是0的要划掉），再在数的后面写上“万”字或“亿”字，中间用“=”连接 （２）近似数：省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再在数的后面写上“万”或“亿”字，中间用约等号连接 【提示】近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。 ａ.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是４或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是５或者比５大，就把尾数舍去，并向它的前一位进１。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。 ｂ.进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进1。这种求近似数的方法，叫做进一法。 ｃ.去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。 知识点二：小数 1.小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示。一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…. 2.小数的计数单位： 整数部分 小 数 点 。小数部分 …亿级万级个级 数位… 千 亿 位 百 亿 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计数单位千 亿 百 亿 十 亿 亿千 万 百 万 十 万 万千百十个十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 3.小数的分类：按小数部分的不同情况小数可分为有限小数和无限小数 ①有限小数：小数部分的位数是有限的.例如：134.56，9.001，2.222是有限小
小升初数学衔接讲义
小升初数学衔接讲义 一、数与数的运算 （一）整数 1、整数的意义：整数包括自然数、0和负整数。 2、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个“零”。 3、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 4、十进制计数法：数级从右起，第一级是个位，计数单位是一，表示几个一；第二级是十位，计数单位是十，表示几个十；第三级是百位，计数单位是百，表示几个百……在整数中，每级中间的0也要读出来。 5、计算整数加法：先把数位对齐，从低位加起，满十进一。 6、计算整数减法：先把数位对齐，从高位减起，不够减的向前借一当十。
7、大小比较：借助数轴比较大小。 （二）小数 1、小数的意义：小数由整数部分、小数部分和小数点组成。 2、小数的读法：整数部分按整数的读法读，小数部分按顺序读出每个数字。 3、小数的写法：整数部分按整数的写法写，小数部分要写出每个数字所在的位置。 4、小数的性质：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 5、小数的四则运算：小数加减法与整数加减法的计算方法相同；小数乘法与整数乘法的计算方法相同；小数除法与整数除法的计算方法相同。 6、小数的近似值：求小数的近似值时，要根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数。 （三）分数
1、分数的意义：分数由分子、分母和分数线组成。 2、分数的读法：读分数时，先读分母，再读分数线和分子，分子和分母之间加一条斜线。 3、分数的写法：写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子。分子和分母按照整数的写法来写。 4、分数的性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 5、分数的四则运算：分数加减法与整数加减法的计算方法相同；分数乘法与整数乘法的计算方法相同；分数除法与整数除法的计算方法相同。 6、分数大小的比较：同分母的分数比较大小，分母相同的分数比较大小；异分母的分数比较大小，先通分再比较大小。 7、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数通常用百分号（%）表示。 小升初数学衔接全套讲义 一、数与数的运算
小升初数学培优讲义全46讲—第01讲-简便计算(一)
第1讲 简便计算（一） 1、考察范围：运算法则、定律、性质和公式。 2、考察重点：四则混合运算、交换律、结合律、分配律。 3、命题趋势：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 1、基本公式. 乘法交换律：a b b a ?=? 加法交换律：a b b a +=+ 乘法结合律：)(c b a c b a ??=?? 加法结合律：)(c b a c b a ++=++ 乘法分配律：c a b a c b a ?+?=+?)( 2、去括号法则： 括号前面是加号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ++=++)( 括号前面是减号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a --=+-)( 括号前面是乘号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ÷?=÷?)( 括号前面是除号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a ÷÷=?÷)( 【例1】 ??? ??--÷-??? ?? ÷+-??09.05321323.11857.66.35333.431 【变式练习】 1、?? ????-÷??? ??+?81584.0916.1527 考点解读 知识梳理 典例剖析
