【华师大版】202X九上数学：23.4-中位线ppt教学课件
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华师大版九年级数学上册授课课件：23.4 中位线
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
知1－讲
【例2】 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中
线互相平分.
已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC,
AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半）.
同理可得EF//BA.
猜想
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别 是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可 以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 （来自教材）
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
（来自《典中点》）
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
拓展
知2－导
华师大版九年级数学上册课件：23.4 中位线 (共11张PPT)
解：∵DE，EF，FD分别为△ABC三边的中位线，△ABC的 周长为112cm, ∴DE+EF+FD= (AB+BC+AC)= ×112=56cm. 又∵DE∶EF∶FD=3∶5∶6， ∴DE=12cm，EF=20cm，DF=24cm．
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.
谢谢观看
第二十三章 图形的相似
23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.
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第二十三章 图形的相似
23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练
23.4 中位线 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册
长是对应中线长的13. 注意：经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个
顶点的对边 .
课堂新授
知2－讲
特别解读 ●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的
2倍. ●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点 .
课堂新授
知2－练
例 4 如图23.4-5，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，
知1－练
证明：延长 AE 交 BC 于点 H，∵CD 平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACE＝∠HCE，∠AEC＝∠HEC＝90°，又∵CE＝CE，
∴△ACE≌△HCE，∴AE＝EH＝12AH.∵EF∥BC， ∴△AEF∽△AHC，∴AAFC＝AAHE＝12，∴AC＝2AF，∴F 是 AC 的中点．又∵G 是 BC 的中点，
课堂新授
知1－练
证明：连结EF.
由▱ABCD可得AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝BF，∴ED＝FC.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴EG＝
BG，EH＝CH.
∴GH是△EBC的中位线．∴GH∥BC.
课堂新授
知1－练
例 3 如图23.4-4，在△中，中线BE，CD相交于点O，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点.
又易知点O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF.
课堂新授
知1－练
1-1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足
为E， 过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，
连结FG．
求证：FG＝12AB．
课堂新授
课堂新授
知2－练
5-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对
23.4 中位线 华师大版数学九年级上册课件2
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
第23章 图形的相似
23.4. 中位线
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果 1 BC.
2
3
巩固练习
73 10
3
3
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
谢谢大家！
华师大版九年级上数学 23.4 中位线 课件
九年级数学(上册)•HS
第23章 图形的相似
23.4 中位线
能运用中位线的性质解题． 【例 1】如图，△ABC 中，M 是 BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，BD⊥ AD 于点 D，AB＝12，AC＝18，求 MD 的长．
【思路分析】由 AD⊥BD，AD 平分∠BAC 联想到等腰三角形的三线合一， 故延线 BD 交 AC 于点 E，易证 DM 是△BCE 的中位线，由中位线定理求得 DM.
解：四边形 DFGE 是平行四边形．理由：∵BE、CD 为△ABC 的中线，∴D、 E 分别是 AB、AC 的中点，∴DE∥BC，DE＝21BC.∵F、G 分别是 OB、OC 的中点，∴FG∥BC，FG＝12BC.∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形 DFGE 是 平行四边形
13．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (2)若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
23 4．已知等边△ABC 的边长为 2，点 G 是△ABC 的重心，则 AG＝ 3 .
5．如图，在△ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 S△DOE∶S△COB 等
于( A )
A．1∶4 C．1∶3
B．2∶3 D．1∶2ห้องสมุดไป่ตู้
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 1:20:35 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
第23章 图形的相似
23.4 中位线
能运用中位线的性质解题． 【例 1】如图，△ABC 中，M 是 BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，BD⊥ AD 于点 D，AB＝12，AC＝18，求 MD 的长．
【思路分析】由 AD⊥BD，AD 平分∠BAC 联想到等腰三角形的三线合一， 故延线 BD 交 AC 于点 E，易证 DM 是△BCE 的中位线，由中位线定理求得 DM.
解：四边形 DFGE 是平行四边形．理由：∵BE、CD 为△ABC 的中线，∴D、 E 分别是 AB、AC 的中点，∴DE∥BC，DE＝21BC.∵F、G 分别是 OB、OC 的中点，∴FG∥BC，FG＝12BC.∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形 DFGE 是 平行四边形
13．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (2)若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
23 4．已知等边△ABC 的边长为 2，点 G 是△ABC 的重心，则 AG＝ 3 .
5．如图，在△ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 S△DOE∶S△COB 等
于( A )
A．1∶4 C．1∶3
B．2∶3 D．1∶2ห้องสมุดไป่ตู้
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 1:20:35 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
华师大版初三数学上册《23.4 中位线》课件
中位线
E
.
.
F
B
. D
C
DE是三角形ABC的 中位线. A 什么叫三 角形的中 位线呢？ D E
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 画出△ABC中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线
和中线的区别. D
A
F
B E
C
A D B ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 中位线 ； E C
如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有： DE∥BC, DE=
1 2
BC.