2、?? ????-??? ??-??+÷15.03.031125.63115.3 【例2】 47 575975997599975 9999?++++ 【变式练习】 1、6 59999965999965999659965965+++++ 2、2008200620001998199719961995++++++ 【例3】 3115 1157÷
第51讲 统计表(提高版)-2022-2023学年小升初数学专项复习讲义(通用版)
第51讲统计表（提高版） 1、统计表定义。 是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格．是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式． 统计调查所得来的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”． 2、统计表构成及格式。 一般由表头、行标题、列标题和数字资料四个主要部分组成，必要时可以在统计表的下方加上表外附加． （1）表头应放在表的上方，它所说明的是统计表的主要内容． （2）行标题和列标题通常安排在统计表的第一列和第一行，它所表示的主要是所研究问题的类别名称和指标名称，通常也被称为“类”． （3）表外附加通常放在统计表的下方，主要包括资料来源、指标的注释、必要的说明等内容． 3、统计表分类。 统计表形式繁简不一，通常是按项目的多少，分为单式统计表与复式统计表两种．只对某一个项目数据进行统计的表格，称为单式统计表，也称之为简单统计表．统计项目在2个或2个以上的统计表格，称之为复式统计表． （1）按作用不同：统计调查表、汇总表、分析表． （2）按分组情况不同：简单表、简单分组表、复合分组表． （1）简单表：即不经任何分组，仅按时间或单位进行简单排列的表． （2）简单分组表：即仅按一个标志进行分组的表． （3）复合分组表：即按两个或两个以上标志进行层叠分组的表． 统计表由单式统计表、复式统计表和百分数统计表组成，其中最重要的就是复式统计表．
复式统计表能把两个（或多个）统计内容的数据合并在一张表上，可以更加清晰、明了地反映数据的情况． 复式统计表由标题、日期、线条和表格等内容组成． 一．选择题（共5小题） 1．下面列出了几种食物每100克中脂肪和蛋白质的含量。（单位：克） 如表四种食物中，()的蛋白质含量最高，()的脂肪含量最高。 ①豆腐②猪肉③鸡蛋④鲤鱼 A．①②B．③④C．③①D．④② 2．同学们要统计全校各年级男女生人数情况，下面表头设计中，()较为合理。 ①② ③④ A．①②B．③④C．①③D．②④
(完整版)小升初衔接数学讲义(共13讲)
小升初衔接专题讲义 第一讲 、【问题引入与归纳】 数系扩张 --有理数（一） 1、 正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、 有理数的两种分类： 3、 有理数的本质定义，能表成 m （n 0,m,n 互质）。 n 4、 性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数 5、绝对值的意义与性质: ③非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0 、【典型例题解析】： x 2 (a b cd)x (a b)2006 ( cd)2007 的值。 如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置， 汐 .1 ,'r ） 如下图所示，那么|a b| |a b|化简的结果等于（ ） A. 2a B. 2a C.0 D. 2b 已知（a 3）2 |b 2| 0，求a b 的值是（） 数学能力就是在练习中成长的——汤姆?杰瑞 若abf 0,则 罟詈的值等于多少? 如果m 是大于1 的有理数，那么m —定小于它的（ A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 已知两数a 、b 互为相反数， d 互为倒数， x 的绝对值是2，求 ①|a| a(a 0) a(a 0) ② 非负性(|a| 0,a 2 0)
小升初衔接专题讲义 1、绝对值的几何意义 ① |a| |a 0|表示数a 对应的点到原点的距离 ② |a b|表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值 、【典型例题解析】： (1) 若 2 a 0，化简 |a 2| |a 2| (2) 若 xp 0，化简 ||x| 2x| |x 3| |x| 解答: 设ap0，且 x 高，试化简|x " |x 2| 解答： a 、 b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件? 若|x 5| |x 2| 7，求x 的取值范围 解答： 不相等的有理数a,b,c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果| a b| | b c||a c|，那 么B 点在A 、C 的 什么位置？ 解答： 设 apbpcpd ，求 | x a | | x b | | x c | | x d | 的最小值。 数学能力就是在练习中成长的——汤姆?杰瑞 (1) |a b| |a| |b|; (3)|a b| |b a |; (5)若 |a|p|b|，则 ap b 解答： (2) |ab| |a||b|; (4)若 |a| b 则 a b (6)若 af b ，则 |a|f |b|
小升初衔接数学讲义(共13讲)
小升初衔接数学讲义(共13讲) 小升初衔接专题讲义 第一讲数系扩张--有理数（一） 一、问题引入与归纳 1.正负数、数轴、相反数、有理数等概念。 2.有理数的两种分类。 3.有理数的本质定义，能写成 m/n （n≠0，m、n 互质）。 4.性质： ①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（除数不能为零）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5.绝对值的意义与性质：
① |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。 ②非负性。 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为零，则它们都为零。 二、典型例题解析： 例1：若ab ≠ 0，则 (a+b)/|ab| 的值等于多少？ 例2：如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（D）。 A。相反数 B。倒数 C。绝对值 D。平方 例3：已知两数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2，求 x^2-(a+b+cd)x+(a+b)2006+(-cd)2007 的值。 例4：如果在数轴上表示 a、b 两个实数点的位置，如下图所示，那么 |a-b|+|a+b| 化简的结果等于（） A。2a B。-2a C。0 D。2b
例5：已知 (a-3)^2+|b-2|=9，求 ab 的值是（） A。2 B。3 C。9 D。6 例6：有 3 个有理数 a、b、c，两两不等，那么 a-b/b-c，c-a/a-b 中有几个负数？ 例7：设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a+b，a 的形式式，又可表示为 b/a，b 的形式，求 a^2006+b^2007. 例8：三个有理数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 X = (abc/|ab|+|bc|+|ac|)+ab+bc+ac，则 ax^3+bx^2+cx+1 的值是多少？ 例9：若 a、b、c 为整数，且 |a-b|^2007+|c-a|^2007=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c| 的值。 三、课堂备用练题。 1.计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006，求和。
(完整版)小升初数学讲义专题讲义15讲(基础+提高)
第一讲：四大重点全方位训练之一—计算与简算（1）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1 第二讲：四大重点全方位训练之一—计算与简算（2）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4 第三讲：解较复杂的方程‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7 第四讲：列方程解应用题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10 第五讲：和差、和倍及差倍应用题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥12 第六讲：算术法解分数应用题——玩转对应关系（1）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥14 第七讲：算术法解分数应用题——玩转对应关系（2）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥17 第八讲：算术法解分数应用题——玩转单位“1”‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20 第九讲：经典分数应用题类型‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥23 第十讲：工程问题（一）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥27 第十一讲：工程问题（二）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30 第十二讲：工程问题（三）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥33 第十三讲：牛吃草问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥36 第十四讲：行程中的相遇问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥38 第十五讲：行程中的追击问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥41
(完整版)小升初数学讲义
新初一分班考试数学训练题 第一部分：计算 一、脱式计算（简便运算） （1） 1411 5585 ?? +?÷ ? ?? （2） 3 1.58.431510% 10 ?+?+? （3）20.11199519.942011 ?-? （4） 11111111111 1 35101530246122060????+++++÷+++++ ? ????? （4） 111 36 234 ?? ?-+ ? ??
（6） 8831 5.4566 3.5441250.375 131387????++-÷+-? ? ? ???? （7） 7777 122331111 11111111 ???????? +++?++?+???++? ? ? ? ????????? （8）3541 2 71175 ?+÷（9） 5111 21 8342 ?? ?? ÷-? ? ?? ?? ?? （10） 731 25 4.520% 2043 ?? ?? ÷-?+ ? ?? ?? ?? （11） 11 0.60.21 105 x x +-=
（12）()345141513+++???++÷ （13）7652132776532727?÷+?÷ （14）97994998? （15）()1 4675% 2.75 1.45 7??-+?÷???? （16）110.6 6.612.5%8?? -+÷ ??? （17）12242443511511?+?+?+? （18）91791175174517?+÷-?+÷ （19）412114 23167137713 ?+?+?