A
能说出理由吗?
E
D
B
C
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有：
DE∥BC, DE=
A
1 2
BC.
用不同的 方法证明 E D
F
B
C
三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 1 DE= 2 BC. E D
则△DEF的周长= 12 cm
二 三角形的重心
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相
交于G．求证：
GE CE GD AD 1 3
证明:连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC，
DE AC 1 2
∴ △ACG∽△DEG，
∴
∴
GE GC
GD AG
1 2
D
AC.
H
F
同理 EF∥AC, EF= AC,
2
华师大版九年级上23.4中位线课件(共13张PPT)
第23章 图形的相似
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
华师大版九上数学课件23.4 中位线
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半). 同理可得EF//BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴ AE、DF互相平分.
知1－讲
总 结
三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关
系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的
长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解 答．
形的重心；
(3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( A．一个 B．两个 ) D．四个
C．三个
知3－讲
知识点
3 中点四边形
1. 中点四边形：顺次连结四边形各边中点所得的四边1) 顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行
知2－导
知识点
2 三角形的重心
GE GD 1 . CE AD 3
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于点G.求证：
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
DE 1 = . (三角形的中位线平行于第 ∴DE//AC ， AC 2
三边，并且等于第三边的一半).
知3－练
1
求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边 形是平行边形.
运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法：
当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果 中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在 一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构 造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知
C
知1－导
证明： 在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
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• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2021年3月12日星期五2021/3/122021/3/122021/3/12
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年3月2021/3/122021/3/122021/3/123/12/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/3/122021/3/12March 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/3/122021/3/122021/3/123/12/2021 6:30:10 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/3/122021/3/122021/3/12Mar-2112-Mar-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/122021/3/122021/3/12Friday, March 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/3/122021/3/122021/3/122021/3/123/12/2021
问题2 相似三角形有哪些方面的应用？你会解决下面的问 题吗？
A M
若MN=36 m，则AB= 2MN=72 m
如果，M、N两点之间还有
阻隔，你有什么解决办法？
C
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离.
讲授新课
B
C
三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，
1
DE= BC. 2
E
A D
B
C
练一练
D
B 图1
B
D
F
A
E
图2
如图1：在△ABC中，DE是中位线
A （1）若∠ADE=60°， 则∠B= 60 度，为什么？
E （2）若BC=8cm，
OC的中点，则EF和MN的关系是___平__行__且__相__等____.
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边 形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/122021/3/122021/3/122021/3/12
谢谢观看
数量关系： DE是BC的一半
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有： DE∥BC,
1
DE= BC.
2
A
能说出理由吗?
E
D
B
C
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有：
DE∥BC,
1
DE=
BC.
2
A
E
D
用不同的 方法证明 F
一 三角形的中位线及其性质
什么是三角形的中线？（连结顶点与对边中点的线段）
设疑：如果连结两边中点的线段呢？ A
中位线
E.
. F
.
B
C
D
DE是三角形ABC的 中位线. A
D
E
什么叫三 角形的中 位线呢？
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
画出△ABC中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线 A
• 于是我们有以下结论：
A
三角形三条边上的中线交于一点，
这个点就是三角形的重心，重心与一边
中点的连线的长是对应中线长的 1 .
3
B
F
G`
D
C
当堂练习
1.如图：EF是△ABC 的中位线，BC=20，则EF=____1_0___;
A E
F
B
C
2.在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是OB、
和中线的区别.
D
F
B
C
E
A
理解三角形的中位线定义的两层含义:
D
E
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的
中位线 ；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、
AC的 中点 .
在△ABC中，中位线DE和 边BC什么关系?
D DE∥BC
A E
DE和边BC的关系
B
C
位置关系： 平行
3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系， 而且给出了它们的数量关系，在三角形中给见《学练优》本课时练习
课后作业
见《学练优》本课时练习
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/122021/3/12Friday, March 12, 2021
AC 2
∴ △ACG∽△DEG，
∴
GE GD DE 1
GC AG AC 2
∴ GE GD 1
CE AD 3
归纳
• 如果在上图中，取ＡＣ的中点Ｆ，假设ＢＦ与ＡＤ交于
Ｇ`，如下图，那么我们同理有，G`D G`F 1
AD BF 3
所以有 GD G`D 1，即两图中的点G与G`是重合的.
AD AD 3
第23章
学练优九年级数学上（HS） 教学课件
图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点）
导入新课
观察与思考 问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
C 则DE= 4 cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是
各边中点 AB=6cmAC=8cm,BC=10cm，
C
则△DEF的周长= 12 cm
二 三角形的重心
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相
交于G．求证：GE GD1
CE AD 3
证明:连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC， DE 1
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半.