（20）73125 4.520%2043??? ?÷-?+ ???? ??? 二、 求未知数x （1）3.2 2.575%2x ?-= （2）1 550.83 x -?= （3）5570%2126x x -= （4）10 :0.4127 x x =+ （5）()()30.95 1.7x x ?+=?- （6）11 0.60.21105 x x +-= （7）()()724243x x +=-+ （8）()()0.230.110.01x x -=-+
(优质讲义)小升初数学数与代数专题讲义(含答案解析)
数与代数（教师版） 学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容 分数；因倍数 课型教学目标 1、掌握分数的意义和性质； 2、会找两个数的最大公因数和最小公倍数，并熟悉其应用； 3、百分数的意义和基础运用； 4、数的认识和改写； 5、简便计算和解方程的技巧； 6、正反比例的判断。 重、难点 分数的基础运用 知识导图
导学一整数 知识点讲解1：数的改写 例题 1. [整数的读法和写法;整数的读法和写法] [难度：★★★ ] 根据信息产业部资料，截至2008年1月，我国手机用户总数达555769000户，横线上的数读作（），它是一个（）位数，把它改成用“万”作单位的数是（），若以“亿”为单位，把它保留两位小数约是（）。 【参考答案】五亿五千五百七十六万九千；九；55576.9万；5.56亿。 【题目解析】读数时，先分级，再从高位到低们，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位上连续有几个0，都只读一个零，555769000读作五亿五千五百七十六万九千，它的最高位是亿位，它是一个九位数。 把它改写成用“万”作单位的数，就是在万级的末尾点上小数点，加上单位名称“万”即是55576.9万， 以“亿”为单位，同样是在亿级的末尾点上小数点，并加上单位名称“亿”，即5.55769亿，再保留两位 小数约是5.56亿。 【思维对话】学生易错点1：不清楚以“万”“亿”作单位，应该怎么做；易错2：不会区分以“万”“亿”作单位和省略“万”“亿”后面的尾数；易错3：读写时0的处理。 解题技巧：1、以“万”“亿”作单位，小数点移到“万”“亿”位的后面，其它作为小数部分，单位记得 写上；2、省略“万”“亿”后面的尾数，要做到四舍五入；3、读数时，每级末尾的0不读，每级中间的0 要读，连着几个只读一个，读写数时，要做好分级，避免出错。 我爱展示 1.[整数的读法和写法;整数的读法和写法] [难度：★★★ ] 一个九位数，最高位上的数字是自然数2，千万位和万位上的数字都是最小的合数，百位上的数字是最大的一位数，其余各位上的数字均为0，这个数是（），改写成以“万”为单位的数是（）万，省略亿位后面的尾数约是（）亿。 【参考答案】240040900；24004.09；2。 2.[整数的读法和写法;整数的读法和写法] [难度：★★★ ] 据统计，截至2008年6月23日12时，全国共接受国内外地震灾区捐赠款物达五百二十四亿七千八百万元，这个数写作（）元，改写成用“亿元”作单位的数是（）亿元。 【参考答案】52478000000；524.78。 知识点讲解2：正数和负数 例题 1. [负数的意义及其应用;负数的意义及其应用] [难度：★★★ ] （1）－13读作（），＋8读作（ ）。 （2）新疆乌鲁木齐市某天的最高气温是零上9℃，记作（），最低气温是零下6℃，记作（）。（3）小明向东走20米记作＋20米，那么他向西走50米应记作（）。 【参考答案】（1）负十三；正八；（2）+9℃；-6℃；（3）-50米。 【题目解析】正负数可以表示相反意义。 我爱展示
第16讲 归总问题(提高版)-2022-2023学年小升初数学专项复习讲义(通用版)
第16讲归总问题（提高版） 1、归总问题。 已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 2、归总问题的特点。 两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 3、数量关系式。 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。
一．选择题（共5小题） 1．水果店店员准备将一些橙子装进盒子里，如果每盒装15个，可以装3盒，如果每盒装9个，可以装()盒。 A．5 B．6 C．7 D．8 2．一本小说，如果每天看20页，9天可看完，如果想6天看完，每天需多看()页。 A．3 B．10 C．30 3．一辆小卡车一次运24台电视机，7次运完。如果4次运完，每次要运多少台电视机？正确的列式是() A．2474 ⨯÷C．2474 ÷⨯ ⨯⨯B．2474 4．小明读一本书，每天读8页，3天可以读完。如果他每天读6页，几天可以读完？正确的列式是() A．836 -⨯ ⨯-D．(86)3 ÷⨯C．836 ⨯÷B．638 5．三（1）班的女生排队做操，如果排成4列，每列6人；如果排成3列，每列排多少人？列式为() A．463 ⨯÷ ⨯⨯C．346 ⨯÷B．463 二．填空题（共9小题） 6．秋收时节，明明到乡下帮爷爷摘苹果，他把每20个苹果放进一个纸箱，刚好放了10箱。如果每箱放40个，需要纸箱个。 7．晶晶看一本120页的漫画书，如果每天读4页，天能读完；如果每天读6页，天能读完。 8．有18名同学分苹果，平均每人分到6个，又来了一些同学，大家重新分苹果，平均每人分到3个，算一算，又来了人． 9．一本科普书有300页，每页24行，每行30个字．重新排版后，改为每页30行，每行36个字，现在这本书有页． 10．某工厂库存的煤，若每天烧20千克，可以烧50天，若工厂要保证这些煤至少烧25天，每天烧的煤不能超过千克． 11．一组咬合的齿轮，大齿轮48个齿，每分钟转60周，小齿轮16个齿，每分钟转周．
小升初数学精讲精练专 小升初数学精讲精练专题汇编讲义第19讲 组合图形的认识、表面积与体积(原卷)
提高版（通用） 2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第19讲 组合图形的认识、表面积与体积 小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图 形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。 知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2)(bh ah ab ++ a ：长 b:宽 h ：高 S ：表面积 V abh = V Sh = 正方体 S=26a a ：棱长 S ：表面积 3V a = V Sh = 圆柱 222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱 圆锥 22ππ360 n S l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体 知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面h r h r 知识精讲
小升初数学衔接暑假讲义
七年级数学上册 第一章有理数 1.1正数和负数 一、基础知识 1.像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。（根据需要，有时也在正数前面加正号“+”。） 2.像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。 8．举出2对具有相反意义的量的例子： 9．某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时的气温是多少？ 10．某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分 三、直通中考 “甲比乙大-2岁”表示的意义是（） A、甲比乙小2岁 B、甲比乙大2岁 C、乙比甲大-2岁 D、乙比甲小2岁 某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）
A 、-10℃ B 、-6℃ C 、6℃ D 、10℃ 1.1有理数 一、知识海洋 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理 数） 2.有理数的分类： （1）按整数分数分类 类⎪⎪⎧⎪⎨⎧正整数正数. （2）按数的正负性分2网 0.3 4.下列说法中，错误的有（ ） ①7 42-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5.简答题： （1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举。 （2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？ ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负整数零正整数整数有理数..
小升初数学讲义
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第一讲 分、小数的基本计算 【学习目标】 1. 初步了解分、小数混合的计算方法，能熟练、准确地进行分数和小数的四则计算。 2. 能合理运用运算规律，准确、简捷地计算分、小数四则混合运算。 【基本练习】 直接写出得数。 1. =⨯ 7394 =÷3894 =÷14376 =⨯32 76 =+854.0 =-8.065 =⨯1054 =÷1256 2. =+⨯6 52132 =÷-5125385 =÷⨯356153 =⨯⨯879473 =⨯-10)5 323( =⨯+⨯31323232 【问题思考】 1. 说说下面各题的运算顺序，再计算。 （1） 32 )]1256 1 (1[÷+ - （2） [2-3 4思考：有分数和小数混合的运算，该怎样去计算更简捷？ 2．下面各题，怎样简便就怎样算。 （1） 103 9710945-⨯- （2） 75.14114725.1⨯+⨯ （3）)7 31.2541(8.3⨯+- 思考：你是怎样进行简便计算的？说一说你运用了什么运算定律与计算方法 3.解方程。 （1） 5 2)8.05 2(4 3=-⨯x （2） 15 761125=+x x 思考：说说你解方程的步骤。你的过程是否合理与简捷？
【简单应用】 1. 计算下面各题。 （1）53657273⨯-÷ （2）)4.015 7 ( 14÷÷ （3） ]4 5)54375.067[(613⨯⨯-÷ 2. 解方程。 （1） 65 323 2 =+x （2）5 14.053=-x （3）8325.0=-x x 3. 下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）375.054219 2+÷+ （2） 54)75.065(512++⨯ （3） )15854(3261-÷⨯ （4）32 2691362-÷- （5） 125.0)]3215.2(311[5÷--- 【拓展练习】 1. )9 57 5()9 277 29(+÷+ 5 49995 4995 495 43+++
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小升初·数学·培粹讲义 第一节整数和小数 【例题1】有一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，其他各位上都是0，这个数写作，读作，把这个数改写成以“万”作单位的数是，省略亿后面的尾数约是。 【跟踪训练】 1、一个数由50个亿、500个万和5005个一组成，这个数是位数，写作，读作，这个数最高位上的5是最低位上的5的倍。 2、一个九位数，最高位上的数字是2，千万位和万位上的数字都是最小的合数，百位上的数字是最大的一位数，其余各位上的数字都是0，这个数是 ，改写成以“万”为单位的数是万，省略亿后面的尾数约是亿。 【例题2】用最小的一位数、最小的质数、最小的合数和三个0组成六位数。（1）一个“零”都不读出的最小六位数是。 （2）只读一个“零”的最大六位数是。 （3）读出二个“零”的六位数有。 【跟踪训练】 1、用三个8和三个0组成满足下列要求的六位数。 （1）一个“零”都不读出的六位数有。 （2）只读一个“零”的六位数有。 （3）读出二个“零”的六位数有。 2、有三张数字卡片1、2、3，利用这三张卡片可排出多少个不同的三位数？请 你试着把它们写下来。如果把卡片2换成卡片0，那么又会是多少个呢？
【例题3】一个三位小数保留一位小数后是3.8，则这个三位小数最大是 最小是。 【跟踪训练】 1、判断题。 （1）小数都比整数小。（）（2）大于0.3而小于0.5的小数只有0.4一个。（）（3）去掉小数40.50末尾的0后，小数的大小不变，计数单位也不变，（）（4）把9.895用“四舍五入”的方法保留两位小数后是9.9。（） 2、选择题。 （1）由8个千、4个十和5个百分之一组成的数是（）。 A、8540 B、8040.05 C、8000.45 D、8504 （2）把59.9954精确到百分位是（）。 A、59.995 B、50 C、60.0 D、60.00 （3）一个两位小数精确到十分位后是10.0，则这个小数一定在（）之间。 A、9.99到10.01 B、9.65到10.04 C、9.95到10.04 D、9.01到10.00 【例题4】在下列各小数的小数部分的数字上直接加上循环点，使排列顺序正确。 3.1415 ＞3.1415 ＞3.1415 ＞3.1415 【跟踪训练】 1、在○中填上“＞”、“＜”或“＝”。 98320○890000 6.05○6.5 2.806○2.860 6.17○6.107 10万○100个千30个1100○3个110 2、在下列各小数的小数部分的数字上直接加上循环点，使排列顺序符合要求。 0.2014 ＞0.2014 ＞0.2014 ＞0.2014 【例题5】填空。 1、—13读作，＋8读作。 2、长沙市某天的最高气温是零上9℃，记作，最低气温是零
数的整除(讲义)-2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,学生版)
温馨提示：图片放大更清晰 小升初数学 通用版 《数的整除》精准讲练
如果A ÷6＝B （A 、B 均为非0自然数），则A 和B 的最大公因数是( )；如 果()x y x 045 =≠，那么x 和y 成( )比例。 答案： B 正 解析：若两个数成倍数关系，它们的最大公因数就是较小的数；两个相关联的量，若它们的乘积一定，则它们成反比例；若它们的比值一定，则它们成正比例。 因为A ÷6＝B ，所以A ÷B ＝6，所以A 和B 的最大公因数是B ； 因为()x y x 04 5 =≠，所以5x ＝4y ，即x ∶y ＝4∶5＝45 ，x 和y 的比值一定，那么x 和y 成正比例。 2435a ⨯⨯的积一定是2、3、5的倍数（a 是大于零的自然数）。( ) 答案：√ 解析：先求出2、3、5的最小公倍数，如果2435a ⨯⨯的积除以最小公倍数的商是一个整数，那么2435a ⨯⨯一定是2、3、5的倍数，据此解答。 2、3、5的最小公倍数为：2×3×5＝30 24×35×a ÷30 ＝24×35÷30×a ＝840÷30×a ＝28a 因为a 是大于零的自然数，所以28a 一定是整数，则2435a ⨯⨯的积一定是2、3、5的倍数（a 是大于零的自然数）。 故答案为：√ 一个班的人数不超过30人，现在大扫除，其中1 2扫地，14 摆桌椅，1 5擦玻璃。这个
班没有参加大扫除的有（）人。 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：把班级总人数看作单位“1”，用减法求出没有参加大扫除的人数占总人数的分率，人数应该为整数，所以总人数应该是几个分数分母的公倍数，且不超过30，据此解答。 没有参加大扫除的人数占总人数的分率：1－（1 2 ＋ 1 4 ＋1 5 ） ＝1－19 20 ＝1 20 20是2、4、5的倍数，则2、4、5、20的最小公倍数为20。20×1＝20，20＜30，符合题意； 20×2＝40，40＞30，不符合题意； 由上可知，这个班有20人。 20×1 20 ＝1（人） 所以，这个班没有参加大扫除的有1人。 故答案为：A 5（1）班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？ 答案：35－34＝1（人） 35÷5＝7（组） 答：至少还要再来1个人，可以分成7组。 解析：只要人数是5的倍数即可，5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，据此分析。
第31讲 工程问题(提高版)-2022-2023学年小升初数学专项复习讲义(通用版)
第31讲工程问题（提高版） 1、工程问题。 探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．2、解题关键。 把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 3、数量关系式。 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 合作时间=工作总量÷工作效率和 一．选择题（共8小题）
1．每年3月12日是植树节，今年甲乙两队计划种100棵树，甲队独种需要2天，乙队独种需要5天，两队合种共要几天？列式错误的是() A． 11 100() 25 ÷+B．100(10021005) ÷÷+÷ C． 11 1() 25 ÷+D． 11 100[100()] 25 ÷⨯+ 2．做一批零件，甲需3小时完成。乙需4小时完成，甲乙合作每小时完成这批零件的() A．1 7 B．7 C． 7 12 D． 5 1 7 3．修一段公路，5天修了全长的1 4 。照这样计算，修完剩下的路还要()天。 A．20 B．15 C．10 D．5 4．若4台同样的抽水机同时抽水，需12小时抽干一池水，那么6台这样的抽水机同时抽水，抽干这一池水需要()小时。 A．3 B．8 C．24 5．甲1天做的工作等于乙2天做的工作，等于丙3天做的工作。现有一工程，甲2天可完成。问乙与丙合作要多少天完成？() A．12天B．5天C．2.4天D．10天 6．生产一批口罩，甲车间单独做需要12天，乙车向单独做需要15天。甲、乙两个车间工作效率的最简整数比为() A．4:5B． 11 : 1215 C．5:4 7．小明看一本300页的书，前3天看完了这本书的2 5 ，照这样的速度，他看完这本书共需 多少天？下面所列式子中不正确的是() A． 2 3 5 ÷B． 2 300(3003) 5 ÷⨯÷ C． 2 3(1) 5 ⨯÷D． 2 300(3) 5 ÷÷ 8．一项工程，如果先由甲工程队单独干20天，剩下的由乙工程队单独干，那么15天可以完成任务。如果甲、乙两个工程队合作5天能完成全部工程的28%，那么乙工程队的工作效率比甲工程队的工作效率() A．快1 3 B．慢 1 3 C．快25%D．慢25% 二．填空题（共8小题）